Dénombrement _sans Anp_

DENOMBREMENT
I) Permutations et factorielle.
1) Exemple : une anagramme d’un mot est un nouveau mot constitué des mêmes lettres que celles du mot initial mais
dans un ordre différent.
Déterminer le nombre d’anagrammes du mot « Marie » qui contient 5 lettres distinctes.
1ère lettre
5 choix
2ème lettre
4 choix
3ème lettre
3 choix
4ème lettre
2 choix
5ème lettre
1 choix
Chacune des ces anagrammes est appelée une permutation des cinq lettres m, a, r, i, e.
Il y a donc 5 × 4 × 3 × 2 × 1 anagrammes possibles, soit 120.
2) Définition : Pour tout entier n naturel non nul, le nombre n! , lu « factorielle n », est le produit des n entiers non nuls
inférieurs ou égaux à n : n! = n × ( n − 1) × (n − 2 ) × L × 2 × 1 .
On pose 1! = 1 et 0! = 1 .
Le nombre de permutations de n objets est égal à n !.
Remarque : Dans l’exemple précédent, le nombre d’anagrammes est donc égal à 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
II) Combinaisons
1) Définition : Soit E un ensemble contenant n éléments et p un entier inférieur ou égal à n. On appelle combinaison de p
éléments pris parmi les n éléments de E, un sous-ensemble de E à p éléments.
Remarque : une combinaison de p éléments de E étant un sous-ensemble de E, ses éléments s’écrivent entre accolades et
l’ordre dans lequel ils sont notés n’a pas d’importance.
2) Propriété : Soit p un entier inférieur ou égal à n. Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n est égal au
n!
nombre Cnp défini par : C np =
et on a les résultats suivants : Cn0 = 1 ; Cn1 = n ; C nn = 1 .
p! (n − p )!
p
p −1
Propriété : Soit p un entier inférieur ou égal à n. On a : Cnp = C nn − p (symétrie) ; Cnp = C n−1 + Cn −1 .
3) Triangle de Pascal : Les Cnp se calculent aussi de proche en proche grâce au triangle de Pascal (ci-dessous).
p>
0
1
2
3
4
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
4
10
20
1
5
15
5
6
n∨
0
1
2
3
4
5
6
C43 = C33 + C32
1
6
1
III) Formule du binôme
Définition : Pour tous réels a et b, et tout entier n non nul :
n
( a + b )n = C n0 a n b 0 + C n1 a n−1b1 + C n2 a n −2 b 2 + L + C nn −1a1b n−1 + C nn a 0b n = ∑ C nk a n− k b k
k =0
IV) Méthodes et exemples
Dénombrement
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1) Comment décrire l’univers Ω de l’expérience
Type de l’expérience aléatoire
Tirage successif et avec remise
Tirage successif et sans remise
Tirage simultané
Commentaires
• Choix avec ordre ;
• il peut y avoir répétition d’un
élément.
• Choix avec ordre ;
• il n’y a pas de répétition possible.
• Choix sans ordre
Méthodes
Le nombre de choix des éléments
constituant les issues est le même.
Le nombre de choix des éléments
constituant les issues diminue.
On utilise les nombres de
combinaisons Cnp .
2) Des exemples
1er exemple : Tirages successifs.
Tirage avec remise : on tire successivement 4 cartes dans
un jeu de 32 cartes ; chaque fois qu’une carte est tirée, on
la remet dans le jeu avant de tirer les suivantes.
Tirage sans remise : on tire successivement 4 cartes dans
un jeu de 32 cartes ; on ne remet pas les cartes tirées dans
le jeu avant de prendre les suivantes.
• L’univers Ω contient 324 issues :
• L’univers Ω contient 32 × 31 × 30 × 29 issues :
ère
ème
ème
ème
1 carte 2 carte 3 carte 4 carte
32 choix 32 choix 32 choix 32 choix
•Soit A l’événement « Obtenir exactement 2 cœurs ».
Dénombrer les cas favorables à A.
1ère carte 2ème carte 3ème carte 4ème carte
32 choix 31 choix 30 choix 29 choix
• Soit B l’événement « Obtenir exactement 2 cœurs ».
Combien y a-t-il d’issues favorables à B.




2
,
,
,
 142
× C
4
3
1
4
2
4
3
{4


place des 2

 coeurs
82
24 2



× C2
,
,
,
{4
 14243 14243 

 place des 2
8×7
24 ×23
coeurs
Choix des Choix des
2 coeurs
2 autres cartes
Choix des Choix des
2 coeurs
2 autres cartes
Il y a C 42 × 8 2 × 24 2 cas favorables à A, soit 221184.
Il y a C 42 × 8 × 7 × 24 × 23 issues favorables à B, soit
185472.
2ème exemple : Dans un jeu de 32 cartes, on tire simultanément 4 cartes.
4
• L’univers Ω contient C 32
issues, soit 35960.
• Soit C l’événement « le tirage contient 2 cœurs exactement ».
Déterminer le nombre de cas favorables à C.
2
Il y a C82 × C 24
= 28 × 276 = 7728 tirages contenant 2 coeurs exactement. Il y a
7728 cas favorables à C.




,
,
,
 142
43 14243 


2
C82
C24


Choix des Choix des
2 coeurs
2 autres cartes
3) Calcul des probabilités
En pratique, les techniques de dénombrement sont utiles dans les situations d’équiprobabilité (indiscernables au toucher,
au hasard ...) où l’on calcule alors la probabilité d’un événement A comme suit :
p(A) = nombre de cas favorables de A .
nombre de cas possibles de Ω
Dénombrement
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