SUR LA GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE Dans le modèle de la

S U R LA G É O M É T R I E
HYPERBOLIQUE
Par B. DE K E R é K J â R T O , Szeged.
Dans le modèle de la géométrie hyperbolique plane dû à Poincaré,
le plan hyperbolique est représenté par le demi-plan supérieur j y > 0 (x, y
désignent des coordonnées cartésiennes); les droites hyperboliques sont les
demi-circonférences (x—a)2+y2 = r2 et les demi-droites x= const (jy>0).
Les demi-droites y = cx + d (jy>0) sont les lignes équidistantes des droites
hyperboliques x = d, et les lignes y= const ( > 0 ) sont des horocycles orthogonaux sur le faisceau x= const. — A partir de la géométrie hyperbolique
plane, on peut construire un modèle de la géométrie euclidienne plane par
le procédé suivant. Prenons dans le plan hyperbolique un faisceau (a) de
droites parallèles dans une direction, epuis le faisceau (h) des horocycles
orthogonaux sur (a), et les lignes équidistantes (e) des droites (a). Considérons
deux copies du plan hyperbolique, et désignons par les indices i ou 2 les éléments appartenant à l'une ou à l'autre copie. Nous ajoutons au plan hyperbolique les points à l'infini, excepté celui du faisceau (a), et nous réunissons
les deux copies suivant les points à l'infini. Nous définissons une pseudogéométrie dont les droites sont les suivants: une droite â est formée par
la réunion de deux droites ax et a2 et de leur point commun à l'infini;
une droite ê est formée par les lignes équidistantes e± et e2 de ax et de a2,
telles que les distances (a1} e±) et (a2, e2) sont égales et de signes contraires;
une droite h est un horocycle h1 ou h2. Par le moyen de la congruence
hyperbolique, nous définissons une pseudo-congruence pour les segments
des droites â, ë, h. Nous démontrons alors que pour les droites a, ê, h, les
axiomes de la géométrie euclidienne se trouvent vérifiés. La géométrie
hyperbolique donnée n'est donc autre chose que le modèle de Poincaré
dans la pseudo-géométrie euclidienne que nous venons de construire.
Les détails de la conférence seront publiés ailleurs.
A NAPIER'S
THEOREM
FOR Q U A D R A N T A L
By
TRIANGLES
ROBERT E. MORITZ, Seattle, U. S.
A.
It has been repeatedly pointed out that the two rules, known as Napier's
Rules of the Circular Parts, which yield in an easily remembered form the
ten formulas for the solution of right spherical triangles, constitute one of
the most beautiful theorems of solid geometry. The proof of this theorem
depends upon the relation of corresponding parts of the five triangles which
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form the mystic pentagram. Now it is a wellknown fact that many important problems in spherical astronomy depend upon the solution of
quadrantal rather than right triangles. Such solutions are usually effected
by the use of the polar triangle, a procedure which requires two conversions,
first from the quadrantal triangle to the polar, and then from the polar back
to the original triangle. T h e present paper establishes a theorem which is
in every respect the analogue of Napier's Theorem. The proof employs
five cyclically related quadrantal triangles having the same circular parts,
where the circular parts now are the A, —
b, —l^— — C ] , ——
a, B,
the actual parts of the triangle (not counting the quadrantal side) being
A, b, C, a, B. Napier's rules, when applied to these circular parts yield
the ten formulas for the solution of quadrantal triangles.
N E W WAYS IN D I F F E R E N T I A L
GEOMETRY
By Karl MENGER, Wien.
T h e classic differential geometry considers the arithmetic models which
analytic geometry makes correspond to geometric entities: the systems of
numbers (coordinates) representing points, the equations or systems of
equations defining curves and surfaces etc. It consists of the application
of the calculus to these models. In this paper some concepts and results
of two new methods are considered: the direct differential geometry of
BOULIGAND and his school in Poitiers, France, dealing particularly with tangential
manifolds, and the applications to local geometric properties of the metric
geometry
or geometry of distances by myself and some collaborators, particularly W A L D , in Vienna, Austria, which led to a general theory of curvature and of geodesies. Both methods have in common the fact that they
neither consider nor need analytic representation of the curves or surfaces
which they treat.
If p is a point of the subset S of the «-dimensional euclidean space
En, BOULIGAND calls 1 contingent of S in p the set of all directions # for
which there exists a sequence px, p2, • • • of points of S different from p
and convergent towards p such that the directions ûi(i=\,
2, • • •) from p
to pi converge towards #. He calls paratingent of 5" in p the set of the
directions of all straight lines ?] for which there exists a sequence of pairs
of points plf p\\ p2, p'2; • • • (pi^p'i) converging towards p such that the
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Introduction à la géométrie infinitésimale directe, Paris Vuibert, 1932.
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