Exercice 1 : Consommation d``essence On admet que lorsque la

Première ES
Exercices application de la dérivation
Exercice 1 : Consommation d’’essence
On admet que lorsque la vitesse d’une voiture est comprise entre 20 et 130
km/h, la consommation d’’essence en fonction de v est donnée par l’expression :
150
C(v) = 0,06v +
.
v
1) Etudier le sens de variation de cette fonction sur [20 ;130].
2) a)
A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit
minimale ?
b)
Quelle est cette consommation minimale ?
Exercice 2 : Optimisation d’une production
Dans une entreprise la quantité journalière produite en tonnes est exprimée par
4x² - 36x
f(x) =
où x est la durée journalière de travail de la main d’œuvre
x - 12
exprimée en heures avec x inférieur à 9.
4(x – 6)(x – 18)
1) Vérifier que f’(x) =
(x – 12)²
2) Pour quelle valeur de x la quantité produite est-elle maximale ?
1
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CORRECTION
Exercice 1 : Consommation d’’essence
On admet que lorsque la vitesse d’une voiture est comprise entre 20 et 130
km/h, la consommation d’essence (en L/100 km) en fonction de v est donnée par
l’expression :
150
C(v) = 0,06v +
.
v
1) Etudier le sens de variation de cette fonction sur [20 ;130].
2) a)
A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit
minimale ?
1) Etudier le sens de variation d’une fonction revient à étudier le signe de sa
dérivée.
Déterminons la fonction dérivée de C.
C est définie et dérivable sur [20 ;130].
150 0,06v² - 150
=
v²
v²
C’(v) est du signe de 0,06v² - 150.

150 
 = 0,06(v² - 2500) = 0,06(v² - 50²)
0,06v² - 150 = 0,06v² 0,06

0,06v² - 150 = 0,06(v + 50)(v – 50)
Pour v  [20 ;130], 0,06v² - 150 est du signe de v – 50.
On en déduit le tableau de variations de C suivant :
Pour v  [20 ;130], C’(v) = 0,06 –
150
= 8,7
20
150
C(50) = 0,0650 +
=6
50
150
M = C(130) = 0,06130 +
 8,95
130
C(20) = 0,0620 +
x 20
f'
8,7
C(x)
2) a)
b)
-
50
+
130
M
6
La fonction C admet un minimum en 50.
La consommation est donc minimale si on roule à 50 km/h.
La consommation minimale est de 6 L/100 km.
2
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CORRECTION
Vérification : tracé de la courbe associée à la fonction C sur [20 ;130].
Exercice 2 : Optimisation d’une production
Dans une entreprise la quantité journalière produite en tonnes est exprimée par
4x² - 36x
f(x) =
où x est la durée journalière de travail de la main d’œuvre
x - 12
exprimée en heures avec x inférieur à 9.
4(x – 6)(x – 18)
1) Vérifier que f’(x) =
(x – 12)²
2) Pour quelle valeur de x la quantité produite est-elle maximale ?
1) f est définie est dérivable sur [0 ;10].
u(x)
Pour x  [0 ;10], f(x) = 4
avec u(x) = x² - 9x et v(x) = x – 12.
v(x)
u’(x) = 2x – 9 et v’(x) = 1
u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
(2x – 9)(x – 12) – (x² – 9x)1
Or f’(x) = 4
=4
(v(x))²
(x – 12)²
x² - 24x + 108
2x² - 24x – 9x + 108 – x² + 9x
Soit : f’(x) = 4
= 4
(x – 12)²
(x – 12)²
Or (x – 6)(x – 18) = x² - 18x – 6x + 108 = x² - 24x + 108.
4(x – 6)(x – 18)
On a donc bien : f’(x) =
(x – 12)²
2) Etudions les variations de la fonction f sur [0 ;10].
Ce qui revient à étudier le signe de la dérivée de f.
f’(x) est du signe de (x – 6)(x – 18).
Or pour x  [0 ;10] x – 18 < 0.
Donc f’(x) est du signe de 6 – x.
3
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CORRECTION
40² - 360
=
0 – 12
46² - 366
f(6) =
=
6 – 12
49² - 369
f(9) =
=
10 - 12
f(0) =
0
-72
= 12
-6
0
On en déduit le tableau de variation suivant de f :
x 0
f'
f(x)
0
+
6
12
-
9
0
2)
D’après le tableau de variation de f la quantité produite est
maximale pour x = 6 (6 tonnes produites par jour).
Vérification : tracé de la courbe représentant la fonction f sur [0 ;9]
4