Correction du devoir `a la maison 02

2011 – 2012
. Correction du devoir à la maison 02.
Classe de Première ES2/L2
Exercice 01 :
On note f et g deux fonctions polynômes du second degré, définies par : f : x 7−→ 2x2 + 2x − 4 et
g : x 7−→ −(x + 3)(x + 2)
−
→ −
→
On note Cf et Cg leur représentation graphique respectives dans un repère orthogonal (O, i , j )
1. f et g sont des polynômes du second degré donc Df = R et Dg = R
2. Pour tout x ∈ R
Forme canonique de f (x) :
f (x) = 2x2 + 2x − 4 = 2(x2 + x − 2) = 2
!
1 2
1
x+
− −2 =2
2
4
x+
1
2
2
−
9
4
!
1 2
9
= 2 x+
−
2
2
Forme factorisée de f (x) :!
1 2
3
1
3
9
1
x+
x+ −
= 2(x + 2)(x − 1)
f (x) = 2
−
=2 x+ +
2
4
2
2
2
2
3. Forme développée de g(x) :
g(x) = −(x + 3)(x + 2) = −(x2 + 2x + 3x + 6) = −(x2 + 5x + 6) = −x2 − 5x − 6
Forme canonique de g(x) :
!
!
5 2
25
5 2
1
1
5 2
2
g(x) = −(x + 5x + 6) = −
x+
−
+6 =−
x+
−
= − x+
+
2
4
2
4
2
4
4. Coordonnées des point d’intersection entre Cf et l’axe des abscisses.
D’après la forme factorisée, les points d’intersection sont A(1; 0) et B(−2; 0)
Coordonnées des point d’intersection entre Cf et l’axe des ordonnées.
D’après la forme développée, le point d’intersection est C(0; −4)
5. Coordonnées des point d’intersection entre Cg et l’axe des abscisses.
D’après la forme factorisée, les points d’intersection sont D(−3; 0) et B(−2; 0)
Coordonnées des point d’intersection entre Cg et l’axe des ordonnées.
D’après la forme développée, le point d’intersection est E(0; −6)
6. Tableau des variations de f :
x
−∞
−
1
2
&
f
+∞
%
9
−
2
Tableau des variations de g :
x
f
−∞
−
%
5
2
1
4
+∞
&
1
9
7. Cf est une parabole tournée vers le haut, de sommet S1 − ; −
2 2
5 1
Cg est une parabole tournée vers le bas de sommet S2 − ;
2 4
8. M ∈ Cf ∩ Cg
⇐⇒ f (x) = g(x)
⇐⇒ 2(x − 1)(x + 2) = −(x + 3)(x + 2)
⇐⇒ 2(x − 1)(x + 2) + (x + 3)(x + 2) = 0
⇐⇒ (x + 2)(2x − 2 + x + 3) = 0
⇐⇒ (x + 2)(3x + 1) = 0
1
⇐⇒ x = −2 ou x = −
3
De plus
f (−2) = g(−2) = 0
Lycée Stendhal, Grenoble
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et
1
1
40
f −
=g −
=−
3
3
9
donc les points d’intersection entre Cf et Cg sont :
B(−2; 0) et F
40
1
− ;−
3
9
9. Etudions le signe de f (x) − g(x) :
f (x) − g(x) = (x + 2)(3x + 5) d’après la question précédente.
x
x+2
3x + 5
f (x) − g(x)
−∞
−2
−
−
+
0
|
0
1
3
|
0
0
−
+
−
−
+∞
+
+
+
Donc
1
Si x ∈] − ∞; −2[∪ − ; +∞ alors Cf est au-dessus de Cg .
3
1
Si x ∈ −2; −
alors Cf est en dessous de Cg .
3
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