Raisonnement et éléments de logique

Raisonnement et éléments de logique – Langage mathématique
Les quantificateurs
- Quantificateur universel : « Pour tout... » ou « Quelque soit... »
- Quantificateur existentiel : « Il existe... » (qui signifie en fait « Il existe au moins un ... ») et « il existe un
unique... »
Exemples :
« Pour tout réel x, (x +1)2=x 2+ 2 x +1 » est vrai.
« Il existe un réel x tel que ( x +1)2=x 2+ 2 x +1 » est vrai aussi mais est une information beaucoup plus
pauvre.
« Il existe un réel x tel que ( x +1)2=x 2+1 » est vrai. (en effet, (0+1)2=02 +1 )
Par contre, « Pour tout réel x, (x +1)2=x 2+1 » est faux.
Pour montrer que la dernière proposition est fausse, on montre que son contraire (sa négation) est vraie : on
montrera donc qu'il existe un réel x tel que (x +1)2≠ x 2 +1 … (en effet, (1+1) 2 vaut 4 et est différent 12 +1
qui vaut 2). On dit souvent qu'il s'agit d'un contre-exmple.
L'implication : Condition nécessaire et condition suffisante
Quatre façons d'écrire la même chose :
Soit P et Q deux propositions (deux phrases simples, avec sujet, verbe, complément).
1. Si P est vraie alors Q est vraie
2. P ⇒ Q
3. Il suffit que P soit vraie pour que Q le soit aussi. (la réalisation de P est une conditon suffisante pour que la
réalisation de Q soit possible)
4. Il faut que Q soit vraie pour que P le soit aussi. (la réalisation de Q est une conditon nécessaire pour que la
réalisation de P soit possible)
Exemple : reprendre ces quatre façons d'écrire en remplaçant P par « x et y sont deux nombres positifs » et Q
par « le produit xy est positif ». Pour être sûr d'avoir compris, reprendre l'exemple en remplaçant P par « je
peux faire un quatre-quarts » et Q par « j'ai des oeufs ».
L'implication réciproque :
1. Si Q est vraie alors P est vraie
2. Q ⇒ P
3. Il faut que P soit vraie pour que Q le soit aussi.
4. Il suffit que Q soit vraie pour que P le soit aussi.
Deux implications réciproques ne sont généralement pas vraies en même temps (il ne suffit pas que le produit
xy soit positif pour pouvoir affirmer que x et y sont deux nombres positifs. Et il ne suffit pas d'avoir des œufs
pour pouvoir faire un quatre-quarts...)
La contraposée :
1. Si la négation de Q est vraie alors la négation de P est vraie
2. nonQ ⇒ nonP
Deux implications contraposées sont toujours vraies et fausses en même temps (« si le produit xy n'est pas
positif, alors x et y ne sont pas tous les deux positifs » est vrai au même titre que « si x et y sont deux
nombres positifs alors le produit xy est positif ». Et « si je n'ai pas d'oeufs alors je ne peux pas faire de
quatre-quatres » et aussi vrai que « si je peux faire un quatre-quarts alors (cela signifie que) j'ai des
oeufs ».)
Utiliser la contraposée peut s'avérer très pratique pour montrer une implication (par exemple, montrer que
« si n 2 est un nombre pair alors n est un nombre pair. » revient à montrer que « si n est impair alors n 2
est impair ».)
Les connecteurs logiques ou/et
La négation de (P ou Q) est (nonP et nonQ).
Exercice 1 :
1. Étudier si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier les réponses.
a) Si K est le milieu de [AB], alors KA=KB.
b) Si KA=KB, alors K est le milieu de [AB].
c) Si K est le milieu de [AB], alors AK+KB=AB.
d) Si AK+KB=AB, alors K est le milieu de [AB].
e) Si K appartient à [AB], alors KA+KB=AB.
f) Si AK+KB=AB, alors K appartient à [AB].
2. Associer chacune des phrases qui suit à une implication de la question 1, et répondre à la question posée.
Toutes les phrases proposées ici sont vraies...
A) Il faut que KA=KB pour que K soit le milieu de [AB]. Est-ce une condition suffisante ?
B) Il suffit que K soit le milieu de [AB] pour que AK+KB=AB. Est-ce une condition nécessaire ?
C) Il suffit que AK+KB=AB pour que K appartienne à [AB]. Est-ce une condition nécessaire ?
Exercice 2 : On donne ci-dessous des phrases ou des égalités . Écrire toutes les implications vraies.
Exercice 3 : Écrire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes :
1. Le carré de tout réel est positif.
2. Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré.
3. Aucun entier n'est supérieur à tous les autres.
4. Entre deux réels distincts, il existe un rationnel.
Exercice 4 : Raisonnement par l'absurde.
Montrer que √ 2 n'est pas un nombre rationnel.
Exercice 5 : Montrer une équivalence... ou pas.
1. a) Montrer que « Si un nombre est multiple de 15, alors il est multiple de 3 et multiple de 5. ». Cela revient
aussi à dire que « Tout nombre multiple de 15 est à la fois multiple de 3 et de 5. » .
La démonstration commencera par : « Soit n un entier multiple de 15. »
b) Énoncer la réciproque puis en écrire une autre formulation à l'aide d'un quantificateur universel.
Montrer que cette réciproque est vraie.
La démontration commencera par : « Soit n un entier multiple de 3 et de 5. »
2. a) Montrer que « Si un nombre est multiple de 24, alors il est multiple de 6 et il est multiple de 4 ».
b) Énoncer la réciproque puis en écrire une autre formulation à l'aide d'un quantificateur universel.
Montrer que cette réciproque est fausse en montrant que le contraire (de la formulation avec le quantificateur)
est vrai.
Exercice 6 : Pourquoi faut-il travailler par équivalence quand on résout une équation ?
1. L'implication « Si x=2 alors x 2=4 » est vraie et assure l'existence d'une solution à l'équation x 2=4 .
Sa réciproque est-elle vraie ?
2 est-elle l'unique solution de l'équation x 2=4 ?
x+ 3
=0 ⇒ x=−3 » est vraie. Elle peut être lue : « S'il existe un nombre x tel
2. L'implication «
2
4 x +5 x−21
x+ 3
=0 , alors ce nombre ne peut être que −3 . »
que
2
4 x +5 x−21
x+ 3
=0 n'est cependant pas résolu...
Le problème de l'existence d'une solution à l'équation
2
4 x +5 x−21
Cette équation a-t-elle une solution ?
3. Résoudre une équation consiste à prouver l'existence et l'unicité des solutions (s'il y en a) et à trouver ces
A
solutions. Dans le cas de la question 2., l'équation, de la forme =0 , est équivalente au système A=0 .
B
B≠0
L'accolade est dans ce cas un symoble mathématique voulant dire « et ».
x 2+ 4 x + 4
Résoudre l'équation
=0 .
x 2 −1
{
Exercice 7 : Encore des équivalences...
On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; ⃗i , ⃗j) .
Soit A (2 ;3) .
On note c le cercle de centre A et de rayon 5. Et on note s l'ensemble des points dont les coordonnées
vérifient l'équation x 2 + y 2−4 x−6 y −12=0 .
Montrer que c = s.
Remarque : Soit A et B deux ensembles. A⊂B signifie « Si e est un élément de A, alors e est aussi un
élément de B », ce qui peut aussi s'écrire, bien sûr, « e ∈ A ⇒ e ∈ B » ou encore « Pour tout élément e de A,
on a e ∈ B. »
Il est tout à fait possible dans ce cas qu'un élément de B ne soit pas dans A. En tout cas, le contraire n'est pas
justifié par l'inclusion précédente.
Si en plus on sait que B⊂A, alors, bien entendu, on peut affirmer que A=B.
Répondre à la question de l'exercice 7 revient donc à montrer que M ( x , y) ∈ c ⇔ M ( x , y) ∈ s.
On peut dans ce cas, soit montrer deux implications (c'est le plus prudent), soit travailler directement « par
équivalence » (il faut alors être très attentif, à chaque étape, et vérifier que chaque équivalence est correcte).
Attention ! Le travail « par équivalence » est risqué et n'aboutit pas toujours...
Autre remarque : Travailler « par équivalence » n'est judicieux qu'en de rares occasions (dont les exercices 6
et 7 sont des exemples). Il faut absolument éviter d'utiliser le » symobole « ⇔ » lorsque ce n'est pas
nécessaire (la plupart des raisonnements menés sont déductifs : on part d'une hypothèse pour arriver à une
conclusion)