VALEURS IMPAIRES DE LA FONCTION DE PARTITION p(n)

VALEURS IMPAIRES DE LA FONCTION DE
PARTITION p(n)
Jean-Louis NICOLAS∗
Institut Camille Jordan, Bât. Doyen Jean Braconnier,
Université Claude Bernard (Lyon 1), 21 Avenue Claude Bernard,
F-69622 Villeurbanne Cedex, France.
[email protected]
10 février 2006
Let p(n) denote the number of partitions of n, and for i = 0 (resp. 1),
Ai (x) denote the number of n ≤ x such that p(n) is even (resp. odd). In this paper, it
Abstract.
K
is proved that for some constant K > 0, A1 (x) x(logloglogxx) holds for x large enough.
This estimation slightly improves a preceding
result of S. Ahlgren whoPgot the above
Q
n 24
n
lower bound for K = 0. Let ∆(q) = q ∞
and ∆k (q) = ∞
n=1 (1 − q )
n=k τk (n)q ;
the main tool is a result of J.-P. Serre about the distribution of odd values of τk (n).
Eective lower bounds for A0 (x) and A1 (x) are also given.
Keywords :
partition function, parity problems, modular forms modulo 2.
Mathematics Subject Classication 2000 : 11P83, 11F33
1
Introduction
Soit p(n) le nombre de partitions de n, c'est-à-dire le nombre de façons
d'écrire n = n1 + n2 + . . . + nr avec n1 ≥ n2 ≥ . . . ≥ nr ≥ 1. Dans l'article
[23], MacMahon rapporte que, quelques mois avant son décès, S. Ramanujan lui
avait écrit pour lui demander s'il pouvait déterminer la parité de p(n).
En fait, la fameuse formule de G. H. Hardy et S. Ramanujan, précisée par
H. Rademacher (cf. [18, 33]) s'écrit
√


C n−1/24
∞
k
√ d  sinh

1 X


p
p(n) = √
ak (n) k
(1.1)


dn
π 2 k=1
n − 1/24
q
où C = π 23 = 2.565 . . . et où les coecients ak (n) sont un peu plus compliqués.
La
série (1.1) est assez rapidement convergente : pour n ≥ 576, il faut au plus
√
2 n
termes pour calculer sa somme avec une erreur inférieure à 1/2, ce qui
3
∗ Recherche
partiellement nancée par le CNRS, Institut Camille Jordan, UMR 5208.
1
sut pour obtenir la valeur exacte du nombre entier p(n) (cf. [33], ch. 14). Par
la connaissance de la parité de p(n), S. Ramanujan espérait raccourcir encore
ce calcul en remplaçant 1/2 par 1.
Malheureusement, la parité de p(n) se révèle être un problème très dicile.
Notons
Ai (x) = Card {n ≤ x, p(n) ≡ i (mod 2)}, i = 0, 1.
(1.2)
Dans [32], en 1967, T. R. Parkin et D. Shanks calculent p(n)(mod2) pour
n ≤ 2 · 106 , montrent que, pour 103 ≤ x ≤ 2 · 106 ,
|A1 (x) − A0 (x)|
√
≤ 2.882
x
def
ψ1 (x) ==
(1.3)
et conjecturent que ψ1 (x) = O(xε ) pour tout ε > 0. Mais, les résultats théoriques
restent très loin de cette conjecture.
Pour répondre à S. Ramanujan, MacMahon (cf. [23]) donna un algorithme
de calcul de la parité de p(n) et calcula que p(1000) est impair.
En 1959, O. Kolberg (cf. [20]) démontra que Ai (x) tend vers l'inni avec x
pour i = 0 et i = 1.
log x
En 1983, L. Mirsky (cf. [25]) prouva l'inégalité Ai (x) ≥ log
2 log 2 pour i = 0
et i = 1.
Avec A. Sárközy, en 1995 (cf. [27]), nous avons montré Ai (x) (log x)0.58
pour i = 0 et i = 1.
Grâce à I. Ruzsa, en 1998 (cf. [26]), nous avons obtenu les minorations
√
√
−c log x
A0 (x) x et A1 (x) x exp
(1.4)
log log x
où c est une constante supérieure à log 2.
Soit a et b deux entiers positifs. Pour i = 0 et i = 1, posons
Ai (a, b; x) = Card {n ≤ x, n ≡ b
(mod a), p(n) ≡ i (mod 2)}.
(1.5)
Dans [39], M. Subbarao a conjecturé que, pour tout entier a positif et pour tout
b, A0 (a, b; x) et A1 (a, b; x) tendent vers l'inni. En utilisant les résultats de J.-P.
Serre sur les propriétés arithmétiques des coecients de formes modulaires (cf.
[36, 37, 31]), K. Ono dans [30] a presque démontré cette conjecture en prouvant
que A0 (a, b; x) tend vers l'inni et que, ou bien A1 (a, b; x) = 0 pour tout x ou
bien A1 (a, b; x) tend vers l'inni. Le comportement de A1 (a, b; x) a été précisé
dans [9] lorsque le module a de la progression arithmétique est une puissance
de 2.
√
Dans [1], S. Ahlgren a montré que A0 (a,
b; x) x et que, si A1 (a, b; x)
√
n'était pas nul pour tout x, A1 (a, b; x) logxx , ce qui implique
√
A1 (x) x
·
log x
(1.6)
En appendice de l'article [26], J.-P. Serre démontre
lim
x→∞
A0 (a, b; x)
√
= +∞.
x
(1.7)
Dans cet article nous améliorons légèrement la minoration (1.6) en prouvant :
2
Théorème 1 Soit A1 (x) déni par (1.2). Il existe une constante K strictement
positive telle que
√
A1 (x) x(log log x)K
·
log x
(1.8)
On peut prendre dans (1.8) la valeur
= π(4 · 1012 ) − π(2 · 1012 ) − 1
= 142966208126 − 73301896139 − 1 = 69664311986
K
où π(x) =
P
p≤x
(1.9)
1 désigne la fonction de comptage des nombres premiers.
Pour a et b quelconques, les minorations de Ai (a, b; x) obtenues à l'aide
des formes modulaires ne sont pas, pour le moment, eectives alors que les
minorations (1.4) le sont. Nous prouverons
Théorème 2 On a les minorations eectives suivantes :
√
(i)
x≥7
=⇒
A1 (x) ≥ 4.57
x
log x
et
(ii)
x ≥ 10
A0 (x) ≥ 1.05
=⇒
√
x.
Au prix de calculs un peu plus longs, on pourrait augmenter les√constantes 4.57
2
de (i) et 1.05 de (ii) et les rapprocher respectivement de π4 6 = 6.04 . . . et
√
2 6
3 = 1.63 . . . qui sont les limites de la méthode.
La démonstration des théorèmes 1 et 2 reprend la démonstration de (1.7)
dans le cas le plus simple a = 1 et b = 0. La forme modulaire qui intervient
est une puissance de la fonction ∆ (dénie ci-dessous en (3.1)) et l'on utilise
les résultats connus sur la distribution des coecients du développement de
Fourier de ∆k modulo 2, rappelés dans le théorème 3 ci-dessous. Enn, on
emploie l'argument combinatoire (cf. lemmes 1 et 2) qu'un produit de deux séries
formelles lacunaires ne peut pas contenir trop de termes non nuls. L'exposant
k = 5 donne des résultats eectifs sur le coecient de ∆5 modulo 2 (cf. Ÿ 4) qui
conduisent au théorème 2.
Curieusement, la démonstration fait intervenir la décomposition en facteurs
premiers de 2n − 1 et les nombres de Wieferich (cf. Ÿ 7).
Soit B un ensemble de nombres entiers naturels non nuls. On appelle p(B, n)
le nombre de partitions de n dont les parts sont dans B . La parité de p(B, n) a été
considérée dans quelques rares cas particuliers. La parité de p({1, 2, . . . , k}, n), le
nombre de partitions de n en au plus k parts, est étudiée dans [15]. Par ailleurs,
on peut construire des ensembles B tels que, pour n assez grand, p(B, n) soit
toujours pair (ou ait une parité donnée) cf. [26, 28, 2, 29, 4, 3, 5, 21, 6, 22]. Enn,
dans [7] et [8], on donne une minoration de Ai (B, x) = Card {n ≤ x, p(B, n) ≡
i (mod 2)} pour i = 0 et i = 1 pour certains ensembles B particuliers, par
exemple, lorsque B contient tous les nombres impairs.
Lors des Journées Arithmétiques de Limoges en 1996, J.-P. Serre m'avait
demandé si l'on pouvait rendre eectif son résultat (1.7). Cet article est une
réponse très partielle à sa question. J'ai plaisir à le remercier pour les discussions
et les échanges de lettres que nous avons eus. Je remercie K. Ono pour diverses
3
informations, A. Schinzel qui m'a indiqué la proposition 5 ci-dessous, O. Ramaré
qui n'hésite jamais à faire partager sa grande connaissance sur les nombres
premiers dans une progression arithmétique et M. Deléglise pour les calculs sur
la fonction π . Enn, je remercie l'arbitre anonyme pour sa lecture approfondie
du manuscrit.
2
Séries formelles
Soit K un corps et F (q) =
cients dans K. On dénit
P∞
n=0
Fn q n ∈ K[[q]] une série formelle à coe-
P(F, x) = Card {n,
0 ≤ n ≤ x,
Fn 6= 0}.
(2.1)
Lemme 1 Soit F, G, H trois séries formelles à coecients dans K, avec F =
GH . On a pour tout x ≥ 0 :
P(F, x) ≤ P(G, x)P(H, x).
Démonstration : Ecrivons G(q) P
=
P∞
Gi q i et H(q) = j=0 Hj q j . La relation F = GH se traduit par Fn = i+j=n Gi Hj ; si le coecient Fn est diérent
de 0, il existe donc i et j avec i + j = n et Gi Hj 6= 0. Par conséquent



P(F, x) ≤
X
i+j≤x
Gi Hj 6=0
X
1≤

P∞
i≤x
Gi 6=0
i=0
 X

1

j≤x
Hj 6=0

1
 = P(G, x)P(H, x).
On suppose maintenant que F (q) =
i = 0, 1 :
Pi (F, x) = Card {n,
P∞
n=0
0 ≤ n ≤ x,
Fn q n ∈ Z[[q]] ; on pose pour
Fn ≡ i (mod 2)}.
(2.2)
Il résulte de cette dénition que
P0 (F (q), x) = P1
et que, puisque F 2 (q) ≡
P∞
n=0
1
+ F (q), x
1−q
(2.3)
Fn q 2n (mod 2),
P1 (F, x) = P1 (F 2 , 2x).
(2.4)
Lemme 2 Soit F, G, H trois séries formelles à coecients dans Z et F = GH .
On a pour tout x ≥ 0 :
P1 (F, x) ≤ P1 (G, x)P1 (H, x).
(2.5)
Démonstration
: Soit Φ le morphisme canonique de Z dans Z/2Z. On pose
P∞
n
F (q) =
∈ Z/2Z[[q]] ; si l'on dénit similairement G et H , la
n=0 Φ(Fn )q
relation F = GH implique F = G H . Par (2.1), (2.2) et le lemme 1, il vient :
P1 (F, x) = P(F , x) ≤ P(G, x)P(H, x) = P1 (G, x)P1 (H, x)
4
ce qui établit (2.5).
D'autre part, P1 (F, x) est le poids de Hamming (cf. [24], ch. 1, Ÿ3) du vecteur
(Φ(F0 ), Φ(F1 ), . . . , Φ(Fbxc )), et il est facile de voir que, si pour i = 1 et i = 2,
F (i) (q) ∈ Z/2Z[[q]], on a
(2.6)
P1 (F (1) + F (2) , x) ≥ P1 (F (1) , x) − P1 (F (2) , x).
On dénit
P∞ la congruence entre
P∞ deux séries formelles à coecients entiers
G(q) = n=0 Gn q n et H(q) = n=0 Hn q n par
(mod 2)) ⇐⇒ (∀n ≥ 0, Gn ≡ Hn (mod 2)).
(2.7)
Q∞
On pose f (q) = n=1 (1 − q n ). L'identité d'Euler (cf. [19], Th. 353) s'écrit
(G ≡ H
f (q) =
∞
Y
(1 − q n ) = 1 +
n=1
∞
X
n(3n−1)
n(3n+1)
+q 2
.
(−1)n q 2
(2.8)
n=1
On pose u0 = 1 et, pour i ≥ 1,
u2i−1 =
i(3i − 1)
2
et
u2i =
i(3i + 1)
.
2
(2.9)
Les valeurs de uj sont les nombres pentagonaux :
j= 0 1 2 3 4
uj = 0 1 2 5 7
et (2.8) entraîne
f (q) ≡
∞
X
5
12
q uj
6
15
7
22
8 9
26 35
10
40
(2.10)
(mod 2).
j=0
Lemme 3 Soit x un nombre réel positif et d un entier naturel. Avec les notations (2.2) et (2.8), on a
r
d r 8x
8x
− 3 ≤ P1 f 2 , x ≤
+2
3 · 2d
3 · 2d
(2.11)
et si x ≥ 2d ,
2x
3
r
1−
6 · 2d
x
!
≤ P1
!
d
f (q)2
2x
,x ≤
1−q
3
r
1+
6 · 2d
x
!2
.
(2.12)
Démonstration : Supposons d'abord d = 0. On dénit i ≥ 0 en fonction de x
par
3i2
i(3i + 1)
(i + 1)(3i + 4)
3(i + 2)2
≤ u2i =
≤ x < u2i+2 =
≤
·
2
2
2
2
Compte tenu de (2.9) et de (2.10), on a
r
r
8x
8x
− 3 ≤ 1 + 2i ≤ P1 (f, x) ≤ 1 + (2i + 1) ≤
+ 2,
3
3
5
(2.13)
ce qui prouve (2.11) lorsque d = 0.
Supposons maintenant d > 0. On a
d
f 2 (q) ≡
∞
X
q2
d
uj
(mod 2)
(2.14)
j=0
et
d
P1 (f 2 , x) = Card {j, 0 ≤ j, 2d uj ≤ x} = P1 (f, x/2d ),
ce qui complète la preuve de (2.11) pour tout d.
Soit P
v0 = 0 < v1 < v2 < . . . une suite strictement croissante d'entiers et
∞
F (q) = i=0 q vi . On a alors
F (q)
≡ 1 + q + . . . + q v1 −1 + q v2 + q v2 +1 + . . . + q v3 −1 + q v4 + . . .
1−q
(mod 2).
On déduit ainsi de (2.14) que les coecients impairs dans le développement de
d
f 2 (q)
1−q
i ≥ 0,
P1
sont ceux de q n avec 2d u2i ≤ n ≤ 2d u2i+1 − 1 ; ceci implique que, pour
!
d
f 2 (q) d
, 2 u2i+1 − 1
=
1−q
=
2d (u1 − u0 + u3 − u2 + . . . + u2i+1 − u2i )
2d (1 + 3 + . . . + (2i + 1)) = 2d (i + 1)2 .
Par conséquent, en dénissant i en fonction de x ≥ 2d par
x
3(i + 1)2
3(i − 1)2
≤ u2i−1 ≤ d < u2i+1 ≤
,
2
2
2
on a
r
2d
!2
!
!2
r
2d
2x
2x
f
(q)
− 1 ≤ 2d i2 ≤ P1
, x ≤ 2d (i + 1)2 ≤ 2d
+2
3 · 2d
1−q
3 · 2d
et (2.12) en découle.
3
La fonction ∆
On dénit
∆(q) = q
∞
Y
(1 − q n )24 =
n=1
∞
X
τ (n)q n .
(3.1)
n=1
On sait que ∆ e2iπz est une forme parabolique de poids 12, et τ est la fonction
de Ramanujan (cf. [38] VII,4.5).
Proposition 1 On a
∆(q) ≡
∞
X
q (2m+1)
2
(mod 2);
(3.2)
m=0
autrement dit, τ (n) est impair si et seulement si n est le carré d'un nombre
impair.
6
Démonstration : L'identité de Jacobi (cf. [19], Th. 357) donne
∞
Y
(1 − q n )3 =
n=1
∞
X
m(m+1)
2
(−1)m (2m + 1)q
≡
∞
X
q
m(m+1)
2
(mod 2).
m=0
m=0
Par (3.1), il suit
∆(q) ≡ q
∞
X
q
m(m+1)
2
!8
≡
m=0
∞
X
q 1+4m(m+1)
(mod 2).
m=0
Soit p un nombre premier. Désignons par vp (n) la valuation p-adique de n,
c'est-à-dire le plus grand exposant a tel que pa divise n. On dénit
X
ω 0 (n) =
1.
(3.3)
p|n
vp (n)=1
Ainsi, pour n = 415 = 32 · 5 · 7, on a ω 0 (n) = 2 et pour n = 36, ω 0 (n) = 0.
Soit k un entier positif. On écrit
k
∆ (q) =
∞
X
(3.4)
τk (n)q n ;
n=k
la congruence (3.2) entraîne
∆k (q) ≡ q k + kq k+8 +
k(k − 1) k+16 k(k 2 − 3k + 8) k+24
q
+
q
+ ...
2
6
et l'on pose, pour x réel positif
Bk (x) = P1 (∆k , x) = Card {n ≤ x,
τk (n) ≡ 1
(mod 2)}.
(mod 2)
(3.5)
(3.6)
La relation B2k (x) = Bk (x/2) permet de limiter l'étude de Bk aux k impairs.
Nous utiliserons le théorème suivant (cf. [37], 6.6, [36], 6.6 et [31], 2.7) :
Théorème 3 Soit k un nombre impair positif diérent de 1. Il existe un entier
gk ≥ 2, appelé degré de nilpotence de ∆k , tel que
Bk (x) = P1 (∆k , x) k
De plus,
ω 0 (n) ≥ gk
x
(log log x)gk −2 .
log x
(3.7)
τk (n) est pair
(3.8)
=⇒
ce qui s'écrit encore
τk (n) est impair
ω 0 (n) ≤ gk − 1.
=⇒
(3.9)
D'autre part, gk est minimal, autrement dit, il existe n ≥ k tel que
ω 0 (n) = gk − 1
et
τk (n) est impair .
(3.10)
Remarquons que, dans (3.4), τk (k) = 1 et (3.9) implique
gk ≥ 1 + ω 0 (k).
7
(3.11)
4
Etude de B5 (x)
Rappelons que τk (n) est déni par (3.4) et Bk (x) par (3.6). Lorsque k = 3
et k = 5, on sait décrire les n tels que τk (n) est impair :
Proposition 2 Les nombres entiers n pour lesquels τ5 (n) (resp. τ3 (n)) est impair s'écrivent p4m+1 h2 où p est un nombre premier congru à 5 (resp. 3) modulo
8, m est un entier naturel et h un nombre impair non multiple de p.
Démonstration : Ce résultat est proposé en exercice dans [37], 6.7 ou [36], 6.7.
On déduit de (3.2) et (3.5) que
n 6≡ 5
(mod 8)
τ5 (n) ≡ 0
=⇒
(4.1)
(mod 2).
Par (3.2), on a
∆5 (q) =
∞
X
n=5


∞
X

τ5 (n)q n = ∆4 (q)∆(q) ≡ 
a=1
a impair
∞
X
2 
q 4a  

2
q b  (mod 2)
b=1
b impair
et τ5 (n) est congru modulo 2 au nombre de façons d'écrire n = 4a2 + b2 avec
a et b impairs positifs. Soit r(n) le nombre de solutions dans Z2 de l'équation
u2 + v 2 = n. Pour n ≡ 5 (mod 8), on a donc
τ5 (n) ≡
1
r(n)
8
(4.2)
(mod 2).
βJ
αI β1 β2
1 α2
Soit n un nombre impair et n = pα
1 p2 . . . pI q1 q2 . . . qJ sa décomposition
en facteurs premiers avec, pour 1 ≤ i ≤ I , pi ≡ 1 (mod 4) et, pour 1 ≤ j ≤ J ,
qj ≡ 3 (mod 4). On a (cf. [19], Th. 278)
r(n) = 4
I
Y
J Y
1 + (−1)βj
(αi + 1)
j=1
i=1
2
.
Pour que r(n) soit non nul, tous les βj doivent être pairs. Rangeons les nombres
p1 , p2 , . . . , pI de façon que α1 , α2 , . . . , αI 0 soient impairs et αI 0 +1 , αI 0 +2 , . . . , αI
soient pairs. On a alors
I0
r(n) Y
≡
(αi + 1)
4
i=1
(mod 2)
et la condition τ5 (n) impair et (4.2) impliquent I 0 = 1 et α1 ≡ 1 (mod 4), ce
qui complète la preuve de la proposition pour B5 . Le cas de B3 est très voisin
et utilise le nombre de représentations de n sous la forme n = 2a2 + b2 (cf. [16],
Th. 64 et Ex. XXII, 1).
Lemme 4 Soit ν un nombre réel, ν ≥ 3. On désigne par Sν (x) le nombre de
couples (M, N ) de nombres entiers positifs telles que M ≥ 5 et M ν N 2 ≤ x.
Alors, on a
√
x
Sν (x) ≤ 8 ν ·
2
8
Démonstration : On a
Sν (x)
X
=
5≤M ≤x1/ν
∞
X
√
≤
=
x
ν
2
r
x
Mν
r
X
≤
5≤M ≤x1/ν
x
Mν
∞
√
dt
1
≤
x
ν/2
ν/2
M
t
4
M =5
√
√
√
1
x
1
x
x
ν −1 ≤ 3
ν −1 = 8 ν ·
2
2
2
4
−1 4
2 −1
Z
Introduisons les fonctions classiques en théorie des nombres premiers :
X
X
log p,
(4.3)
1 et θ(x; 8, 5) =
π(x; 8, 5) =
p≡5
p≤x
(mod 8)
p≡5
p≤x
(mod 8)
et nous utiliserons l'inégalité (cf. [34], Table 1)
x ≥ 1010
=⇒
x 0.002811
x
x≤
·
θ(x; 8, 5) − ≤
4
4
1000
(4.4)
Lemme 5 On a pour tout x > 1 :
π(x; 8, 5) ≤ 0.405
x
·
log x
Démonstration : L'inégalité est vériée à l'ordinateur pour x ≤ 1010 ; le maxi-
log x
est obtenu pour x = 61 et π(61; 8, 5) = 6. On peut donc
mum de π(x;8,5)
x
supposer que x > 1010 . Soit t1 vériant 1 ≤ t1 ≤ x. On a
X
log p ≥ log t1 π(x; 8, 5) − π(t1 ; 8, 5)
θ(x; 8, 5) ≥
t1 <p≤x
p≡ 5 (mod 8)
qui, via la borne banale
π(t1 ; 8, 5) ≤
donne
π(x; 8, 5) ≤
t1 + 3
8
(4.5)
θ(x; 8, 5) t1 + 3
+
·
log t1
8
En appliquant (4.4) et en choisissant t1 = x0.8 , on obtient
x0.8 + 3
0.32x
0.251x
+
≤
(1 + ρ1 (x))
0.8 log x
8
log x
x
1
3
avec ρ1 (x) = log
2.56 x0.2 + x . Comme ρ1 est une fonction décroissante de x pour
x > 1010 , on majore ρ1 (x) par ρ1 (1010 ) ≤ 0.09, ce qui, puisque 0.32 × 1.09 ≤
0.405, achève la preuve du lemme.
π(x; 8, 5) ≤
9
Proposition 3 Soit B5 (x) déni par (3.6). Pour x ≥ 1010 , on a
0.249
x
x
≤ B5 (x) ≤ 0.87
log x
log x
(4.6)
et , lorsque x → ∞,
B5 (x) ∼
π2 x
32 log x
π2
= 0.308 . . . .
32
(4.7)
Démonstration : Le coecient dans (4.7) provient de la formule
∞
X
h=1
h impair
∞
∞
X
X
1
1
1
=
−
=
2
2
h2
n
j
n=1
j=2
j pair
∞
X
1
2
n
n=1
!
1−
1
4
=
π2
·
8
(4.8)
De la proposition 2 et de (4.3), on déduit
B5 (x) ≥ π(x; 8, 5) ≥
θ(x; 8, 5)
log x
et la minoration dans (4.6) s'ensuit par (4.4). Ecrivons ensuite
(4.9)
B5 (x) = B50 (x) + B500 (x)
où, par la proposition 2, B50 (x) compte les éléments de la forme p4m+1 h2 avec
m = 0 tandis que B500 (x) compte ceux avec m ≥ 1. Par le lemme 4, on obtient
la majoration :
∞
√ X
4√
1
B500 (x) ≤ 8 x
=
x.
(4.10)
4m+1
2
15
m=1
√
Soit t2 satisfaisant 1 ≤ t2 ≤ x. On a


B50 (x)
X
=
√
h≤ x
h impair
X
≤
√
h≤ x






X
p ≤ x/h2
p≡ 5 (mod 8)
p-h
π



1


x
b5 (x, t2 ) + B
e5 (x, t2 )
;
8,
5
=B
h2
(4.11)
h impair
avec
b5 (x, t2 ) =
B
X
π
h≤t2
x
e5 (x, t2 ) =
;
8,
5
et B
h2
h impair
X
√
t2 <h≤ x
h impair
π
x
;
8,
5
.
h2
(4.12)
e5 par (4.5) :
On majore B
√
√
Z
X x
3
x ∞ dt 3 x
x
3 x
e
B5 (x, t2 ) ≤
+
≤
+
=
+
·
8h2
8
8 t2 −1 t2
8
8(t2 − 1)
8
√
t2 <h≤ x
(4.13)
10
b5 par le lemme 5 et par (4.8) :
On majore B
b5 (x, t2 ) ≤ 0.405
B
x
log(x/t22 )
X
h≤t2
h impair
1
π2
x
≤
0.405
·
h2
8 log(x/t22 )
En choisissant t2 = x0.2 , on obtient
2
x
x
b5 (x, x0.2 ) ≤ 0.405 π
B
≤ 0.84
·
8 0.6 log x
log x
(4.14)
Finalement, il résulte de (4.9), (4.11), (4.13), (4.14) et (4.10) que
b5 (x, x0.2 ) + B
e5 (x, x0.2 ) + B 00 (x) ≤
B5 (x) ≤ B
5
x
(0.84 + ρ2 (x))
log x
log x
x
3
4
√ . Comme ρ2 est une fonction décroissante
avec ρ2 (x) = 8(xlog
0.2 −1) +
8 + 15
x
10
de x pour x > 10 , on majore ρ2 (x) par ρ2 (1010 ) ≤ 0.03, et la majoration dans
(4.6) est ainsi démontrée.
L'équivalence (4.7) est démontrée dans [37], 6.7 et [36], 6.7 en appliquant un
P∞
théorème taubérien à la série de Dirichlet n=1 χ(n)
ns où χ(n) = 0 ou 1 suivant
que τ5 (n) est pair ou impair. La démonstration ci-dessus de (4.6) peut être
adaptée pour obtenir (4.7).
3 2
Les nombres ph2 où p divise
√ h s'écrivent p j ; donc, par le lemme 4, on a
pour tout t3 tel que 1 ≤ t3 ≤ x,


 X
B50 (x) ≥ 

h ≤ t3
π
x

√ b5 (x, t3 ) + O x .
 − S3 (x) = B
;
8,
5

h2
(4.15)
h impair
En choisissant t3 = x0.2 , on a par (4.9), (4.15), (4.10), (4.11), (4.12) et (4.13)


 X
B5 (x) = 

h ≤ x0.2
h impair
π

x
 + O x0.8 .
;
8,
5

h2
(4.16)
On applique le théorème des nombres premiers (cf. [17], th. 8.8) sous la forme
x
x
π(x; 8, 5) =
+O
4 log x
log2 x
qui entraîne, pour h ≤ x0.2
π
x
;
8,
5
h2
=
x
4h2 log x 1 −
2 log h
log x
=
+O
x
log h + 1
+O x 2
2
4h log x
h log2 x
11
x
2
h log2 x
.
Comme
X
h≤t
h impair
1
π2
=
+O
h2
8
1
et que la série
t
gente, on obtient
X
π
h≤x0.2
h impair
∞
X
h=1
h impair
log h + 1
est converh2
0.8 π2 x
x
x
x
;
8,
5
=
+
O
+
O
h2
32 log x
log x
log2 x
qui, avec (4.16), conduit à
π2 x
B5 (x) =
+O
32 log x
x
log2 x
ce qui termine la preuve de (4.7).
5
(4.17)
Minoration de A1 (x)
La série génératrice de p(n) est, par (2.8), (cf. [19], 19.3)
def
P (q) ==
∞
X
p(n)q n =
n=0
∞
Y
1
1
=
·
m
1
−
q
f
(q)
m=1
(5.1)
Soit d un entier naturel pair. On pose
k=
2d − 1
∈ N.
3
(5.2)
On écrit alors par (5.1)
∞
X
!
p(n)q
n
d
d
f (q)2 = P (q)f (q)2 = f (q)3k .
(5.3)
n=0
Par (1.2), (5.1) et (2.2), on a A1 (x) = P1 (P, x) et le lemme 2 appliqué à (5.3)
donne pour tout x réel positif
A1 (x) = P1 (P, x) ≥
P1 (f 3k , x)
·
P1 (f 2d , x)
(5.4)
Mais, par (2.4), (3.1) et (3.7), il vient
P1 (f 3k , x)
∆k (q)
, 8x)
qk
= P1 (∆k , 8x + k) = Bk (8x + k)
= P1 (f 24k , 8x) = P1 (
(5.5)
et (5.4) et (2.11) entraînent, pour tout d pair et tout x réel positif
A1 (x) ≥ q
Bk (8x + k)
q
8x
3·2d
1
+
2x
3·2d
12
(5.6)
où k est déni par (5.2). Fixons d et k tels que d > 2 et ω 0 (k) > 1 ; l'application
du théorème 3 donne avec (3.8)
√
√
0
x
x
(log log x)gk −2 ≥
(log log x)ω (k)−1 ,
(5.7)
A1 (x) d
log x
log x
ce qui démontre le théorème 1 avec
K = ω 0 (k) − 1 = ω 0
2d − 1
3
(5.8)
− 1.
La valeur de K donnée en (1.9) sera justiée au paragraphe 7.
Démonstration du théorème 2 (i)
La fonction t 7→
√
t
log t
est décroissante pour t < e2 = 7.389 . . . et crois-
1 (x)
sante pour t > e2 . Comme A1 (7) = 7, pour 7 ≤ x < 8, on a √A
≥
x/ log x
min √7/7log 7 , √8/7log 8 ≥ 5.14. On calcule A1 (n) pour n ≤ 50000 et l'on vérie
√
n+1
que, pour 8 ≤ n ≤ 50000, A1 (n) ≥ 4.57 log(n+1)
. Ensuite, la table 7 de [32] donne
√
√
2·10
4·10
A1 (49999) = 25016 > 4.57 log(2·10
6 ) et A1 (1999999) = 999497 > 4.57 log(4·1013 ) ;
6
13
√
donc, A1 (x) ≥ 4.57 logxx est vériée pour x ≤ 4 · 1013 .
13
13
qSupposons maintenant x > 4 · 10 ; lorsque d = 4, k = 5 et x > 4 · 10 , on
a
3·2d
2x
≤ 8 · 10−7 , et, par (4.6),
8x
B5 (8x + 5) ≥ B5 (8x) ≥ 0.249
log x 1 +
≥
log 8
log x
x
x
1.992
≥ 1.867
·
log
8
log x 1 + log(4·1013 )
log x
En reportant ces majorations dans (5.6), on obtient
√ ! √
√
x
x
1.867 6
A1 (x) ≥
≥ 4.573
1 + 8 · 10−7 log x
log x
ce qui achève la démonstration du théorème 2 (i).
6
Minoration de A0 (x)
Par (2.3) et (5.1), on a A0 (x) = P1
1
1−q
+ P (q), x . Soit toujours d pair et
k déni par (5.2). On déduit de (5.3)
d
d
1
f (q)2
+ P (q) f (q)2 =
+ f (q)3k .
1−q
1−q
13
En appliquant le lemme 2 à l'inégalité ci-dessus, puis, successivement (2.6),
(2.12), (5.5) et (2.11), il vient
d
(q)2
P1 f 1−q
+ f (q)3k , x
A0 (x) ≥
P1 f (q)2d , x
d
f (q)2
3k
P1
1−q , x − P1 f (q) , x
≥
P1 f (q)2d , x
q
2x
6·2d
1
−
− Bk (8x + k)
3
x
≥
·
(6.1)
q
q
8x
3·2d
1
+
2x
3·2d
Pour d xé et x tendant vers l'inni, il résulte de (6.1) et (3.7) que
2d/2 √
x.
A0 (x) & √
6
(6.2)
Lorsque d = k = 0, on retrouve la démonstration du théorème 1 de [26] qui
n'utilise pas (3.7) (car B0 (x) = 1).
Lorsque d tend vers l'inni, on retrouve la démonstration de (1.7) (cf. [26],
appendice) dans le cas a = 1 et b = 0.
Démonstration du théorème 2 (ii)
On calcule√A0 (n) pour n ≤ 50000 et l'on vérie que, pour 10 ≤ n ≤ 50000,
A0 (n)
√ ≥ 1.05 n + 1. Ensuite, la table 7 de [32]
√ donne A0 (49999) = 24984√>
1.05 2 · 106 et A0 (1999999) = 1000503 > 1.05 9 · 1011 ; donc, A0 (x) ≥ 1.05 x
11
est vériée pour x ≤ 9 · 1011 .q
Supposons maintenant
q x > 9 · 10 ; lorsque d = 4,
k = 5 et x > 9 · 1011 , on a
(4.1) et (4.6),
6·2d
x
≤ 1.04 · 10−5 ,
3·2d
2x
≤ 5.2 · 10−6 , puis, par
8x
8x
B5 (8x + 5) ≤ 1 + B5 (8x) ≤ 1 + 0.87
≤ 1 + 0.87
log(8x)
log (72 · 1011 )
1
≤ 1 + 0.2351 x ≤ x 0.2351 +
≤ 0.236 x.
9 · 1011
En reportant ces majorations dans (6.1), on obtient
2x
−5
√
− 23 0.236
3 1 − 1.04 · 10
px
A0 (x) ≥
≥ 1.054 x
−6
)
6 (1 + 5.2 · 10
ce qui achève la démonstration du théorème 2 (ii).
7
Grandes valeurs de ω 0
2n −1
3
La fonction ω 0 a été dénie en (3.3). Pour factoriser 2n − 1, on le décompose
en produit de facteurs cyclotomiques, et on peut ainsi calculer avec MAPLE,
14
par la méthode de factorisation d'A. Lenstra utilisant les courbes elliptiques,
que
384
1680
2 −1
2
−1
0
0
ω
= 19,
ω
= 63.
3
3
On peut aussi
liren ces factorisationsdans les tables du projet Cunningham [10].
Notons que ω 0 2 3−1 − ω 0 (2n − 1) ≤ 1. Dans ces calculs, on observe que beaucoup de facteurs premiers p de 2n −1 satisfont vp (2n − 1) = 1, et l'on conjecture
(7.1)
lim sup ω 0 (2n − 1) = +∞.
n→∞
Malheureusement, il semble très dicile de démontrer (7.1) à cause des nombres
de Wieferich.
Les nombres de Wieferich
On dit qu'un nombre premier p est de Wieferich si (cf. [35], 5, III et [12],
1.3.3)
2p−1 ≡ 1 (mod p2 ).
(7.2)
On connait deux nombres de Wieferich, 1093 et 3511 ; il n'y en a pas d'autres
jusqu'à 4 · 1012 (cf. [11]). Personne ne s'est hasardé à conjecturer que la proposition
il existe une innité de nombres premiers de Wieferich (7.3)
est vraie ou fausse. La conjecture, pourtant fort vraisemblable,
il existe une innité de nombres premiers qui ne sont pas de Wieferich (7.4)
n'a jamais été démontrée. Cependant, (7.4) résulte de la conjecture ABC (cf.
n
[12], Ex. 8.15). Le lien avec les grandes valeurs de ω 0 2 3−1 est mis en évidence
dans les propositions 4, 5, 6 et 7.
Lemme 6 Soit p un nombre premier impair ; soit ω1 (resp. ω2 ) l'ordre de 2
∗
dans le groupe multiplicatif (Z/pZ)∗ (resp. Z/p2 Z ). Alors, ou bien ω2 = ω1 ,
et p est un nombre de Wieferich ou bien ω2 = ω1 p et p n'est pas un nombre de
Wieferich.
Démonstration : Par le petit théorème de Fermat, on a 2p−1 ≡ 1 (mod p) ; de
même, 2ω2 ≡ 1 (mod p2 ) implique 2ω2 ≡ 1 (mod p) ; ainsi, p − 1 et ω2 sont des
multiples de ω1 . On peut écrire 2ω1 = 1 + λp, où λ est un entier ; il s'ensuit que
2ω1 p = (1 + λp)p = 1 + λp2 +
p X
p
i=2
i
λ i pi ≡ 1
(mod p2 )
et, en conséquence, ω2 divise ω1 p. On a donc ou bien ω2 = ω1 ou bien ω2 = ω1 p.
Dans le premier cas, comme ω2 = ω1 divise p − 1, on a 2p−1 ≡ 1 (mod p2 ).
Dans le deuxième cas, ω2 est strictement plus grand que p − 1 et donc 2p−1 6≡ 1
(mod p2 ).
15
Proposition 4 Soit p un facteur premier de 2n − 1.
(i) Si vp (2n − 1) = 1 c'est-à-dire si p2 ne divise pas 2n − 1, alors p n'est pas
de Wieferich.
(ii) Si vp (2n − 1) ≥ 2 c'est-à-dire si p2 divise 2n − 1, alors ou bien p divise
n ou bien p est de Wieferich.
Démonstration : Utilisons les notations du lemme 6. Comme 2n ≡ 1 (mod p)
n est multiple de ω1 .
Si p est de Wieferich, le lemme 6 arme que ω2 = ω1 et n est multiple de
ω2 = ω1 . Ainsi 2n ≡ 1 (mod p2 ) et vp (2n − 1) ≥ 2, ce qui prouve (i).
Si p n'est pas de Wieferich et si p ne divise pas n, on a par le lemme 6
ω2 = ω1 p, et ω2 qui est multiple de p ne peut pas diviser n ; par conséquent,
2n 6≡ 1 (mod p2 ) et vp (2n − 1) < 2, ce qui prouve (ii).
Proposition 5 On a l'implication
(7.1)
=⇒
(7.4)
autrement dit, si ω 0 (2n − 1) n'est pas majoré, il existe une innité de nombres
premiers qui ne sont pas de Wieferich.
Démonstration : Ecrivons la décomposition en facteurs premiers
α
j
1 α2
2n − 1 = pα
1 p2 . . . pj pj+1 pj+2 . . . pj+`
(7.5)
avec α1 ≥ α2 ≥ . . . ≥ αj ≥ 2. On a ω 0 (2n − 1) = ` et par (7.1), on peut
choisir n pour que ` soit aussi grand que l'on veut. Par la proposition 4,
pj+1 , pj+2 , . . . , pj+` ne sont pas de Wieferich.
Proposition 6 On a l'implication
non (7.1)
(7.3)
=⇒
autrement dit, s'il existe C tel que ω 0 (2n − 1) ≤ C pour tout n, alors il existe
une innité de nombres de Wieferich.
Démonstration : Soit n = 2r . On a
r−1
2
r
2n − 1 = 22 − 1 = (2 − 1) (2 + 1) 22 + 1 22 + 1 . . . 22
+1 .
i
Les facteurs 22 + 1 ci-dessus sont les nombres de Fermat et sont premiers entre
eux deux à deux ; en conséquence, 2n −1 a au moins r facteurs premiers. Ecrivons
comme en (7.5)
r
α
j
1 α2
2n − 1 = 2 2 − 1 = pα
1 p2 . . . pj pj+1 pj+2 . . . pj+`
(7.6)
avec α1 ≥ α2 ≥ . . . ≥ αj ≥ 2 et j + ` ≥ r. On a ω 0 (2n − 1) = ` ≤ C par
hypothèse et, en conséquence, j ≥ r −` ≥ r −C . Mais, p1 , p2 , . . . , pj sont impairs
et donc ne divisent pas n = 2r ; par la proposition 4 (ii) et (7.6), p1 , p2 , . . . , pj
sont des nombres de Wieferich ; comme j ≥ r − C et que r peut être choisi
arbitrairement grand, cela prouve la proposition.
16
Proposition 7 Soit W (x) le nombre de nombres premiers qui ne sont pas de
Wieferich et qui sont inférieurs ou égaux à x. Alors, pour x > 3, il existe n pair
tel que
n
2 −1
0
ω
≥ W (2x) − W (x).
3
Démonstration : Si W (2x) = W (x), la proposition est évidente ; sinon, soit
x < p1 < p2 < . . . < pr ≤ 2x avec r = W (2x) − W (x) ≥ 1 les nombres premiers
compris entre x et 2x qui ne sont pas de Wieferich. On pose
n = ppcm (p1 − 1, p2 − 1, . . . , pr − 1) .
(7.7)
On remarque que n est pair et que les facteurs premiers de n sont au plus
égaux à pr2−1 < x ; en particulier, n n'est divisible par aucun des nombres
p1 , p2 , . . . , pr . Par le petit théorème de Fermat, pour tout i, 1 ≤ i ≤ r, 2pi −1 ≡ 1
(mod pi ), donc, par (7.7), pi divise 2n − 1. Comme pi n'est pas de Wieferich
et
n
n
ne divise pas n, par la proposition 4 (ii), vpi 2 3−1 = 1. Ainsi, ω 0 2 3−1 ≥ r =
W (2x) − W (x).
Démonstration de (1.9)
R. Crandall, K. Dilcher and C. Pomerance ont montré dans [11] qu'il n'y a
pas de nombres de Wieferich entre 2 · 1012 et 4 · 1012 . On a donc
W 4 · 1012 − W 2 · 1012 = π 4 · 1012 − π 2 · 1012 .
(7.8)
La valeur de K donnée en
(1.9) résulte de(5.8), de la proposition 7, de (7.8) et
des valeurs de π 4 · 1012 et de π 2 · 1012 aimablement communiquées par M.
Deléglise d'après l'algorithme décrit dans [13, 14].
D'après [12], 1.3.3, McKintosh a calculé qu'il n'y a pas de nombres de Wie12
ferich entre 4 · 1012 et 16
donc augmenter K en conséquence et
· 10 . On12peut
12
choisir K = π 16 · 10 −π 8 · 10 −1 = 544830816681−279010070811−1 =
265820745870.
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