I) La naissance du nombreπ 1) Les premières traces de π 2) Le
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I) La naissance du nombreπ 1) Les premières traces de π 2) Le
I) La naissance du nombre π 1) Les premières traces de π 2) Le premier record de π 3) π de nos jours; un nouveau record II) Où classer ce nombre? 1) π, un nombre “irrationnel” 2) π, un nombre “transcendant” III) π et l’aléatoire 1) π, nombre-univers? 2) Qu’est-ce que l’aléatoire? (au sens de Martin-Lof) 3) La “théorie de la complexité algorithmique” 4) Et π dans tout cela? C.Turroque Les mystères du nombreπ Introduction: Le nombre π (3,141592...) intrigue doublement les mathématiciens. D’abord, il possède une infinité de décimales qui se suivent, semble-t-il, de manière aléatoire. Ensuite, c’est une constante mathématique présente dans de nombreuses équations, notamment dans celles qui décrivent les lois statistiques. De ce fait, si l’on mesure les positions des étoiles sur la voûte céleste (dont la répartition est statistiquement aléatoire), on peut obtenir un approximation de pi. En effet, on a établi qu’il existe, en statistique, un rapport entre la position relative des étoiles et la valeur 6/π². I) La naissance du nombre pi 1) Les premières traces Les premières traces de calcul de ce nombre fantastique remonte aux Babyloniens, 2000 ans avant J-C. Leur méthode consistait à calculer le périmètre d’un hexagone inscrit dans un cercle de rayon 1. Ils obtinrent ainsi une valeur approchée du nombre égale à 3,25. On venait ainsi de découvrir le lien entre Le périmètre d’un cercle et son rayon! 2) Le premier record de π Le premier record de décimales du nombre est à mettre au compte d’Archimède, mathématicien de Syracuse, en 250 avant J-C. Il obtint les trois premières décimales: 3,141. Il avait conçu une méthode basée sur l’encadrement d’un cercle par une succession de polygones aux côtés en nombre croissant. 3) π de nos jours De nos jours, ce nombre est utilisé à tour de bras: dans de nombreuses équations (des plus simples en géométrie, au plus complexes en statistiques), et en physique quantique. Ainsi, depuis l’apparition des ordinateurs et des calculatrices, l’approximation du nombre n’a cessé de s’améliorer. Au début de l’année, Yasumasa Kanada, professeur à l’Université de Tokyo, a établit un nouveau record record, après dix heures de calcul effectué par 1024 microprocesseurs montés en parallèle, 51 milliards de chiffres après la virgule!! II) Où classer ce nombre? 1) un nombre irrationnel Le nombre pi, jusqu’au XVIIIème siècle était considéré comme inclassable. Il fallut attendre 1766, pour que le mathématicien Jean Henri Lambert démontre que pi est un nombre «irrationnel», c’est-à-dire que la suite de ses décimales ne se répète jamais identique à lui-même. Ce qui traduit la trace du choc des pythagoriciens (VI et Vème s. avant notre ère) lorsqu’ils découvrirent que le nombre «radical de 2» avait cette propriété. Mais pi allait s’avérer encore plus déconcertant encore........ 2) un nombre transcendant Bien que «radical de 2» ne soit pas rationnel, les mathématiciens ont réussi à l’inclure dans l’ensemble des nombres dits algébriques. Ce dernier est formé des solutions d’équations du type 2x² + x -1= 0. Ainsi 2 est solution de x²-2=0. Par définition, un nombre transcendant est un nombre qui n’est pas algébrique. Cet ensemble fut ériger au XVIIIème siècle afin de «loger» π. Plus tard fut rajouté à cette catégorie de nombres, e, c ... III) π et l’aléatoire 1) un nombre univers? Les nombres-univers jouissent de la caractéristique suivante: la suite des chiffres qui les composent contient toutes les séquences possibles. En un lieu donné de la suite, votre numéro de téléphone y figure... Les nombres-univers sont majoritaires dans l’ensemble des nombres. Pourtant, nous n’en connaissons qu’une infime parcelle. Ainsi, le nombre 0.12345678910111213......(composé de la suite des entiers naturels) est un nombre univers. Quant à pi, il est a priori impossible de le dire. Car pour le savoir, il faudrait disposer de la totalité de ses décimales, c’est-à-dire une infinité, ce qui est exclu. 2) Qu’est-ce que l’aléatoire? (au sens de Martin-LÖF) Le mathématicien suédois Pier Martin-Lof établit en 1965 qu’une suite aléatoire possède toutes les propriétés vérifiables qui ont une «probabilité 1» d’être observées. Une propriété vérifiable est, par exemple, «les nuits alternent avec les jours», ou, dans le domaine mathématique, «à partir du centième rang, telle suite devient périodique». Une probabilité 1 traduit la certitude qu’un événement se produise. Pour prouver que la suite des décimales de π est aléatoire, il faut démontrer que que π est irrationnel, transcendant, universel et normal. Un nombre est dit normal si tous les chiffres pris un par un, tous les couples de deux chiffres, tous les couples de trois chiffres etc... apparaissent avec la même fréquence dans la suite qui les composent. Les calculs après le dernier record de π (6,4 milliards de décimales) ont montré que pi est proche de la normalité. Mais cette constatation n’a pas valeur de démonstration. 3) la “théorie de la complexité algorithmique” Cette théorie, énoncée par le logicien russe Andréi Kolmogorov permet de savoir si un nombre est normal et aléatoire. Selon la théorie, le degré aléatoire (ou de complexité) d’un objet mathématique est proportionnel à la taille du plus petit programme informatique qui le décrit. Exemple: la suite 0,2,4,6,8..... est peu complexe. Son programme s’écrirait: pour n allant de 0 à 4, il faut multiplier n par 2 et afficher le résultat;on dit que le programme est compressible. La suite 2,5,4,7,101,54,4.....(écrite au hasard) est très complexe, son programme doit être écrit chiffre par chiffre; il est dit incompressible. Un programme incompressible est aléatoire. 4)Et π dans tout cela? Le programme informatique utilisé par Kanada est en fait très simple. Donc pi ne peut être considéré comme aléatoire au sens de Martin-Lof. π est vraisemblablement faiblement aléatoire. Les limites des mathématiques et plus généralement des sciences est ainsi mis en évidence, car pour le moment, on se trouve dans l’incapacité de démontrer que π est aléatoire ou non, et on ne s’appuie que sur des théories ou des observations. Polygones qui ont permis à Archimède de trouver les trois premières décimales du nombre π C.Turroque F o r m u l es d ’ a p p roxim a ti o n d u n o m bre π Tout d’abord une façon amusante et en rapport avec les statistiques de trouver une première approximation du nombre pi. Car pi est partout dans la nature. Dans les cercles bien sûr, mais aussi dans les couples mariés! La probabilité pour que deux nombres pris au hasard n’aient pas de diviseur commun est égale à 6/pi². D’où une méthode bien particulière pour évaluer pi/ prenez 1000 couples mariés; mesurez pour chacun la taille de l’homme et de la femme en millimètre; cela donne deux nombres h et f; comptez le nombre de fois que h et f n’ont pas de facteurs communs; soit N ce nombre; alors la racine carrée de 6000/N est une valeur approchée de pi. Formule d’approximation d’Archimède (troisième siècle avant notre ère): 3,1408...= 223/71<Œ<22/7=3,1429... Formule de J. Gregory et G. Leibniz ainsi que par le mathématicien indien Madhava (XVII ème siècle): Œ = 4x(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11...) Formule de Leonhard Euler: Œ = 2x(1+1/3+1.2/3.5+1.2.3/3.5.7+1.2.3.4/3.5.7.9+.. Cette dernière est la formule à la base de tous les programmes informatiques ayant pur but de donner une valeur approchée du nombre pi. Ainsi Yasumasa Kanada l’a utilisée pour donner une valeur approchée de pi à 51 milliards de décimales. Voici une autre formule quelque peu étrange d’approximer pi du mathématicien indien Ramanujan: (102 - 2222/22²)^¼ = 3,14159265258 Un autre formule, toujours du même mathématicien: ∞ π = 9801/ √ 8 (∑ n=0 ( 4 n)!(1103+26390n) / (n!)^4.396^4n) )^-1 Formule de Simon Plouffe, mathématicien Canadien, découverte il y a seulement 2 ans et demi de cela: π = (4/1 - 2/4 - 1/5 - 1/6)+1/16.(4/8+1 - 2/8+4 - 1/8+5 - 1/8+6)+ 1/16²(4/16+1 - 2/16+4 1/16+5 - 1/16+6)+... c’est-à-dire: ∞ π = ∑ 1 / 1 6 ^i (4/8i+1 - 2/8i+4 - 1/8i+5 - 1/8i+6) i=0 En complément, un programme en langage C qui reprend la formule d’Euler et qui, ne comportant que 158 caractères calcule 2400 décimales de pi: int a=10000,b,c=8400,d,e,f[8401],g ; main(){for( ; b-c ;)f[b++]=a/5 ; for( ; d=0, g=c*2 ; c-=14,printf(“%.4d”,e=d/a) , e= d%a)for(b=c ; d+=f[b]*a,f[b]=d% —g, d/=g,—b ; d*=b);} Et pour finir, quelques décimales de π , : π = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105 82097494459230781640628620899862803482534211706798214808 6513282 ΝΟΤΑ−ΒΕΝΕ: Pour les “mordus” du nombre π , il peuvent aller consulter la salle dédiée à ce nombre au Palais de la découverte à Paris où ont été recopiée les 707 premières décimales du nombre pi sur le plafond de cette salle. Celles -ci ont été calculées à la main par le mathématicien Williams Shanks en 1874 (elles figurent à Paris depuis 1937). Enfin, pour la petite histoire, une erreur s’était glissée dans les calculs du mathématicien à partir de la 528ème décimale, et ne fut corrigée qu’en 1945. Donc il ne faut pas tenir compte des rumeurs qui courent sur l’exactitude des décimales de pi au Palais de la découverte, car elles sont tout à fait exactes. C.Turroque La classification des nombres ensemble des -3 , -150 , ... 0,1,2,... 4/5,125/7,... L=1,100100010000... entiers naturels nombre de Chaitin Ω entiers relatifs nombres transcendants nombres rationnels nombres algébriques nombres aléatoires nombres normaux nombres univers π? nombre de Champernowne 0,123456789101112.... √2 C.Turroque Classification des nombres (définitions) Les entiers naturels: Parmi eux, il y a les nombres premiers, les nombres carrés, les nombres “puissance 2”, etc: N = {0,1,2,3,4...} Les entiers relatifs: Les mêmes que précédemment auxquels on ajoute les nombres négatifs: Z = N∪ {-1,-2,-3,...} Les nombres rationnels: Ce sont ceux qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers: Q = {1/2,1/3,-3/4...} Les nombres algébriques: Ce sont les nombres qu’on peut définir par une équation polynomiale à coefficients entiers comme: 1 + X - X² = 0 ou 3 + 2X +X² + X³ - 7X^5 = 0 (cette dernier équation a la particularité d’avoir le nombre d’or ( √ 5-1)/2 comme solution. Les nombres transcendants: Par définition, ce sont les nombres qui ne sont pas algébriques. Le nombre pi est un nombre transcendant. Il n’existe aucune équation polynomiale à coefficient entier dont pi est solution. Ce résultat, démontré en 1882 par l’Allemand Ferdinand von Lindemann, régla le problème de la “quadrature du cercle” (“construire un segment de longueur pi avec une règle et un compas”). La quadrature du cercle est insoluble et ceux qui s’y essaient perdent leur temps. Les nombres univers: Les nombres univers sont ceux qui dans leurs chiffres font apparaître toutes les séquences possibles de chiffres: on rencontre donc dans leurs décimales au moins 1, au moins 2, etc. mais aussi au moins une fois la séquence 1234567, ou la séquence 1998. L’exemple la plus simple est le nombre de Champernowne: Ch = 0,12345678910111213... Les nombres normaux: Ils sont les nombres tels que: un chiffre sur 10 en moyenne est un 1, un chiffre sur 10 est un 3,etc.; la séquence 00 se rencontre une fois sur 100,de même pour les séquences de trois chiffres, quatre chiffres, cinq chiffres, etc. Ces nombres sont majoritaires (c’est un résultat du mathématicien Emile Borel), mais il est très difficile de montrer qu’un nombre précis est normal. Ainsi, on ignore ce qu’il en est de √ 2. Les nombres aléatoires: Ce sont les nombres qui satisfont tous les tests statistiques raisonnables. Ils sont normaux, transcendants, mais ne sont pas calculables. Le nombre Ω de Chaitin est aléatoire. De quoi s’agit-il? Il s’agit d’une suite de chiffres n’ayant aucun lien logique, et donc l’ordinateur a besoin d’un programme aussi grand que lui pour le calculer. Ainsi, pour écrire ses 1000 premières décimales, vous n’auriez rien mieux que les énumérer les unes après les autres. En revanche, le nombre pi, lui, est très compressible comme le montre le programme de 158 caractères qui en calcule 2400 décimales et donc il n’est pas aléatoire. C.Turroque