La suite logistique : un système dynamique

Lambert Victor
TIPE – Rapport ENS
La suite logistique : un système dynamique chaotique.
Objectifs :
Etudier la théorie du chaos à travers l’exemple de la suite logistique.
Utiliser le logiciel Maple pour mettre en évidence certaines propriétés de cette suite.
Modéliser ce système dynamique par un circuit électronique.
I) ETUDE DE LA SUITE LOGISTIQUE EN FONCTION DES VALEURS
PRISES PAR A. ............................................................................................................ 2
A- LE DIAGRAMME DE BIFURCATION. .......................................................................... 2
B- ANALYSES ET EXPLICATIONS DU DIAGRAMME. ....................................................... 2
II) LA ROUTE VERS LE CHAOS. ............................................................................ 3
A- A ∈ [3,4[ : AUGMENTATION DES POINTS PERIODIQUES............................................ 3
B- A=4 : LE CHAOS. ...................................................................................................... 4
III) ILLUSTRATIONS DE LA SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALES.
......................................................................................................................................... 5
A- L’EFFET PAPILLON. .................................................................................................. 5
B- APPROXIMATIONS : SOURCES D’ERREURS. .............................................................. 5
IV) MODELISATION DE LA SUITE LOGISTIQUE PAR UN CIRCUIT
ELECTRONIQUE. ....................................................................................................... 6
V) COMPLEMENTS SUR L’ETUDE DU DIAGRAMME DE FEIGENBAUM. . 8
A- LE THEOREME DE SARKOVSKII. ............................................................................... 8
B- ORBITES ATTRACTIVES............................................................................................ 8
1
Introduction
On appelle fonction logistique la fonction définie sur [0,1] par f(x)=ax(1-x), où a est
un paramètre réel. Ici, on impose à a d'être compris entre 0 et 4 afin que [0,1] soit stable par f.
La suite logistique est une suite récurrente définie par u0 appartenant à [0,1], et un+1=f(un), où f
est la fonction logistique. Bien que la suite logistique semble simple au premier abord, elle
peut, suivant les valeurs de a, avoir un comportement très étrange, et même mener au chaos!
I) Etude de la suite logistique en fonction des valeurs prises par a.
a- Le diagramme de bifurcation.
Dans le diagramme de bifurcation, dit de
Feigenbaum, on représente en abscisses la valeur de a et en
ordonnées les valeurs prises par la suite logistique entre
deux rangs M et N suffisamment élevés, pour un u0 fixé.
Cela permet d’observer le comportement de la suite en
l’infini, selon la valeur donnée à a.
Par exemple :
Pour u0=0, 4
N=100
M=150, on obtient le diagramme ci-contre :
b- Analyses et explications du diagramme.
Le comportement de la suite logistique pour des valeurs de a dans l’intervalle [0,3[ est
assez simple, étant donné la présence d’un unique point fixe attractif. Si a ∈ [0,1[ : le seul
point fixe de f sur [0,1] est 0, et il est attractif. En effet, on a f’(0) = a<1 pour a ∈ [0,1[. Si
a=1 : 0, seul point fixe de f est neutre dans ce cas, mais on démontre aisément que u converge
vers 0. Si a ∈ ]1,3[, on a deux points fixes : 0 qui est répulsif car f’(0)=a>1 et λ(a)=1-1/a qui
est attractif puisque f’(λ(a))=2-a ∈ ]-1,1[. Ensuite, la complexité du comportement de la suite
provient du fait que les deux points fixes de f, 0 et 1-1/a sont désormais répulsifs lorsque a>3.
La représentation en toile d’araignée de la fonction logistique permet d’observer ces
différents comportements. A chaque itération, on reporte la valeur de un sur la droite puis on
cherche l’image de ce point par f pour obtenir un+1.Voici ci-dessous trois de ces
représentations pour différentes valeurs données à a, établie pour la condition initiale u0=0.3,
en considérant les 40 premiers termes de la suite. En rouge est représentée la première
bissectrice, en bleu la fonction f et en vert la « toile d’araignée ».
a=1.9
a=2.8
a=3.4
2
II) La route vers le chaos.
a- a ∈ [3,4[ : augmentation des points périodiques.
Définition : un point x est dit périodique pour f s’il existe k>0 tel que fk(x)=x et on définit la
période comme étant le plus petit des entiers k strictement positifs vérifiant fk(x)=x.
Le comportement en l’infini de la suite logistique lorsque a>3 s’explique par
l’augmentation des points périodiques de f. On peut le constater graphiquement, ou bien à
l’aide du diagramme de bifurcation, ou bien en étudiant les courbes des puissances de f, puis à
l’aide d’une « renormalisation », constater que plus a sera grand, plus il existera des points de
différentes périodes.
On va montrer en étudiant les courbes des puissances de f que la période des points
périodiques de f va doubler régulièrement lorsque a augmente.
On s’intéresse maintenant à f².Pour a>2, on représente f² et on considère plus
particulièrement la partie de la courbe contenue dans le carré de coté p-q. L’allure de f² dans ce
carré est semblable a celle -f sur [0,1].Lorsque a augmente, f² admet un point fixe dans cette
boite, c'est-à-dire un point de période 2 pour f.
a=2.7
a=3.2
a=3.5
Pour préciser cette idée on va procéder à une « renormalisation » :
Pour a>2, on pose p=1-1/a et q=1/a.
On a : q<p et f(p)=f(q)=p.
On définit r1 :[q,p]
[0,1] telle que r1(x)=(x-p)/(q-p) bijective avec r1-1(x)=(q-p)x+p
On définit alors : Rf par Rf(x)=r1of²or1-1(x).
Un point fixe de Rf est alors point fixe de f².
L’intérêt de cette méthode réside dans le fait que ce qui a été préalablement étudié dans
le cas de f ─ c’est-à-dire la présence d’un unique point fixe qui, de plus, est attractif lorsque
a ∈ [0,1], puis dès que celui-ci devient répulsif l’apparition d’un nouveau point fixe attractif, et
enfin la perte d’attractivité des deux seuls points fixes de f ─ se retrouve alors dans la
« renormalisée » de f. Ainsi, lorsque les deux seuls points fixes de Rf deviennent répulsifs, on
se situe à la deuxième bifurcation visible sur le diagramme de Feigenbaum, et on peut alors
étudier R(Rf) qui permet de mettre en évidence des points de période 2 pour Rf, donc de
période 4 pour f. En itérant ce processus, on constate alors un doublement des périodes.
3
Ci-dessous sont représentées les fonctions Rf pour les mêmes valeurs de a utilisées dans
les représentations de f² établies précédemment. Géométriquement, la renormalisation consiste
à retourner le carré de côté p-q représenté sur le graphique de f² et à le redimensionner, par un
changement d’échelle.
a=2.7
a=3.2
a=3.5
On aperçoit d’autant plus le
doublement des périodes lorsqu’on regarde
précisément le diagramme ; on voit par
exemple sur la partie du diagramme ci-contre
que
le
« mécanisme »
expliquée
précédemment dans le cas de la première
bifurcation, semble se répéter.
b- a=4 : Le chaos.
Une fonction f : K→ K est dite chaotique si et seulement si : elle est topologiquement
transitive, elle présente une dépendance sensible aux conditions initiales et ses points
périodiques sont denses dans K.
Les définitions de ces trois notions sont les suivantes :
~ Elle est dite topologiquement transitive si pour tous ouverts I,J C K, il existe k>0 tel que
fk(I)∩J≠Ø.
~ Elle présente une dépendance sensible aux conditions initiales s’il existe δ>0 tel que, pour
tout x ∈ J et pour tout voisinage N de x, il existe y ∈ N et n≥0 tels que |fn(x)-fn(y)|>δ.
~ Ses points périodiques sont denses dans K si pour tout (x,y) ∈ K², il existe z ∈ ]x,y[ tel que z
soit un point périodique de f.
Pour a=4, la fonction logistique est chaotique. Pour le démontrer, on peut procéder
comme il est fait en page annexe 4.
4
III) Illustrations de la sensibilité aux conditions initiales.
Des trois caractéristiques d’un système chaotique la sensibilité aux conditions initiales
est sans doute la plus visible. On l’appelle souvent « Effet Papillon », d’après une métaphore
utilisée par le météorologue Edward Lorenz lors d’une conférence.
En 1963, il a mis en évidence le caractère vraisemblablement chaotique de la
météorologie, qui explique pourquoi les prévisions ne peuvent être fondées qu’à court terme.
Il a eu l'idée de chercher un modèle simplifié pour étudier une situation physique
particulière et a abouti à un système dynamique différentiel, beaucoup plus simple à intégrer
numériquement que les équations de départ. Il observa alors, par pur hasard, qu'une
modification minime des données initiales entraînait des résultats très différents.
a- L’effet papillon.
Pour ce qui est de la suite logistique, afin
de mettre en évidence la sensibilité aux
conditions initiales, en utilisant Maple, j’ai
considéré deux suites logistiques ne différant
que par leurs conditions initiales u0=0.4 et
v0=0.4+10-50. Lorsqu’on trace (un,vn), on obtient
après 400 itérations le graphique ci-contre, qui
montre que les deux suites obtenues sont
totalement différentes :
b- Approximations : sources d’erreurs.
Un ordinateur a de grandes difficultés à étudier un système dynamique sensible aux
conditions initiales comme la suite logistique, étant donné que selon la manière dont il va
calculer, selon les arrondis qu’il va faire, il obtiendra des résultats quelquefois bien différents.
Afin d’illustrer ce phénomène, j’ai réalisé les deux simulations suivantes avec Maple,
dont les programmes sont donnés en page annexe 2:
Tout d’abord, considérons deux suites
logistiques un et vn définies par la même condition
initiale uo=vo=0.3, calculées avec une même précision
de 80 décimales. On les définit respectivement par
un+1=4un(1-un) et vn+1=4vn-4vn². Il s’agit de la même
définition mathématique pour les deux suites.
Seulement, on observe sur le graphique ci-contre
représentant (un,vn), pour les 400 premières valeurs de
la suite, que les méthodes de calcul de Maple
conduisent à des suites différentes.
Si l’on définit cette fois les deux suites d’une
manière strictement identique, mais qu’on effectue les
calculs avec des précisions différentes : 89 décimales
pour un et 90 pour vn, on obtient là aussi des suites
relativement différentes :
5
IV) Modélisation de la suite logistique par un circuit électronique.
(Cette partie pratique du TIPE a été effectuée en binôme avec B. Garcia)
Lors de nos recherches sur la suite logistique, nous avons fait la connaissance de
Madhekar Suneel, chercheur à l’Institut des Sciences en Inde, avec lequel nous avons
communiqué par mail afin qu’ils nous aident à réaliser un circuit électronique qui nous
permette d’obtenir en pratique les résultats obtenus lors de l’étude théorique de la suite
logistique, et nous souhaitions notamment obtenir sur oscilloscope le diagramme de
Feigenbaum.
Pour cela, nous avons réalisé le circuit dont le montage est décrit dans le schéma
suivant (la liste du matériel utilisé est donnée en page annexe 1) :
22k
A
+15V
11
+Vs
Z1
8
6
-
7
3
Y1
TLO81
7
Z2
A D63 3JN
AD6 33JN
Output
Y2
+
4
5
6
7
X2
Y2
Y1
X1
U1B
4
3
Z2
Output
510
-Vs
2k
2
TLO81
5
2,2k
1
Z1
8
X1
6
-
1
+Vs
1
4
2,2k
U1A
+
X2
2
-Vs
3
2
22k
+15V
11
8
2,2k
+15V
5
+15V
-15V
10k
22k
-15V
-15V
R
POT
5k
-15V
-15V
5
4
+15V
1
4
+15V
3
1
22k
5
3
6
7
8
6
7
8
LF398
LF398
+15V
0,1µf
0,1µf
1k
10k
2,2k
2,2k
2,2k
2N1711
CLOCK
Le schéma synoptique correspondant explique en quoi ce circuit nous permet de
reproduire la suite logistique et ainsi retrouver son comportement :
6
Voici une photo du montage que l’on a réalisé ainsi qu’un exemple de courbe que l’on
a pu obtenir sur oscilloscope :
Ne parvenant pas à obtenir un diagramme amplement satisfaisant sur oscilloscope en
mode xy, nous avons procédé à de nombreux relevés de mesure sur le logiciel synchronie,
puis après regroupement de 50000 valeurs, nous avons, avec Matlab, réalisé le graphique
synthétique suivant, sur lequel on reconnaît l’allure du diagramme de bifurcation que l’on
souhaitait obtenir, malgré de nombreuses valeurs parasites. On note par exemple que pour la
valeur du paramètre a égale à 1 (i.e 2,5 dans notre expérience), on a bien le changement de
pente attendu. Par contre, pour la première bifurcation, qui est la seule véritablement
exploitable sur ce graphique, compte tenu de la trop grande densité de points au niveau des
autres points de bifurcation, celle-ci devrait avoir lieu pour a égale à 3 (i.e 7,5 dans
l’expérience), mais on l’obtient expérimentalement à une valeur d’environ 6,9, ce qui ne peut
être jugé satisfaisant.
7
V) Compléments sur l’étude du diagramme de Feigenbaum.
a- Le théorème de Sarkovskii.
Considérons l’ordre de Sarkovskii qui est le suivant :
3►5►7►9►11►13►…►6►10►14►18►22►…
►12►20►28►36►44►…►3.2m►5.2m ►7.2m ►9.2m ►11.2m ►…
►32►16►8►4►2►1
On a en fait tout d’abord dans un ordre croissant les nombres impairs, excepté 1, puis,
ces mêmes nombres multipliés par 2, puis pas 2², puis 23, etc… et cet ordre se poursuit par les
puissances de 2 dans un ordre décroissant, et se termine par 1.
Le mathématicien russe a démontré que si une fonction f est continue définie sur un
intervalle I stable par f et admet un point périodique de période m, alors pour tout n tel que m
►n , f admet également un point périodique de période n.
Ainsi, dès que f admet un point périodique de période 3, elle en admet de toutes
périodes.
On constate de plus pour la fonction logistique que les périodes apparaissent dans le
sens décroissant de l’ordre de Sarkovskii, au fur et à mesure que a augmente. En effet, d’après
l’étude réalisée dans le II-a) sur le doublement des périodes, on a vu que c’est vrai pour toutes
les puissances de 2 ; de plus, si l’on considère m ►n , s’il existe un point périodique de
période m, alors il en existe un de période n et l’apparition de la période m n’a donc pu se
faire avant celle de la période n.
b- Orbites attractives.
Définition : Pour x périodique de période n, l’orbite O(x) est l’ensemble des itérés de x. On a
O(x) = {x, f(x),..., f n-1 (x)}. Celle-ci est dite attractive si x est attractif pour f .
D’après un théorème, dont les grandes idées de la preuve sont données en page annexe
5, il existe au plus une orbite attractive pour la fonction logistique avec a fixé. On peut trouver
la preuve de ce théorème dans l’épreuve de Mathématiques 1 du concours d’admission à
l’Ecole Nationale de la Statistique et de l’Administration Economique (ENSAE) 1991. Celleci utilise notamment la dérivée Schwarzienne définie par :
Sf ( x ) =
f
( 3)
( x)
3  f ′′ ( x ) 
− 

2  f ′( x ) 
f ′( x )
2
Cela explique pourquoi on peut voir certaines zones
claires dans le diagramme de Feigenbaum ; par exemple,
comme on peut le constater sur la partie du diagramme cicontre, il y a une orbite attractive de longueur 3, qui est alors la
seule :
Conclusion :
La fonction logistique étant par exemple utilisé dans le domaine de la modélisation de
l’évolution des populations, cette sensibilité aux conditions initiales pose problème. Et c’est
encore plus frappant dans le domaine météorologique où l’on utilise d’autres fonctions
chaotiques, ce qui explique que les prévisions ne peuvent être justifiées qu’à court terme.
Il est tout de même remarquable qu’une simple parabole puisse susciter autant de
questions.
8
Page annexe 1
Bibliographie :
~ Robert L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, second edition ;
Addison-Wesley Publishing Company (1989).
~ K.T. Alligood, T.D. Sauer, J.A. Yorke, Chaos, an introduction to dynamical systems ;
Springer (1997).
~ M. Demazure, Catastrophes et bifurcations ; Ellipses (1989).
~ Université Montpellier II, Analyse numérique avec géoplan : une présentation de « la »
suite logistique ; http://ens.math.univ-montp2.fr/SPIP/IMG/html/Suite_logistique.html
(novembre 2006)
~ Wikipedia, Fonction logistique ; http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_logistique (octobre
2006)
~ Épreuve de Mathématiques 1 du concours d’admission à l’Ecole Nationale de la Statistique
et de l’Administration Economique (ENSAE) 1991.
Contact :
Suneel Madhekar : chercheur à l'Institut des Sciences, à Bangalore, en Inde.
Liste du matériel utilisé pour la réalisation du circuit électronique :
Amplificateur opérationnel : TL081CP 58CJJHNM
Multiplieur : AD 633JN 0507 613830.1
Alimentation (+15V,-15V) : AL 890N
Générateur basse fréquence : GX245 Métrix
Oscilloscope : Agilent 54621A
Transistor : 2N1711 99033
Interrupteur commandé : LF398 100nK 63 (C’est le seul composant que notre établissement
ne possédait pas, et que nous avons alors dû commander)
9
Page annexe 2
Programmes Maple :
→
Le programme suivant permet d’obtenir un=f(vn) avec des précisions de calcul
différentes pour les deux suites ou avec des conditions initiales différentes:
sci:=proc(n,uo,vo)
> local f,u,v,i,M:
> f:=x->4*x*(1-x):
> u:=uo:
> v:=vo:
> M:=[u,v]:
> for i from 1 to n do
>
Digits:=89:
>
u:=evalf(f(u)):
>
Digits:=90:
>
v:=evalf(f(v)):
>
M:=(M,[u,v]):
>
od:
> plot([M],style=point);
> end:
→
Le programme suivant permet d’obtenir un=f(vn) avec les deux suites définies
respectivement par un+1=4un(1-un) et vn+1=4vn-4vn² :
scibis:=proc(n,uo)
> local g,f,u,v,i,M:
> f:=x->4*x*(1-x):
> g:=x->(-4*x*x+4*x):
> u:=uo:
> v:=uo:
> M:=[u,v]:
> for i from 1 to n do
>
u:=evalf(f(u)):
>
v:=evalf(g(v)):
>
M:=(M,[u,v]):
>
od:
> plot([M],style=point);
> end:
10
Page annexe 3
Programmes Maple (suite):
→
Le programme suivant permet d’obtenir la représentation en toile d’araignée de la
fonction logistique pour un paramètre a donné :
araigne:=proc(n,u0,a)
> local M,b,i,f:
> f:=x->a*x*(1-x):M:=[u0,0]:
> b:=u0:
> for i from 1 to n do
> M:=(M,[b,b],[b,f(b)]):
> b:=f(b):
> od:
> plot([x,f(x),[M]],x=0..1,color=[red,blue,green]);
> end:
→
La procédure suivante permet d’obtenir le diagramme de bifurcation :
bifurc:=proc(Amin,Amax,p,Nmin,Nmax);
> M:=NULL;
> g:=x->(x*(1-x));
> for a from Amin to Amax by p do
>
L:=NULL;
>
t:=0.4;
>
for k from 1 to Nmin do t:=a*evalf(g(t)) od;
>
for k from Nmin to Nmax do
>
L:=L,[a,t];
>
t:=evalf(a*g(t));
>
od;
>
M:=M,plot([L],x=Amin..Amax,style=point,symbol=point);
>
od;
> display([M]);
> end:
11
Page annexe 4
Démonstration du caractère chaotique de la fonction logistique lorsque a=4 :
En bleu sont données les définitions qui sont suivies par les démonstrations correspondantes
pour f :
On considère donc f(x)=4x(1-x).
Définissons g et h sur le cercle unité, noté U, par :
g(θ)=2θ
h(θ)=1/2(1-cosθ) (h envoie U sur [0,1])
On a :
hog(θ)=1/2(1-cos2θ)=4(1/2-cosθ/2)(1/2+cosθ/2)=foh(θ)
g et h sont alors dites semi-conjuguées (non conjuguées car h n’est pas bijective).
Par récurrence, on montre aisément: hogn=fnoh
Le caractère chaotique de g, que l’on montre plus facilement que celui de f, est utilisé tout au
long de cette preuve.
Topologiquement transitive :
f : K → K est dite topologiquement transitive si pour tous ouverts I,J C K, il existe k>0 tel que
fk(I)∩J≠Ø.
Soit I,J deux ouverts de [0,1], h étant continue, h-1(I)=Io et h-1(J)=Jo sont deux ouverts
de U le cercle unité. Or,g étant topologiquement transitive, il existe k>0 tel que gk(Io)∩Jo≠Ø.
Ainsi il existe x ∈ Io tel que gk(x)=y ∈ Jo, hogk(x)=h(y) ∈ J, donc fkoh(x) ∈ J ; or h(x) ∈ I
donc fk(I)∩J≠Ø.
Sensibilité aux conditions initiales :
f : K → K a une dépendance sensible aux conditions initiales s’il existe δ>0 tel que, pour tout
x ∈ J et pour tout voisinage N de x, il existe y ∈ N et n≥0 tels que |fn(x)-fn(y)|>δ.
Si on choisit δ=1/3, soit N un voisinage de x ∈ [0,1], il existe I arc du cercle unité tel
que h(I)=N. Or, il existe n tel que gn(I)=U donc fnoh(I)=h(U)=U=fn(N). Ainsi, si fn(x) ∈
[0,1/2[, il existe y ∈ N tel que fn(y)>fn(x)+1/3 et si fn(x) ∈ [1/2,1], il existe y ∈ N tel que
fn(y)<fn(x)-1/3.
Densité des points périodiques :
Pour tout (x,y) ∈ K², il existe z ∈ ]x,y[ tel que z soit un point périodique de f.
Soit x,y ∈ [0,1]², h-1(]x,y[)=I inclus dans U. Il existe z ∈ I, k>0 tels que gk(z)=z. Ainsi,
fkoh(z)=h(z) et h(z) ∈ ]x,y[. Donc les points périodiques de f sont denses dans [0,1].
12
Page annexe 5
Le résultat plus général qui est démontré dans l’épreuve de Mathématiques 1 du
concours d’admission à l’Ecole Nationale de la Statistique et de l’Administration Economique
(ENSAE) 1991 est le suivant :
Théorème : Si f est une fonction polynomiale de degré d≥2 telles que les racines de f ’ soient
toutes réelles, alors f a au plus d-1 orbites attractives.
Dans le cas de la fonction logistique f ’(x)=a-2ax , donc les racines de f ’ sont bien
toutes réelles, et ce théorème démontre alors, f étant polynomiale de degré 2, que f admet au
plus une orbite attractive.
La dérivée schwarzienne est définie comme suit, pour tout x tel que f’(x)≠0 :
Sf ( x ) =
f
( 3)
( x ) 3  f ′′( x ) 
− 

2  f ′( x ) 
f ′( x )
2
On note E l’ensemble des applications dont la dérivée schwarzienne est négative.
On démontre alors les résultats suivants :
E est stable par composition.
Si f ∈E et si |f ’| admet un minimum local en x alors f ’(x) = 0.
On en déduit alors que si f ‘ ne s’annule pas sur ]a,b[, pour tout x ∈ ]a,b[,
|f ‘(x)|>inf(|f ‘(a)|,|f ‘(b)|).
En particulier, si de plus a < x < c sont trois points fixes, le théorème des
accroissements finis donne deux points de dérivée 1 de part et d’autre de x, et
donc f’(x) > 1: x est instable.
Puis, pour f ∈ E, et x0 point périodique stable de période q, notant Ux0={x ∈ Ι / fn(x) → x0
lorsque n→∞}, on montre que:
soit [inf(I),x0] C Ux0
soit [x0,sup(I)] C Ux0
soit il existe un point critique y et un point x de l’orbite de x0 tels que fqn(y) → x.
Ensuite, la démonstration du théorème énoncé plus haut utilise la décomposition en
éléments simples de f ’’/f’ , f’ étant scindé sur R. On montre alors que f est dans E, ce qui
permet d’utiliser les résultats précédents, et d’aboutir à une contradiction en procédant par
l’absurde.
13