arbres de décision - LGI

E COLE C ENTRALE PARIS - S4
M ODÉLISATION POUR L’A IDE À LA D ÉCISION
Vincent Mousseau
A RBRES DE D ÉCISION
Exercice 1 : La machine infernale
Vous avez déjà investi 5 Me dans la mise au point d’une machine à épépiner les pastèques. Vous
avez appris récemment qu’un concurrent malgache a également engagé des recherches dans ce domaine. Les enjeux sont énormes. Vous devez décider si vous continuez à investir dans ce domaine ou
si vous renoncez à votre projet. Dans ce dernier cas, vous perdrez définitivement les 5 Me déjà investis. Si vous décidez de continuer le projet, alors si votre projet aboutit avant votre concurrent, vous
obtiendrez un brevet monnayable 10 Me. Si votre prototype n’est pas terminé avant celui de votre
concurrent, votre brevet ne vaudra rien.
Vous pensez devoir encore dépenser 3 Me pour la mise au point du prototype. Dans l’état actuel
de vos connaissances, vous évaluez la probabilité que votre concurrent aboutisse avant vous à 30%.
a) Quelle est la valeur espérée de votre meilleure décision ?
b) Combien êtes-vous prêts à payer l’espion GTI 007 pour qu’il vous fournisse un rapport détaillé
de l’avancement des recherches de votre concurrent, rapport à partir duquel vous pourrez déduire
avec certitude s’il finira ou non avant vous ?
Exercice 2 : www.les-super-livres.com
Vous diffusez par correspondance des ouvrages grand public à travers votre site internet www.les
-super-livres.com. La fréquentation de votre site est évaluée à 10000 internautes habituels.
Vous avez localisé votre site en Belgique (le prix du livre étant atteint en France d’une certaine forme
de rigidité).
Un éditeur belge vous propose une offre exceptionnelle : il vous donne la possibilité d’acquérir
à tarif réduit un lot d’un nouvel ouvrage(“Vaincre le reniflement par une simple pression du doigt”,
par le docteur J.P. Blase). L’éditeur n’hésite pas à qualifier ce livre de futur best-seller étant donné
l’importance du public ciblé. Il vous donne la possibilité pour diffuser ce livre à prix réduit au moment
même de sa sortie en librairie et ainsi bénéficier de son lancement publicitaire.
Le projet de contrat prévoit l’acquisition d’un lot indivisible de 10000 ouvrages pour un prix global
de 1000.000 e. Chaque livre serait vendu 200e sachant que les frais de manutention et d’expédition à
votre charge seront de 20e par unité vendue.
Habituellement la diffusion de ce type d’ouvrage se fait via internet quelques mois après sa sortie
publique et vous êtes en mesure de prévoir avec une relative précision le pourcentage de vos clients
que seront “assez sages pour ne pas passer à coté d’une offre aussi incroyable”. Dans le cas présent,
vous doutez...
Pour simplifier votre analyse, vous considérez deux éventualités que vous jugez équiprobables :
– Un succès franc et massif : auquel cas vous considérez que 80% de vos internautes habituels se
procureront l’ouvrage„
– Un succès relatif : vous estimez alors que seulement 20% des internautes achèteront l’ouvrage
(la renommée du Dr Blase étant non négligeable).
a) Dressez l’arbre de décision associé à ce problème. Quelle est votre stratégie optimale ?
b) Quel est le prix maximum que vous accepterez de payer un sondage pour connaître à l’avance la
réaction de vos clients ?
Exercice 3 : Virus
Vous venez de mettre au point une test révolutionnaire de dépistage d’un certain virus fort dangereux mais encore peu répandu. On estime qu’actuellement une personne sur 1000 est porteuse de ce
virus. Ce test s’effectue par “oxygéno-centrifugation” du sang. Ceci revient à dire que le test recherche
un certain anti-corps dans l’échantillon considéré. Si cet anticorps est décelé, alors le test conclue à la
présence du virus. Vous êtes le premier à avoir mis au point un test permettant de déceler cet anticorps.
De plus, l’oxygéno-centrifugation est capable de déceler des quantités infinitésimales d’anticorps. Des
études qui font autorité ont montré que la fiabilité de ce test avoisinait les 100% (c’est à dire qu’il a
été impossible de mettre en évidence des faux positifs et des faux négatifs). La présence de l’anticorps
dans le sang semble être un indice infaillible de la présence du virus.
Un grand hôpital parisien vous contacte : il souhaite sous-traiter une partie des analyses qu’il doit
effectuer. Il vous propose de réaliser pour son compte 100 analyse par jour. Votre moitié, qui se trouve
être aussi votre directeur commercial, a négocié le projet de contrat avec l’hôpital. Celui-ci prévoit que
vous vous engagez à transmettre le jour même à chacun des 100 patients le résultat fourni par votre test
de dépistage et que vous supporterez seul le coût afférents à ces analyses. L’hôpital s’engage à vous
payer 100000e par jour pour ce travail. Cette sous-traitance étant à la limite de la légalité, le contrat
restera secret et vous n’en attendez donc aucune retombée publicitaire.
Chaque oxygéno-centrifugation coûte 1100e. De plus, vous estimez à 20e le coût de traitement
de l’information relative à un patient (étiquetage, édition et envoi des résultats, ...).
Allez vous vous séparer de votre directeur commercial ?
Exercice 4 : Médecine du travail
Vous recevez une convocation de la médecine du travail pour subir un examen radiologique de dépistage de la tuberculose. “Moi, tuberculeux ! ! ! et puis quoi encore. Quoique...”. Après documentation
vous apprenez que cela arrive quand même une fois sur 200.
Curieux de nature, vous cherchez à comprendre le test que l’on va vous faire subir et à cerner sa
fiabilité. Affable comme un libraire, l’opérateur vous explique :
“comme il s’agit de médecine du travail, il ne s’agit pas que le test coûte cher. Pas question d’avoir
en permanence un médecin qualifié pour examiner des négatifs de radio de bronches. Tout est dirigé
par un ordinateur disposant d’un logiciel de traitement d’image et analyse numériquement le négatif
pour y détecter d’éventuelles tâches sombres, ces informations étant alors transmises à un système
2
expert qui, en utilisant des règles fournies par des médecins qualifiés, arrive à un diagnostic ⊕ ou ⊖.”
Votre soif de savoir n’est qu’à moitié étanchée et vous vous interrogez sur la fiabilité de ce test à
base d’intelligence artificielle. Nullement désarçonné, l’opérateur vous explique que le test a été étalonné sur une population de 500 tuberculeux et 500 non-tuberculeux (sachant qu’il existe des tests
fiables à 100% pour déterminer si un individu est ou non atteint de tuberculose et que, après tout, il
suffit d’attendre pour savoir, vous vous abstenez de poser la question “comment savait-on qu’il y en
avait 500 qui...”). Le test a réussi à “reclasser” 485 tuberculeux et 470 non-tuberculeux, ce qui a été
jugé excellent.
Vous vous soumettez alors au test : “Ne respirez plus...”, clic-clac. C’est fini. Après une attente pas
vraiment intolérable, le petit listing sort des entrailles de la machine : selon elle, vous êtes atteint de
tuberculose !
A combien estimez vous la probabilité d’être atteint de tuberculose ?
Exercice 5
Un décideur respectant les axiomes de la théorie de l’utilité et neutre vis à vis du risque est
confronté au problème de décision ci-dessous. Quelle est sa décision optimale sans information supplémentaire ? Quelle est la valeur espérée de l’information parfaite ? Quelle est la valeur d’un sondage
qui permet de déterminer si l’événement a va intervenir ou non avec une fiabilité de 90% ?
a, 0.8
4e
¬a, 0.2
-6e
.
x
.
.8
a, 0
y
.
z
¬a,
0.6
-2e
0.4
-12e
.
0.2
0.2
8e
0.8
3e
.
0e
Exercice 6 : Goldenshaft
Depuis cinq années, la firme Goldenshaft est propriétaire de plusieurs golf en France localisés dans
des sites calmes et faciles d’accès à proximité des grandes villes. Ces golfs fonctionnent de manière
relativement fermée, ciblant une clientèle à la fois aisée et constituée de joueurs confirmés. C’est ainsi
que le responsable de chaque site pratique une politique locale sélective se concrétisant notamment
par des tarifs relativement élevés (practice, green fee, cours, ...) et une interdiction d’accès aux joueurs
n’ayant pas un classement suffisant (minimum toléré : Hcp 15).
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En dépit de la qualité de ses parcours et des luxueuses installations qui les accompagnent, chaque
golf Goldenshaft ne compte que 500 joueurs "actionnaires" environ (tout joueur doit être détenteur
d’une actions de la société), ce qui ne suffit pas à rentabiliser le fonctionnement des installations
(chaque joueur actionnaire rapporte 30 Ke/an).
La direction étudie donc pour chaque site indépendamment, l’intérêt éventuel d’ouvrir l’accès à
une plus large clientèle comprenant tous les joueurs classés, sans distinction, pourvu qu’ils deviennent
actionnaires.
Un premier scénario, optimiste, consiste à penser que cette mesure va permettre, au terme de l’année en cours, de doubler le nombre d’actionnaire pour chaque site. Un second, plus pessimiste consiste
à penser que le fait d’être moins sélectif risque d’être impopulaire auprès de la clientèle actuelle, ce
qui pourrait faire chuter à 200 le nombre d’actionnaires pour chaque site, d’ici la fin de l’année.
La direction considère que, sur l’ensemble de ses terrains, le premier scénario est plutôt moins
probable que le second (les probabilités sont estimées à 0.4 contre 0.6) ; elle aimerait savoir quelle
stratégie adopter au niveau de chaque site pour que l’année suivante soit plus fructueuse.
a) Construire l’arbre de décision du problème concernant un site particulier. Évaluer le nombre
moyen d’actionnaire que la direction peut espérer pour chaque site au début de l’année prochaine. A priori, la nouvelle réglementation semble-t-elle intéressante ?
b) Évaluer le gain supplémentaire d’actionnaire par site que la société Goldenshaft pourrait espérer pour l’an prochain, si elle avait la possibilité avant de prendre sa décision de connaître
exactement l’accueil que les adeptes du golf réservent à sa nouvelle réglementation.
c) Face à ce problème de décision en avenir aléatoire, la direction envisage de recourir à un institut
de sondage pour estimer si les golfeurs locaux réservent un accueil plutôt favorable, ou plutôt
défavorable à la nouvelle réglementation. Compte tenu des multiples paramètres pouvant intervenir dans la décision des joueurs, l’institut de sondage consulté peut seulement garantir que
dans 60% des cas, l’indication fournie sera conforme à la réalité. Evaluer le gain supplémentaire
d’actionnaire par site que la firme Goldenshaft pourrait espérer pour l’an prochain si elle fondait
ses décisions locales sur le résultat de ce sondage.
d) Afin de mieux rendre compte des préférences du Directeur Général de Goldenshaft, responsable
de la décision au niveau de chaque site, on cherche maintenant à construire une fonction d’utilité u qui traduise la valeur subjective qu’il attache aux sommes monétaires en jeux, dans une
situation de risque. Compte tenu des spécificités du problème, u sera définie sur l’intervalle [0,
30Me] à valeur dans [0,1]. En utilisant la technique des loteries 50/50, on a obtenu les informations suivantes :
– l’équivalent certain d’une loterie 50/50 avec les gains (0Me, 30Me) est 6Me,
– l’équivalent certain d’une loterie 50/50 avec les gains (6Me, 30Me) est 16,5Me,
Évaluer la fonction d’utilité u pour chacune des sommes mentionnées ci-dessus. En supposant
que u est linéaire par morceaux, déterminer les équations des segments de droite composant le
graphe de u. Faire une représentation graphique et donner une interprétation du comportement
du DG de Goldenshaft.
e) En considérant les revenus attendus pour l’année prochaine, déterminer le prix maximal que
la firme Goldenshaft peut accepter de supporter au niveau de chaque site, pour bénéficier d’un
sondage local, relatif à son propre environnement. Comment procéder pour l’évaluer ?
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Exercice 7
La société GESTEC distribue du matériel de télécommunication au DEXILAND et est basée dans
sa capitale DEXITY au centre du pays. George Kaplan est représentant de commerce dans la société
GESTEC ; Il est basé au siège mais son métier exige qu’il voyage pour rencontrer ses clients. Ceux-ci
se situent à DEXCITY pour deux tiers d’entre eux, et dans une ville de province Old York située sur
la côte Est du Dexiland pour le tiers restant. Chaque mois Georges rencontre environs 20 clients.
Le responsable de Georges Kaplan, Max Liston, est un fervent opposant des transports routier et
s’oppose à l’utilisation de voiture de fonction. Il prend pour argument que la société ferroviaire nationale REFEDEX (Réseau Ferroviaire du Dexiland) dessert, à partir de Dexity, toutes les villes du
pays en moins de deux heures et avec une fréquence très élevée. Georges Kaplan préférerait disposer
d’une voiture de fonction, mais il connaît Max Liston depuis longtemps et sait qu’une telle demande
lui attirerait les foudres de son responsable sans aucun espoir d’obtenir gain de cause.
Georges est donc contraint de voyager en train. REFEDEX propose différents tarifs pour les trajets Aller-Retour Dexcity/Old York. Le plein tarif Dexcity/Old York est de 400 dexons (monnaie du
Dexiland). REFEDEX propose deux tarifs plus avantageux :
– Jockey-8 : le billet A/R doit être pris au plus tard 8 jours à l’avance ; il n’est pas modifiable et
n’est remboursable qu’à 80% jusqu’à 8 jours avant le départ, non remboursable après ; il donne
lieu à 25% de réduction sur le plein tarif.
– Jockey-30 : le billet A/R doit être pris au plus tard 30 jours à l’avance ; il n’est pas modifiable
et n’est remboursable à 80% jusqu’à 8 jours avant le départ, non remboursable après ; il donne
lieu à 50% de réduction par rapport au plein tarif.
L’avantage des tarifications Jockey-8 et Jockey-30 est indéniablement le prix. Inversement, il oblige
Georges Kaplan à effectuer ses réservations à l’avance, sans possibilité de modification ni de remboursement. Ce désavantage est d’autant plus pénible (pour Georges) que ses clients ne sont parfois
imprévisibles et annulent parfois leurs rendez-vous. Mais comme le dit l’adage, “le client est roi”, et
le corollaire est : “Le client peut décommander un rendez-vous quand il le veut”. Le billet plein tarif
est totalement remboursable et modifiable.
De plus, les clients ont peu de mémoire ce qui leur fait annuler plus souvent un rendez-vous pris
longtemps à l’avance. Quand Georges prend un rendez-vous plus de 30 jours à l’avance, 30% des
clients décommandent entre le 30eme et le 8eme jour et 20% de ceux n’ayant pas décommandé le
font durant la dernière semaine. Lorsque le rendez-vous est pris moins d’un mois à l’avance, 10% des
clients décommandent avant le 8eme jour et 5% de ceux n’ayant pas décommandé le font durant la
dernière semaine. Aucun client n’accepte de prendre un rendez-vous dans la semaine.
Actuellement la secrétaire de Georges, Idoménée Wallshot, lui réserve systématiquement des billets
plein tarifs. Travaillant avec Idoménée depuis de longues années, Georges sait que s’il lui demandait
de prendre des billets Jockey-8 ou Jockey-30, elle refuserait catégoriquement de reprendre un billet
autre qu’un plein tarif après une annulation d’un client.
Les billets Jockey-30 sont toujours disponibles, par contre les billets Jockey-8 sont limités en
nombre. Idoménée qui connaît bien le système de réservation de REFEDEX sait qu’il est toujours
possible d’obtenir un billet Jockey-8 à plus de 30 jours du départ mais seulement deux fois sur trois à
moins d’un mois.
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Georges se demande comment minimiser ses dépenses en transport (et ainsi arrondir ses fins de
mois, car il est remboursé forfaitairement sur la base du plein tarif). Doit-il prendre ses rendez-vous
plus de 30 jours à l’avance ? quels tarifs sont les plus intéressants ?
Norma Kaplan, l’épouse de Georges, a fait ses études à l’université Paris-Dauphine mais a choisi
de ne pas travailler pour se consacrer entièrement à son mari, ses deux enfants et sa passion pour
les livres anciens qu’elle collectionne dans sa bibliothèque. Norma a récemment parié avec son mari
qu’elle pourrait (en utilisant ses connaissances acquises à Dauphine) lui faire gagner de l’argent sur
ses trajets ... à condition qu’il lui reverse la moitié des gains pour pouvoir étoffer les rayons de sa
bibliothèque. Georges a bien sûr accepté. Norma a alors repris ses livres d’étudiants et a tracé un arbre
de décision dans lequel les outputs correspondent aux gains par rapport à la situation dans laquelle
Georges voyage sur des billets plein tarif.
a) Quelle somme Norma pourra-t-elle consacrer à sa passion pour les livres anciens ? Que conseillerat-elle à son mari ?
Georges a suivi les conseils de son épouse Norma qui est ravie de voir sa collection s’accroître.
Toutefois, Idoménée, en secrétaire vigilante et consciencieuse, regrette de voir certains billets de
Georges se perdre du fait de l’annulation des rendez-vous ; aussi elle propose à Georges de téléphoner
systématiquement aux clients 8 jours avant leur rendez-vous pour leur faire confirmer le RV. Le prix
de la communication téléphonique est de c dexons.
Malheureusement (pour Idoménée), les clients ne répondent jamais de façon certaine à la demande
de confirmation (pour se laisser une marge de liberté dans leur emploi du temps). Chaque client déclare
soit qu’il pense pouvoir venir ou bien qu’il pense qu’il devra annuler le rendez-vous. Idoménée a une
bonne connaissance de la clientèle de Georges et elle a déjà pratiqué ce type de confirmation téléphonique avec une clientèle similaire. Elle sait que, en moyenne, 80% des clients n’ayant pas décommandé
avaient déclaré pouvoir venir tandis que seuls 10% des clients ayant annulé leur rendez-vous avaient
déclaré pouvoir venir.
Les motivations d’Idoménée ne sont pas uniquement liées à sa grande conscience professionnelle.
Amie de longue date de Norma, Idoménée partage avec elle sa passion pour les livre anciens. C’est
son amie Norma qui l’a encouragé de faire à Georges la proposition suivante : Idoménée passerait les
coups de téléphone et accepterait d’effectuer des modifications de billets lorsque cela est avantageux,
et si elle pouvait réduire les coûts de transports d’un montant supérieur aux communications téléphoniques elle toucherait la différence.
Norma a convaincu son mari d’accepter et a alors construit un second arbre de décision pour étudier
le problème de son amie.
b) Idoménée pourra-t-elle augmenter sa collection de livres anciens ? Si oui, quelle sera, pour ce
faire, sa stratégie d’achat des billets ?
Pour chacune des deux questions, vous justifierez vos réponses sur le développement des arbres
de décision que Norma a dessinés. Vous expliciterez, par une rédaction claire et précise, chacune des
étapes de votre analyse.
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Exercice 8 : Les raisins de la colère
Les vrais raisins secs proviennent de la région de Corinthe en Grèce. La technique ancestrale de
production de ces raisins consiste à les faire sécher au soleil et à l’air libre sur des plateaux spécialement prévus à cet effet. S’il pleut une fois durant la période de séchage, les raisins perdent la moitié de
leur valeur (à cause de la moisissure, ...). S’il pleut deux fois ou plus durant cette période, les raisins
perdent toute valeur.
Il faut 20 jours de séchage pour produire des raisins secs. Il ne pleut jamais sur la région de Corinthe avant le 1er septembre. Après c’est une question de chance...
Tous les ans, Zorba père joue donc à la roulette avec la nature : plus il attend pour vendanger,
plus le poids (et donc la valeur) augmente et plus les risques de pluies durant le séchage deviennent
importants. Le problème est donc délicat. Les raisons secs sont les seuls revenus de la famille de Zorba.
Zorba peut décider, prudemment, de vendanger le 11 août. Après 20 jours de séchage sans pluie
jusqu’au 31 août, la vente de sa récolte lui rapporte 9000 drachmes par hectare. Il peut aussi décider
de ne vendanger que le 1er septembre et espérer 20 jours de beau temps. Il aurait alors un revenu de
12000 drachmes par hectare... si toutefois il ne pleut pas.
Zorba peut aussi renoncer aux raisins secs : les raisins peuvent être à tout moment directement
vendus à une coopérative qui en tire les “fameux” vins résinés. Quelle que soit la date de la vendange,
la coopérative achète la récolte à un prix de 7800 drachmes l’hectare. Mieux encore, la coopérative
accepte d’acheter les raisins en cours de séchage si toutefois ils n’ont pas été mouillés. Après une
pluie, la coopérative achète le raisin au prix de 3900 drachmes l’hectare. La seconde pluie rend le
raisin impropre à la vinification.
L’intrigue : Jeune étudiant d’une université prestigieuse, vous décidez de joindre l’utile à l’agréable
en vous faisant embaucher, pendant les vacances, comme ouvrier agricole en Grèce. Là, vous rencontrez la famille Zorba et surtout Helena la fille cadette de Zorba dont vous tombez éperdument
amoureux. Mais Zorba ne voit pas cette idylle d’un très bon oeil. Pour gagner les faveurs du père,
vous décidez alors de lui donner tout ce que vous possédez : les connaissances acquises dans votre
université.
a) Vous commencez par tracer un arbre de décision rudimentaire pour y voir plus clair. Zorba
possède 5 hectares. Vous raisonnez par hectare.
Vous courrez alors à la libraire française d’Athènes (je suppose que vous avez quelques problèmes
en grec) et vous consultez les registres météorologiques donnant l’historique des précipitation sur
Corinthe depuis 50 ans. Sur cette période, il y a eu au moins un jour de pluie sur Corinthe entre le 1er
et le 20 septembre dans 30% des cas. Cette première pluie est de mauvais augure : elle est suivie dans
40% des cas par une deuxième journée de pluie avant le 20 septembre.
b) Muni de ces informations, vous complétez votre arbre de décision. Les discussions que vous
avez eues avec Zorba (Helena servant d’interprète) vous laisse croire que Zorba raisonne en
valeur espérée. Vous lui donnez des recommandations en tâchant d’être le plus pédagogique
possible.
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... Retour dans les brumes. Une année studieuse vient de s’écouler, loin d’Helena et de la Méditerranée. Vous avez appris qu’une agence internationale de télécommunication a lancé un satellite en
orbite géostationnaire au dessus de la Grèce. Ce satellite est capable de fournir des indications météorologiques qui permettent, après de nombreux traitements sur un ordinateur vectoriel, de prévoir avec
certitude le temps 20 jours à l’avance sur un hectare donné. Le gouvernement grec qui a participé aux
frais de lancement du satellite a décidé de rentabiliser l’opération en vendant les prévisions météorologiques à 600 drachmes par hectare. Le gouvernement garantit que les prévisions sont exactes à 100%.
Comme ces informations sont couvertes par le secret militaire, le gouvernement punit très sévèrement
les tentatives de vente ou d’acquisition des prévisions météorologiques au marché noir.
Le 1er août, vous revenez en Grèce : Helena est toujours aussi belle et Zorba toujours aussi soucieux. Il a bien suivi vos conseils l’an dernier mais il a plu le 10 septembre. Cette fois il est bien décidé
de vendanger le 11 août pour assurer a sa famille un minimum de revenus.
c) Quel est le gain espéré de Zorba s’il achète l’information des services météo ? A quel moment
cette information est-elle intéressante ? Combien Zorba est-il prêt à payer ce service ? Quand
devrait-il l’acheter ?
Vous voici maintenant diplômé, marié à Helena et confortablement installé à ... Charleville-Mézières.
Pas besoin d’analyses sophistiquées pour savoir que si vous pouviez vivre décemment en Grèce vous
n’y verriez aucun inconvénients et Helena non plus.
Vous apprenez que 12 hectares de vignes dans la région de Corinthe sont à vendre. Vous pouvez
emprunter pour les acquérir. Un calcul rapide vous montre que tout serait parfait si vous pouviez tirer
de ces terres un revenu de 11000 drachmes à l’hectare. Ceci permettrait de rembourser votre emprunt,
de payer vos ouvriers et d’offrir une vie décente à votre épouse. Vous réfléchissez donc intensément.
En regardant l’arbre de décision, vous vous rendez compte que même en achetant les prévisions météo,
il pleut quand même 3 fois sur 10. Si seulement il pouvait ne pas pleuvoir ! Mais la technique vient à
votre secours : l’importance n’est pas qu’il pleuve ou non, c’est qu’il ne pleuve pas sur les raisins. Or,
on vient de mettre au point des plateaux de séchage qui, joints à un système très sophistiqué d’aération,
offrent une protection contre la pluie. Cette protection est à renouveler chaque année, le soleil et le vent
détériorant le PVC. Le coût d’entretien et d’amortissement de ces plateaux est de 1000 drachmes par
hectare et par an.
d) Allez-vous conseiller à Zorba d’acheter ces plateaux ? Allez-vous vous installer en Grèce ? (attention, rien ne vous oblige à acheter ces plateaux tous les ans et vous pouvez les acheter quand
vous voulez. Par contre, vous devez vous garantir un revenu minimum de 11000 drachmes si
vous ne souhaitez ni le divorce ni la prison).
Si vous avez bien fait vos calculs, vous n’allez pas utiliser la même stratégie que Zorba. Mais Zorba
a un ami fort riche qui est au courant de vos difficultés pour vous installer en Grèce. Il vous propose
de vous garantir un revenu de 11050 drachmes par an en échange de votre récolte.
e) Tracez l’arbre de décision de cet ami. Est-ce un philanthrope ? allez-vous accepter son offre ?
Comment interpréter sa proposition ?
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Exercice 9
Une entreprise fabriquant des jouets est confrontée à un risque de grève des transporteurs routiers
pendant ce début de première semaine de décembre. L’entreprise a établi un plan de fabrication et
d’expédition en régime normal de 5000 articles par semaine qui correspond exactement à la demande
hebdomadaire des distributeurs. Le coût de fabrication est alors de 30e par article. L’article est vendu
45e. La grève, si elle a lieu, débutera dans une semaine. Elle peut durer soit une semaine, soit deux
semaines. En cas de grève l’entreprise ne produit pas car elle ne peut stocker. De plus elle perd la
totalité de ses ventes ne sont pas livrés auparavant car les linéaires sont vides (la distribution ne possède
actuellement aucun stock). Devant fixer la production de cette première semaine, l’entreprise a le choix
entre trois décisions :
– produire et expédier, selon le plan initial, 5000 articles,
– produire et expédier 10000 articles pour satisfaire la demande des deux premières semaines,
– produire et expédier 15000 articles pour satisfaire la demande des trois premières semaines,
La capacité de production de l’entreprise est de 7000 articles par semaines ; au-delà de cette limite,
elle sous-traite la production dont le coût passe alors à 40 francs par article. On cherche à maximiser
la marge sur les trois semaines à venir.
a) Après avoir défini les actions et les états de la nature, construire le tableau des gains correspondant aux marges cumulées sur trois semaines.
b) Quelle décision prendre sur la base du critère du minimum des gains ?
c) Quelle décision prendre si l’on choisit en minimisant le regret maximum par rapport à la meilleure
situation ?
d) Le directoire de l’entreprise estime les probabilités suivantes :
– P(0 sem. de grève)=0.2
– P(1 sem. de grève)=0.4
– P(2 sem. de grève)=0.4
Quelle décision prendrait-il sur la base du critère de l’espérance mathématique des gains ?
e) Quelle recommandation formuler sur la base des trois critères précédents ?
f) Quel prix maximum le directoire est-il prêt à payer pour avoir une information exacte sur la
durée de la grève ?
g) On apprend que le secrétaire général du syndicat des transporteurs doit faire une déclaration
mercredi prochain. On peut attendre cette déclaration pour décider du niveau de production.
Dans ces conditions le coût du prestataire est augmenté de 5%. Actuellement on peut estimer
que lors de cette déclaration, il y a une chance sur deux que le secrétaire général soutienne une
ligne dure (D) ou une position modérée (M). Si sa position est dure, il y a 4 chances sur 5 que
la grève dure 2 semaines, et 1 chance sur 5 qu’elle dure une semaine. Dans le cas d’une position
modérée, il y a une chance sur 5 d’éviter la grève, une chance sur deux que la grève dure une
semaine, dans les autres cas il faut s’attendre à une grève de deux semaines. Tracer l’arbre de
décision correspondant à l’ensemble du contexte et déterminer la décision maximisant le critère
de l’espérance mathématique des gains.
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