Liste des mini-projets

Liste des mini-projets
17 février 2014
1
1.1
MATHAA-CAA (Prof. Bernard Dacorogna, Boris Buffoni)
Chapitres choisis d’analyse (III)
Sous la responsabilité de : Sébastien Basterrechea
Attribué à : .
A discuter.
1.2
Chapitres choisis d’analyse (IV)
Sous la responsabilité de : Sébastien Basterrechea
Attribué à : .
A discuter.
1.3
Distance de Hausdorff et fractales
Sous la responsabilité de : Boris Buffoni
Attribué à :
Certaines fractales sont obtenues comme points fixes d’applications contractantes dans un espace
métrique complet. Présenter l’espace métrique sous-jacent et illustrer l’idée géométrique.
Références : Paragraphe 5.II.4 dans Queffélec, Topologie 2e éd., Dunod 2002 ; G. A. Edgar,
Measure, topology and fractal geometry, Springer-Verlag 1990.
1.4
Lemme de Lebesgue et fonction de Cantor
Sous la responsabilité de : Boris Buffoni
Attribué à :
Démontrer, en l’illustrant, le lemme de Lebesgue sur la dérivabilité presque partout des fonctions monotones et construire une fonction continue, croissante, non constante et à dérivée nulle
presque partout (fonction de Cantor). Généralisations.
Références : Riesz et Nagy, Leçons d’analyse fonctionnelle ; A.N. Kolmogorov et S. V. Fomin,
Introductory Real Analysis.
1
2
2.1
MATHAA-CAMA (Prof. Hoai Minh Nguyen)
The three sphere inequality and its applications
Sous la responsabilité de : Hoang loc Nguyen
Attribué à :
The project is on the three sphere inequality in simple settings and its applications.
Logiciel éventuel :
2.2
Caccioppoli’s inequality and its applications.
Sous la responsabilité de : Hoang loc Nguyen
Attribué à :
The project is on Caccioppoli’s inequality and its application in the theory of elliptic equations.
Logiciel éventuel :
3
3.1
MATHAA-DISOPT (Prof. Friedrich Eisenbrand)
Sending Secret Messages with RSA
Sous la responsabilité de :
Attribué à :
The goal of the project is to implement and test the RSA method for encryption of secret messages.
The student should develop his/her own tool that is also immunized against three well known RSA
attacks.
Logiciel éventuel : Sage computer algebra system
3.2
Randomized Matching Algorithms
Sous la responsabilité de :
Attribué à :
A matching of a graph is a selection of edges that are pairwise non-intersecting. The goal of this
project is to implement a randomized algorithm that computes a maximum cardinality matching.
The algorithm is based on a randomized test whether a matrix, whose components are polynomials,
is non-singular or not.
Logiciel éventuel : Sage computer algebra system
2
4
4.1
MATHAA-PDE (Prof. Joachim Krieger)
Théorème de Peano et perte d’unicité pour les solutions des EDO.
Sous la responsabilité de : Joules Nahas, Elisabetta Chiodarolli or Willie Wong
Attribué à :
En commençant avec une bonne compréhension des théorèmes d’existence de Picard et Peano,
le but est de comprendre un travail de P. Hartman qui démontre la construction d’une EDO avec
perte d’unicité pour données initiales quelconques. Ce projet pourrait aussi mener à une généralisation de cette construction.
Logiciels : LATEX
4.2
Le théorème d’existence de Jorgens pour les équations nonlinéaires
d’ondes défocalisantes.
Sous la responsabilité de :Joules Nahas, Elisabetta Chiodarolli or Willie Wong
Attribué à :
Le but est une bonne compréhension du théorème sur l’existence globale de solutions pour les
équations d’ondes nonlinéaires sous-critiques et défocalisantes sur R^3. Une version plus ambitionne pourrait aussi considérer le cas critique, ou même des travaux récents sur les cas faiblement
super-critiques.
Logiciels : LATEX
5
5.1
MATHAA-PROB (Prof. Robert Dalang)
Simulating stochastic differential equations using the Euler approximation
Sous la responsabilité de : Jean-Benoît Rossel
Attribué à : .
The Euler approximation provides a simple method for simulating the solutions of stochastic differential equations. Using tools from second year probability theory, and methods for generating
Gaussian random variables, the student will simulate the solution of some linear and non-linear
stochastic differential equations.
Logiciels : Matlab
3
6
6.1
MATHAA-SMAT (Prof. Victor Panaretos)
Introduction to density estimation
Sous la responsabilité de : Victor Panaretos
Attribué à :
The goal of statistics is to infer the properties of a population given data from this population.
This problem is phrased mathematically by requiring to estimate a probability distribution given
realizations of random variables following this distribution. Often these distributions are known
up to a parameter, leading to parametric estimation. This mini-project will investigate the fundamental aspects of estimation when the distribution is completely unknown, and we wish to recover
it entirely from the data. Basic estimators such as the histogram and kernel estimator will be
considered, and the basic ideas required to assess their performance will be investigated.
Logiciels : R
6.2
Handling Missing Data with the EM Algorithm.
Sous la responsabilité de : Yoav Zemel
Attribué à :
Likelihood provides a unifying method for conducting statistical inference on the unknown parameter value of a distribution given data from that distribution. In practice, however, it is not
uncommon to not have a complete data set at hand - some observations might be missing due
to measurement limitations. The EM algorithm is a very successful broad method to implement
likelihood inference when not all the data are available. This mini-project will investigate the motivation, workings and basic properties of the EM algorithm, and consider its use in some special
examples.
Logiciels : R
6.3
Univariate Linear Regression.
Sous la responsabilité de : Yoav Zemel
Attribué à :
Described as the ’workhorse of statistics’, regression attempts to establish and investigate the
relationship between two phenomena that are characterized by random variation. An especially
important special case is that of linear regression, when the relation is assumed to be linear, as it is
in fact much more powerful then the linearity assumption may seem to suggest. This mini-project
will consider the basic elements of constructing, estimating and assessing a linear regression model
between two variables, using likelihood as a basic tool.
Logiciels : R
4
7
7.1
MATHAA-STAT (Prof. Anthony Davison)
Copule Gaussienne (propriétés, ajustement et simulation)
Sous la responsabilité de : Claudio Semadeni
Attribué à : .
Dans la pratique, de nombreux phénomènes sont intrinsèquement multivariés. Les copules permettent de modéliser la structure de dépendance de nombreux phénomènes. Le but de ce miniprojet et de comprendre le concept de copule et les propriétés fondamentales de la copule Gaussienne, d’implémenter un algorithme de simulation des données, et d’effectuer un ajustement de
modèle sur des données réelles.
Logiciels : R, LATEX
7.2
Simulation Monte Carlo et méthodes de réduction de variance
Sous la responsabilité de : Mathieu Cambou
Attribué à : .
Les étudiants introduiront la méthode statistique Monte Carlo pour approcher l’espérance d’une
variable aléatoire. La méthode sera implémentée dans sa forme primaire dans un premier temps.
Deux méthodes de réduction de variance devront être proposées et implémentées. L’efficacité de
ces différentes méthodes pourra être discutée autour d’un exemple simple (possiblement appliqué
à la finance).
Logiciels : R
7.3
Arbres de classification et forêts aléatoires
Sous la responsabilité de : Sebastian Engelke
Attribué à : .
Les arbres de classification et les forêts aléatoires sont des algorithmes pour la classifications des
données. Le but de ce mini-projet sera de comprendre leurs principes et de présenter une application de ces méthodes sur un jeu de données (par exemple la classification des spams) à l’aide du
logiciel R.
7.4
Echantillonnage préférentiel
Sous la responsabilité de : Sebastian Engelke
Attribué à : .
La méthode de Monte-Carlo permet l’approximation d’intégrales non calculables analytiquement.
Dans certaines situations la méthode classique n’est pas optimale et ses performances peuvent
être améliorés par échantillonnage préférentiel. Le but de ce mini-projet sera de comprendre le
fonctionnement de cette méthode (démonstration) et d’étudier ses performances sur un exemple à
l’aide du logiciel R.
Logiciels : R
5
7.5
Modélisation d’événements extrêmes (méthode des maxima)
Sous la responsabilité de : Claudio Semadeni
Attribué à : .
Les événements extrêmes peuvent avoir des conséquences dramatiques sur les populations et/ou
les infrastructures. La théorie des valeurs extrêmes permet de modéliser de nombreux phénomènes
extrêmes, et ainsi améliorer la gestion de leurs conséquences. Le but de ce mini-projet est de comprendre la modélisation des maxima avec la loi généralisée des valeurs extrêmes (GEV) et d’ajuster
le modèle à des données réelles par la méthode du maximum de vraisemblance.
Logiciels : R, LATEX
7.6
Estimation de la queue d’une distribution (GPD)
Sous la responsabilité de : Emeric Thibaud
Attribué à : .
En statistique, la loi de Pareto généralisée (GPD) peut-être utilisé pour approximer la queue
de nombreuses distributions. Le but de ce mini-projet sera de comprendre le principe de l’ajustement par maximum de vraisemblance et d’utiliser ce principe pour estimer les hauts quantiles
d’une distribution à l’aide de la loi GPD.
Logiciels : R
7.7
Prédiction spatiale et krigeage
Sous la responsabilité de : Emeric Thibaud
Attribué à : .
Le krigeage est fréquemment utilisé en géostatistique pour interpoler des valeurs sur une carte
où les mesures n’ont pas été effectuées. Le but de ce mini-projet sera de comprendre les modèles
statistiques sous-jacents au krigeage ordinaire et au krigeage universel (ordinary and universal
kriging). Dans le but d’appliquer les méthodes à un jeu de données réelles, il faudra également
comprendre les notions de "variogramme", "processus Gaussien", "prédiction optimale", ainsi que
coder ces méthodes avec l’aide du logiciel R.
Logiciels : R
6
8
8.1
MATHICSE-ANCHP (Prof. Daniel Kressner)
Random polygons converging to ellipses : an analysis with eigenvectors
Sous la responsabilité de : Andre Uschmajew
Attribué à : .
Suppose you make a polygon from random points in the plane. Construct a new polygon by
connecting the midpoints of its edges and rescale it in a specific way. Repeat. Some experiments
now reveal that no matter how you start or how many points you take, in the limit the points
will lie on an ellipse that is tilted 45 degrees from the coordinate axes. In this project, you will
experiment with Matlab to see how this iteration behaves, how it can be analyzed using simple
matrix multiplications, and how the limit can be described using the eigenvalue decomposition.
After polygons in the plane, you will extend the experiments and analysis to polygons in three (or
arbitrary) dimensions.
This project is based on the paper "From Random Polygon to Ellipse : An Eigenanalysis" by A.
N. Elmachtoub and C. F. Van Loan.
Logiciels : Matlab or Octave.
Remark : The report and poster may be written in French or English.
8.2
Simulating particle interactions - N -body problem
Sous la responsabilité de : Ana Susnjara
Attribué à : .
you are given a set of n particles in the force field that are also interacting with each other.
The movement of each particle is determined by its initial position and velocity, by the influence
of the outside force field on the particle and by the influence of the interacting forces between
particles. The goal is to calculate the movement of all particles during some time interval. As n
can be quite large, this can be computationally challenging problem. One algorithm that solves this
problem with satisfying accuracy and in reasonable time complexity is the Barnes-Hut algorithm.
The students working on the project should understand the algorithm and implement in C++(or
MATLAB). Force integration over time should be calculated using some simple integration formula,
e.g., the Euler method. A simple example where the method can be tested is the computation of
interactions between neutral atoms and molecules. For the interactions between the particles, the
Lennard-Jones potential should be used. Periodic boundary conditions for the particle surrounding should be used. The algorithm should be tested for different values of the constants in the
Barnes-Hut algorithm as well as for different values of the constants in the Lennard-Jones potential.
Logiciels : C++ (or Matlab).
Remark : The report and poster may be written in French or English.
7
8.3
Image and data reconstruction using matrix completion
Sous la responsabilité de : Jonas Ballani
Attribué à : .
Given only a few entries of a possibly very large matrix, we want to fill in the missing data and
thereby reconstruct the original matrix. Typical applications of this matrix completion problem
are to be found in the area of image processing (reconstructing a corrupted image or removing
unwanted elements) or recommender systems like the Netflix movie rating algorithm.
Implement a simple version of the state-of-the-art LMaFit algorithm, which uses an alternating
least-squares approach to solve the problem and try it out on several small examples. You will
learn about low-rank approximation techniques and how such low-rank structure can be exploited
in numerical algorithms.
Logiciels : Matlab, Octave or Python.
Remark : The report and poster may be written in French or English.
9
9.1
MATHICSE-ANMC (Prof. Assyr Abdulle)
Calcul de la trajectoire de planètes
Assistant responsable : Martin Huber or Orane Jecker
Attribué à : .
Comprendre comment les lois de Newton conduisent à la description des équations différentielles
ordinaires pour le mouvement des planètes.
Écrire un petit programme pour résoudre ces équations différentielles et prédire la position de
Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune et Pluton en septembre 2014.
Logiciel : Matlab (ou C++,...).
9.2
Les équations différentielles raides
Assistant responsable : Martin Huber or Orane Jecker
Attribué à :
Étude de la stabilité d’une méthode numérique pour des équations différentielles ordinaires. Comprendre la notion de fonction de stabilité et étudier les propriétés de quelques fonctions de stabilité
dans le plan complexe.
Logiciel : Matlab (ou C++,...).
8
9.3
Numerical stability of a finite difference method applied to a onedimensional parabolic problem
Assistant responsable : Martin Huber or Orane Jecker
Attribué à :
Understand the finite difference method for the solution of a 1-dimensional parabolic problem.
Study the spectrum of the discrete problem and derive the famous Courant-Friedrichs-Lewy condition for the stability of the finite difference scheme. Study the convergence of the numerical scheme.
9.4
Numerical solution of a one-dimensional hyperbolic problem
Assistant responsable : Martin Huber or Orane Jecker
Attribué à :
Understand and program the finite difference method for the solution of a 1-dimensional hyperbolic
problem. Study numerically the relation between time and space discretization for the stability of
the method. Study the convergence of the numerical scheme.
Logiciel : Matlab (ou C++,...).
10
10.1
MATHICSE- GR PI (Prof. Marco Picasso)
Résolution numérique d’un problème parabolique à une dimension
d’espace.
Sous la responsabilité de : Prof. M. Picasso
Attribué à :
Écrire un programme permettant d’approcher la solution d’un problème parabolique à une dimension d’espace. Discuter les résultats. Rédiger.
Références : J. Rappaz, M.Picasso, introduction à l’analyse numérique, PPUR, chapitre 12.
Logiciels : Matlab ou C++
10.2
Résolution numérique d’un problème elliptique à une dimension
d’espace.
Sous la responsabilité de : Prof. M. Picasso
Attribué à :
Écrire un programme permettant d’approcher la solution d’un problème elliptique à une dimension
d’espace. Discuter les résultats. Rédiger.
Références : J. Rappaz, M.Picasso, introduction à l’analyse numérique, PPUR, chapitre 10.
Logiciels : Matlab ou C++
9
10.3
Résolution numérique d’un problème de diffusion-convection à une
dimension d’espace.
Sous la responsabilité de : Prof. M. Picasso
Attribué à :
Écrire un programme permettant d’approcher la solution d’un problème de diffusion-convection à
une dimension d’espace. Discuter les résultats. Rédiger.
Références : J. Rappaz, M.Picasso, introduction à l’analyse numérique, PPUR, chapitre 14.
Logiciels : Matlab ou C++
11
11.1
MATHICSE-CMCS (Prof. Alfio Quarteroni)
Simulation of electric circuits
Sous la responsabilité de : Luca Dede’ (or delegate)
Attribué à :
Modeling, numerical analysis and simulation of the systems of ordinary differential equations describing the zero-dimensional electric circuits.
Logiciels : Matlab/Octave ; LATEX.
11.2
Orbits of planets in the solar system
Sous la responsabilité de : Luca Dede’ (or delegate)
Attribué à :
Modeling, numerical analysis and simulation of the systems of ordinary differential equations describing the orbits of planets in the solar system.
Logiciels : Matlab/Octave ; LATEX.
12
12.1
MATHICSE-CSQI (Prof. Fabio Nobile)
Quadrature rules to compute expectations of random variables
Sous la responsabilité de : Lorenzo Tamellini
Attribué à :
The aim of this project is to implement numerical strategies to approximate the expectation of
functions of random variables. The student will exploit the connections between quadrature rules
and orthogonal polynomials to derive suitable quadrature formulae and compare them with built-in
Matlab functions and randomized techniques
Logiciels : Matlab ; LATEX.
10
12.2
The obstacle problem
Sous la responsabilité de : Lorenzo Tamellini
Attribué à :
In this project the student will implement in Matlab and compare few strategies to solve a particular linear system with inequality constraints. This situation arises, for instance, in the so-called
obstacle problems, in which one looks for a function u representing the rest position of a string
subject to gravity that is also bounded to lie above a given object (the obstacle) whose shape is
described by another function phi.
Logiciels : Matlab ; LATEX.
13
13.1
MATHICSE-MCSS (Prof. Jan S Hesthaven)
Gauss Quadratures and Orthogonal Polynomials
Sous la responsabilité de : Daniel Baffet
Attribué à :
Gauss quadrature rules are, in some sense, the most efficient methods for numer- ical integration. In this mini-project we will develop a program that uses Gauss quadratures to approximate
the integral of an input function. As the construc- tion of Gauss quadratures involves orthogonal
polynomials, we will take the opportunity to study some of the interesting properties of such polynomials.
Logiciels :
13.2
Polynomial interpolation and approximation of functions.
Sous la responsabilité de : Paul Cazeaux
Attribué à :
Interpolation is an important method in numerical analysis, which can be used to connect data
points from measurements by a smooth function, to approximate a complex function by a simple
one, etc. In particular, interpolation by a polynomial function is a fundamental problem which
leads to counterintuitive observations and difficulties.
Understand and implement an algorithm for the interpolation of a 1d function by a polynomial.
Study numerically the convergence of the approximation with increasing polynomial degree for
various choices of sets of interpolating nodes (equispaced, Chebyshev. . . ) and discuss Runge’s
phenomenon. If time allows, compute and study the behavior of numerical approximations of the
Lebesgue constants for some choices of interpolating nodes.
Logiciels :
11
13.3
Saving Schrodinger’s Cat.
Sous la responsabilité de : Allan Nielsen
Attribué à :
A young student from the physics department has spend much too long time thinking about
the Copenhagen interpretation of quantum mechanics and he now thoroughly insists on placing an
innocent cat in a closed box with a poisonous timebomb. The student has asked us to provide a
box and various boxes are available in our laboratory. To save the cat we must find the box that
maximizes the chances of the cat tunneling to safety trough the sides of the box. In order to do
so, we turn to the Schrodinger equation. The Schrodinger equation is a complex valued PDE and
by solving it we can derive the probability-distribution of cat in space. In this project you must
solve the 1d Schrodinger equation numerically for various potential distributions so to find the box
that maximize the chances of the cat making it out alive. To give the cat tunneling capabilities we
let mass of cat mcat = 1kg and make a refinement of the Planck’s constant, = 6.6 · 1034 m2kg
1m2kg . In this project you will be introduced ss to programming in matlab and to basic numerical
methods for solving partial differential equations.
Logiciels :
13.4
Modelling Shallow Water Waves.
Sous la responsabilité de : Allan Nielsen
Attribué à :
The shallow water wave equations is a system of coupled nonlinear partial differential equations.
The equations are of particular interest because they can be used to model a wide range of atmospheric and oceanic phenomenons such as Rossby waves, Kelvin waves, Gravity waves, Tidal
waves, Tsunami waves and so on. A multitude of numerical methods for solving the many variants
of the equations exists. Depending on your interests and motivation we can investigate various
finite difference or finite volume numerical schemes in terms of stability and accuracy or build an
implementation of a simple solver for the two dimensional equations. In this project you will be
introduced to programming in matlab and to basic numerical methods for solving partial differential equations.
Logiciels :
12
14
14.1
MATHGEOM-CSAG (Prof. Eva Bayer Fluckiger)
Théorème de la progression arithmétique.
Sous la responsabilité de : Guillermo Mantilla-Soler
Attribué à :
Dirichlet’s theorem on arithmetic progressions says the following :
Theorem (Dirichlet). Let m, n be relatively prime integers, with m > 0. Then the arithmetic
progression
U (m, n) := n, m + n, 2m + n, 3m + n, ...
contains infinitely many primes.
The standard proof of the above results require basic tools from analytic number theory. The
purpose of this project is to present an elementary algebraic proof of the above theorem in the
particular cases n = 1. More explicitly, we will show that for all positive integer m the arithmetic
progressionU (m, 1) contain infiitely many primes.
Required knowledge : In principle any student knowing basic facts about rings and fields should
be able to follow the material need it for this project.
14.2
Le problème du logarithme discret pour les courbes elliptiques.
Sous la responsabilité de : Valéry Mahé
Attribué à :
Le but de ce projet est d’étudier la théorie des courbes elliptiques et ses applications en cryptographie. Nous étudierons principalement le problème du logarithme discret et l’algorithme de
Diffie-Hellmann pour l’échange de clés secrètes.
Références principales : J.Silverman : The arithmetic of elliptic curves.
14.3
Des groupes divisibles
Sous la responsabilité de : Piotr Maciak
Attribué à :
Un groupe divisible est un groupe abélien dans lequel chaque élément est un multiple n-ième
pour tout entier positif n. Les groupes divisibles ont des propriétés très intéressantes et elles sont
importantes dans la compréhension de la structure des groupes abéliens. Ce projet s’articule de la
façon suivante :
– découvrir le théorème de structure des groupes abéliens divisibles
– démontrer que R ' Rn pour tout entier positif n
– démontrer que C∗ ' S 1
– trouver toutes les solutions f : R → R de l’équation fonctionnelle de Cauchy
Logiciels éventuels :LATEX
13
14.4
L’espace-temps de Minkowski.
Sous la responsabilité de : David Grimm
Attribué à :
On va étudier l’unique forme bilinéaire symétrique dans R4 qui prolonge la forme euclidienne
de R3 et pour laquelle l’ensemble des vecteurs isotrope coincide avec "le cône de lumière". On
appelle R4 muni de cette forme bilinéaire l’espace de Minkowski. C’est l’espace-temps utilisé dans
la théorie de la relativité restreinte. En plus, on va étudier le groupe de Lorentz, i.e. le groupe des
isométries linéaires de l’espace de Minkowski. Du point de vue physique, ce sont les transformations
qui respectent les axiomes principaux de la théorie de la relativité.
Logiciels éventuels : LATEX
14.5
Groupes Linéaires Algèbriques.
Sous la responsabilité de : David Grimm
Attribué à :
On va combiner ce qu’ on a apris sur l’algebre lineaire, la theorie de groupes, et les anneaux
(de polynomes) et introduire la notion (et la theorie) des groupes lineaires algebriques, i.e. des
groupes de matrices inversibles obtenus comme l’ensemble des solutions d’un systeme d’equations
polynomiales (les coefficients de la matrice etant substitues dans les variables).
Logiciels éventuels : LATEX
Remarque : Ce projet est lie au projet intitule "’les formes bilineaires et l’espace Minkowski" et
on pourrait aussi combiner les deux projets dans un projet.
14.6
Le théorème de Jordan
Sous la responsabilité de : Peter Jossen
Attribué à :
Le sujet sera le théorème de Camille Jordan (1878) concernant les sous groupes finis des groupes
GLn (C). Après avoir énnoncé ce théorème dans un langage moderne, nous étudierons une démonstration rédigée par E. Breuillard (qui suit la démonstration originale de Jordan).
14.7
Une introduction à la théorie de Polya
Sous la responsabilité de : Peter Jossen
Attribué à :
Nous introduirons différents outils standard liés à la notion d’action de groupe (d’un groupe fini
sur un ensemble fini). Puis, nous allons démontrer une version avec poids du théorème de Polya
(1937) sur les schémas de permutation, et en donner quelques applications en combinatoire.
14
15
15.1
MATHGEOM-CTG (Prof. Jacques Thévenaz)
Sous-groupes d’un groupe symétrique
Sous la responsabilité de : à déterminer
Attribué à : .
Décrire tous les sous-groupes d’ordre donné dans un groupe symétrique, entre autres à l’aide
d’un logiciel approprié.
Logiciels : GAP
15.2
Sous-groupes d’un groupe de matrices
Sous la responsabilité de : à déterminer
Attribué à : .
Décrire tous les sous-groupes d’ordre donné dans un groupe de matrices, entre autres à la’ide
d’un logiciel approprié.
Logiciels : GAP
15.3
Automorphismes de groupes finis
Sous la responsabilité de : à déterminer
Attribué à : .
Décrire tous les automorphismes de certains groupes finis, entre autres à l’aide d’un logiciel approprié.
Logiciels : GAP
15.4
Groupe de entiers inversibles modulo n
Sous la responsabilité de : à déterminer
Attribué à : .
Décrire le groupe de tous les entiers inversibles modulo n, entre autres à l’aide d’un logiciel approprié.
Logiciels : GAP
15
16
16.1
MATHGEOM-EGG (Prof. Nicolas Monod)
Le théorème de Ascoli-Arzela
Sous la responsabilité de : à déterminer
Attribué à : .Il s’agit de comprendre le théorème d’Ascoli-Arzela dans le cadre des espaces métriques, puis d’exposer quelques applications importantes.
Logiciels : LATEX
16.2
le paradoxe de Banach-Tarski
Sous la responsabilité de : à déterminer
Attribué à : .
Logiciels : LATEX
16.3
Groupes libres
Sous la responsabilité de : à déterminer
Attribué à : .
Il s’agit de définir proprement les groupes libres (via une propriété universelle)
Logiciels : LATEX
17
17.1
MATHGEOM-GEOM (Prof. Tamás Hausel)
Differential Equations on the Sierpinski Gasket
Sous la responsabilité de : Riccardo Grandi
Attribué à : .
A recent discover allows to dene differential operators on topological spaces that have a highly
non classical structure. The aim of this project is to introduce (in an elementary way) the Laplace
operator on the Sierpinski Triangle and study some of its properties. It is also possible to compare
its behaviour with other better known differential operators. Part of the project will be to study
and maybe implement algorithms that allow to compute functions on the Sierpinski Triangle in an
iterative fashion.
Logiciels : Mathematica/MATLAB, LATEX.
Prérequis : Basic Analysis
Références : R. S. Strichartz, Differential equations on fractals : a tutorial, Princeton University
Press, 2006.
16
17.2
Curvature in Geometry
Sous la responsabilité de : Mario Fernandez Garcia
Attribué à : .
This project is intended to learn about metrics, connections, and geodesics on surfaces. It will
cover the notion of curvature, as a way of measuring whether a Riemannian surface is locally equivalent to the Euclidean plane.
Références : J. M. Lee, Riemannian Manifolds : An Introduction to Curvature, Springer. M. P.
Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall (1976).
18
18.1
MATHGEOM-GR-HE (Prof. Kathryn Hess Bellwald)
Les algèbres extérieures
Sous la responsabilité de : Kay Werndli
Attribué à :
L’objectif de ce projet est l’étude de la notion d’algèbre extérieure d’un module, qui a des applications directes dans la géométrie différentielle et permet de définir le déterminant d’une matrice
de manière naturelle. Pour arriver a ce objectif, il faut d’abord introduire les notions de produit
tensoriel, de module et d’algèbre graduées et d’algèbre tensorielle (ou algèbre libre) sur un module.
Toutes ces notions doivent être définies par des propriétés universelles, et leur existence démontrée
par des constructions explicites. Pour s’habituer à ces concepts, on étudiera quelques exemples
concrets (e.g., le produit tensoriel sur les entiers des deux anneaux de la forme Z/pZ, le produit
tensoriel sur un corps, les algèbres de Grassmann sur un ou deux générateurs, les algèbres polynomiales graduées, et les algèbres de formes multilinéaires).
Références :
1. MacLane S., Birkhoff G., Algebra (3rd ed.), AMS Chelsea Publishing, 1999
2. Atiyah M. F., MacDonald I. G., Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1994
Logiciels : Mathematica, XY-pic, éventuellement Illustrator
Préalables requis : Les cours de première année et du premier semestre de deuxième année
18.2
Introduction à la théorie des catégories
Sous la responsabilité de :Dimitri Zaganidis
Attribué à :
Le but de ce projet est d’apprendre les bases de la théorie des catégories : adjonctions et limites.
Les étudiants démontreront que les foncteurs adjoints à gauche préservent les colimites tandis que
les foncteurs adjoints à droite préservent les limites.
Logiciels : None
17
18.3
Suites de Puppe d’une application continue.
Sous la responsabilité de :Martina Rovelli
Attribué à :
Etant donné une application continue, on peut construire deux longues suites d’espaces topologiques, impliquant soit l’espace de lacets basés, soit la suspension. Ces longues suites nous aident
à calculer des invariants homotopiques d’espaces topologiques, tels que les groupes d’homotopie.
Dans ce projet on verra comment construire ces suites et ensuite comment les appliquer à certains
calculs faciles.
Logiciels :
19
19.1
MATHGEOM-GR-HE (Dr. Gavin Seal)
Espaces Uniformes
Sous la responsabilité de : Gavin Seal
Attribué à : .
But Etudier les espaces uniformes en rapport avec la topologie et la convergence.
Description La topologie offre un cadre général pour étudier des problèmes liés notamment à la
continuité et la convergence de suites. Les structures uniformes offrent à leur tour un cadre général
pour aborder des thèmes topologiques avec une saveur métrique, tels que la continuité uniforme
ou la convergence de suites de Cauchy.
Proposition de plan
1. Définition de filtres. Convergence, exemples, et résultats élémentaires.
2. Définition d’uniformités, d’espaces uniformes, d’applications uniformément continues. Exemples.
3. Topologie induite par une uniformité et résultats élémentaires. Exemples.
4. Définition de filtres de Cauchy. Convergence, exemples, et résultats élémentaires.
5. Complétion uniforme et propriété universelle.
Documentation de référence I.M. James. Topologies and Uniformities. Springer, 1999.
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20.1
MATHGEOM - GR-TR (Prof. Marc Troyanov)
Universalité de l’ensemble de Cantor
Sous la responsabilité de :
Attribué à : .
Une propriété remarquable dit que tout espace métrique compact est un quotient de l’ensemble de
Cantor. De façon équivalente, il existe une application continue et surjective de cet ensemble sur
tout espace métrique compact. On dit que l’ensemble de Cantor est un espace universel pour les
espaces métriques compacts.
Le but de ce projet est d’écrire une preuve de ce résultat. L’étudiant débutera par quelques
rappels sur les espaces compacts et en particulier les sous ensembles compacts de la droite réelle.
Il étudiera en détails l’ensemble de Cantor et ses propriétés, puis passera à la preuve proprement
dite de la propriété d’universalité.
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21.1
MATHGEOM-LCVMM (Prof. John Maddocks, Dr. Philippe Caussignac, Dr. Klaus-Dieter Semmler)
Résolution d’un problème de bifurcation par la MAN
Sous la responsabilité de : Philippe Caussignac
Attribué à : .
La Méthode Asymptotique Numérique permet de résoudre des systèmes algébriques dépendant
d’un paramètre ; elle utilise un développement perturbatif dans le paramètre pour approcher une
solution.
À l’aide d’un code Matlab existant, on devra définir un problème de réaction chimique et explorer
les branches de solutions.
Logiciels : Matlab
21.2
Décentrage pour l’équation de diffusion-convection
Sous la responsabilité de : Philippe Caussignac
Attribué à : .
On considère le problème de trouver u ∈ C 2 [0, 1] tel que
−εu00 (x) + u0 (x) = f (x), x ∈ (0, 1),
u(0) = 1, u(1) = 0,
qui passe du type elliptique au type hyperbolique lorsque ε → 0. Pour ε petit, une méthode aux
différences centrées donne des oscillations près de x = 1. On expérimentera plusieurs méthodes
pour remédier à ce phénomène.
Logiciels : Matlab
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21.3
Complément de C++
Sous la responsabilité de : Philippe Caussignac
Attribué à : .
Ce TP s’adresse aux étudiants qui se destinent à la programmation d’algorithmes. Après avoir
approfondi certaines notions, on devra programmer une classe restreinte pour des opérations d’algèbre linéaire.
Logiciels : Gnu/Intel C++
21.4
Comparaison des quadrilatères euclidiens et hyperboliques
Sous la responsabilité de : K.-D. Semmler
Attribué à : .
Des quadrilateres plans peuvent avoir un certain nombre de proprietes : Convexe, trapeze, parallelogramme, ayant un cercle inscrit ou circonscrit, etc. En geometrie euclidienne l’util principale
est le calcule vectoriele de R2, produit scalaire, en coordonnees. L’etudiant decouvrera le monde
hyperbolique et ses outils en travaillant dans les modeles hyperboliques, demi plan superieure et
cercle unite. Il demontra certain formules caracterisant des proprietes mentionnee, certaines tres
semblables au cas euclidien, certaines moins. La simulation et des dessins peuvent forger une intuition et metteront en evidance les resultats obtenues.
Logiciels : Maple (ou Matlab, ou Mathematika, ou similaire) et LATEX pour le rapport.
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22.1
MATHGEOM (Dr. Joachim Stubbe)
Normalité de données
Sous la responsabilité de : Joachim Stubbe
Attribué à : .
Abstract.
The principal objective of this mini-project is to study various Riesz means using MAPLE,
MATHEMATICA or MATLAB thereby checking some conjectures and deep analytical results on
these quantities.
Description of the Project
Let m, n be positive integers and t ≤ 1 be a fixed parameter. Define
λm,n = m2 + t2 n2 .
(1)
The quantities λm,n can be also interpreted as the Dirichlet eigenvalues of the rectangle [0, π] ×
[0, π/t].
For σ ≥ 0 consider the Riesz means Rσ (z) of λm,n defined by
XX
Rσ (z) :=
(z − λm,n )σ
(2)
λm,n ≤z
The quantity
R0 (z) equals the number of points with coordinates (m, tn) inside the closed ball of
√
radius z. The student has to study the functions
z 7→ z −σ−1 Rσ (z)
(3)
for various choices of σ and the parameter t.
Theoretical Background and Work to be done
It is well known (literature will be detailed during the project) that
lim z −σ−1 Rσ (z) =
z→∞
π
4(σ + 1)t
(4)
and these limits are approached from below. The qualitative structure of the function in (4) is only
known for σ ≥ 2 where it has been proved recently that it is strictly increasing. It is conjectured
that for σ < 2 the function (4) has a unique maximum between two consecutive values of λm,n
and that the sequences of theses maximal values is increasing for all 2 > σ > σcr where σcr does
not depend on t. These conjectures have to be checked for various values of σ and t for low lying
values of λm,n (the first hundreds or so).
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23.1
SB-CRPP (Prof. Minh Quang Tran)
La question du Bryllium dans les réacteurs de fusion
Sous la responsabilité de : Prof. Minh Quang Tran
Attribué à :
23.2
Qu’est que le kriegage et son tulisation pratique ?
Sous la responsabilité de : Prof. Minh Quang Tran
Attribué à :
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