Brevet Blanc de Mathématiques - Collège Petite Lande

Brevet Blanc de Mathématiques
4 Points sont réservés à la propreté et à la qualité de rédaction de la copie.
Exercice 1
(En précisant les différentes étapes du calcul):
2 1

3 2
1. Calculer le nombre A et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible : A =
17 1

9 3
2. Un moustique pèse en moyenne 1,5×10 -6 kg.
Combien faut-il de moustiques pour obtenir le poids d'un éléphant pesant 6×103 kg ?
Exercice 2 ( voir et compléter la feuille annexe à rendre avec la copie)
Au collège Petite lande, 200 élèves suivent avec beaucoup de sérieux les cours en classe de troisième.
Lors d'un brevet blanc, les notes obtenues par les élèves à l'épreuve commune de mathématiques sont
scrupuleusement analysées. Ces dernières sont regroupées dans le tableau ci-dessous.
notes
0
effectifs 2
1
6
2
11
3
9
4
12
5
10
6
4
7
13
8
5
9
8
10
20
11
16
12
8
13
11
14
15
15
11
16
8
17
9
18
6
19
11
20
5
1. Complète le tableau fourni sur la feuille annexe avec la ligne des effectifs cumulés croissants
2. Calculer la moyenne des notes obtenues en mathématiques au brevet blanc par l'ensemble des élèves
des classes de troisième.
3. Représenter cette série de résultats par un diagramme en bâtons sur le graphique fourni sur la
feuille annexe.
4. À partir du tableau, donner la valeur du premier quartile de la série de notes.
Interpréter ce résultat par une phrase.
5. À partir du tableau, donner la valeur de la médiane de la série de notes.
Interpréter ce résultat par une phrase.
6. Quel est le pourcentage des élèves qui ont eu une note supérieure ou égale à 18 ?
Exercice 3 : On donne : D = 9x² – 4 − (3x – 2)(x – 3).
1. Développer et réduire D.
2. Factoriser 9x² – 4 et en déduire la factorisation de D.
3. Résoudre l’équation (3x – 2)(2x + 5)= 0.
Exercice 4 :
Soit g la fonction affine définie: pour tout nombre réel x, par g : x  g (x) = −3x + 2.
Soit la fonction affine f telle que f(2) = 5 et f(7) = 15
1
1. Calculer l'image de par g.
3
2. Calculer l'antécédent de 4 par g.
3. Déterminer la fonction f.
Exercice n°5 : ( voir et compléter la feuille annexe à rendre avec la copie)
M. Dubois réfléchit à son déménagement. Il a fait réaliser deux devis :
1. L’entreprise A lui a communiqué le graphique présenté en annexe.
Celui-ci représente le coût du déménagement en fonction du volume à transporter.
a. Quel serait le coût pour un volume de 20 m3 ? Vous laisserez vos tracés apparents.
b. Le coût est-il proportionnel au volume transporté ? Justifier.
c. Soit g la fonction qui à x, volume à déménager en m3, associe le coût du déménagement avec cette entreprise.
Exprimer g(x) en fonction de x.
2. L’entreprise B lui a communiqué une formule : f(x) = 10x + 800 où x est le volume (en m3) à transporter et f(x) le prix à
payer (en €).
a. Calculer f(80). Que signifie le résultat obtenu ?
b. Déterminer par le calcul l’antécédent de 3 500 par la fonction f.
c. Représenter graphiquement la fonction f sur le graphique présenté en annexe.
3. M. Dubois estime à 60 m3 le volume de son déménagement. Quelle société a-t-il intérêt à choisir ?
Vous justifierez graphiquement votre réponse en laissant vos tracés apparents.
Exercice n°6 :
ABC est un triangle tel que AB = 6,5 cm ABC =37° et AC = 4 cm.
H est le pied de la hauteur issue de A.
1. Faire une figure.
2.
a. Calculer BH (on donnera la valeur arrondie au mm).
b. Vérifier par le calcul que l’arrondi au mm de AH est 3,9cm.
3.
Calculer HCA au degré près.
Exercice 7 :
Teva vient de construire lui-même sa
pirogue.
1. Pour vérifier que les deux bras du
balancier sont parallèles entre eux, il place
sur ceux-ci deux bois rectilignes
schématisés sur le dessin ci-dessus par les
segments [OK] et [OL] avec
I  [OK] et J  [OL].
La mesure des longueurs OI, OJ, OK et OL
donne les résultats suivants :
OI = 1,5 m
OJ = 1,65 m
OK = 2 m
OL = 2,2 m
Les deux bras sont-ils parallèles ? Justifier ta réponse.
2. Pour vérifier que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier il mesure les longueurs AB, AC et CB et obtient :
AB = 15 cm
AC = 25 cm
CB = 20 cm
Peut-il affirmer que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier ? Justifier ta réponse.
ANNEXE
À rendre avec la copie
Coût en €
Exercice n°5
Société A
2 600
2 500
2 400
2 300
2 200
2 100
2 000
1 900
1 800
1 700
1 600
1 500
1 400
1 300
1 200
1 100
1 000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Volume en m3
Exercice 2 :
notes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
effectifs 2
6
11
9
12
10
4
13
5
8
20
16
8
11
15
11
8
9
6
11
5
E.C.C
E.C.C. signifie : Effectifs Cumulés Croissants
Exercice 2 :
Construire le diagramme en bâtons
1
0
0
1
Exercice 1
2 1
4 3
7


3 2
6 6
6
7 9
733
1. A =
A=
A=
A= 
A=
17 1
17 3
14
6 14
2327


9 3
9 9
9
3
6 × 10
6
2. B =
B=
× 103 − ( − 6 )
B = 4 × 103 + 6
B = 4 × 109
1,5 × 10 − 6
1,5
Il faut la masse de 4 milliards de moustiques pour avoir la masse d’un éléphant.
A=
3
4
Exercice 2 - Statistiques
Au collège Petite lande, 200 élèves suivent avec beaucoup de sérieux les cours en classe de troisième. Lors d'un
brevet blanc, les notes obtenues par les élèves à l'épreuve commune de mathématiques sont scrupuleusement
analysées. Ces dernières sont regroupées dans le tableau ci-dessous .
1. Compléter la ligne 3 du tableau
notes
effectifs
effectifs
cumulés
0
2
1
6
2
11
3
9
4
12
5
10
6
4
7
13
8
5
9
8
10
20
11
16
12
8
13
11
14
15
15
11
16
8
17
9
18
6
19
11
20
5
2
8
19
28
40
50
54
67
72
80
100
116
124
135
150
161
169
178
184
195
200
2. Calculer la moyenne des notes obtenues en mathématiques au brevet blanc par l'ensemble des élèves des
classes de troisième.
M= (2 × 0 + 6 × 1 + 11 × 2 + 9 × 3 + 12 × 4 + 10 × 5 + 4 × 6 + 13 × 7 + 5 × 8 + 8 × 9 + 20 × 10 + 16 × 11 + 8
2068
× 12 + 11 × 13 + 15 × 14 + 11 × 15 + 8 × 16 + 9 × 17 + 6 × 18 + 11 × 9 + 5 × 20) ÷200 
= 10,34
200
3. Représenter cette série de résultats par un diagramme en bâtons.
25
20
15
Série1
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
4. À partir du tableau, donner les valeurs du premier et du troisième quartile de la série de notes. Interpréter ce
100 élèves
résultat par une phrase. 100 élèves
médiane
notes
effectifs
effectifs
cumulés
0
2
1
6
2
11
3
9
2
8
19
28
4
12
40
5
10
6
4
7
13
8
5
9
8
10
20
11
16
12
8
13
11
14
15
15
11
16
8
17
9
18
6
19
11
20
5
50
54
67
72
80
100
116
124
135
150
161
169
178
184
195
200
1
1
= 50. Q1 est la 50 ème valeur de la série soit 5.
des élèves ont au plus 5.
4
4
5. À partir du tableau, donner la valeur de la médiane de la série de notes.
La médiane est la valeur du caractère qui sépare l’effectif total en deux parties égales.
1
200 × = 100.
La médiane est donc 10,5.
2
La moitié des élèves ont une note inférieure à 10,5 et l’autre moitié une note supérieure à 10,5.
6. Quel est le pourcentage des élèves qui ont eu une note supérieure ou égale à 18.
6 + 11 + 5 = 22 (ou 200 − 178 = 22) ont un note supérieure ou égale à 18.
22
× 100 = 11. 11% des élèves ont eu une note supérieure ou égale à 18.
200
1 er quartile = 200 ×
Exercice 3 : 1. D = 9x2 – 4 - (3x – 2)(x – 3)
D = 9x2 – 4 – (3x2 – 9x – 2x  6) = 9x² − 4 − 3x² + 9x + 2x − 6
D = 6x2 + 11x − 10
2. 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = (3x  2)(3x – 2)
D = (3x  2)(3x – 2) − (3x – 2)(x – 3)
= (3x – 2)(3x  2 − x + 3)
= (3x – 2)(2x + 5)
3. (3x – 2)(2x + 5)= 0.
Résoudre cette équation de la forme A  B = 0 revient à résoudre A = 0 et B = 0.
3x – 2 = 0 ou 2x + 5= 0
3x = 2
2x = −5
2
2
5
5
x=
x=−
L’équation admet deux solutions : et − .
3
3
2
2
Exercice 4 : fonction affine
Soit g la fonction affine définie: pour tout nombre réel x, par g : x  g (x) = -3x + 2.
Soit la fonction affine f telle que f(2) = 5 et f(7) = 15
1
1
1
1
1. Calculer l'image de par g
g :  g 3 = − 3 × + 2 = −1 + 2 =1


3
3
3
2. Calculer l'antécédent de 4 par g
g : x  g (x) = -3x + 2 = 4
−3x + 2 = 4
− 3x = 4 – 2
− 3x = 2
x=
1
g 3 = 1
 
2
−3
x=−
2
3
3. Déterminer la fonction g
On utilise la formule des accroissements
a=
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
a=
On remplace a par la valeur trouvée dans f : x  f(x) = ax + b
On choisit f(2) = 5 pour trouver b
f : 2  f(5) = 2 × 2 + b = 5
4+b=5
15 – 5
7−2
a=
10
5
f : x  f(x) = 2x + b
b=5–4
b=1
f : x  f(x) = 2x + 1
Exercice 5
M. Dubois réfléchit à son déménagement. Il a fait réaliser deux devis :
1. Entreprise A : a. Le coût pour un volume de 20 m3 est 600 € (voir le graphique).
b. La représentation graphique d’une situation de proportionnalité est une droite passant par l’origine :
c’est le cas ici donc le coût est proportionnel au volume transporté.
c. Soit g la fonction qui à x, volume à déménager en m3, associe le coût du déménagement avec cette
entreprise : g(x) = 30x.
2. Entreprise B : a. f(x) = 10x + 800. f(80) = 10  80 + 800 = 800 + 800 = 1 600. Le coût d’un
déménagement de 80 m3 avec l’entreprise B est 1 600 €.
b. 10x + 800 = 3 500.
10x = 3 500  800
10x = 2 700
x=
2 700
10
x = 270
L’antécédent de 3 500 par la fonction f est 270.
c. Représentation graphique de la fonction f (voir le graphique en annexe).
3. M. Dubois estime à 60 m3 le volume de son déménagement. Il a intérêt à choisir la société B :
1 400 € alors que le coût avec la société A est 1 800 €. (Voir les tracés sur le graphique).
a=2
C
Exercice n°6 :
1. Faire une figure.
H
B
2. (AH) est la hauteur donc BHA est rectangle en H.
A
cos HBA =
BH
BA
cos 37° =
BH
6,5
BH = cos 37° × 6,5
BH  5,2 cm
sin HBA =
AH
BA
sin 37° =
AH
6,5
AH = sin 37° × 6,5
AH  3,9 cm
3. Dans le triangle HCA rectangle en H, sin HCA =
HA
3,9
sin HCA =
CA
4
HCA  77°
Exercice 7 :
OJ 1,65 165 165  55 3
OI OJ
=
=
=
= donc
=
(ou 0,75 avec la calculatrice !)
OK OL
OL 2,2 220 220  55 4
OI OJ
I [OK] J[OL] et
=
OK OL
La réciproque de la propriété de Thalès est vérifiée donc les droites (IJ) et (KL) sont parallèles.
Les deux bras sont donc parallèles.
1.
OI 1,5 3
=
=
OK 2 4
2. AB2 + BC2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625
AC2 = 252 = 625
donc AB2 + BC2 = AC2
Le triangle ABC est rectangle en B d’après la réciproque du théorème de Pythagore.
La pièce [AB] est donc bien perpendiculaire au balancier.
ANNEXE
À rendre avec la copie
Coût en €
Exercice n°5 question 2. C. et 3
Société A
2 600
2 500
2 400
2 300
2 200
2 100
2 000
1 900
Société
B
1 800
1 700
1 600
1 500
1 400
1 300
1 200
1 100
1 000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Volume en m3