Correction DS3_TESL 2013

CORRECTION DU DEVOIR N°3 DE MATHEMATIQUES
EXERCICE (4 points) QCM
1) ‫ ݒ‬est la suite définie pour tout entier naturel ݊ par ‫ݒ‬௡ =
□ ‫ ݒ‬est géométrique de raison 3 et de
ହ
ଷ
ଶ
1er terme
ହ
□ ‫ ݒ‬est géométrique de raison et de 1er terme 2
ଶ×ଷ೙
,
ହ೙
alors :
଺
□ ‫ ݒ‬est géométrique de raison ହ et de 1er terme 1
ଷ
ହ
█ ‫ ݒ‬est géométrique de raison et de 1er terme 2.
Méthode : il faut écrire ‫ݒ‬௡ sous la forme ܽ × ‫ ݍ‬௡ alors a est le 1er terme et ‫ ݍ‬la raison de la suite
ଷ ௡
géométrique. Or ‫ݒ‬௡ = 2 × ቀହቁ .
2) On place 15 000€ au taux simple annuel de 2,5%. Le capital ‫ܥ‬௡ disponible au bout de ݊ années est :
█ ‫ܥ‬௡ = 15 000 + 375݊
□ ‫ܥ‬௡ = 15 000 + 0,025௡
□ ‫ܥ‬௡ = 15 000 + 1,025௡
□ ‫ܥ‬௡ = 15 000 × 1,025௡ .
Méthode
Méthode : il faut retenir qu’un placement à taux simple consiste à rajouter un intérêt constant dont le
montant est de 2,5% du capital initial, soit ici 0,025 × 15000 = 375 ; ce qui définit une suite
arithmétique de raison 375 et de 1er terme 15000.
ଵ
ଵ
3) On note ܵ௡ = 1 + ହ + ହ² + … +
□ lim௡→ାஶ ܵ௡ = +∞
□ lim௡→ାஶ ܵ௡ = 1,5
ଵ
ହ೙
, alors :
█ lim௡→ାஶ ܵ௡ = 1,25
□ lim௡→ାஶ ܵ௡ = 2.
ଵ
ଵ
Méthode : on reconnaît ici la somme des puissances successives de ହ. Comme 0 < ହ < 1 alors d’après le
cours lim௡→ାஶ ܵ௡ =
ଵ
ଵି
=1,25.
భ
ఱ
4) ‫ ݑ‬est la suite définie par ‫ݑ‬଴ = 2 et pour tout entier naturel ݊ par ‫ݑ‬௡ାଵ = 3‫ݑ‬௡ − 2. Alors :
█ le 4ème terme est égal à 28
□ ‫ݑ‬ହ = 82
ème
□ ‫ ݑ‬est géométrique de raison 3.
□ le 2 terme est égal à 10
Méthode : la plus efficace est de programmer la suite sur la calculatrice et elle affiche les termes
suivants : ‫ݑ‬଴ = 2, ‫ݑ‬ଵ = 4, ‫ݑ‬ଶ = 10, ‫ݑ‬ଷ = 28, ‫ݑ‬ସ = 82 et ‫ݑ‬ହ = 244.
PROBLEME (16 points)
PARTIE A
Soit ‫ ݑ‬la suite définie par ‫ݑ‬଴ = 5 500 et pour tout entier naturel, ‫ݑ‬௡ାଵ = 0,68‫ݑ‬௡ + 3 560.
1)
a. Construction des termes de la suite. (0,5 point par terme +0,5 la méthode)
Explications : il faut remarquer qu’un terme de la suite est l’image par la fonction affine ‫ ⟼ ݔ‬0,68‫ ݔ‬+
3560 du terme précédent, ce qui explique que le nuage de points se trouve sur la droite d’équation
‫ = ݕ‬0,68‫ ݔ‬+ 3560. Effectivement, ‫ݑ‬௡ାଵ = ݂(‫ݑ‬௡ ) avec ݂(‫ = )ݔ‬0,68‫ ݔ‬+ 3560.
Or la lecture graphique d’une image par une fonction d’un réel ‫ ݔ‬se fait sur l’axe des ordonnées à
condition que ‫ ݔ‬soit lui, sur l’axe des abscisses. C’est pourquoi on a besoin que les termes de la suites
soient aussi lus sur l’axe des abscisses d’où l’utilisation de la droite d’équation ‫ݔ = ݕ‬, puisque sur cette
droite les abscisses et ordonnées des points sont égales.
On obtient (les pointillés bleus suffisent) :
b. Au vu du graphique, ࢛ est une suite strictem
strictement croissante qui semble converger vers
l’intersection des deux droites donc ‫→࢔ܕܑܔ‬ାஶ ࢛࢔ ≈ ૚૚૙૙. (1+1 points)
c. On considère l’algorithme suivant :
‫ = ܣ‬5500 ;
⟵
ܰ =0;
⟵ initialisation
TANT_QUE ‫ < ܣ‬11 000 FAIRE
⟵ condition
ܰ prend la valeur ܰ + 1;
⟵ passer au terme suivant tant que la condition est vérifiée
‫ ܣ‬prend la valeur 0,68 × ‫ ܣ‬+ 3 560; ⟵ calculer le terme suivant de la suite
FIN TANT_QUE
SORTIE : afficher ܰ. ⟵ afficher le rang
Cet algorithme permet de déterminer le rang ࢔ pour lequel ࢛࢔ > ૚૚ ૙૙૙.. C’est un seuil. (1,5 point)
2) Soit ‫ ݒ‬la suite définie pour tout entier naturel, ࢜࢔ = ࢛࢔ − ૚૚ ૚૛૞.
a. Démontrer que ‫ ݒ‬est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Méthode : il faut trouver la relation de récurrence caractéristique des suites géométriques à savoir,
‫ݒ‬௡ାଵ = ‫ݍ‬. ‫ݒ‬௡ .
‫ݒ‬௡ାଵ = ‫ݑ‬௡ାଵ − 11 125 or par définition ‫ݑ‬௡ାଵ = 0,68‫ݑ‬௡ + 3 560 donc on remplace
‫ݒ‬௡ାଵ = 0,68‫ݑ‬௡ + 3 560 − 11125
‫ݒ‬௡ାଵ = 0,68‫ݑ‬௡ − 7 565 il faut mettre en évidence un coefficient en factorisant par 0,68 donc
‫ݒ‬௡ାଵ = 0,68 ቀ‫ݑ‬௡ −
଻ ହ଺ହ
଻ ହ଺ହ
ቁ mais
଴,଺଼
଴,଺଼
= 11 125 donc
‫ݒ‬௡ାଵ = 0,68(‫ݑ‬௡ − 11 125) or ‫ݑ‬௡ − 11 125 = ‫ݒ‬௡
‫ݒ‬௡ାଵ = 0,68‫ݒ‬௡ (1 point)
Donc pour tout entier ࢔,, ࢜࢔ା૚ = ૙, ૟ૡ࢜࢔ , ainsi ࢜ est géométrique de raison 0,68 et de 1er terme
࢜૙ = −૞૟૛૞ (en effet
effet ࢜૙ = ࢛૙ − ૚૚ ૚૛૞ = ૞૞૙૙ − ૚૚૚૛૞). (1 point)
b. Terme général ‫ݒ‬௡ en fonction de ݊ :
Méthode : c’est la formule du cours ࢜࢔ା૚ = ࢜૙ . ࢗ࢔ .
Donc pour tout entier ࢔,, ࢜࢔ = −૞૟૛૞ × ૙, ૟ૡ࢔ . (1 point)
Comme ‫ݒ‬௡ = ‫ݑ‬௡ − 11 125 alors ‫ݑ‬௡ = ‫ݒ‬௡ + 11 125.
Donc pour tout entier ࢔,, ࢛࢔ = ૚૚ ૚૛૞ − ૞૟૛૞ × ૙, ૟ૡ࢔ . (1 point)
c. Convergence :
lim௡→ାஶ 0,68௡ = 0 donc lim௡→ାஶ −5625 × 0,68௡ = 0 d’où lim௡→ାஶ ‫ݑ‬௡ = 11 125.
Donc ࢛ converge
converge et ‫→࢔ܕܑܔ‬ାஶ ࢛࢔ = ૚૚ ૚૛૞. (1 point)
PARTIE B
Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement.
Une étude statistique a permis de constater que d’une année sur l’autre, 32% des abonnés ne
renouvellent pas leur abonnement et 3 560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement.
En 2010, on comptait 5 500 abonnés à cette revue.
1) Estimation du nombre d’abonnés à cette revue en 2012 :
- Situation en 2011 :
Seuls 68% des lecteurs renouvellent leur abonnement, soit 0,68 × 5500 = 3740.
S’ajoutent 3560 nouveaux abonnés, soit un total de 7300 abonnés.
- Situation en 2012 :
Seuls 68% des lecteurs renouvellent leur abonnement, soit 0,68 × 7300 = 4964.
S’ajoutent 3560 nouveaux abonnés, soit un total de 8524 abonnés.
En 2012, on estim
estime
time à 8524 le nombre d’
d’abonnés. (1 point)
2) Pour tout entier naturel ݊, on note ‫ݑ‬௡ le nombre d’abonnés à la revue l’année 2010 + ݊.
a. Justifier que pour tout entier naturel ݊, ‫ݑ‬௡ାଵ = 0,68‫ݑ‬௡ + 3 560.
Remarque
Remarque : on attend un minimum d’explications.
D’une année sur l’autre, seuls 68% des abonnés restent, auxquels s’ajoutent 3560 nouvelles personnes.
Donc pour tout entier naturel ࢔,, ࢛࢔ା૚ = ૙, ૟ૡ࢛࢔ + ૜ ૞૟૙. (1 point)
Remarque
Remarque : on peut aussi dire qu’une baisse de 32% correspond à un coefficient multiplicateur de 10,32=0,68.
b. Est-il possible d’envisager au bout d’un nombre d’années suffisamment grand, une diffusion
supérieure à 12 000 abonnés ?
D’après la partie A, la suite ‫ ݑ‬converge vers 11 125, donc ‫ݑ‬௡ ne peut dépasser cette valeur.
Non , il n’
n’est pas possible d’envisager au bout d’un nombre d’années suffisamment grand, une diffusion
diffusion
supérieure à 12 000 abonnés.
abonnés. (1 point)
c. A l’aide de la calculatrice, déterminer l’année à partir de laquelle le nombre d’abonnés à la
revue sera supérieur à 11 000.
Méthode : il faut programmer la suite sur la calculatrice faire afficher les termes.
D’après la calculatrice, ‫ݑ‬ଽ = 10 950 et ‫ݑ‬ଵ଴ = 11 006.
Donc le nombre d’abonnés à la revue sera supérieur à 11 000 à partir de 202
2020. (1 point)