Les poutres

II - 3
Les poutres
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version 12 octobre 2010
Aperçu
Définition d’une poutre
• Aspects géométriques
Forces internes + conventions de signe
= sollicitations
Principaux cas de sollicitation
– [Frey, 1990, Vol. 1, Chap. 8-9]
– [Massonet, 1992, Chap. 5]
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La poutre : géométrie
C
d’après [Frey, 1990, Vol. 1]
Les poutres
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La poutre : géométrie
engendré par une figure plane A de sorte que
– le centre C parcoure une ligne donnée (axe ou
fibre moyenne)
– A reste constamment normal à cette ligne
– les dimensions de A restent petites devant la
longueur
la section A varie de manière lente et
progressive
si l’axe est droit, la poutre est dite prismatique
Les poutres
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Forces internes - sollicitations 3D
coupe de
section A
y
Tzz
fibre moyenne
N
xx
effort normal
z
Ty efforts tranchants
choix du système d’axes y autre choix (Frey, Eurocodes)
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Les poutres
Forces internes - sollicitations 3D
coupe de
section A
Mz
Mx
fibre moyenne
moment
de torsion
My
moments
de flexion
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Forces internes - sollicitations 2D
coupe de
section A
effort normal
N
fibre moyenne
Mz
moment fléchissant
Ty effort tranchant
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Conventions de signe N
traction N > 0
compression N < 0
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Conventions de signe M
M > 0 si les fibres tendues sont vers le bas
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Conventions de signe T
T > 0 lorsque la partie droite descend
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Commentaire
les conventions de signe de M, N, T sont
celles le plus couramment adoptées
le choix du système d’axes fait couler
beaucoup d’encre …
•
•
•
•
pas seulement dans les avis pédagogiques
il existe plusieurs conventions valables
choix du système usuel à l’ULB
différent de celui de F. Frey (et des Eurocodes)
cette convention n’est pas cruciale
• l’important réside dans la compréhension du
comportement structural
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Les sollicitations 2D
Effort normal
N = ∫ σ x dA
A
Effort tranchant
Ty = ∫ τ xy dA
A
Moment fléchissant
M z = ∫ σ x ydA
A
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Les sollicitations 3D
Effort normal
N = ∫ σ x dA
A
Efforts tranchants
Tz = ∫ τ xz dA
Ty = ∫ τ xy dA
A
A
Moments fléchissants
M z = ∫ σ x ydA
M y = ∫ σ x zdA
A
A
Moment de torsion
Mx =
∫ (τ
A
xz y − τ xy z
)dA
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Les poutres
Relation M-T
q
équilibre de translation vertical
− T + q(x )dx + T + dT = 0
dT
= −q ( x )
dx
équilibre de rotation (point C)
M + Tdx − q(x )dx
dx
− M − dM = 0
2
dM
=T
dx
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Détermination des diagrammes M-N-T
règles élémentaires
– charge axiale nulle ⇔ N constant
– charge axiale uniforme ⇔ N varie linéairement
– charge transversale nulle ⇔ T cst, M linéaire
– charge transversale uniforme
⇔ T linéaire, M quadratique
– T = 0 ⇔ M est extrémal
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Détermination des diagrammes M-N-T
construction rapide avec un minimum de
calculs
calculer les réactions de liaisons
esquisser les diagrammes
– en tenant compte des règles
déterminer les valeurs
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Exemple 1 : poutre bi-appuyée
Ax = 0
1) déterminer les réactions
(par équations d’équilibre)
Ay = Q b
By = Q a
L
L
2) déterminer le diagramme T
(suivre les forces par la droite,
valeurs par équilibre à gauche ou
à droite)
+
3) déterminer le diagramme M
T
+
(suivre les règles + déformée
+ équilibre)
d’après [Frey, 1990, Vol. 1]
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Les poutres
Exemple 2 : Cantilever
L2
MA =q
2
1) déterminer les réactions
A y = qL
2) déterminer le diagramme T
T
+
3) déterminer le diagramme M
d’après [Frey, 1990, Vol. 1]
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Exemple 3 : potence
T
+
T=0
+
d’après [Frey, 1990, Vol. 1]
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Déformée des poutres planes due à M
déformée ou ligne élastique
quelques règles simples
– point d’inflexion ⇒ M = 0
– les angles sont conservés aux nœuds rigides
– respecter les conditions cinématiques
– la portée d’une poutre ne varie pas
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Exemple 4 : tenir compte de la déformée
+
+
d’après [Frey, 1990, Vol. 1]
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Exemple 5 : le portique
extrait de [Frey, 1990, Vol. 1]
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Cas de sollicitations :
Traction (compression) pure : N
F
F
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Cas de sollicitations :
Flexion pure : Mz
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Cas de sollicitations :
Flexion simple (effet du cisaillement) : Mz + Ty
dM
=T
dx
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Cas de sollicitations :
Flexion composée : N + Mz
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Cas de sollicitations :
Flexion oblique (gauche) : Mz + My
[Frey, 2000, Vol. 2]
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Cas de sollicitations :
Torsion : Mx
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Cas de sollicitations : résumé
N
Ty
Tz
Mx
My
Mz
nom
≠0 0
0
0
0
0 traction simple
0
0
0
0
0 ≠0
flexion pure
0 ≠0 0
0
0 ≠ 0 flexion simple
0 ≠ 0 ≠ 0 0 ≠ 0 ≠ 0 flexion oblique
≠0 ≠0 0
0
0 ≠ 0 flexion composée
torsion
0
0
0 ≠0 0
0
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