DS no5 supplémentaire – TS1 2011 Le polonium 210

DS no 5 supplémentaire – TS1 2011
Le polonium 210
À propos du polonium 210, on peut trouver dans l’encyclopédie Wikipédia le texte suivant :
« C’est le premier élément découvert par Pierre et Marie Curie en 1889 dans leurs recherches sur la radioactivité [...]. Ce n’est que plus tard qu’ils découvrirent
le radium. Le mot polonium a été choisi en hommage
aux origines polonaises de Marie Sklodowska-Curie. [...]
C’est un émetteur de rayonnement alpha. Le 210 Po a une
demi-vie de 138 jours. [...] Il se désintègre en émettant
des particules alpha dont l’énergie est de 5,3 millions
d’électrons volts. [...] L’exposition aux rayonnements ionisants augmente le risque de cancer, d’anomalies génétiques, et pourrait avoir de nombreuses conséquences
sanitaires autres que les cancers. Le polonium 210 présente une forte activité [...]. Un seul gramme de polonium 210 présente une activité de 166 000 milliards de
Becquerels et par conséquent émet 166 000 milliards de
particules alpha par seconde. »
Données :
Quelques éléments :
81 Tℓ ; 82 Pb ; 83 Bi ; 85 At ; 86 Rn ;
Masses de quelques noyaux ou particules :
m 42 He = 4, 001 51 u ;
m 94 Be = 9, 009 98 u ;
m 10 n = 1, 008 66 u.
m 12
6 C = 11, 996 71 u ;
Masse molaire atomique : M 210 Po = 210 g · mol−1 ;
Célérité de la lumière : c = 2, 997 92 × 108 m · s−1 ;
Nombre d’Avogadro : NA = 6, 022 × 1023 mol−1 ;
Unité de masse atomique : 1 u = 1, 6605 × 10−27 kg.
1. Indiquer la composition d’un noyau
nium 210.
210 Po
84
de polo-
2. Écrire l’équation de désintégration d’un noyau 210
84 Po
en précisant les lois de conservation utilisées (on supposera que le noyau fils formé est à l’état fondamental).
3. L’élément polonium possède entre autres isotopes le
noyau de 210
84 Po. Définir la notion des noyaux isotopiques.
5.2. Sachant que l’activité A(t) d’une source radioactive vérifie :
A(t) = −
dN (t)
dt
montrer que l’activité A(t) d’une source radioactive est proportionnelle au nombre N (t) de noyaux
radioactifs présents dans cette source.
5.3. Écrire la relation entre la constante radioactive et
le temps de demi-vie puis calculer la valeur de la
constante radioactive, en s−1 , du 210
84 Po.
6.1.
6. Calculer le nombre N de noyaux présents dans une
masse m = 1, 00 g de polonium 210.
6.2. Justifier, par un calcul, la phrase « un seul gramme
de polonium 210 présente une activité de 166 000
milliards de becquerels ».
7. Le polonium 210 est l’un des produits issus des désintégrations successives de l’uranium 238 lesquelles
conduisent à l’isotope stable 206
82 Pb du plomb.
Ces désintégrations sont de type α et β − . On peut
assimiler l’ensemble à une réaction unique :
238
92 U
→
206
82 Pb
+ x 42 He + y −10 e
où x et y sont des entiers.
Déterminer le nombre x de désintégrations α et le
nombre y de désintégrations β − . Pour effectuer ce
calcul, la connaissance de l’ordre des désintégrations
n’est pas nécessaire.
8. Émetteur α, le polonium a de nombreuses utilisations.
Il a été employé comme source de rayonnement ? par
Irène et Frédéric Joliot-Curie dans les expériences
qui ont conduit à la découverte de la radioactivité
artificielle en 1934.
Associé au béryllium, il constitue une source de neutrons produits par la réaction nucléaire :
9
4 Be
+ 42 He →
12
6 C
+ 10 n
4. Définir le temps de demi-vie, t1/2 , d’un noyau radioactif.
8.1. Exprimer l’énergie de cette réaction, E, à partir
des données.
5.1.
5. Énoncer la loi de décroissance radioactive, en précisant la signification de chacun des termes.
8.2. Calculer sa valeur en joules.
8.3. Commenter le signe de la valeur obtenue pour E.
Corrigé du DS no 5 supplémentaire – TS1 2011
Le polonium 210
1. 84 protons, 210 nucléons donc 210 − 84 = 126 neutrons.
2. Équation de désintégration alpha du polonium 210,
donc avec émission d’un noyau d’hélium 4, ou particule alpha :
210
84 Po
→
A
ZY
⇒
A = 206
Z = 82
L’élément de numéro atomique Z = 82 est le plomb.
On en déduit l’équation de désintégration recherchée :
210
84 Po
→
206
82 Pb
+ 42 He
On a omit la petite étoile sur le noyau fils, puisqu’il
est indiqué qu’il est émis dans l’état fondamental,
c’est-à-dire qu’il n’est pas dans un état excité, et n’a
donc pas besoin d’émettre un photon gamma.
3. Des isotopes ont même nombre de protons, mais des
nombres de neutrons différents. Il s’agit d’un même
élément, plus ou moins « lourds. »
4. Le temps de demi-vie d’un échantillon de noyaux radioactifs est le temps au bout duquel la moitié des
noyaux initialement présents se sont désintégrés :
N0
N t1/2 =
2
Autrement dit, au bout de chaque durée t1/2 , un
noyau sur deux se désintègre en moyenne :
N t + t1/2
N (t)
=
2
5.1.
5. Loi de décroissance radioactive :
N (t) = N0 e−λt
N (t) est le nombre de noyaux de l’échantillon, non
encore désintégrés à l’instant t ;
dN (t)
= −N0 (−λ) e−λt = λN0 e−λt
dt
On reconnaît au seconde membre l’expression de
N (t) (mise en évidence entre crochets ci-dessous) :
+ 42 He
Lois de conservation ou lois de Soddy : conservation
du nombre de nucléons (nombre de masses) et du
nombre de protons (nombre de charges) :
210 = A + 4
84 = Z + 2
A(t) = −
h
i
A(t) = λ N0 e−λt = λN (t)
La constante radioactive λ étant une constante caractéristique des noyaux considérés, on constate
bien que l’activité A(t) est proportionnelle au
nombre de noyaux N (t).
5.3. La relation entre la constante radioactive λ et la
demi-vie t1/2 s’écrit :
λ=
ln 2
t1/2
La démonstration de cette relation n’était pas demandée ici. Pour l’application numérique, l’énoncé
demande une constante radioactive λ en s−1 , il faut
donc convertir t1/2 = 138 jours en secondes :
λ=
ln 2
= 5, 81 × 10−8 s−1
138 × 24 × 3 600
6.1.
6. Calculons tout d’abord la quantité de matière (ou
« nombre de moles ») dans m = 1, 00 g de polonium 210 :
n=
1, 00
m
=
= 4, 76 × 10−3 mol
M
210
On en déduit le nombre N de noyaux :
n=
N
NA
⇔
N = nNA
⇒
N = 4, 76 × 10−3 × 6, 022 × 1023
⇒
N = 2, 87 × 1021 noyaux
6.2. Calculons l’activité de m = 1, 00 g de polonium 210 :
A = λN = 5, 81 × 10−8 × 2, 87 × 1021
A = 1, 67 × 1014 Bq
N0 est le nombre de noyaux de l’échantillon, à
l’instant initial t = 0 ;
résultat qui correspond à environ 167 000 milliards
de Becquerels. À l’arrondi près, la phrase du texte
est bien justifiée.
λ est la constante radioactive, ou probabilité de
désintégration d’un noyau, dont l’unité est
l’inverse de la seconde (s−1 ) ;
7. À nouveau, on utilise les lois de conservations ou lois
de Soddy : on obtient un système de deux équations
à deux inconnues x et y, dans lequel on isole x et y :
t est le temps en secondes (s).
5.2. On remplace N (t) dans l’expression de l’activité
A(t), en dérivant l’expression précédente :
238 = 206 + 4x
4x = 238 − 206 = 32
⇒
92 = 82 + 2x − y
y = 82 − 92 + 2x
⇒
x=8
y = 2x − 10 = 16 − 10 = 6
On décompte donc huit désintégrations α et six désintégrations −10 e.
8.1.
8. En convention thermodynamique ou convention du
banquier, l’énergie E libérée par le système est donnée par :
E = (mfinale − minitiale ) · c2
12
6 C
+m
1
0n
−m
9
4 Be
−m
E = (11, 99671 + 1, 00866 − 9, 00998 − 4, 00151)
2
× 1, 6605 × 10−27 × 2, 99792 × 108
E = − 9, 1334 × 10−13 J
Pour la réaction nucléaire de production d’un neutron :
E= m
8.2. Les masses étant exprimées en unité de masse atomique (u), il faut les convertir en kilogrammes,
en multipliant par l’unité de masse atomique
(1, 6605 × 10−27 kg) :
4
2 He
· c2
8.3. E < 0, le système perd de l’énergie, cette énergie
est libérée (on peut parler d’une réaction exothermique, comme en chimie).
Grille DS5 supp TS1 2011
Grille DS5 supp TS1 2011
84 p, 126 n + lois de Soddy
206 Pb
82
Isotopes
N (t1/2 ) = N0 /2 ou énoncé
N (t) = N0 exp(−λt)
Nom et signification des termes
Démo A = λN
Démo A = λN
λ = ln 2/t1/2
λ = 5, 81 × 10−8 s−1
n = m/M et N = nNA ou équivalent
N = 2, 87 × 1021 noyaux
A = 1, 67 × 1014 Bq, calculée
x = 8 et y = 6
x = 8 et y = 6
E = (mfinale − minitiale )c2
E = [m(C) + m(n) − m(Be) − m(α)]c2
E = −9, 1334 × 10−13 J
E = −9, 1334 × 10−13 J
E < 0 convention thermo + énergie libérée
Note
84 p, 126 n + lois de Soddy
206 Pb
82
Isotopes
N (t1/2 ) = N0 /2 ou énoncé
N (t) = N0 exp(−λt)
Nom et signification des termes
Démo A = λN
Démo A = λN
λ = ln 2/t1/2
λ = 5, 81 × 10−8 s−1
n = m/M et N = nNA ou équivalent
N = 2, 87 × 1021 noyaux
A = 1, 67 × 1014 Bq, calculée
x = 8 et y = 6
x = 8 et y = 6
E = (mfinale − minitiale )c2
E = [m(C) + m(n) − m(Be) − m(α)]c2
E = −9, 1334 × 10−13 J
E = −9, 1334 × 10−13 J
E < 0 convention thermo + énergie libérée
.../20
Note
Grille DS5 supp TS1 2011
Grille DS5 supp TS1 2011
84 p, 126 n + lois de Soddy
206 Pb
82
Isotopes
N (t1/2 ) = N0 /2 ou énoncé
N (t) = N0 exp(−λt)
Nom et signification des termes
Démo A = λN
Démo A = λN
λ = ln 2/t1/2
λ = 5, 81 × 10−8 s−1
n = m/M et N = nNA ou équivalent
N = 2, 87 × 1021 noyaux
A = 1, 67 × 1014 Bq, calculée
x = 8 et y = 6
x = 8 et y = 6
E = (mfinale − minitiale )c2
E = [m(C) + m(n) − m(Be) − m(α)]c2
E = −9, 1334 × 10−13 J
E = −9, 1334 × 10−13 J
E < 0 convention thermo + énergie libérée
Note
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84 p, 126 n + lois de Soddy
206 Pb
82
Isotopes
N (t1/2 ) = N0 /2 ou énoncé
N (t) = N0 exp(−λt)
Nom et signification des termes
Démo A = λN
Démo A = λN
λ = ln 2/t1/2
λ = 5, 81 × 10−8 s−1
n = m/M et N = nNA ou équivalent
N = 2, 87 × 1021 noyaux
A = 1, 67 × 1014 Bq, calculée
x = 8 et y = 6
x = 8 et y = 6
E = (mfinale − minitiale )c2
E = [m(C) + m(n) − m(Be) − m(α)]c2
E = −9, 1334 × 10−13 J
E = −9, 1334 × 10−13 J
E < 0 convention thermo + énergie libérée
.../20
Note
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