EXTENSION DES FONCTIONS PLURISOUSHARMONIQUES A

PUBLICATIONS DE L’INSTITUT MATHÉMATIQUE
Nouvelle série, tome 88(102) (2010), 123–127
DOI: 10.2298/PIM1002123J
EXTENSION DES FONCTIONS
PLURISOUSHARMONIQUES A TRAVERS
DE “PETITS" SOUS-ENSEMBLES
Abidi Jamel
Communicated by Miroljib Jevtić
Abstract. We extend, in many variables, results established by Cegrell [2]
on the continuation of the plurisubharmonic functions defined outside closed
subsets, of open sets of Cn , having zero Ronkin [8] gamma capacity. This will
be achieved by the continuation of some plurisubharmonic functions, having on
“a priori" growth, through some thin (meaning to be precised) closed subsets
of Cn (n 1).
1. Introduction
Dans cet article on propose un élargissement des résultats établis par Cegrell,
dans [2], concernant le prolongement des fonctions plurisousharmoniques. Les nouveaux obstacles seront mesurés au moyen de différentes précapacités introduites
respectivement par Ronkin [8], Cegrell [3], Hyvönen et Rühentaus [4].
2. Notations et préliminaires
Dans toute la suite, G désigne un ouvert de Cn (avec n 1) et E un sousensemble fermé de G. H α est la mesure α-dimensionnelle de Hausdorff associée
à la distance euclidienne. h(G), sh(G), psh(G) et prh(G) désignent respectivement
l’ensemble des fonctions harmoniques, sousharmoniques, plurisousharmoniques et
pluriharmoniques dans G (Cf. [5], [6], [7], [8], [9] et [10]). C(G) est l’ensemble des
fonctions continues dans G.
Si z 0 ∈ Cn , j ∈ {1, 2, . . . , n}, z 0 = (z10 , . . . , zn0 ) on écrira z 0 = (zj0 , Zj0 ) où
0
0
0
, zj+1
, . . . , zn0 ). Si r > 0 et r > 0,
zj ∈ C et Zj0 ∈ Cn−1 , Zj0 = (z10 , . . . , zj−1
0
(n−1)
0 (Zj , r ) = {(zj , Zj ) = z ∈ Cn | zj ∈ (zj0 , r) et Zj ∈
on note (zj , r) × (n−1) (Zj0 , r )}. Ici m2n est la mesure de Lebesgue dans Cn . Dans [8] Ronkin à
introduit la précapacité Γn sur Cn associée à la précapacité gn , définie par récurrence sur Cn ; si F ⊂ C, g1 (F ) = Cap∗ (F ) et pour F ⊂ Cn (avec n 2), gn (F ) =
2010 Mathematics Subject Classification: 32D20, 32U05.
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MaxCap∗ ({zj ∈ C | gn−1 ({Zj ∈ Cn−1 | (zj , Zj ) ∈ F }) > 0; j = 1, 2, . . . , n}).
Cap∗ étant la capacité logarithmique extérieure sur C [8]; Γn (F ) = Sup{gn (α(F )),
α ∈ U }, U étant le groupe des transformations unitaires complexes sur Cn . De la
même façon on définit Γn (F ) = Sup{C n (α(F )), α ∈ U }, où C n est la précapacité
dans Cn introduite par Hyvönen et Rühentaus [4]. Si F ⊂ C, C 1 (F ) = Cap∗ (F )
et si F ⊂ Cn (avec n 2), C n (F ) = MaxCap∗ ({zj ∈ C | C n−1 ({Zj ∈ Cn−1 |
(zj , Zj ) ∈ F }) > 0; j = 1, 2, . . . , n}). Soit P un sous-ensemble borélien dans Cn .
P est dit déterminant dans Cn , si pour toute fonction u ∈ psh(Cn ), tout z ∈ Cn ,
u(z) = lim sup{ξ→z, ξ∈P } u(ξ). De manière similaire, on définit la notion d’ensemble
déterminant dans G. Soit maintenant P un fermé dans Cn . Cegrell [2], montre que
si le sous-ensemble P̃ = {(ξ, η) ∈ Cn × Cn | Cap∗ ({λ ∈ C | (λξ + η) ∈ P }) > 0} est
de complémentaire C2n P̃ déterminant dans C2n , alors toute u ∈ psh(Cn P ),
localement majorée le long de P , a une unique extension u∗ ∈ psh(Cn ).
Lemme 2.1. Soit P un sous-ensemble de type Fσ dans Cn . Alors P̃ est déterminant dans C2n si Γn (P ) = 0.
Demonstration. Claire d’après les définitions de P̃ et Γn (P ).
On construira un ouvert G de Cn et un sous-ensemble E fermé de G tel que,
sans que E soit fermé dans Cn et (pour F ⊂ Cn , F est l’adhérence de F dans Cn )
˜ n’est pas déterminant dans C2n (on s’intéresse essentiellement au
vérifie aussi E
cas n 2). L’obstacle E ne s’intègre pas dans l’énoncé précédent de Cegrell. Mais
E sera un ensemble singulier impropre dans G grâce au théorème qui suivra.
ξl
|
Soit G = D(0, 1) × C où D(0, 1) est le disque unité de C. Soit A = { 1+1/l
l ∈ N∗ } où {ξl | l ∈ N∗ } = ∂D(0, 1)∩Q×Q. ∂D(0, 1) ⊂ A car si z ∈ ∂D(0, 1)Q×Q,
il existe une sous suite (ζj )j1 ⊂ ∂D(0, 1) ∩ Q × Q avec limj→+∞ ζj = z. ζj = ξk(j)
où (k(j))j1 ⊂ N∗ est non majorée, car (k(j))j1 majorée par m0 ∈ N∗ implique
(ζj )j1 ⊂ {ξ1 , . . . , ξm0 }, donc z ∈ ∂D(0, 1) ∩ Q × Q. Ainsi, il existe une sous suite
ξl(j)
(ξl(j) )j1 ⊂ (ξl )l1 telle que z = limj→+∞ ξl (j) = limj→+∞ 1+1/l(j)
.
Lemme 2.2. A est fermé dans D(0, 1).
Demonstration. Soit (zj )j1 telle que limj→+∞ zj = z ∈ D(0, 1). Si (zj )j1
était stationnaire, z serait dans A. Le résultat est alors trivial. Supposons (zj )j1
ξs(j)
non stationnaire; alors zj = 1+1/s(j)
où (s(j))j1 est une suite d’entiers naturels non
nuls. On notera que (s(j))j1 n’est pas majorée (considérez |zj |) et on supposera
1
(s(j))j1 strictement croissante vers +∞. On aura (1+ s(j)
)zj = ξs(j) et il résultera
que limj→+∞ ξs(j) = z. Donc z ∈ D(0, 1). Ce qui est impossible.
Soit B, D des fermés de C (B compact dans D(0, 1)) vérifiant H 2 (B) = H 2 (D)
5
5
= 0, H 3 (B) > 0 et H 3 (D) > 0. Considérons E = A×C∪B×D. E n’est pas polaire
2
dans C (Considérez H 3 (E)). E est fermé dans D(0, 1) × C (se rappeler que A est
˜ = CE
˜ n’est pas déterminant
dénombrable), E ⊃ ∂D(0, 1)×C∪B ×D. Mais C4 E
4
dans C . En fait, en notant l’existence d’une fonction u1 ∈ h(C ∂D(0, 1)) ∩ C(C)
telle que u1 ∈
/ h(C) et en considérant u(z1 , z2 ) = u1 (z1 ) pour (z1 , z2 ) ∈ C2 , il est
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clair que u ∈ prh(C2 ∂D(0, 1) × C) ∩ C(C2) mais u ∈
/ prh(C2 ). D’après Cegrell [2],
˜
ceci implique bien que C(E) n’est pas déterminant dans C4 .
3. Résultat principal
Théorème 3.1. Soit u ∈ psh(G E) avec Γn (E) = 0. Supposons que u soit
localement majorée le long de E. Alors u a une unique extension u∗ ∈ psh(G).
Ce théorème établit l’intérêt des obstacles E, non nécessairement fermés dans
Cn , mais qui sont des obstacles impropres par rapport à un ouvert G de Cn pour
les fonctions plurisousharmoniques localement majorées le long de E (c’est à dire
toute u ∈ psh(G E) localement majorée le long de E a une unique extension
u∗ ∈ psh(G)) telle que: (i) E ⊂ G (ii) E fermé dans G (iii) Γn (E) = 0.
Demonstration. Le cas n = 1 est couvert par le résultat de Brelot [1]. Soit
n 2.
Lemme 3.1. Soit F un sous-ensemble de Cn de type Fσ . Alors C n (F ) = 0 si
et seulement si
max H 2n−2 ({Zj ∈ Cn−1 | Cap∗ (F (Zj )) > 0}) = 0,
1jn
où F (Zj ) = {zj ∈ C | (zj , Zj ) ∈ F }.
Demonstration. Voir Hyvönen et Rühentaus [4].
Lemme 3.2. Soit F un sous-ensemble borélien dans Cn avec C n (F ) = 0.
Alors pour tout (α1 , . . . , αn ) ∈ (R∗+ )n , C n (T −1 (F )) = 0 si : T (z1 , . . . , zn ) =
(α1 z1 , . . . , αn zn ), (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn .
Demonstration. Par récurrence sur n. On note A = T −1 (F ) pour simplifier
et si zj ∈ C (resp. Zj ∈ Cn−1 ), F (zj ) = {Zj ∈ Cn−1 | (zj , Zj ) ∈ F } (resp.
F (Zj ) = {zj ∈ C | (zj , Zj ) ∈ F }). Si n = 2, on a
max H 2 ({zj ∈ C | Cap∗ (F (zj )) > 0}) = 0.
1j2
On déduit que pour chaque j = 1, 2 il existe Bj ⊂ C, H 2 (Bj ) = 0 et ∀zj ∈ C Bj ,
F (zj ) est polaire dans C. Fixons j = 1. On veut construire B1 ⊂ C vérifiant
H 2 (B1 ) = 0 et pour tout z1 ∈ C B1 , H 2 (A(z1 )) = 0 avec
A(z1 ) = {z2 ∈ C | (z1 , z2 ) ∈ A} = {z2 ∈ C | (α1 z1 , α2 z2 ) ∈ F }
1
= z2 ∈ C | z2 ∈
F (α1 z1 ) .
α2
Notons que ∀z1 ∈ C B1 , F (z1 ) est polaire dans C. Donc si α1 z1 ∈ C B1 ,
F (α1 z1 ) est polaire (et il résultera que α12 F (α1 z1 ) est polaire). Mais α1 z1 ∈ C B1
équivaut à z1 ∈ C ( α11 B1 ) avec H 2 ( α11 B1 ) = 0. D’où, ∀z1 ∈ C ( α11 B1 ), A(z1 )
est polaire dans C. On prendra B1 = α11 B1 . Le reste de la preuve découle du cas
n = 2.
Le lemme suivant est dû à Lelong [7].
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Lemme 3.3. Soit u : G → [−∞, +∞[ une fonction. u est plurisousharmonique
dans G si et seulement si u ◦ T est sousharmonique dans T −1 (G), pour toute T
transformation C-linéaire et inversible sur Cn .
Maintenant la démonstration du théorème est possible. Soit j ∈ {1, . . . , n}.
Comme
max H 2n−2 ({Zj ∈ Cn−1 | Cap∗ (E(Zj )) > 0}) = 0,
1jn
soit donc Bj ⊂ Cn−1 /H 2n−2 (Bj ) = 0 et ∀Zj ∈ Cn−1 Bj , E(Zj ) est fermé polaire
dans l’ouvert G(Zj ) = {zj ∈ C | (zj , Zj ) ∈ G}. Fixons Zj ∈ Cn−1 Bj avec
G(Zj ) = ∅. uZj = u(., Zj ) est localement majorée le long de E(Zj ). Comme E(Zj )
est polaire, alors uZj a une unique extension dans sh(G(Zj )) (notée encore uZj ).
Soit uk = max(u, −k) pour k 1. On a uk ∈ psh(G E) ∩ L∞
loc (G), uk −k,
de plus ∀j ∈ {1, . . . , n}, ∀Zj ∈ Cn−1 Bj (avec G(Zj ) = ∅), uk (., Zj ) ∈ sh(G(Zj )).
Montrons que la distribution Δ(uk ) est positive pour chaque k 1.
n
Soit ϕ une forme C ∞ , à support compact dans G, du type Φ0 βn! où
n
βn
i
= dm2n .
β=
dzj ∧ dz¯j et Φ0 ∈ Cc∞ (G), Φ0 0
2 j=1
n!
Δuk , Φ0
=
n j=1
βn =
n!
G
uk Δ(Φ0 )dm2n
Zj ∈Cn−1 Bj
uk (zj , Zj )Δj (Φ0 )(zj , Zj ) dm2 (zj ) dm2n−2 (Zj ) 0
zj ∈G(Zj )
(Δj (Φ0 ) étant le laplacien de Φ0 par rapport à la mème variable complexe). Ceci
implique que uk possède un prolongement sousharmonique dans G, ∀k 1. On
déduit facilement un prolongement de u noté u∗ sousharmonique dans G. Un
argument développé à partir du Lemme 3.3 de Lelong impliquera u∗ ∈ psh(G): On
prouvera que pour toute transformation Tε : Cn → Cn , de la forme
Tε (z1 , z2 , . . . , zn ) = z1 b + ε
n
zj vj
j=2
avec ε > 0, (b, v2 , . . . , vn ) une base orthonormée de Cn (Tε = α ◦ T où α est unitaire
sur Cn et T (z1 , z2 , . . . , zn ) = (z1 , εz2 , . . . , εzn )), (cf. [10, p. 61]). Ce qui termine la
démonstration.
Remarques 1. (a) Soit G = D × C; D = D(0, 1). E = {1 − n1 | n 1} × ∂D.
E est fermé pluripolaire (non pluripolaire complet) dans D × C. C’est clair que
E n’est pas compact dans D × C. Toute fonction u ∈ psh(G E) se prolonge de
façon unique dans psh(G). En effet, u ∈ psh(D(0, 12 ) × C {0} × ∂D). D(0, 12 ) × C
est pseudo-convexe, {0} × ∂D étant compact pluripolaire. D’après Cegrell [2], u se
prolonge de façon unique dans psh(D(0, 12 ) × C) et ainsi de suite.
(b) Soit D = D(0, 1). G = D × C {0}. G n’est pas pseudo-convexe dans
C2 . Soit F = {1 − n1 | n 2} × D(0, 1). F est fermé pluripolaire dans G, F n’est
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pas compact. Toute fonction u ∈ psh(G F ) se prolonge de manière unique dans
psh(G).
Les remarques (a) et (b) montrent que dans [2, Theorem 6.5] les conditions
l’ouvert est pseudo-convexe et l’obstacle est compact pluripolaire parfois ne sont
pas nécessaires.
References
1. M. Brelot, Etude des fonctions sousharmoniques au voisinage d’un point, Actual. Sci. Industr.
139 (1934), 5–55.
2. U. Cegrell, Removable singularities for plurisubharmonic functions and related problems,
Proc. Lond. Math. Soc. 36 (1978), 310–336.
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Laplace mass, Proc. Am. Math. Soc. 88 (1983), 283–286.
4. J. Hyvönen and J. Rühentaus, On the extension in the Hardy classes and in the Nevanlinna
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7. P. Lelong, Plurisubharmonic Functions and Positive Differentiel Forms, Gordon and Breach,
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10. V. S. Vladimirov, Les fonctions de plusieurs variables complexes (et leur application à la
théorie quantique des champs), Dunod, Paris, 1967.
Département de Mathématiques
Faculté des Sciences de Tunis
2092 Tunis
Tunisia
[email protected]
(Received 29 06 2009)