probabilites conditionnelles

PROBABILITES CONDITIONNELLES
L3 AES
I
INTRODUCTION
On considère les données suivantes, concernant le personnel d'une entreprise de 1500 personnes, suite à une étude sur le travail à
temps partiel, selon le sexe des individus.
B Plein temps
A Temps Partiel
total
F Femmes
200
300
500
H Hommes
700
300
1000
total
900
600
1500
T ableau de Caroll (Lewis)
1. Quelle est la probabilité, en tirant au hasard un nom sur le listing de l'entreprise, de tomber sur une personne travaillant à temps
partiel (événement noté A) ?
card (A)
On a une probabilité uniforme, c'est à dire que les événements élémentaires sont équiprobables, on a donc : P (A) =
=
card ( )
600
= 0:40 soit 40%; cette probabilité est en terme statistique, la fréquence du caractère ”temps partiel” dans la population totale
1500
de cette entreprise.
2. Quelle est la fréquence du caractère ”temps partiel” dans la population féminine de cette entreprise ?
card (A \ F )
300
Cette fréquence est : f =
=
= 0:60 soit 60% ; c'est la proportion d'employés travaillant à temps partiel parmi
card (F )
500
les femmes; on a changé d'univers, on travaille non plus sur la population totale ; mais sur F: On notera que la fréquence f peut
card (A \ F )
P (A \ F )
card (A \ F )
card ( )
=
; cette fréquence relative, sera notée P (A=F ) ; lu ” P de A sachant
s'écrire : f =
=
card (F )
P (F )
card (F )
card ( )
F (réalisé) ” ou PF (A) :
II PROBABILITE CONDITIONNELLE
1. dé nition : Soit un univers ;et un événement B;de probabilité non nulle ; pour tout événement A de ;on dé nit :
P(A \ B)
P(B)
cette probabilité, se lit :"P de A conditionné par B" et était notée avant également : P (A=B) (on a changé d'univers, on travaille
sur B et non plus sur ):
PB (A) =
2. Remarque : on notera que si la connaissance de la réalisation de B double la probabilité de la réalisation de A; c'est à dire si :
PB (A) = 2P(A); alors on a également PA (B) = 2P(B):Démontrer le.
3. Propriétés : On démontre que PB est une probabilité sur ; elle en véri e donc toutes les propriétés ; en particulier :
a. 0 PB (A) 1
b. PB ( ) = 1
c. Si A1 et A2 sont incompatibles (A1 \ A2 = ;) : PB (A1 [ A2 ) = PB (A1 ) + PB (A2 )
d. P (A=B) = 1
P (A=B) c'est à dire PB (A) = 1
PB (A) .
III THEOREME DES PROBABILITES COMPOSEES
1. Théorème : Il vient directement de la dé nition d'une probabilité conditionnelle :
P(A \ B) = PB (A) P(B)
P(A \ B) = PA (B) P(A)
2. ATTENTION : Ne pas confondre P (A \ B) et PB (A) ; celà semble simple....mais c'est une source d'erreur très fréquente.
Reprenons l'exemple de l'introduction :
Quelle est la probabilité p1 ;en tirant au hasard un nom sur le listing de l'entreprise, de tomber sur une femme travaillant à temps
partiel ? Quelle est la probabilité p2 de tomber sur une femme, sachant qu'il s'agit d'une personne travaillant à temps partiel ?
http://www.univ-paris8.fr/kahane
page 1
UFR 14 Université Paris 8
PROBABILITES CONDITIONNELLES
2
p1 = P (A \ F ) =
300
1
300
= = 0:20 et p2 = P (F=A) =
= 0:5:
1500
5
600
3. Promenades aléatoires :”la règle multiplicative”
F
P (F \ A) = 0:4 0:5 = 0:20 =
3
15
&
F
P F \ A = 0:4 0:5 = 0:20 =
3
15
2
9
F
P (F \ B) = 0:60
2
2
=
9
15
&
F
P F \ B = 0:60
7
7
=
9
15
T otal : 1
0:50
A
%
0:40
%
0:50
I
&
%
0:60
B
7
9
Representation par un arbre
IV INDEPENDANCE
1. Dé nition :
A et B indépendants ()
PB (A) = P(A)
ou P(A \ B) = P(A) P(B)
ceci revient à dire que la réalisation de l'un n'in ue pas sur la réalisation de l'autre. Deux événements sont dépendants si
PB (A) 6= P (A) ::::
Remarque : Il faut bien distinguer incompatibilité et indépendance ; on note A;l'événement :” obtenir l'UE mineure et B : " avoir
20 en statistiques et mathématiques appliquées ” ; Que pensez -vous des événements A et B du point de vue de l'incompatibilité et
de l'indépendance ?
2. Exemple:
Fumeurs- A
Non-fumeurs -A
Femmes- B
200
100
Hommes -B
600
Les événements A et B sont-ils indépendants ? même question pour A et B:
300
3. Epreuves répétées :
a. Exemple
Si on joue deux fois de suite à pile ou face et que l'on note A1 l'événement : ”obtenir face au premier jet” et A2 : ”obtenir face au
deuxième jet”, il est clair que ces deux événements sont indépendants, car la pièce n'a aucune mémoire et le résultat du premier
jet n'a ancune in uence sur le résultat du second.
b. Règle : le cas des épreuves répétées identiques, est le seul cas où l'on pourra af rmer l'indépendance de deux résultats; on
retrouvera cette notion importante dans le schéma de Bernoulli.Dans les autres cas, on doit tester l'indépendance éventuelle par
le calcul.
http://www.univ-paris8.fr/kahane
2
UFR 14 Université Paris 8
PROBABILITES CONDITIONNELLES
L3 AES
V THEOREME DES PROBABILITES TOTALES
1. Exemple
Une agglomération est constituée de trois villes, V1 ; V2 et V3 ; 40% des gens habitent V1 ;25%V2 et 35% V3 : Une enquête a révélé
que ces trois villes comportent respectivement 10%, 20% et 30% de fumeurs.On prend au hasard une personne sur le listing des
habitants de l'agglomération ; quelle est la probabilité de l'événement F : ”la personne fume”.
0:10
%
V1
F
P (F \ V1 ) = 0:4 0:1 = 0:0 4
0:40
%
I
0:25
!
&
0:90
0:20
%
F
F
P F \ V1 = 0:4 0:9 = 0:36
P (F \ V2 ) = 0:25 0:20 = 0:0 5
F
F
P F \ V2 = 0:25 0:80 = 0:20
P (F \ V3 ) = 0:35 0:30 = 0:105
F
P F \ V3 = 0:35 0:7 = 0:245
Total : 1
V2
&
0:80
0:30
&
%
0:35
V3
&
0:70
2. LE THEOREME
B1
B2
B5
P (A) =
i=n
X
PBi (A) P (Bi )
i=1
B3
B4
Les Bi constituant une PARTITION de
A
3. La représentation par un arbre
On peut noter sur l'arbre que la probabilité de l'évenement F est la somme des probabilité des différents chemins aléatoires menant
à la réalisation de F:
VI LE THEOREME DE BAYES(1701-1761): ”probabilité des causes”
1. EXEMPLE
Une société a effectué 200 expéditions de radios à ses revendeurs et a acquis la réputation de faire de mauvais contrôle de qualité.
Dans les 128 premières expéditions, il y avait 44% de radios defectueuses; après des mesures de remaniement, le taux de radios
defectueuses dans les 72 envois restants a été réduit à 15%. En tant que responsable d'un magasin, vous devez prendre une décision
quant à une livraison de ces radios qui a été stockée dans un de vos entrepôts : garder la livraison ou la renvoyer, that is the question.
a. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une bonne livraison ?
b. Pour tester la livraison, vous prenez une radio au hasard ; cette radio est defectueuse ; quelle est maintenant la probabilité qu'il
s'agisse d'une mauvaise livraison ? d'une bonne ?
Solution :
c. Question a : A PRIORI (avant le test).
Notons B l'événement ” la livraison est bonne” et B l'événement contraire ; de même D : " la radio tirée est defectueuse ” et D
son contraire.
72
128
P (B) =
= 0:36 et P (B) =
= 0:64:
200
200
http://www.univ-paris8.fr/kahane
page 3
UFR 14 Université Paris 8
PROBABILITES CONDITIONNELLES
4
d. Question b : A POSTERIORI ( après le test)
P (B \ D)
; on connait PB (D) = 0:44; ce qui donne :P (B \ D) = P B(D) P (B) = 0:44 0:64 = 0: 281 6:
P (D)
Il reste à calculer P (D); nous utiliserons le théorème des probabilités totales: P (D) = PB (D) P (B) + PB (D) P (B) =
0:44 0:64
0:36 0:15 + 0:64 0:44 = 0: 335 6 On en déduit: PD (B) =
' 0: 839 1: On en conclut que si la radio choisie
0:3356
au hasard est defectueuse, il est très vraisemblable qu'elle provienne d'une mauvaise livraison.Il faut sans doute renvoyer la
livraison.
PD (B) =
0:84
0:15
B
%
D
D
%
B
&
B
0:3356
0:36
%
&
D
0:85
%
0:16
0:44
&
%
0:64
0:46
D
&
0:6644
B
%
B
&
B
D
&
D
0:56
ARBRE
0:54
ARBRE INVERSE
2. LE THEOREME
Les événements Bi formant une partition de l'univers (système complet d'événement) :
La probabilité que Bi soit la ”cause” de la réalisation de A est :
PB (A=) P (Bi )
PBi (A) P (Bi )
=P i
PA (Bi ) =
P (A)
PBj (A) P (Bj )
Cette probabilité mesure le ”poids ”probabiliste du chemin aléatoire allant vers A et venant de Bi comparé à la somme des probabilités de tous les chemins conduisant à A:
Application : reprenons l'exemple 1 du paragraphe 5 et calculons :
P V3 (F ) P (V3 )
0:30 0:35
PF (V3 ) = P
=
' 0: 538 5:
PVj (F ) P (Vj )
0:10 0:40 + 0:20 0:25 + 0:30 0:35
VII"TO BE OR NOT TO BE"
VII.1 Epreuve de Bernoulli
1. Dé nition : On appelle épreuve de Bernoulli, une expérience aléatoire admettant deux résultats possibles que l'on pourra noter S
(succès) et E = S (échec).
On note p la probabilité d'un succès et q = 1 p la probabilité d'un échec.
p = P (S) et q = P S ; p est appelé le paramètre de l'épreuve.
2. Variable de Bernoulli
On appelle variable aléatoire de Bernoulli, l'application notée X; de l'univers dans f0; 1g dé nie par :
X(!) = 1 si ! 2 S
: X( ) = f0; 1g est l'ensemble des valeurs possibles de X ; on l'appelle l'univers image.
X(!) = 0 si ! 2
=S
3. Loi BINOMIALE B (1; p)
a. Exemple : On tire deux cartes d'un jeu de 52 cartes et on appelle succès, l'événement : ” les deux cartes tirées sont de même
couleur ” (il y a quatre couleurs : pique, coeur, carreau et trei e ).Soit X la variable aléatoire de Bernoulli associée:
X = 1 si les deux cartes sont de même couleur
; déterminons P (X = 1) et P (X = 0) ; on aura déterminé la loi de probX = 0 si elles sont de couleurs différentes
4 13
4 13 12
13
2
abilité de X: Card( ) = 52
et
Card(X
=
1)
=
4
donc
p
=
P
(X
=
1)
=
=
' 0: 235 3 et
52
2
2
52 51
2
q = P (X = 0) = 1 p ' 1 0:2353 = 0: 764 7
b. Dé nition : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire, c'est déterminer l'ensemble des nombres pi = P (X = xi )
quand i prend toutes les valeurs de f1; 2; ::; ng :
Dans le cas d'une variable de Bernoulli, cette loi sera notée B (1; p) (voir suite), 1 désignant le nombre de parties et p la probabilité
de succès lors d'une partie.
http://www.univ-paris8.fr/kahane
4
UFR 14 Université Paris 8
PROBABILITES CONDITIONNELLES
L3 AES
VII.2 Schéma de Bernoulli
1. Jacobi Bernoulli (1654-1705) est un des huit mathématiciens que donna la famille Bernoulli, sur trois générations, de 1650 à 1800;
son célèbre ouvrage de probabilité “ Ars conjectandi” fut publié en 1713 , quelques années après sa mort.
On appelle schéma de Bernoulli, une suite de n épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes; on note X le nombre de succès,
à l'issue des n ”parties”; X est une variable aléatoire, c'est à dire une application de l'univers des cas possibles dans IR: L'ensemble
des valeurs possibles de X , appelé univers image, et noté X( ); est : X( ) = f0; 1; 2; :::; ng ; c'est le nombre de points que l'on
peut avoir à l'issue de n parties, si à chaque partie, on marque un point pour une partie gagnante et 0 en cas de perte; X est le
compteur des succès.On a pour k entier naturel variant de 0 à n :
P (X = k) =
n
k
pk q n
k
On dit que X suit la loi binomiale B (n; p) ( n parties).
n
On retrouve ici la patte du “Lion”, Isaac Newton :(p + q) =
k=n
X
n
k
k n k
p q
= 1 , qui donne
P (X = k) = 1 (probabilité de
k=0
k=0
l'univers).
k=n
X
2. Justi cation rapide de la formule :
1
On suppose que l'on joue 5 fois de suite à pile ou face, avec une pièce truquée, telle que la probabilité de faire face soit de : Si
3
l'on joue 5 fois de suite, on a évidemment un schéma de Bernoulli ; notons X le nombre de face obtenu à l'issue des 5 parties,
et calculons P (X = 3) ; fX = 3g = f(1; 1; 1; 0; 0) ; (1; 1; 0; 1; 0) (1; 1; 0; 0; 1) ; ::::; (0; 0; 1; 1; 1)g ; Il est clair que ces événements
3
2
2
1
; il reste à les compter
élémentaires sont équiprobables et que du fait de l'indépendance, chacun a pour probabilité :
3
3
compter pour déterminer P (X = 3): pour les dénombrer il suf t de calculer le nombre de possibilités de positions pour les trois
3
2
1
2
succès parmi les cinq parties : il y en a 53 donc P (X = 3) = 53
:
3
3
Dans le cas général, c'est la même chose : pour B (n; p) ; X ( ) = f0; 1; 2; :::; ng : Si k 2 X ( ) ; chaque événement élémentaire
de l'événement fX = kg est un n uplet formé de k chiffres 1 et de (n k) chiffres 0; par exemple : (1; 1; 1; 1; :::; 1; 0; 0; :::; 0) ;
|
{z
} | {z }
k succes
chaque événement élémentaire a une probabilité de : pk q n
la place des k succès parmi les n parties. C.Q.F.D.
k
(indépendance) et il y en a
n
k
(n-k) echecs
: le nombre de possibilités de choisir
3. Fonction de répartition :
on appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X;la fonction F dé nie de R dans [0; 1] ; par :
F (x) = P (X x)
Cette fonction de répartition est à rapprocher des effectifs cumulés croissants en statistique.
a. Exemple :
Calculs et représentation : la loi B (5; 1=3) : loi de probabilité et fonction de répartition.
k
0
1
2
3
4
5
Total
P(X=k)
0,1317
0,3292
0,3292
0,1646
0,0412
0,0041
1,0000
http://www.univ-paris8.fr/kahane
F(k)
0,1317
0,4609
0,7901
0,9547
0,9959
1,0000
page 5
UFR 14 Université Paris 8
PROBABILITES CONDITIONNELLES
6
b. Calculatrice :
la calculatrice utilise le menu DISTR (2nd VARS), et la fonction binompdf( n; p; k) pour la loi de probabilité
La fonction binomcdf( n; p; k) désigne la fonction de répartition (c pour cumulée)
.
VIIIEXERCICES
1. On considère les résultats suivants provenant des départements de Lettres et de Sciences d'une université :
Etudiants
Garçons
Filles
LETTRES
Inscrits
100
400
Reçus
50
200
SCIENCES
Inscrits
500
100
Reçus
400
80
a. On considère le département de Lettres: Les évènements ”être reçu” et “ être une lle” sont-ils indépendants?
b. Même question dans le département de Sciences.
c. Même question dans l'université, pour l'ensemble des deux départements.Commenter.
2. Un detecteur de mensonges est able dans 90% des cas, tant pour détecter les menteurs que ceux qui disent la vérité. Pour réduire
les vols, une grande surface
licencie tous les employés détectés par l'appareil. Avant la mise en place du détecteur, la proportion de voleurs était p = 0:1 .
a. Calculer la probabilité qu'un individu licencié soit un voleur.
b. On note r la probabilité qu'un individu licencié soit un voleur. Exprimer r en fonction de p et compléter le tableau suivant:
p
0; 1
0; 05
0; 01
0; 001
3. Une urne contient 7 boules rouges et 5 boules bleues.
a. On tire simultanément trois boules de cette urne. Quelle est la probabilité d'obtenir trois boules de même couleur ?
b. On tire cette fois les trois boules successivement et sans remise. reprendre la question précédente.
4. On jette n pièces, et on dé nit les événements : A : "obtenir exactement deux fois le même résultat " et B :" obtenir au moins deux
fois pile ".
a. Calculer les probabilités des événements A et B .
b. Etudier leur indépendance dans les deux cas suivants :
i. n = 2
ii. n = 3
5. Le roi est issu d'une famille de deux enfants, quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une lle ?
6. Le dirigeant d'une société constate que 70% des cadres embauchés sont encore dans l'entreprise 5 ans après. Il recrute 6 jeunes
cadres. Calculer la probabilité que cinq ans après :
a. Les 6 nouveaux cadres soient encore dans l'entreprise.
b. Quatre d'entre eux aient quitté l'entreprise.
7. Deux événements A et B de probabilités respectives non nulles sont disjoints. Etudier l'indépendance de ces événements.
P (A) P (B) P (A [ B)
cas1 0:1
0:9
0:91
8.
; Etudier dans chaque cas l'indépendance des événements A et B .
cas2 0:4
0:6
0:76
cas3 0:5
0:3
0:73
http://www.univ-paris8.fr/kahane
6
UFR 14 Université Paris 8
L3 AES
PROBABILITES CONDITIONNELLES
9. Pour dépister une maladie, on applique un test. Si le patient est effectivement atteint, le test donne un résultat positif dans 99% des
cas. Mais il se peut aussi que le résultat du test soit positif alors que le consultant est en bonne santé, et ceci se produit dans 2% des
cas.On sait qu'en moyenne, un consultant sur 1000 est atteint de la maladie.
a. Calculer la probabilité pour qu'un consultant soit atteint de la maladie et que son test soit positif.
b. Calculer la probabilité pour qu'un consultant soit atteint de la maladie sachant que son test est positif.
10. Pour garantir l'anonymat dans certaines enquêtes par sondage, on introduit le hasard dans les réponses possibles. Pour déterminer
la proportion de médecins ayant pratiqué l'avortement illégallement (avant la loi), on a demandé à chaque médecin interrogé de se
retirer dans son cabinet et de jouer à pile ou face de la façon suivante
.? S'il obtient pile, il doit répondre par oui ou par non à la question : ”avez vous un jour pratiqué l'avortement illégal ?”
?S'il obtient face, il doit rejouer à pile ou face et répondre par oui ou par non à la question : ”avez vous obtenu face la 2ème fois ?”
Quand le médecin sort de son cabinet, le seul mot qu'il échange avec l'enquêteur est oui ou non; il est donc protégé car l'enquêteur
ne sait pas à quelle question il répond, et celà réduit au maximum les non-réponses et les
fausses réponses. L'enquêteur ne tire aucun renseignement sur la réponse de chaque individu, mais va en tirer une réponse globale
sur la pratique de l'avortement illégal.
a. On suppose que 20% des médecins ont pratiqué l'avortement illégal. Déterminer la probabilité qu'un médecin sondé réponde
oui à l'enquêteur.
b. On suppose que l'enquêteur a récolté 41% de oui, en déduire la probabilité pour qu'un médecin ait pratiqué l'avortement illégal.
11. .Le professeur Nébuleux voyage par avion de Los Angeles à Paris , avec deux escales : New York et Londres. La probabilité de
perdre un bagage est la même, p , à Los Angeles, New York et Londres. Arrivé à Paris, le professeur Nébuleux constate l'absence
de sa valise. Calculer les probabilités que celle -ci soit restée à Los Angeles, New York et Londres respectivement.
12. Dans une région pétrolifère, la probabilité pour qu'un forage conduise à une nappe de pétrole est de
a. Quelle est la probabilité pour que sur 10 forages, 3 conduisent à une nappe de pétrole ?
1
:
10
b. On effectue n forages; déterminer le nombre minimal (n) de forages nécessaires, pour atteindre au moins une fois une nappe de
pétrole, avec une probabilité supérieure ou égale à 50% ?
http://www.univ-paris8.fr/kahane
page 7
UFR 14 Université Paris 8