sujet Contrôle commun de physique 2014

La Prépa des INP
Session 2014
Epreuve commune de physique 1A
Durée : 3 heures
Remarques
• Les documents ne sont pas autorisés pour cette épreuve.
• L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
• Le sujet comporte trois parties distinctes qu’il conviendra de rédiger sur des copies différentes.
• Chacune des parties aura un poids équivalent dans la notation.
• Il sera tenu compte de la rédaction des copies : il est en particulier recommandé d’encadrer
les résultats.
Première partie : Circuits électriques
C-I. Régime transitoire
Le circuit de la figure 1 est composé d’une source idéale de tension continue de force électromotrice E, de deux résistors de résistances R et 2R, d’un condensateur de capacité C et
d’un interrupteur K. On note i(t) l’intensité du courant délivré par la source de tension,
i1 (t) l’intensité traversant la résistance 2R, i2 (t) l’intensité traversant le condensateur C
et uS (t) la tension aux bornes du condensateur. L’interrupteur K est ouvert depuis un
temps suffisamment long pour que le régime permanent continu soit établi.
Figure 2
Figure 1
C-I.1. Rappeler la relation qui relie l’intensité i2 (t) à la tension aux bornes du condensateur
uS (t). En déduire la valeur de i2 (t) puis celle de uS (t) en fonction de E en régime
permanent continu quand K est ouvert.
C-I.2. A l’instant t = 0 pris comme origine des temps, l’interrupteur K est fermé. Recopier
et compléter le tableau suivant sachant que l’instant t = 0− est l’instant précédant
la fermeture de K et l’instant t = 0+ est l’instant où K vient juste d’être fermé. On
exprimera les résultats en fonction de E et R en les justifiant.
i1 (t)
i2 (t) i(t)
uS (t)
t = 0−
t = 0+
C-I.3. A l’aide du théorème de Thévenin, montrer que la partie du réseau située entre
S et M sans le condensateur C et représentée sur la figure 2 est équivalente à un
générateur de tension de force électromotrice ESM et de résistance RSM que l’on
exprimera en fonction de E et R.
C-I.4. Après avoir replacé le condensateur C aux bornes du générateur équivalent (ESM , RSM ),
déterminer l’équation différentielle qui régit les variations temporelles de uS (t) à
t > 0.
C-I.5. Donner la solution uS (t) de cette équation différentielle en fonction de E, R, C et t.
C-I.6. Tracer l’allure des variations de uS (t) au cours du temps.
2
C-II. Régime sinusoïdal permanent
Le circuit de la figure 1 fonctionne en régime sinusoïdal forcé. L’interrupteur K reste
fermé et la source idéale de tension continue est remplacée par une source idéale de
tension sinusoïdale de force électromotrice de valeur efficace E, de pulsation ω et de
phase à l’origine θe .
Toutes les grandeurs électriques sinusoïdales
de valeur efficace X, de pulsation ω, de
√
phase à l’origine θx √
s’écrivent x(t) = X 2 cos (ωt + θx ) en notation réelle et, en notation
complexe, x(t) = X 2 exp (jωt) avec X = X exp(jθx ) et j 2 = −1.
C-II.1. Montrer que la fonction de transfert complexe H(jω) =
H(jω) = Us
E
a pour expression :
H0
1+
j ωω0
Préciser les expressions de H0 et ω0 en fonction de R et C.
C-II.2. Donner l’expression du module H(ω) = |H(jω)| et de l’argument ϕ(ω) de la fonction
de transfert.
C-II.3. Donner l’expression du gain du filtre en décibels GdB (ω) = 20 log10 H(ω) sous la
forme de la somme de deux termes.
C-II.4. Déterminer en fonction de R et C la fréquence de coupure du filtre fc à −3 dB.
C-II.5. Le diagramme de Bode pour le gain est représenté figure 3. Déterminer graphiquement la valeur de la fréquence de coupure en précisant la méthode utilisée.
C-II.6. En déduire la valeur de R sachant que C = 9, 55 nF.
C-II.7. Donner la nature du filtre en précisant sa bande passante et sa bande rejetée.
Figure 3
3
Deuxième partie : Optique et Mécanique
Optique : Etude d’un viseur
O-I. Une lentille mince est utilisée dans l’approximation de Gauss.
O-I.1. Quelles sont les significations des deux termes mince et approximation de Gauss ?
O-I.2. Enoncer la formule de conjugaison de Descartes pour une lentille mince de centre
O et de distance focale image fi donnant la relation entre la position de l’image
pi = OAi en fonction de celle de l’objet po = OAo .
O-I.3. Soit une lentille convergente de centre O et de distance focale image fi qui forme d’un
objet réel Ao Bo une image Ai Bi virtuelle. Faire sur une figure claire la construction
de l’image de cet objet Ao Bo à l’aide de trois rayons lumineux.
O-II. Un viseur à frontale fixe est formé (figure 4) :
• d’un objectif constitué d’une lentille mince convergente (L1 ) de centre O1 et de distance
focale image fi1 = 5 cm,
• d’un réticule formé par un fil très fin situé à la distance D = 10 cm de l’objectif et qui
permet de faire une visée,
• d’un oculaire assimilé à une lentille mince (L2 ) convergente de centre O2 et de distance
focale image fi2 = 2 cm, situé à la distance d du réticule.
Figure 4
O-II.1. Un œil normal situé derrière l’oculaire voit sans accommoder à l’infini. En déduire
la distance d pour que l’ œil puisse voir le réticule sans accommoder.
O-II.2. Où faut-il placer l’objet AB devant l’objectif pour que l’œil puisse voir à la fois le
réticule et l’image nette de l’objet AB ? Calculer O1 A.
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Mécanique : Mise en jeu d’une bille de flipper
On étudie la mise en jeu de la bille de flipper dans le référentiel galiléen R (O, xyz). Le
plan (xOy) forme le plateau du flipper. L’axe Ox est incliné d’un angle α avec l’horizontal. La
bille en acier de centre d’inertie GB , de rayon a et de masse mB se déplace selon l’axe Ox et
tourne autour de l’axe GB y lors de la mise en jeu. A l’instant initial t = 0, le lance bille d’un
→
flipper communique à la bille une vitesse initiale v0 −
ex et, à cet instant, la vitesse angulaire de
−
→ −
→
la bille est Ω0 = 0 . Le contact de la bille avec le plateau se fait au point I avec un coefficient
de frottement f identique pendant la phase de glissement et pendant la phase de roulement qui
lui succède.
Figure 5
Le moment d’inertie de la bille par rapport à son axe de rotation Oy est JGB = 52 mB a2 . La
−
→
→
→
réaction du plateau sur la bille au point I est notée : R = T −
ex + N −
ez avec T < 0.
M-1. Expliciter la vitesse du point de contact IB appartenant à la bille −
v→
IB en fonction de a,
−
→
−
→
−
−
→
de la vitesse angulaire de la bille Ω = Ω ey et de la vitesse vGB de son centre d’inertie.
→
→
En déduire la vitesse de glissement −
v =−
v→ − −
v de la bille par rapport au plateau du
g
IB
I
flipper à t = 0.
M-2. Dans la phase de glissement, préciser la relation qui lie les composantes tangentielle et
−
→
normale de la réaction R .
M-3. Par application du théorème du centre d’inertie (théorème de la résultante dynamique) ,
établir l’expression de :
• N en fonction de mB , g et α
• l’accélération de GB en fonction de g, f et α
M-4. Par application du théorème du moment cinétique par rapport à l’axe GB y, déterminer
l’expression de l’accélération angulaire dΩ
en fonction de a, g, f et α
dt
M-5. Déduire des questions M-1., M-3. et M-4., l’instant tf pour lequel la bille s’arrête de
glisser.
M-6. Exprimer dans la phase de roulement sans glissement, l’énergie cinétique de la bille en
fonction de mB et vGB .
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Troisième partie : Thermodynamique
T-I. Mélange liquide-vapeur
La figure 6 représente dans un diagramme p = f (v) en coordonnées semi-logaritmiques
(diagramme de Clapeyron) et la figure 7 représente dans un diagramme p = f (T ) la courbe
de changement d’état liquide-vapeur d’un kilogramme d’eau (v est le volume massique,
c’est-à-dire l’inverse de la masse volumique).
Figure 6
Figure 7
6
T-I.1. Reproduire les deux diagrammes des figures 6 et 7 en reportant dessus les zones dans
lesquelles l’eau est à l’état liquide, à l’état de vapeur, dans un mélange liquide-vapeur.
T-I.2. Le point critique C correspond à un état où la phase liquide est absolument identique
à la phase vapeur. Indiquer sur les deux diagrammes où se trouve le point critique
et relever ses coordonnées approximatives (pC , TC , vC ) à l’aide des figures 6 et 7.
T-I.3. Sur le diagramme de la figure 6 que vous avez reproduit, surligner de deux couleurs
différentes les courbes de rosée et d’ébullition.
T-I.4. Un générateur de vapeur produit de la vapeur d’eau saturée à la pression
p = 50 × 105 Pa. Ce générateur est constitué d’une enceinte de volume V = 10 m3
constant et dont les parois sont parfaitement calorifugées. Le volume de la phase
liquide est négligeable devant le volume de la phase vapeur. Déterminer à l’aide des
diagrammes (p, v) et (p, T ) , la température T et le volume massique v d’un kilogramme de vapeur générée. En déduire la masse de vapeur d’eau m contenue dans
l’enceinte du générateur de vapeur.
T-II. Machine Thermique
Une machine thermique, au contact avec deux sources de chaleur aux températures
constantes TC et TF < TC , fonctionne selon un cycle réversible représenté sur la figure 8.
Figure 8
Au cours du cycle, une mole d’air (n = 1 mol) subit les transformations suivantes :
• L’air à la température de la source froide T1 = TF = 300 K et à la pression p1 = 105 Pa
(état 1) est comprimé suivant une adiabatique réversible jusqu’à l’état 2 à la pression
p2 = αp1 avec α = 5.
• La transformation isobare de l’état 2 à l’état 3 amène l’air, au contact de la source
chaude à la température TC = 600 K, à la température T3 = TC .
• L’air est ensuite refroidi depuis l’état 3 lors d’une détente adiabatique réversible pour
atteindre l’état 4 à la pression initiale p1 .
• L’air à l’état 4 retrouve son état initial 1 par une transformation isobare au contact de
la source froide à la température TF .
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Cp
= 1, 4. On pose
L’air est assimilé à un gaz parfait de coefficient isentropique γ = C
v
−1
−1
β = 1 − γ . On donne la constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J · K · mol−1 .
T-II.1. Donner la relation qui lie les variables p et T d’un gaz parfait au cours d’une transformation adiabatique réversible.
T-II.2. En déduire les expressions des températures T2 et T4 en fonction de T1 , T3 , α et β.
Calculer leurs valeurs.
T-II.3. On rappelle que les capacités thermiques molaires d’un gaz parfait sont liées par la
relation Cp − Cv = R. Exprimer Cp en fonction de γ et R.
T-II.4. Exprimer les transferts thermiques QC = Q2→3 et QF = Q1→4 échangés au cours
des deux transformations isobares avec respectivement la source chaude et la source
froide en fonction de n, α, β, T1 et T3 . Calculer les valeurs de ces transferts thermiques.
T-II.5. En déduire la valeur du travail total W échangé au cours du cycle. Montrer que la
machine thermique fonctionne comme un moteur.
T-II.6. Calculer l’efficacité de cette machine thermique.
T-II.7. Calculer, pour une mole d’air mise en jeu dans le parcours du cycle, la valeur de
l’entropie S ech échangée avec les deux sources de chaleur. En déduire l’entropie créée
S créé au cours du cycle.
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