Déterminant relatif et la fonction Xi

Déterminant relatif et la fonction Xi
Gilles CARRON
15 mars 2006
Résumé
Nous obtenons un analogue de la formule de Weyl (ou plutôt sa version intégrée) pour les domaines non-bornés d’une variété riemannienne
complète. Cet asymptotique concerne la fonction de décalage spectral de
M. Krein. On donne aussi des formules reliant cette fonction et la ζrégularisation du déterminant de quelques opérateurs.
Mots-clés : fonction de décalage spectral, opérateur de Dirichlet-to-Neumann,
déterminant relatif, opérateur de Gauss-Bonnet, états résonnants d’énergie nulle.
Abstract
We obtain a analogue of the Weyl’s law (more precisely its integrated version)
for unbounded domain of a complete Riemannian manifold. This asymptotic is
for the spectral shift function of M. Krein. We also give a formula relating this
function and the ζ-regularisation of the determinant of some operator.
Keys-words : spectral shift function, Dirichlet-to-Neumann operator, relative
déterminant, Gauss-Bonnet operator, zero energy resonnance.
Mathematics Subjet Classification (2000) : 58J50, 58J32, 58J20, 47A40.
Table des matières
1 Introduction.
2
2 Scattering sur les variétés non-compactes.
7
2.1 Les laplaciens généralisés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2 Une hypothèse spectrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3 Des exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4 Liens avec le déterminant de l’opérateur "Dirichlet-to-Neumann". 9
2.5 Existence des opérateurs d’ondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1
3 Déterminant et la fonction Xi.
14
3.1 La fonction de décalage spectral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Lien avec le déterminant de l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann. 16
4 Déterminant relatif et formule à la Burghelea-Friedlander-Kappeler. 19
4.1 Déterminant relatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Dans notre cadre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Asymptotique pour le déterminant relatif. . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Cas du scattering avec obstacle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 Cas de deux opérateurs isométriques à l’infini. . . . . . . . . . . . 25
5 Asymptotique pour la fonction Xi.
26
6 Scattering supersymétrique : le cas des formes différentielles. 31
6.1 L’opérateur de Gauss-Bonnet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 Les conditions aux bords. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.3 Existence des opérateurs d’ondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.4 Les opérateurs Dirichlet-vers-Relatif et Dirichlet-vers-absolu . . . 33
6.5 Scattering supersymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.6 L’indice de Witten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.7 Dans notre cadre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.8 Scattering super-symétrique par un obstacle. . . . . . . . . . . . 38
6.9 Liens avec les formes harmoniques L2 . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7 Bibliographie.
1
42
Introduction.
L’objectif de cet article est d’étudier les opérateurs de type laplacien sur les
variétés riemanniennes complètes non-compactes, et particulièrement certaines
de leurs propriétés spectrales. Une partie de notre étude est motivée par le très
bel article de F. Gesztesy et B. Simon. Dans [G-S 2], les auteurs étudient la
fonction Xi, dite de décalage spectral, du couple
(H, H0 ) = −d2 /dt2 + V , −d2 /dt2 + V 0 , sur L2 (IR, dt)
où V : IR −→ IR est une fonction bornée inférieurement et H0 est l’opérateur
−d2 /dt2 + V avec les conditions de Dirichlet en 0 ∈ IR. Ainsi H est une perturbation de rang 1 de H0 et selon la théorie de M. Krein, il y a une unique
fonction ξ ∈ L1 (IR, dλ/(1 + λ)2 ) telle que ξ(λ) = 0 si λ << 0 et telle que, pour
tout réel positif t, on a
Z +∞
−tH
−tH0
Tr e
−e
=−
ξ(λ, H, H0 )te−tλ dλ.
−∞
2
De plus grâce au théorème 1.1 de [G-S 2], on a la formule
ξ(λ) = − lim+
ε→0
1
Arg G(λ + iε, 0, 0), p.p. λ ≥ 0.
π
|
Où on a noté G(z, x, y), z ∈ C,
x, y ∈ IR le noyau de Green de l’opérateur
−1
(H − z) .
Notre objectif est de faire de même sur les variétés riemanniennes. Soit donc
(M n , g) une variété riemannienne complète, soit ∆ = d∗ d le laplacien associé à
la métrique. Dans cette introduction, on se contentera de décrire le cas de cet
opérateur, mais notre étude est valable pour tout opérateur de type laplacien
raisonnable : les opérateurs de Schrödinger du type ∆+V , où V est une fonction
bornée inférieurement, le laplacien de Hodge-deRham agissant sur les formes
différentielles, etc. Soit Σ une hypersurface compacte lisse de M qui sépare M
M − Σ = M− t M + ;
on peut alors définir l’opérateur autoadjoint non-borné sur L2 (M ) qui correspond au laplacien, on note encore cet opérateur ∆, et on peut aussi construire
un autre opérateur auto-adjoint qui correspond au laplacien pour les conditions
de Dirichlet sur Σ, on le note ∆0 . Notre premier résultat est le suivant :
| − IR ,
Théorème. 1.1 Soit ν un entier tel que ν > (n − 1)/2, alors pour z ∈ C
+
les opérateurs
(∆ − z)−ν − (∆0 − z)−ν
sont à trace.
Ce théorème assure que les opérateurs d’ondes
W ± = s − lim eit∆ e−it∆0 P0
t→∓∞
existent et sont complets ; où on a noté P0 le projecteur spectral de ∆0 correspondant au spectre absolument continu. Cependant, ceci est très abstrait
ici, puisqu’il se peut bien que les opérateurs ∆ et ∆0 n’aient pas de spectre
absolument continu !
De tels résultats, concernant plutôt la différence des opérateurs de la chaleur
e−t∆ − e−t∆0 , ont été montrés par U. Bunke, [B], ceci avec l’hypothèse supplémentaire que la variété soit à courbure bornée ; notre étude montre que ce n’est
pas nécéssaire même pour le laplacien sur les formes différentielles.
Encore ici, le principal outil est la fonction Xi, de décalage spectral de M.
Krein. La théorie de M. Krein nous apprend qu’il existe une unique fonction
dλ
1
ξ(λ, ∆, ∆0 ) ∈ L IR+ ,
(1 + λ)ν+1
| − IR
tel que pour tout z ∈ C
+
−ν
Tr (∆ − z)
−ν
− (∆0 − z)
Z
= −ν
ξ(λ, ∆, ∆0 )
0
3
∞
dλ
.
(λ − z)ν+1
De plus selon M. Birman et M. Krein, presque partout sur le spectre absolument
continue de ∆0 , la fonction −2πξ coincide à un entier près avec la phase de la matrice de scattering. De façon similaire au théorème 1.1 de [G-S 2], nous obtenons
une description de la fonction Xi en fonction de l’opérateur de Green (∆ − z)−1 .
Ceci se fait par l’intermédiaire de l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann :
| − IR , alors l’opérateur de Dirichlet to Neumann
Définition 1.2 Soit z ∈ C
+
∞
∞
N (z) : C (Σ) −→ C (Σ) est défini de la façon suivante : si f ∈ C ∞ (Σ) alors
il y a une unique fonction f˜ ∈ L2 (M ) telle que
(∆ − z)f˜ = 0 sur M − Σ
f˜ = f
le long de Σ
La fonction f˜ est alors continue sur M et sa dérivée présente un saut le long de
Σ, alors N (z)f est précisément ce saut :
∂ ˜
∂ ˜
f
|
+
f
|
,
N (z)f =
M+
M−
∂n+
∂n−
où n+ et n− sont les normales unitaires extérieures le long de Σ.
De façon similaire au cas des variétés compactes, l’opérateur de Dirichlet-toNeumann est un opérateur pseudodifférentiel d’ordre 1 elliptique inversible. Et
son noyau de Schwartz est le noyau de Schwartz de (∆ − z)−1 , c’est à dire, que
si on note G(z, x, y) ce noyau, alors on a
Z
−1
N (z) f (x) =
G(z, x, y)f (y)dy.
Σ
Ceci permet de définir le déterminant régularisé de l’opérateur de Dirichlet-toNeumann. Suivant [R-S], on définit la fonction zeta
ζ(s) = Tr N (z)−s ,
|
c’est une fonction holomorphe sur l’ouvert {s ∈ C,
<s > n − 1}. De plus,
| tout entier et elle est
cette fonction admet un prolongement méromorphe à C
holomorphe en 0. On définit alors
d
det N (z) = e− ds |s=0 ζ(s) .
Nous obtiendrons alors le résultat suivant
Théorème. 1.3 Pour presque tout λ ≥ 0, on a l’égalité
ξ(λ, ∆, ∆0 ) = lim+
ε→0
1
Arg det N (λ + iε).
π
Ce théorème peut être vu comme une généralisation du théorème 1.1 de [G-S 2].
En effet, dans ce cas l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann est simplement l’opérateur de multiplication par 1/G(z, 0, 0).
4
Une autre partie de notre travail est motivée par un article de W. Müller ;
dans [Mu 2], l’auteur donne des conditions pour que le déterminant relatif de
deux opérateurs autoadjoints soit bien défini ; et il donne de nombreux exemples.
Dans un cadre euclidien, ces déterminants relatifs avaient été étudiées par V.
Bruneau [Br]. Dans son papier W. Müller remarque que grâce aux résultats de
U. Bunke, on peut définir le déterminant relatif des opérateurs (∆ − z, ∆0 − z).
Nous obtenons ici le résultat suivant :
Théorème. 1.4 Il y a un polynôme à coefficients réels P de degré inférieur à
| − IR
(n − 1)/2 tel que pour tout z ∈ C
+
det (∆ − z, ∆0 − z) = eP (z) det N (z).
De plus, lorsque M est de dimension 2, ce polynôme est nul.
Dans le cas des variétés compactes de dimension 1 ou 2, ce résultat est du à
S.Levit, U. Smilansky ([L-S]), R. Forman ([F]) et à D. Burghelea, L. Friedlander,
T. Kappeler ([B-F-K]) ; récemment, A. Hassel et S Zelditch ont obtenue une telle
formule dans le plan euclien. Dans ces travaux, il est montré que ce polynôme
est nul. L’addition de ces deux derniers théorèmes montrent que nous avons
obtenu le résultat suivant : pour presque tout λ ≥ 0, on a l’égalité
ξ(λ, ∆, ∆0 ) = lim+
ε→0
1
Arg det (∆ − λ − iε, ∆0 − λ − iε).
π
Ce qui est à posteriori un heureux résultat puisque la fonction de décalage
spectral est définie à partir d’un déterminant de Fredholm reliant ∆ et ∆0 .
Nos résultats permettent aussi d’étudier le cas où on considère l’opérateur
laplacien au dehors d’un obstacle avec les conditions de Dirichlet sur le bord.
Nos résultats sont alors les suivants :
Théorème. 1.5 Soit (M n , g) une variété riemannienne complète et O un domaine compact de M à bord lisse. Et soit ∆M −O l’opérateur auto-adjoint de
L2 (M − O) qui correspond au laplacien pour les conditions de Dirichlet sur ∂O.
| − IR , les opérateurs
Alors si ν est un entier, ν > n/2, alors pour tout z ∈ C
+
(∆ − z)−ν − (∆M −O − z)−ν
sont à trace. De plus si N (z) est l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann de ∂O ⊂
M et NO est la fonction de comptage des valeurs propres du laplacien sur O avec
les conditions de Dirichlet sur ∂O. Alors pour presque tout λ ≥ 0, la fonction
de décalage spectral du couple (∆, ∆M −O ) vérifie
ξ(λ, L, LΩ )
=
lim
ε→0+
1
Argdet N (λ + iε) − NO (λ).
π
A notre connaissance, cette dernière égalité n’était pas connue y-compris dans
le cadre euclidien. Nous pouvons ici donner une formule asymptotique pour la
fonction Xi du couple (∆, ∆M −O ) :
5
Théorème. 1.6 Lorsque Λ tend vers l’infini, on a
Z Λ
vol O
Λn/2+1
ξ(λ, ∆, ∆M −O )dλ ∼ −
.
(4π)n/2 Γ(n/2 + 2)
0
La fonction de décalage spectral doit être pensée comme une version régularisée
de la fonction de comptage des valeurs propres ; c’est donc à l’asymptotique de
Weyl qu’il faudrait s’attendre :
−ξ(λ, ∆, ∆M −O ) '
λn/2
vol O
.
(4π)n/2 Γ(n/2 + 1)
Cet asymptotique de Weyl a été obtenue dans dans de nombreux cadres géométriques : le cadre euclidien ([Bu], [J-K], [M-R], [CdV], [Gu], [P-P], [Me], [R],
[C1], [C2],[P3] ) ; pour les variétés à bouts cylindriques ([C-Z], [P1]), pour les
surfaces hyperboliques de géométrie finie ([Mu 1], [P2], [G-Z]). Cependant, ce
type d’asymptotique est sûrement faux en général, notre résultat montre que sa
version integrée est toujours vrai.
La dernière partie de notre article est consacrée au cas du laplacien de HodgedeRham sur les formes différentielles. Nos résultats sont des généralisations de
ceux de N. Borisov, W. Müller et R. Schrader ([B-M-S]). Soit (M n , g) une variété
riemannienne complète, on note d l’opérateur de différentiation extérieure et
δ son adjoint formel. Suivant Chernoff [Ch], on sait que l’opérateur (d + δ)
est essentiellement auto-adjoint sur C0∞ (ΛT ∗ M ) ⊂ L2 (ΛT ∗ M ) ; on note ∆ =
(d + δ)2 = dδ + δd son carré, c’est l’opérateur auto-adjoint associé au laplacien
de Hodge-deRham. Si O est un domaine compact à bord lisse, on considère sur
M − O, l’opérateur (d + δ) pour les conditions absolues au bord
D ((d + δ)Abs ) = {α ∈ L2 (ΛT ∗ M ), (d + δ)α ∈ L2 , et intn α = 0},
où n : Σ −→ T Ω est le champ normal unitaire extérieur à M − O. On notera
∆Abs le carré de cet opérateur. Les théorèmes de Hodge-deRham et de P. E.
Conner assurent que lorsque M est compact, les noyaux de ces laplaciens sont
reliés aux groupes de cohomologie réelle de M et M −O, on a les isomorphismes :
Ker ∆ ∩ L2 (Λp T ∗ M ) ' H p (M, IR)
Ker ∆Abs ∩ L2 (Λp T ∗ (M − O)) ' H p (M − O, IR).
Notons τ l’endomorphisme de Λp T ∗ M qui est (−1)p Id. Alors, grâce au théorème
de MacKean-Singer, on a
Tr τ e−t∆ − e−t∆Abs = χ(M ) − χ(M − O) = χ(O, ∂O).
Un de nos résultat est que cette identité est encore valable sur les variétés noncompactes :
Théorème. 1.7 Pour tout t > 0, l’opérateur e−t∆ −e−t∆Abs est à trace, de plus
on a
Tr τ e−t∆ − e−t∆Abs = χ(O, ∂O).
6
Ce théorème a été obtenu par N. Borisov, W. Müller et R. Schrader lorsque
la variété est asymptotiquement euclidienne ([B-M-S]. De plus dans ce cadre
euclidien, il est montré que les espaces
Ker ∆ ∩ L2 (Λp T ∗ M ) et Ker ∆Abs ∩ L2 (Λp T ∗ (M O))
sont de dimensions finies, et que si n > 2, on a l’égalité :
Tr τ e−t∆ − e−t∆Abs
= χ(O, ∂O)
n
X
=
(−1)p dim Ker ∆ ∩ L2 (Λp T ∗ M )
p=0
−
n
X
(−1)p dim Ker ∆Abs ∩ L2 (Λp T ∗ (M − O))
p=0
Dans [C], nous avons donné des conditions qui assurent que cette égalité est
vraie. Pour finir, nous étudierons le cas de IR2 où l’obstacle est le disque euclidien
ID de rayon 1. Le théorème de N. Borisov, W. Müller et R. Schrader montre que
2
IR2 −ID
−t∆IR
−t∆Abs
Tr τ e
−e
= 1 = χ(ID, ∂ID).
2
Cependant les noyaux L
des opérateurs ∆, ∆
Abs sont nuls. Ainsi, on s’attend
IR2 −ID
IR2
à ce que l’allure de Tr τ e−t∆ − e−t∆Abs
, lorsque t tend vers l’infini, soit
dictée par les états résonnants d’énergie nulle. Nous préciserons la contribution
des quatres états résonnants d’énergie nulle de ∆Abs .
Remerciements : Je tiens à remercier L. Guillopé et L. Hillairet qui ont
gentillement et patiemment répondu à mes questions sur la théorie de scattering.
Je remercie aussi Y. Colin de Verdière de m’avoir suggéré le théorème 1.4. Une
amélioration de ce théorème m’a été suggéré par un rapporteur, je le remercie
pour son aide.
2
Scattering sur les variétés non-compactes.
L’objet de cette partie est d’établir des résultats relatifs à la théorie du
scattering pour les laplaciens généralisés sur les variétés riemanniennes noncompactes. On va commencer par décrire le cadre dans lequel nos résultats sont
valides :
2.1
Les laplaciens généralisés.
Soit (M n , g) une variété riemanienne complète et soit V −→ M un fibré
hermitien de rang l au dessus de M .
L : C0∞ (M, V ) −→ C0∞ (M, V )
7
est un opérateur différentiel d’ordre 2 symétrique dont le symbole principal est
la métrique ; i.e. L est un laplacien généralisé, et en coordonnées cet opérateur
s’écrit
X
X
∂
∂
L=−
g i,j
IdVx +
Ai
+ B.
∂xi ∂xj
∂xi
i,j
i
Selon P. Gilkey, [Gi], il existe une connexion orthogonale sur V ,
∇L : C0∞ (M, V ) −→ C0∞ (M, T ∗ M ⊗ V )
et E ∈ C ∞ (Sym(V )), un champ d’endomorphisme symétrique de V , tel que
L = (∇L )∗ ∇L + E.
2.2
(2.1)
Une hypothèse spectrale.
Nous faisons l’hypothèse que L : C0∞ (M, V ) −→ C0∞ (M, V ) est essentiellement auto-adjoint sur L2 (M, V ). D’après Chernoff ([Ch]), c’est aussi le cas
lorsque L vérifie la propriété de propagation à vitesse finie : les solutions de
l’équation
∂2
u + Lu = 0
∂t2
vérifient
support{u(t, .)} ⊂ {x ∈ M, dist(x, support{u(0, .)}) ≤ |t|}
(2.2)
Alors un tel opérateur a une unique extension auto-adjointe à L2 (M, V ). On
note cet opérateur auto-adjoint L. Le domaine de L est
D(L) = {u ∈ L2 (M, V ), Lu ∈ L2 (M, V )}.
Nous faisons aussi l’hypothèse que L est borné inférieurement : il y a une
constante Λ telle que
Z
Z
Z
Λ
|ϕ|2 ≤
< Lϕ, ϕ >=
|∇L ϕ|2 + < Eϕ, ϕ > , ∀ϕ ∈ C0∞ (M, V ).
M
M
M
Pratiquement, nous ferons l’hypothèse que cet opérateur est positif i.e.
Z
0≤
< Lϕ, ϕ > , ∀ϕ ∈ C0∞ (M, V ).
M
Quitte à ajouter à l’opérateur L l’opérateur −ΛId, nous pouvons toujours nous
ramener à ce cas là.
Ceci est par exemple assurer si le potentiel E de la formule 2.1 est borné
inférieurement.
De par nos hypothèses, le spectre de L est inclus dans IR+ . Ainsi pour
| − [0, ∞[, (L − z)−1 est un opérateur borné de L2 (M, V ).
z∈C
8
2.3
Des exemples.
De tels opérateurs sont très fréquent :
– Le laplacien sur les fonctions ∆ : C0∞ (M ) −→ C0∞ (M ).
– Si V est un fonction réelle bornée inférieurement alors l’opérateur de Schrödinger L = ∆ + V est de ce type.
|
– Si V = M × C
est le fibré trivial, on peut changer la métrique de ce
fibré par un poid, eρ , où ρ est une fonction lisse sur M , la connexion est
l’opérateur dρ = e−ρ/2 deρ/2 ; et son adjoint est d∗ρ = e−ρ/2 d∗ eρ/2 et donc
l’opérateur est Lf = ∆f − < dρ.df > +e−ρ/2 ∆eρ/2 est de ce type.
– Si L est le carré d’un opérateur différentiel symétrique d’ordre 1, L = D2 ,
alors L est de ce type. De plus, on sait que D lui-même est essentiellement
auto-adjoint sur C0∞ (M, V ) ⊂ L2 (M, V ) ([Ch]). Par exemple, c’est le cas
du laplacien de Hodge-deRham agissant sur les formes différentielles.
2.4
Liens avec le déterminant de l’opérateur "Dirichletto-Neumann".
Un des objectif de ce papier est d’obtenir une formule analogue à celle de D.
Burghelea, L. Friedlander et T. Kappeler. Dans [B-F-K], les auteurs obtiennent
notamment la formule suivante : si S est une surface riemannienne compacte et
si Σ est une courbe plongée lisse dans S alors on a
|
det (∆ + λ) = det (∆Σ + λ) det R(λ), ∀λ ∈ C−]
− ∞, 0[.
où ∆ est le laplacien associé à la métrique sur S, ∆Σ est l’opérateur laplacien sur
S −Σ pour les conditions de Dirichlet sur Σ, et R(λ) est l’opérateur de Dirichletto-Neumann, c’est un opérateur pseudo-différentiel sur Σ et il est défini de la
façon suivante : si f ∈ C ∞ (Σ), alors le problème de Dirichlet suivant admet une
unique solution
(∆ + λ)f˜ = 0 sur S − Σ
f˜ = f
le long de Σ
et on a
R(λ)f = −
∂ ˜
∂ ˜
f+
f ,
∂n+
∂n−
où n± sont les normales intérieures à M± le long de Σ. Les déterminants sont
des déterminants régularisés. En fait, les auteurs obtiennent un résultat plus
général qui améliorait un théorème de R. Forman [F].
Dans cette partie, (M, g) est une variété riemannienne complète de dimension
n et L : C0∞ (M, V ) −→ C0∞ (M, V ) est un opérateur de type laplacien comme
précédemment. On note ∇L : C0∞ (M, V ) −→ C0∞ (M, T ∗ M ⊗ V ) la connexion
associée à L, c’est à dire que L − (∇L )∗ ∇L est un opérateur d’ordre 0. Et on
considère Σ ⊂ M une hypersurface compacte lisse, par commodité on suppose
| − IR , on peut définir
que Σ sépare M i.e. M − Σ = M+ t M− . Si z ∈ C
+
∞
l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann N (z) : C (Σ, V ) −→ C ∞ (Σ, V ) de la
façon suivante :
9
si f ∈ C ∞ (Σ, V ), alors le problème de Dirichlet
(L − z)f˜ = 0 sur M − Σ
f˜ = f
le long de Σ
a une unique solution f˜ ∈ C ∞ (M − Σ, V ) ∩ L2 (M, V ). Cette solution s’obtient
de la façon suivante : si fˆ ∈ C0∞ (M, V ) est une extension quelconque de f alors
on a
f˜ = fˆ − (L0 − z)−1 (L − z)fˆ.
Où L0 est l’opérateur associé à L avec les conditions de Dirichlet sur Σ. C’est
l’extension de Friedrichs de la forme quadratique
Z
Z
σ 7→
< Lσ, σ >=
|∇L σ|2 + < Eσ, σ > ,
M
M
définie sur le complèté de C0∞ (M − Σ, V ) pour la norme
q
2
σ 7→ k σ kL2 + < Lσ, σ >L2 .
De plus cette solution est continue sur M et lisse sur M + et M − ; sa dérivée
normale présente un saut le long de Σ et N (z)f est précisément ce saut ; si
n± : Σ −→ T M est le champ normal unitaire à Σ entrant dans M± , alors
L
˜
˜
N (z)f = − ∇L
.
n+ (f |M+ ) + ∇n− (f |M− )
On a alors le
| − IR , alors l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann
Théorème. 2.1 Si z ∈ C
+
N (z) est un opérateur pseudodifférentiel d’ordre 1 elliptique inversible. Son symbole principal est scalaire :
p
σ(N (z))(x, ξ) = 2 gx (ξ, ξ) IdVx , (x, ξ) ∈ T ∗ M.
De plus, z 7→ N (z) est une fonction holomorphe de z à valeurs dans les opéradν
teurs pseudodifférentiels, et dz
ν N (z) est un opérateur pseudodifférentiel d’ordre
1 − 2ν.
Preuve .– Ce théorème est bien connu dans le cas compact, il repose sur le
fait que si (G(z, x, y), x, y ∈ M ) est le noyau de Schwartz de l’opérateur (L −
z)−1 alors N (z)−1 a pour noyau de Schwartz (G(z, x, y), x, y ∈ Σ) . C’est à dire
G(z, x, y) ∈ Hom(Vy , Vx ) = Vx ⊗ Vy∗ et on a les identités suivantes
Z
(L − z)−1 f (x) =
G(z, x, y)f (y)dy, x ∈ M, f ∈ L2 (M, V )
M
N (z)−1 f (x) =
Z
G(z, x, y)f (y)dy, x ∈ Σ, f ∈ C ∞ (Σ, V ).
Σ
10
Ceci est encore vrai dans notre cadre et ceci repose sur la formule de Green.
Soit f ∈ C ∞ (Σ, V ), on note δΣ ⊗ f la distribution :
Z
ϕ ∈ C0∞ (M, V ) 7→
< ϕ, f >,
Σ
alors la distribution
(L − z)−1 (δΣ ⊗ f )
est donnée par
ϕ ∈ C0∞ (M, V ) 7→
Z
Z
< ϕ(x), G(z, x, y)f (y) > dxdy =< ϕ, u >L2 .
y∈Σ
x∈M
R
Où u ∈ L2 (M, V ) est défini par u(x) = Σ G(z, x, y)f (y)dy, ainsi on a (L−z)u =
δΣ ⊗ f au sens des distributions, en particulier (L − z)u = 0 sur M − Σ. Or la
formule de Green montre que pour ϕ ∈ C0∞ (M, V ) on a
< (L − z̄)ϕ, u >L2
= (L − z)u(ϕ)
Z
Z
=
< Lϕ, u > − < ϕ, Lu > +
< Lϕ, u > − < ϕ, Lu >
M+
M−
Z
L
L
L
=
< ∇L
n+ ϕ, u > − < ϕ, ∇n+ u > + < ∇n− ϕ, u > − < ϕ, ∇n− u > .
Σ
L
Mais ϕ est lisse, on a donc ∇L
n+ ϕ + ∇n− ϕ = 0 le long de Σ et
(L − z)u = δΣ ⊗ (N (z)u|Σ ),
et finalement
N (z)(u|Σ ) = f.
Ce qui montre l’assertion relative au noyau de Schwartz de l’opérateur N (z)−1 .
Comme l’opérateur (L − z)−1 vérifie les conditions de transmission, l’opérateur
N (z)−1 est un opérateur pseudodifférentiel d’ordre −1 et donc N (z) est un
opérateur pseudodifférentiel d’ordre 1. L’holomorphie de l’opérateur N (z) par
dν
−1
rapport au paramètre z en découle aussitôt. Comme l’opérateur dz
est
ν N (z)
ν
ν
un opérateur dont le noyau de Schwartz est (ν − 1)!G (z, x, y) ; où G (z, x, y)
dν
−1
est le noyau de Schwartz de l’opérateur (L − z)−ν , on en déduit que dz
ν N (z)
ν
d
est un opérateur pseudodifférentiel d’ordre 1 − 2ν, l’assertion sur dz
ν N (z) en
découle immédiatement.
Q.E.D.
On va maintenant relier le déterminant de l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann
à la trace de l’opérateur (L − z)−ν − (L0 − z)−ν . Rappelons comment est défini
le déterminant de l’opérateur N (z). Puisque N (z) est un opérateur pseudodif|
férentiel elliptique d’ordre 1 inversible, pour s ∈ C,
<s > n − 1, l’opérateur
−s
2
N (z) est un opérateur à trace sur L (Σ, V ). La fonction ζ(s) = Tr N (z)−s est
|
bien définie et c’est une fonction holomorphe sur l’ouvert {s ∈ C,
<s > n − 1}.
| et elle est
De plus, Cette fonction admet un prolongement méromorphe à C
holomorphe en 0. On définit alors
d
det N (z) = e− ds |s=0 ζ(s) .
11
Ici, pour ν >
n−1
2 ,
on a
ν−1 dν
d
d
−1
log
det
N
(z)
=
Tr
N
(z)
N
(z)
.
(2.3)
dz ν
dz ν−1
dz
d
dν−1
−1
est un opérateur pseudodifEn effet si ν > n−1
2 , alors dz ν−1
dz N (z) N (z)
férentiel d’ordre −2ν, il est donc à trace sur L2 (Σ, V ). De plus suivant [B-F-K],
on a
d
d
log det N (z) = Fps=0 s 7→ Tr
N (z) N (z)−s−1 ,
dz
dz
|
où pour h une fonction méromorphe sur C,
on a noté Fps=0 h le terme constant
dans le développement de Laurent de h en 0. En dérivant (ν − 1) fois cette
expression, on obtient le résultat 2.3. Notre résultat est ici le suivant :
| − IR , alors
et z ∈ C
Théorème. 2.2 Soit ν un entier tel que ν > n−1
+
2
l’opérateur (L − z)−ν − (L0 − z)−ν est à trace, de plus
−
dν
log det N (z) = (ν − 1)! Tr (L − z)−ν − (L0 − z)−ν .
ν
dz
Preuve .– Soit G0 (z, x, y) le noyau de Schwartz de l’opérateur (L0 − z)−1 .
L
Si x ∈ Σ et y ∈ M , on note δG0 (z, x, y) = ∇L
n+ G0 (z, x, y) + ∇n− G0 (z, x, y), où
la dérivation porte sur x ∈ M+ dans le premier terme et sur x ∈ M− dans le
1
second. Si f est une section de V définie sur unvoisinage de
Σ,C sur M+ et
L
1
L
C sur M− alors on définit δf (x) = ∇n+ f M+ + ∇n− f M−
Grâce à la formule de Green, nous avons l’identité suivante
Z
G(z, x, y) − G0 (z, x, y) =
G(z, x, t)δt G0 (z, t, y)dt.
Σ
En dérivant ceci (ν − 1) fois et grâce à la formule de Leibniz, on en déduit que
le noyau de Schwartz de l’opérateur (L − z)−ν − (L0 − z)−ν est
X Z
Gp+1 (z, x, t)δt Gq+1
(z, t, y)dt,
0
p+q=ν−1
Σ
où on a noté Gq+1
(z, t, y) le noyau de Schwartz de l’opérateur (L0 − z)−1−q . On
0
introduit alors pour p ∈ IN − {0} les opérateurs
Ap :
Bp :
C ∞ (Σ, V ) −→ L2 (M, V ) et
C0∞ (M, V ) −→ L2 (Σ, V ),
dont les noyaux de Schwartz sont respectivement Gp et δGp0 ; c’est à dire que
Z
Ap f (x) =
Gp (z, x, y)f (y)dy, x ∈ M
Σ
Z
Bp g(x) =
δx Gp0 (z, x, y)g(y)dy, x ∈ Σ.
M
12
On a donc l’identité
(L − z)−ν − (L0 − z)−ν =
X
Ap+1 ◦ Bq+1 .
(2.4)
p+q=ν−1
Nous allons montré que chacun des opérateurs Ap ◦ Bq est à trace dès que
p + q > (n − 1)/2 + 1.
A cet fin, nous introduisons les espaces de Banach suivant : si H1 et H2 sont
des espaces de Hilbert alors Sp (H1 , H2 ) est l’espace des applications linéaires
√
p
∗
A
√ : H1p −→ H2 tel que A A est un opérateur à trace ; ce qui équivaut à ce que
AA∗ soit un opérateur à trace. De plus si A ∈ Sα (H1 , H2 ) et B ∈ Sβ (H2 , H1 )
avec α1 + β1 ≥ 1 alors AB et BA sont des opérateurs à trace et Tr AB = Tr BA.
Soit p ∈ IN − {0}, l’opérateur A∗p Ap a pour noyau de Schwartz
Z
Gp (z̄, x, t)Gp (z, t, y)dt,
M
c’est donc un opérateur pseudodifférentiel d’ordre 1 − 4p sur Σ. Il est donc dans
n−1
; ainsi on a
Sα (L2 (Σ, V ), L2 (Σ, V )) pour α > 4p−1
Ap ∈ Sα (L2 (Σ, V ), L2 (M, V )), pour α > 2
n−1
.
4p − 1
Et si q ∈ IN − {0}, l’opérateur Bq Bq∗ a pour noyau de Schwartz
Z
δx δy
Gq0 (z, x, t)Gq0 (z̄, t, y)dt,
M
c’est donc un opérateur pseudodifférentiel d’ordre 3 − 4q sur Σ. Il est donc dans
n−1
; ainsi on a
Sβ (L2 (Σ, V ), L2 (Σ, V )) pour β > 4p−3
Bq ∈ Sβ (L2 (M, V ), L2 (Σ, V )), pour β > 2
n−1
.
4q − 3
4q−3
Et donc l’opérateur Ap Bq est à trace sur L2 (M, V ) si 4p−1
n−1 + n−1 > 2 c’est à
dire si p + q > (n − 1)/2 + 1.
On déduit donc de l’identité 2.4 que l’opérateur (L − z)−ν − (L0 − z)−ν est
à trace si ν est un entier tel que ν > n−1
2 .
De plus par cyclicité de la trace, on en déduit que
X
Tr (L − z)−ν − (L0 − z)−ν =
Tr Bq+1 ◦ Ap+1 .
p+q=ν−1
Le second membre est la trace d’un opérateur sur L2 (Σ, V ) dont le noyau de
Schwartz est
X Z
δx Gq+1
(z, x, t)Gp+1 (z, t, y)dt.
0
p+q=ν−1
M
13
C’est donc le noyau de l’opérateur
Z
1
dν−1
δ
G
(z,
x,
t)G(z,
t,
y)dt
.
(2.5)
x 0
(ν − 1)! dz ν−1 M
d
Or l’opérateur dz
N (z) N (z)−1 a précisément pour noyau de Schwartz
Z
−
δx G0 (z, x, t)G(z, t, y)dt
(2.6)
M
Ceci se montre comme dans le cas des variétés compactes : si on fixe u ∈
C ∞ (Σ, V ), on note ũ la solution du problème de Dirichlet
(L − z)ũ = 0 sur M − Σ
ũ = u
le long de Σ
On a alors dũ/dz = (L0 −z)−1 ũ et la solutionRdu problème de Dirichlet précédent
avec pour valeur au bord N (z)f est ũ(x) = Σ G(z, x, y)f (y)dt. Le théorème est
maintenant une conséquence des formules (2.3), (2.5) et (2.6).
Q.E.D.
2.5
Existence des opérateurs d’ondes.
De ce théorème, nous pouvons en déduire le résultat suivant :
Corollaire 2.3 Les opérateurs d’ondes
W ± = s − lim eitL e−itL0 P0
t→∓∞
existent et sont complets. Où on a noté P0 le projecteur spectral de L0 sur
l’espace correspondant à son spectre absolument continu.
Ce qui montre que l’on peut faire de la théorie de la diffusion sur toutes les
variétés riemanniennes complètes. Bien-sûr, il est impossible d’obtenir en toutes
généralités des renseignements précis concernant la nature de spectre : est-il absolument continu ? Y-a-t-il des valeurs propres dans le spectre continu ? Néanmoins, nous espérons donner ici quelques résultats intéressants.
3
Déterminant et la fonction Xi.
Dans cette partie, nous allons donné un lien entre le déterminant de l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann et la fonction de décalage spectral introduite
par M. Krein. Nous commençons par rappeler les résultats de la théorie de M.
Krein, que nous exposons de façon à ce qu’ils s’appliquent à notre cadre. Nous
renvoyons le lecteur au survey très complet de M. Birman, D. Yafaev [B-Y] et
aux articles originaux [K1], [K2], [BK].
14
3.1
La fonction de décalage spectral.
Soit A, A0 deux opérateurs auto-adjoints sur un espace de Hilbert H. On
les supposent positifs. On suppose de plus qu’il y a un ν ∈ IN − {0} tel que
l’opérateur V = (A + 1)−ν − (A0 + 1)−ν est un opérateur à trace. On peut alors
introduire la fonction
|
∆(z) = det IdH + V ((A0 + 1)−ν − z)−1 , z ∈ C
− [0, 1].
Où le déterminant est le déterminant de Fredholm d’un opérateur de la forme
"identité plus opérateur à trace". Alors la fonction ∆ est holomorphe et on a
lim
=z→+∞
∆(z) = 1,
|
pour z ∈ C,
z 6∈ IR+ , ceci permet de définir les fonctions Arg∆(z) et log ∆(z).
On a alors
Proposition 3.1 La limite
1
˜
Arg∆(λ + iε) = ξ(λ)
π
lim
ε→0+
existe pour presque tout λ ∈ IR.
Remarquons que comme V et A0 sont auto-adjoint, on a ∆(z) = ∆(z̄), ainsi on
a aussi
1 log ∆(λ + iε)
˜
ξ(λ)
= lim
.
ε→0+ 2π log ∆(λ − iε)
Définition 3.2 La fonction de décalage spectral du couple (A, A0 ) est la fonction
ξ(λ, A, A0 ) = −ξ˜ (1 + λ)−ν .
M. Krein a montré le théorème suivant
Théorème. 3.3 La fonction de décalage spectral vérifie
Z ∞
dλ
|ξ(λ)|
<∞
(1 + λ)ν+1
0
et de plus
−ν
Tr (A + 1)
−ν
− (A0 + 1)
Z
=−
∞
ξ(λ, A, A0 )
0
νdλ
.
(1 + λ)ν+1
Et si on introduit
Z
1
G = {g : IR −→ C, g ∈ L ,
|
(1 + |p|)|ĝ(p)|dp < ∞}
IR
1
| est telle que la fonction (y 7→ f (y − ν − 1)) ∈ G alors
alors si f : IR+ −→ C
l’opérateur f (A) − f (A0 ) est à trace et on a
Z ∞
Tr (f (A) − f (A0 )) =
ξ(λ, A, A0 )f 0 (λ)dλ.
0
15
De plus, selon le travail de M. Birman, M. Krein, la fonction de décalage spectral
est relié à l’opérateur de scattering. De par les hypothèses faites et le principe
d’invariance de T. Kato, on sait que les opérateurs d’ondes
W ± (A, A0 ) = s − lim eitA e−itA0 P0 ,
t→∓∞
existent et sont complets. Où on a noté P0 le projecteur spectral de A0 sur
l’espace correspondant à son spectre absolument continu. Alors l’opérateur de
scattering
S(A, A0 ) = (W − )∗ W +
est un opérateur unitaire de Im P0 , et il commute avec A0 ; ainsi dans la décomposition spectrale de A0 |Im P0
Z
⊕
H(λ)dµ(λ)
Im P0 =
Z
A0 =
λ IdH(λ) dEλ ,
Spac (A0 )
on peut écrire
Z
S(A, A0 ) =
S(λ, A, A0 )dEλ ,
Spac (A0 )
où S(λ, A, A0 ) est un opérateur unitaire de H(λ). Cet opérateur est en fait de
la forme identité plus opérateur à trace. On peut donc définir son déterminant
de Fredholm, le résultat de M. Birman et M. Krein est le suivant :
Théorème. 3.4 Pour presque tout λ ∈ Spac (A0 ), on a l’égalité
detF r S(λ, A, A0 ) = e−2iπξ(λ,A,A0 ) .
3.2
Lien avec le déterminant de l’opérateur de Dirichletto-Neumann.
Notre but est de montrer le résultat suivant :
Théorème. 3.5 Soit (M n , g) une variété riemannienne complète et
L : C0∞ (M, V ) −→ C0∞ (M, V )
un laplacien généralisé comme précédemment ; on note encore L l’opérateur
auto-adjoint non-borné qui lui correspond sur L2 (M, V ). Soit Σ ⊂ M une hypersurface compacte lisse de M , on note L0 l’opérateur non-borné sur L2 (M, V )
correspondant à l’opérateur L avec les conditions de Dirichlet sur Σ, alors pour
presque tout λ ≥ 0, on a l’égalité
lim
ε→0+
1
Arg det N (λ + iε) = ξ(λ, L, L0 ).
π
16
Preuve .– Fixons ν un entier strictement supérieur à (n − 1)/2, on introduit
alors la fonction
h
−1 i
Φ(z) = ∆((1 + z)−ν ) = det (IdL2 (M,V ) + V (L0 + 1)−ν − (1 + z)−ν
,
où
V = (L + 1)−ν − (L0 + 1)−ν .
| suivant
Cette fonction est définie pour z dans l’ouvert de C
j
|
|
Ω = {z ∈ C,
(1 + z)ν 6∈ [1, ∞[} = C
− ∪ν−1
j=0 −1 + ω [1, ∞[ ,
où ω = exp(2iπ/ν). Remarquons que Ω est un ouvert simplement connexe et
que d’après la théorie de M. Krein, on a pour presque tout λ ≥ 0 :
lim
ε→0+
1
Arg Φ(λ + iε) = ξ(λ, L, L0 ).
π
Nous allons exprimer la fonction Φ en fonction du déterminant de l’opérateur
de Dirichlet-to-Neumann. Pour cela, nous commençons par dériver la fonction
Φ
0
Φ0 (z)
1
−ν−1 ∆
= −ν(1 + z)
.
Φ(z)
∆ (1 + z)ν
Or, on sait que
∆0
(ζ)
∆
=
Tr ((L0 + 1)−ν − ζ)−1 − ((L + 1)−ν − ζ)−1
Tr (L0 + 1)ν (1 − ζ(L0 + 1)ν )−1 − (L + 1)ν (1 − ζ(L + 1)ν )−1
1
1
1
=
Tr
−
ζ2
(L + 1)ν − ζ −1
(L0 + 1)ν − ζ −1
=
D’où on obtient la formule :
Φ0 (z)
= −ν(1 + z)ν−1 Tr
Φ(z)
1
1
−
ν
ν
ν
(L + 1) − (1 + z)
(L0 + 1) − (1 + z)ν
.
(3.7)
On utilise maintenant la décomposition en éléments simples de la fraction
ν−1
1
1 X ω j(1−ν)
=
.
X ν − aν
νaν−1 j=0 X − ω j a
(3.8)
Et on arrive à la formule


ν−1
0
X
Φ (z)
1
1
.
= −Tr 
ω j(1−ν)
−
j
Φ(z)
(L
+
1)
−
(1
+
z)ω
(L
+
1)
−
(1 + z)ω j
0
j=0
On voudrait maintenant différencier cette expression (ν − 1) fois. Nous n’avons
pas le droit de dériver sous la trace dans cette dernière formule ; cependant on a
17
le droit de dériver l’expression (3.7) et alors la différentiation de la décomposition
en éléments simples (3.8) permet d’obtenir l’identité


ν−1
X
dν−1 Φ0 (z)
1
1
.
= −(ν−1)! Tr 
−
j )ν
j )ν
dz ν−1 Φ(z)
((L
+
1)
−
(1
+
z)ω
((L
+
1)
−
(1
+
z)ω
0
j=0
Or d’après notre théorème 2.2 , ceci vaut exactement
ν−1
dν X
log det N (1 + z)ω j − 1 .
dz ν j=0
C’est à dire, on a l’identité
ν−1
dν X
dν
log
Φ(z)
=
log det N ((1 + z)ω j − 1).
dz ν
dz ν j=0
Par connexité de Ω, on en déduit qu’il existe un polynôme P de degré inférieur
à ν − 1, tel que :


ν−1
Y
log Φ(z) = log 
det N ((1 + z)ω j − 1) + P (z + 1).
j=0
Maintenant P doit vérifier l’identité P (zω) = P (z) puisque les autres termes de
cette identité sont des fonctions de (1 + z)ν . Ainsi P est un polynôme en z ν de
degré inférieur à ν − 1, c’est donc un polynôme constant. De plus, les identités
Φ(z̄) = Φ̄(z), et det N ((1 + z̄)ω j − 1) = det N ((1 + z)ω −j − 1)
assurent que P est une constante réelle. Et donc pour une certaine constante
réelle c, on a la formule


ν−1
Y
log Φ(z) = log 
det N ((1 + z)ω j − 1) + c.
j=0
Comme pour presque tout λ ≥ 0, la limite
Φ(λ + iε)
1
lim
log
Φ(λ − iε)
ε→0+ 2π
existe et vaut ξ(λ, L, L0 ), on a de même pour la limite


ν−1
Y det N ((1 + λ + iε)ω j − 1)
1
.
lim
log 
j − 1)
det
N
((1
+
λ
−
iε)ω
ε→0+ 2π
j=0
18
Or si j 6= 0, le nombre complexe −1 + (1 + λ)ω j n’est pas dans le spectre de L0 ,
ainsi on a
lim det N ((1 + λ + iε)ω j − 1) = det N ((1 + λ)ω j − 1).
ε→0
Ainsi il reste à la limite
lim+
ε→0
1
log
2π
det N (λ + iε)
det N (λ − iε)
= ξ(λ, L, L0 ).
Q.E.D.
4
Déterminant relatif et formule à la BurgheleaFriedlander-Kappeler.
Notre but est ici de relier le déterminant reelatif des opérateurs L et L0
en fonction du déterminant de l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann. Comme
l’on fait dans le cas des variétés compactes R. Forman et D. Burghelea, L.
Friedlander et T. Kappeler. Une telle formule a récemment été obtenue pour
le laplacien sur IR2 par A. Hassell et S. Zelditch [H-Z]. Nous commençons par
rappeler les hypothèses qui permettent, selon W. Müller, [Mu 2], de définir un
déterminant relatif.
4.1
Déterminant relatif.
Soit H un espace de Hilbert séparable et A, A0 deux opérateurs autoadjoints
positifs sur H. On suppose :
– Si e−tA et e−tA0 sont les semi-groupes de la chaleur associés à A et A0 ,
alors pour tout t > 0, l’opérateur e−tA − e−tA0 est à trace.
– Lorsque t → 0+ , il y a un développement asymptotique de la forme
−tA
Tr e
−tA0
−e
∼
k(j)
∞ X
X
k
aj,k tαj (log t) ,
j=0 k=0
où {αj }j est une suite croissante tendant vers l’infini. De plus, on suppose
que aj,k = 0 si αj = 0 et k ≥ 1.
Alors pour tout nombre complexe z de partie réelle strictement négative, on
peut définir un déterminant relatif
det (A − z, A0 − z).
Ce déterminant est obtenu à partir de la fonction zeta :
Z ∞
dt
ζ(s, z) =
Tr e−tA − e−tA0 etz ts−1
.
Γ(s)
0
19
Ces hypothèses assurent que la fonction s 7→ ζ(s, z) existe lorsque la partie réelle
|
de s est assez grande et qu’elle admet un prolongement méromorphe à C.
De
plus, cette fonction se trouve être holomorphe au voisinage de 0, on pose alors
∂
det (A − z, A0 − z) = e− ∂s |s=0 ζ(s,z) .
Ces déterminants ont été définis et étudiés par W. Müller. Dans [Mu 2], l’auteur
donnent de nombreux exemples où de tels déterminants apparaissent. Dans un
cadre euclidien, ces déterminants relatifs avaient déjà été définis et étudiés par
V. Bruneau [Br]. On a alors
Proposition 4.1 La fonction z 7→ det (A − z, A0 − z) est une fonction holo|
morphe sur {z ∈ C,
<z < 0}.
4.2
Dans notre cadre.
On suppose toujours que (M n , g) est une variété riemannienne complète et
L : C0∞ (M, V ) −→ C0∞ (M, V )
un laplacien généralisé comme précédemment mais on suppose de plus qu’il vérifie la propriété de propagation à vitesse finie (2.2) ; on note encore L l’opérateur
auto-adjoint non-borné qui lui correspond sur L2 (M, V ). Soit Σ ⊂ M une hypersurface compacte lisse de M , on note L0 l’opérateur non-borné sur L2 (M, V )
correspondant à l’opérateur L avec les conditions de Dirichlet sur Σ. Grâce au
théorème 3.3, on sait que pour tout t > 0, l’opérateur e−tL − e−tL0 est à trace ;
et que
Z ∞
Tr e−tL − e−tL0 = −t
e−tλ ξ(λ, L, L0 )dλ.
0
La seconde hypothèse est vérifiée grâce à un résultat de U. Bunke : dans [B],
l’auteur montre que si Ω est un voisinage de l’infini ne rencontrant pas Σ alors
il y a une constante positive C telle que lorsque t → 0+ :
C
Tr 1Ω e−tL − e−tL0 1Ω = O(e− t ).
Ceci est obtenu à partir de la propriété de propagation à vitesse finie et de
la formule de Duhamel. Alors grâce au fait que les noyaux de Schwartz des
opérateurs e−tL et e−tL0 admettent des asymptotiques lorsque t → 0+ , qui ne
dépendent que de la géométrie locale ; on en déduit que lorsque t → 0+ on a
l’asymptotique
∞
X
Tr e−tL − e−tL0 ∼
aj tj/2 .
(4.9)
j=−(n−1)
On a même a−(n−1) = lvol ∂O/(4π)(n−1)/2 , où l est la dimension des fibres de V
Ceci montre que le déterminant relatif det (L − z, L0 − z) est bien défini. Notre
résultat est le suivant
20
Théorème. 4.2 Il y a un polynôme à coefficients réels, P , de degré inférieur à
n−1
2 tel que
det (L − z, L0 − z) = eP (z) det N (z),
Où N (z) est l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann défini dans la deuxième partie.
Preuve .– Ceci découle des résultats précédents. En effet, si ν est un entier
ν > (n − 1)/2 alors on a
Z ∞
ξ(λ)
dλ.
ζ(s, z) = −
s
(λ
−
z)s+1
0
Ce qui est bien défini si <s > ν. Selon 3.3, nous savons que lorsque <s > 3ν ou
lorsque s = ν alors ceci vaut précisément la trace de l’opérateur
(L − z)−s − (L0 − z)−s .
On peut dériver ceci, et si on dérive ν fois on obtient
Z ∞
∂ν
ξ(λ)
ζ(s,
z)
=
−
dλ, <s > ν.
s(s + 1)...(s + ν)
∂z ν
(λ − z)s+ν+1
0
Or cette intégrale est maintenant absolument uniformément convergente pour s
de partie réelle positive ou nulle. Et on a donc
dν
log det (L − z, L0 − z)
dz ν
∂ν ∂
| + ζ(s, z)
∂z ν ∂s Zs=0
∞
ξ(λ)
= (ν − 1)!
ν
dλ
(λ
−
z)ν+1
0
= −(ν − 1)! Tr (L − z)−ν − (L0 − z)−ν .
= −
On conclut alors grâce au théorème (2.2) que
dν
dν
det
(L
−
z,
L
−
z)
=
log det N (z).
0
dz ν
dz ν
Le fait que P soit à coefficients réels découlent des identités suivantes :
det (L − z, L0 − z) = det (L − z̄, L0 − z̄)
det N (z) = det N (z̄).
Q.E.D.
Ceci, nous permet d’affirmer que l’on a le résultat suivant
Corollaire 4.3 La fonction de décalage spectral du couple (L, L0 ) et le déterminant relatif vérifient que pour presque tout λ ≥ 0,
ξ(λ, L, L0 ) = lim
ε→0+
1
Arg det (L − λ − iε, L0 − λ − iε).
π
21
4.3
Asymptotique pour le déterminant relatif.
Notre but est ici de montrer comment nous pouvons utiliser les résultats
de ([B-F-K]) afin d’estimer le polynôme apparaissant dans le théorème (4.2).
Comme dans les articles [B-F-K] et [H-Z], nous commençons par montrer que
le déterminant relatif admet un développement asymptotique lorsque |z| tend
vers +∞
Proposition 4.4 Si L : C0∞ (M, V ) −→ C0∞ (M, V ) un laplacien généralisé
vérifiant la propriété de propagation à vitesse finie, alors lorsque µ → +∞, le
logarithme du déterminant relatif admet le développement asymptotique suivant :
log det (L + µ, L0 + µ) '
+∞
X
πj µ−j/2 .
j=−(dim M −1)
De plus les coefficients πj apparaissant dans cette formule ne dépendent que du
germe de L près de Σ
Preuve .– On utilise encore le résultat suivant de U. Bunke ([B]) : si Ω est un
voisinage de l’infini ne rencontrant pas Σ alors il y a une constante positive C
telle que
Tr 1Ω e−tL − e−tL0 1Ω ≤ e− Ct .
Ceci permet d’écrire la fonction zeta comme une somme
ζ(s, −µ) = ζM −Ω (s, −µ) + ζΩ (s, −µ),
avec
Z
ζΩ (s, −µ) =
0
∞
dt
.
Tr 1Ω e−tL − e−tL0 1Ω e−tµ ts−1
Γ(s)
L’estimée de U. Bunke assure que la fonction s 7→ ζΩ (s, −µ) est une fonction
|
entière sur C.
De plus on peut majorer sa dérivée en 0 grâce à la formule de
Cauchy :
Z
Z
Z ∞
d
C
ds ζΩ (0, −µ) = e− t e−tµ t<s−1 dt|ds|
ζ
(s,
−µ)
≤
C
Ω
ds
2
2iπs |s|=1/2
|s|=1/2 0
Maintenant, il est facile de majorer cette intégrale
Z ∞
√
C
C
e− t e−tµ t<s−1 dt ≤ (<s+1)/2 e− Cµ ;
µ
0
On a donc lorsque µ → +∞,
√
d
ζΩ (0, −µ) ≤ Ce− Cµ .
ds
Ceci montre que la dérivée en zéro de la fonction ζ(s, −µ) − ζM −Ω (s, −µ) vérifie
la même estimée. Or les travaux de ([B-F-K]) montre que lorsque µ → +∞,
22
la dérivée en zéro de la fonction s 7→ ζM −Ω (s, −µ) admet un dévelopement
asymptotique
+∞
X
d
− ζM −Ω (0, −µ) '
πj µ−j/2 .
ds
j=−(dim M −1)
De plus les coefficients πj apparaissant dans cette formule ne dépendent que du
germe de L près de Σ.
Q.E.D.
Le déterminant de l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann admet lui aussi un
tel développement asymptotique, les coefficients du polynôme apparaissant dans
le théorème (4.2) sont alors déterminés par ces développements asymptotiques.
Corollaire 4.5 Les coefficients du polynôme apparaissant dans le théorème (4.2)
ne dépendent que du germe de l’opérateur près de Σ.
Grâce au calcul fait par Burghelea-Friedlander-Kappeler nous pouvons en déduire la généralisation d’un résultat de [B-F-K] pour les surfaces compactes et
de [H-Z] pour le plan euclidien.
Corollaire 4.6 Si (M, g) est une surface complète et Σ une courbe compacte
plongée dans M , alors pour le laplacien associé à la métrique on a :
det (∆ − z, ∆0 − z) = det N (z).
Il est maintenant intèressant de calculer ce polynôme dans certains cas afin
de savoir s’il est toujours nul :
Proposition 4.7 Supposons que sur un voisinage de l’hypersurface Σ, l’opérateur L soit un produit
∂2
L = − 2 + A.
∂r
Et que les métriques de M et de V respectent cette géométrie, alors
– si la dimension de M est paire, le polynôme apparaissant dans le théorème
(4.2) est nul.
– Si la dimension de M est impaire, ce polynôme n’est pas nul.
Preuve .– Grâce, au corollaire (4.5), il suffit de calculer ce polynôme lorsque
la variété est un produit riemannien M = IR × Σ, V est le tiré en arrière d’un
fibré hermitien sur Σ et A : C ∞ (Σ, V ) −→ C ∞ (Σ, V ) est un laplacien généralisé
sur Σ.
Alors il est facile de calculer la trace de l’opérateur e−tL − e−tL0 , puisque les
noyaux de ces opérateurs de la chaleur sont le produit des noyaux corespondant
sur IR (ou IR − {0}) et sur Σ. Mais le noyau de la chaleur sur IR est
p(t, x, y) = √
|x−y|2
1
e 4t
4πt
et sur IR − {0} pour les conditions de Dirichlet en 0 il est
|x−y|2
|x+y|2
1
4t
4t
√
e
−e
1xy>0 ;
p0 (t, x, y) =
4πt
23
on obtient donc
1
Tr e−tL − e−tL0 = Tr e−tA .
2
1
Et donc, on a ζ(s, −µ) = 2 ζA (s, −µ) et donc
det (L + µ, L0 + µ) =
1
det (A + µ).
2
Puis diagonalisant l’opérateur A et en séparant les variables, il est facile de
calculer explicitement l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann :
p
N (−µ) = 2 A + µ.
Ainsi on a
log det N (−µ) =
1
log det (A + µ) + log 2, ζA (0, −µ).
2
La valeur en 0 de la fonction ζ s’exprime grâce au développement asymptotique
Tr e−tA ∼
∞
X
aj t−(n−1)/2+j , t → 0 + .
j=0
On a même a0 = lvol Σ/(4π)(n−1)/2 , où l est la dimension des fibres de V . Il est
bien connu que ζA (0, −µ) s’annule si Σ est de dimension impaire, c’est à dire si
M est de dimension paire. Puis si cette dimension est paire, donc n = 2p + 1
est impaire, on a
p
X
(−1)p−j
aj µp−j
ζA (0, −µ) =
(p
−
j)!
j=0
qui est bien un polynôme non nul car a0 est non nul.
Q.E.D.
Ceci montre plutôt que la normalisation choisie ici et dans les autres références pour l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann n’est pas la bonne, il faudrait
diviser cet opérateur par deux. Il serait intéressant de calculer les premiers
termes du développement asymptotique des déterminants régularisés pour savoir si le polynôme est toujours nul en petite dimension, lorsque l’on normalise
convenablement l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann.
4.4
Cas du scattering avec obstacle.
Soit O ⊂ M un compact à bord lisse de M , on note Σ le bord de O et
Ω = M − O. Alors L0 est la somme de deux opérateurs :
L0 = LO ⊕ LΩ .
Où LO (resp. LΩ ) est l’opérateur associé à L sur O (resp. Ω) avec les conditions
de Dirichlet sur le bord. Puisque O est compact, l’opérateur e−tLO est un opérateur à trace et on peut bien définir le déterminant relatif de (L − z, LΩ − z)
et on aura
24
Proposition 4.8 Il y a un polynôme à coefficients réels P de degré inférieur à
(n − 1)/2 tel que
det (L − z, LΩ − z) = eP (z) det N (z) det (LO − z).
On peut aussi retrouver la fonction de décalage spectral associée au couple
(L, LΩ ).
Proposition 4.9 Pour presque tout λ ≥ 0,on a
ξ(λ, L, LΩ )
= ξ(λ, L, L0 ) − NO (λ)
1
Argdet N (λ + iε) − NO (λ).
= lim+
ε→0 π
Où NO est la fonction de comptage des valeurs propres de LO :
NO (λ) = Card{µ ∈ Sp LO , µ ≤ λ}.
4.5
Cas de deux opérateurs isométriques à l’infini.
Soient Li : C0∞ (Mi , Vi ) −→ C0∞ (Mi , Vi ), i = 1, 2, deux laplaciens généralisés
vérifiant la propriété de propagation à vitesse finie. On suppose qu’il y a des
compacts Ki ⊂ Mi , au dehors duquels les opérateurs L1 et L2 sont isométriques.
Nous pouvons alors étudier le déterminant relatif det (L1 − z, L2 − z).
Pour ceci, on peut supposer que les compacts Ki sont à bords lisses. On
identifie alors les bords de ces deux compacts et on le note Σ. De même on
identifie M1 − K1 à M2 − K2 , on notera cet ouvert Ω ; et on notera aussi V
le fibré V1 (ou V2 ) au-dessus de Ω et L l’opérateur Li sur Ω. Les opérateurs
(Li − z)−ν agissent naturellement sur l’espace
L2 (K1 , V1 ) ⊕ L2 (Ω, V ) ⊕ L2 (K2 , V2 )
= L2 (M1 , V1 ) ⊕ L2 (K2 , V2 )
= L2 (K1 , V1 ) ⊕ L2 (M2 , V2 ).
De plus si ν est un entier, ν > n/2 alors l’opérateur
(L1 − z)−ν − (L2 − z)−ν
est à trace. En effet, si LΩ est l’opérateur associé à L pour les conditions de
Dirichlet sur ∂Ω, alors on a
(L1 −z)−ν −(L2 −z)−ν = (L1 − z)−ν − (LΩ − z)−ν − (L2 − z)−ν − (LΩ − z)−ν ,
c’est donc une différence d’opérateur à trace, il est donc à trace. Et on aura
donc
det (L1 − z, LΩ − z)
det (L1 − z, L2 − z) =
.
det (L2 − z, LΩ − z)
Et si on note Ni les opérateurs de Dirichlet-to-Neumann associés (ce sont des
opérateurs agissant sur C ∞ (Σ, V )), et LKi l’opérateur associé à Li , : C0∞ (Ki , Vi ) −→
C0∞ (Ki , Vi ) avec les conditions de Dirichlet sur ∂Ki alors :
25
Proposition 4.10 Il existe un polynôme à coefficients réels P de degré inférieur
à (n − 1)/2, tel que
det (L1 − z, L2 − z) = eP (z)
det (LK1 − z) det N1 (z)
.
det (LK2 − z) det N2 (z)
Nous pouvons améliorer quelque peu cette égalité. Les opérateurs de Dirichletto-Neumann N1 et N2 ne diffèrent que d’un opérateur à noyau lisse, en effet
l’opérateur N1 (z)−1 − N2 (z)−1 est un opérateur à noyau lisse. En effet, le noyau
de Schwartz de cet opérateur est la différence des noyaux de Schwartz des opérateurs (Li −z)−1 , et comme les opérateurs Li sont isométriques dans un voisinage
de Σ, leurs résolvantes diffèrent bien d’un opérateur lissant. On peut donc écrire
N1 (z) = N2 (z) (Id + S(z)) ,
où S(z) est un opérateur à noyau lisse sur C ∞ (Σ, V ). Ainsi le déterminant de
Fredholm de l’opérateur Id + S(z) est bien défini et grâce à une remarque de M.
Kontsevich et S. Vishik ([K-V]), on a
det N1 (z) = det N2 (z)detF r (Id + S(z)) .
Ainsi on obtient le
Théorème. 4.11
det (L1 − z, L2 − z) = eP (z) detF r (Id + S(z))
det (LK1 − z)
.
det (LK2 − z)
De plus, si ξ(λ, L1 , L2 ) est la fonction de décalage spectral associée au couple
(L1 , L2 ) alors on a pour presque tout λ ≥ 0 l’égalité
ξ(λ, L1 , L2 ) = NK2 (λ) − NK1 (λ) + lim+
ε→0
1
Arg detF r (Id + S(λ + iε)) .
π
Où on a noté NKi est la fonction de comptage des valeurs propres de LKi :
NKi (λ) = Card{µ ∈ Sp LKi , µ ≤ λ}.
5
Asymptotique pour la fonction Xi.
Notre résultat principal est ici le suivant
Théorème. 5.1 Soit (M n , g) une variété riemannienne complète et
L : C0∞ (M, V ) −→ C0∞ (M, V )
un laplacien généralisé, vérifiant la propriété de propagation à vitesse finie, agissant sur les sections d’un fibré hermitien de rang l, comme précédemment ;
on note encore L l’opérateur auto-adjoint non-borné qui lui correspond sur
26
L2 (M, V ). Soit O ⊂ M un domaine borné à bord lisse de M , on note LM −O
l’opérateur non-borné sur L2 (M −O, V ) correspondant à l’opérateur L : C0∞ (M −
O, V ) −→ C0∞ (M − O, V ) avec les conditions de Dirichlet sur ∂O. Alors si ξ
est la fonction de décalage spectral associée au couple (L, LM −O ), on a :
Z
n
Λ
ξ(λ, L, LM −O )dλ ∼Λ→∞ −l
0
vol O Λ 2 +1
.
n
(4π) 2 Γ( n2 + 2)
Preuve .– Lorsque t → 0+ , on a l’asymptotique (4.9)
vol O
Tr e−tL − e−tLM −O ∼ l
n .
(4πt) 2
Or la formule de M. Krein fournit
Z ∞
vol O
e−tλ ξ(λ, L, LM −O )dλ ∼ l
−t
n .
(4πt) 2
0
L’idée est maintenant d’appliquer le théorème taubérien de Karamata. Ce serait
direct si la fonction Xi était négative, ce qui n’est pas généralement le cas. On
va donc reprendre pas à pas la preuve de ce théorème Tauberien. Selon (4.9) on
a
ξ(λ, L, LM −O ) = ξ(λ, L, L0 ) − NO (λ),
où L0 est l’opérateur auto-adjoint correspondant à l’opérateur L : C0∞ (M −
∂O, V ) −→ C0∞ (M − ∂O, V ) avec les conditions de Dirichlet sur ∂O ; et NO (λ)
est la fonction de comptage des valeurs propres de l’opérateur auto-adjoint LO
qui correspond à l’opérateur L : C0∞ (O, V ) −→ C0∞ (O, V ) avec les conditions
de Dirichlet sur ∂O :
NO (λ) = Card{µ ∈ Sp LO , µ ≤ λ}.
On sait que
n
NO (λ) ∼λ→∞
λ2
vol O
l
.
n
(4π) 2 Γ( n2 + 1)
Il suffit donc de montrer que
Z Λ
n
ξ(λ, L, L0 )dλ = o Λ 2 +1 , Λ → +∞.
0
Grâce à l’asymptotique (4.9), on sait déjà que
Z ∞
vol ∂O
−t
e−tλ ξ(λ, L, L0 )dλ ∼ l
n−1 .
(4πt) 2
0
On introduit alors la famille de mesures
n
λ
λ
+1
2
dµt (λ) = t
ξ
, L, L0 d
.
t
t
27
On a donc pour tout s > 0,
∞
Z
e−sλ e−λ dµt (λ) = 0.
lim
t→0+
On a donc
0
Z
∞
f (λ)e−λ dµt (λ) = 0,
lim
t→0+
0
pour toute fonction f qui est une combinaison linéaire finie de fonctions du type
λ 7→ e−sλ , s > 0. On veut montrer que cette limite est vrai pour toute fonction
f continue sur IR+ et nulle à l’infini. Pour cela, il suffit de montrer que la famille
de mesure {e−λ dµt (λ)}0<t≤1 est bornée. Ceci repose sur le fait suivant,
Z ∞
dλ
< ∞.
(5.10)
|ξ(λ)|
n
(1 + λ) 2 +1
0
n
n
Si n est pair, on a montré que l’opérateur (L + 1)− 2 − (L0 + 1)− 2 est un
opérateur à trace, car n/2 est un entier strictement plus grand que (n − 1)/2.
Et la théorie de M. Krein nous donne le résultat.
Lorsque n est impair, on introduit l’opérateur
K =L−
∂2
: C0∞ (M × S1 , π ∗ V ) −→ C0∞ (M × S1 , π ∗ V ),
∂θ2
où π : M × S1 −→ M est la projection sur le premier facteur. On note K est
l’opérateur autoadjoint associé à K et K0 est l’opérateur associé à K avec les
conditions de Dirichlet sur ∂O × S1 . Alors la fonction de décalage spectral du
couple (K, K0 ) est
ξ(λ, L, L0 )N (λ),
2
∂
où N (λ) est la fonction de comptage des valeurs propres de l’opérateur − ∂θ
2
sur le cercle. De plus, on sait que l’opérateur
(K + 1)−
n+1
2
− (K0 + 1)−
est à trace ; en conséquence, on a
Z ∞
|ξ(λ, L, L0 )|N (λ)
0
n+1
2
dλ
(1 + λ)
n+1
2 +1
< ∞.
Mais on sait qu’il existe une constante C > 1 telle que (1 + λ)1/2 /C ≤ N (λ) ≤
C(1 + λ)1/2 , ce qui achève la preuve de (5.10).
De ce résultat, on en déduit facilement que
Z ∞
n
sup t 2 +1
|ξ(λ, L, L0 )|e−λt dλ < ∞.
0<t≤1
0
28
Ce qui montre que la famille de mesures {e−λ dµt (λ)}0<t≤1 est bornée. Le théorème de Stone-Weierstrass permet alors d’affirmer que si f est une fonction
continue sur IR+ nulle à l’infini, alors
Z ∞
f (λ)e−λ dµt (λ) = 0.
lim+
t→0
0
Ainsi si ϕ est une fonction continue à support compact dans IR+ alors on a
Z ∞
lim
ϕ(λ)dµt (λ) = 0.
t→0+
0
Le but est maintenant de montrer que ceci est valable pour la fonction caractéristique de l’intervalle [0, 1]. Pour ceci, on introduit la fonction
!
λ−1
.
fδ (λ) = min 1, 1 −
δ
+
On a donc
Z
lim+
t→0
∞
fδ (λ)dµt (λ) = 0.
0
Et pour 0 < t ≤ 1, on a les majorations
Z ∞
Z ∞
1
(λ)dµ
(λ)
−
f
(λ)dµ
(λ)
t
δ
t
[0,1]
0
Z
1+δ
≤
0
d|µt |(λ)
1
n
≤ t 2 +1
1+δ
t
Z
|ξ(λ)|dλ
1
t
≤t
n
2 +1
(1 + λ)
sup
≤ (2 + δ)
Z
Z
∞
1
t
1+δ
1
t ≤λ≤ t
n
2 +1
n
2 +1
∞
1
t
|ξ(λ)|dλ
n
(1 + λ) 2 +1
|ξ(λ)|dλ
.
n
(1 + λ) 2 +1
R 1/t
n
Ce qui assure que limt→0+ t 2 +1 0 ξ(λ, L, L0 )dλ = 0.
Q.E.D.
Remarque : si on sait que l’opérateur (L + 1)−α − (L0 + 1)−α est à trace pour
un réel α ∈](n − 1)/2, n/2], alors cet asymptotique s’améliore ; la même preuve
fournit alors
Z Λ
ξ(λ, L, L0 )dλ = o Λα+1 .
0
Et donc on aura l’asymptotique :
Z Λ
n
vol O Λ 2 +1
ξ(λ, L, LM −O )dλ = −l
+ o Λα+1 .
n
n
(4π) 2 Γ( 2 + 2)
0
La fonction ξ est une généralisation de la fonction de comptage des valeurs
propres. Par exemple, si le spectre de L est discret, donc celui de LM −O aussi,
on a alors
−ξ(λ, L, LM −O ) = NL (λ) − NLM −O (λ),
29
où on a noté NL et NLM −O les fonctions de comptage des valeurs propres des
opérateurs L et LM −O . Si la variété est compacte, alors on a les asymtotiques
de Weyl, pour chaqu’une des fonctions de comptage. Et on obtient donc
−ξ(λ, L, LM −O ) ∼λ→∞ l
λn/2
vol O
.
n/2
Γ(n/2 + 1)
(4π)
C’est cette version dérivée de l’asymptotique qui est l’analogue de la formule
asymptotique de Weyl pour la fonction de comptage de valeurs propres. Cependant cette version dérivée n’est pas valable en toute généralité. On va néanmoins
donner un cadre dans lequel celle ci est vrai. Si la fonction ξ(λ, L, LM −O ) est
une fonction à variation bornée telle que, pour un réel α ∈](n − 1)/2, n/2], on
ait
Z ∞
|dξ(λ)|
< ∞,
(1 + λ)α
0
alors on a l’asymptotique de Weyl :
ξ(λ, L, LM −O ) = l
vol O
λn/2
+ o (λα ) .
(4π)n/2 Γ(n/2 + 1)
(5.11)
La preuve de ce fait consiste à montrer que la fonction de décalage spectral du
couple (L, L0 ) vérifie
ξ(λ, L, L0 ) = o (λα ) .
Ceci se fait grâce à la formule suivante :
Z ∞
−tL
−tL0
Tr e
−e
=
e−tλ dξ(λ, L, L0 ) + ξ(0+ , L, L0 ).
0
L’asymptotique de Weyl (5.11) pour la fonction ξ(λ, L, LM O ) a été obtenu dans
de nombreux cadres géométriques. Dans un cadre euclidien et pour le couple
laplacien euclidien ∆IRn et ∆IRn + V , où V est une fonction à support compact, ceci est due à V. Buslaev, Y. Colin de Verdière, L. Guillopé ([Bu],[CdV],
[Gu]). Pour la cas du laplacien hors d’un obstacle, ceci a été montré sous certaines hypothèses (obstacle convexe, étoilé ou sans trajectoire captée) par A.
Majda, J.Ralston [M-R], A. Jensen, T. Kato [J-K], et à V. Petkov, G. Popov
[P-P] ; R. Melrose et D. Robert ont montré le cas général [Me], [R]. Signalons
que dans [J-K], les auteurs avaient montré notre asymtotique dans le cas d’un
obstacle quelconque dans IRn . Le dernier résultat dans le cadre euclidien est
due à T. Christiansen [C2] et L. Parnovski [P3], ils montrent que l’asymptotique de Weyl est vrai pour l’opérateur de Laplace sur les fonctions sur les
variétés riemanniennes qui ont un voisinage de l’infini isométrique à un cône :
[0, ∞[×Σ, dr2 + r2 h) où h est une métrique riemannienne sur Σ. Le résultat de
T. Christiansen est vrai lorsque la géométrie est asymptote à celle-ci.
Le cas des variétés riemanniennes dont un voisinage de l’infini est cylindrique
est due à T. Christiansen et M. Zworski et L. Parnovski [C-Z], [P1]. Le cas des
surfaces hyperboliques à l’infini et de volume fini est du à W. Müller [Mu 1]
30
et à L. Parnoski [P2]. Enfin les cas des surfaces de géométrie finie est due à L.
Guillopé et M. Zworski [G-Z].
Remarque : pour finir cette partie, nous notons que notre méthode permet de
traiter le cas où on veut comparer l’opérateur L à un opérateur modèle L : si
on sait que l’opérateur (L + 1)−(n−1)/2 − (L + 1)−(n−1)/2 est à trace, alors la
fonction de décalage spectral du couple (L, LM −O ) vérifie
Z Λ
n
vol O Λ 2 +1
ξ(λ, L, LM −O )dλ ∼Λ→∞ −l
.
n
(4π) 2 Γ( n2 + 2)
0
6
Scattering supersymétrique : le cas des formes
différentielles.
Notre but est d’expliquer ici comment les résultats de N. Borisov, W. Müller
et R. Schrader se généralisent. Nous commençons par préciser le cadre :
6.1
L’opérateur de Gauss-Bonnet.
Soit (M n , g) une variété riemannienne complète, alors l’opérateur de différentiation extérieure
d : C ∞ (Λp T ∗ M ) −→ C ∞ (Λp+1 T ∗ M )
a un adjoint formel
δ : C ∞ (Λp+1 T ∗ M ) −→ C ∞ (Λp T ∗ M ),
qui est défini à l’aide la formule d’intégration par partie
Z
Z
< dα, β >=
< α, δβ >, ∀α ∈ C ∞ (Λp T ∗ M ), β ∈ C ∞ (Λp+1 T ∗ M ).
M
M
L’opérateur de Gauss-Bonnet est l’opérateur
d + δ : C ∞ (Λ• T ∗ M ) −→ C ∞ (Λ• T ∗ M ),
il envoie une forme de degré pair sur une forme de degré impair et vice-versa ; son
carré est le laplacien de Hodge-deRham. Selon [Ch], ces opérateurs admettent
une unique extension auto-adjointe à L2 (Λ• T ∗ M ).
6.2
Les conditions aux bords.
Soit Ω ⊂ M un domaine à bord, ∂Ω est supposé compacte et lisse. Si on
considère l’opérateur de Gauss-Bonnet et le laplacien de Hodge-deRham sur Ω,
ils admettent de nombreuses extensions autoadjointes ; nous étudions uniquement trois d’entre elles :
– ∆0 qui est la réalisation du laplacien de Hodge-deRham sur Ω avec les
conditions de Dirichlet sur ∂Ω.
31
– Les conditions relatives : on définit
D ((d + δ)Rel ) = {α ∈ L2 (ΛT ∗ M ), (d + δ)α ∈ L2 , et i∗ α = 0},
où i : ∂Ω −→ Ω est l’inclusion ; alors
((d + δ)Rel , D ((d + δ)Rel ))
est un opérateur autoadjoint. Et le carré de cet opérateur est noté ∆Rel , il
correspond au laplacien de Hodge-deRham pour les conditions aux bords
{i∗ α = 0, i∗ (δα) = 0}.
– Les conditions absolues : on définit
D ((d + δ)Absl ) = {α ∈ L2 (ΛT ∗ M ), (d + δ)α ∈ L2 , et intn α = 0},
où n : ∂Ω −→ T Ω est le champ normal unitaire extérieur ; alors
((d + δ)Abs , D ((d + δ)Abs ))
est un opérateur autoadjoint. Et le carré de cet opérateur est noté ∆Abs , il
correspond au laplacien de Hodge-deRham pour les conditions aux bords
{intn α = 0, intn (dα) = 0}.
6.3
Existence des opérateurs d’ondes.
Nous avons le résultat suivant qui un analogue de la première partie du
théorème (2.2) :
| − IR , les
Théorème. 6.1 Si ν est un entier ν > (n − 1)/2, alors pour z ∈ C
+
opérateurs
(∆Rel −z)−ν −(∆0 −z)−ν , (∆Abs −z)−ν −(∆0 −z)−ν , (∆Abs −z)−ν −(∆Rel −z)−ν
sont à trace.
La preuve de ce théorème se déroule de la même façon que la preuve du théorème
(2.2). Comme dans cette preuve, nous notons GRel (z, x, y), GAbs (z, x, y) et
G0 (z, x, y) les noyaux de Schwartz des opérateurs (∆Rel − z)−1 , (∆Abs − z)−1
et (∆0 − z)−1 . Par exemple, GRel (z, x, y) ∈ Hom(ΛTy∗ Ω, ΛTx∗ Ω) et si f ∈
L2 (ΛT ∗ Ω), alors
Z
(∆Rel − z)−1 f (x) =
GRel (z, x, y)f (y)dy.
Ω
il suffit de montrer que les deux premiers opérateurs sont à trace, puisque le
troisième est la différence des deux premiers. Comme la preuve du théorème
(2.2), ceci repose sur les deux identités suivantes
Z
GRel (z, x, y) − G0 (z, x, y) =
GRel (z, x, t)θt ∧ δt G0 (z, t, y)dt
t∈∂Ω
Z
GAbs (z, x, y) − G0 (z, x, y) = −
GAbs (z, x, t)intnt dt G0 (z, t, y)dt,
t∈∂Ω
32
où nt ∈ Tt Ω est la normale unitaire extérieure à ∂Ω en t et θt ∈ T ∗ Ω est la
1-forme différentielle θt (.) =< nt , . >. Ces formules sont des conséquences de la
formule de Green :
Z
(∆u, v)−(u, ∆v) =
< u, intn dv > − < intn u, v > + < δu, intn v > − < intn u, δv > .
∂Ω
Comme dans 2.2, ces traces sont reliées à des déterminants d’opérateurs de
Dirichlet-to-Neumann.
6.4
Les opérateurs Dirichlet-vers-Relatif et Dirichlet-versabsolu
On considère l’opérateur suivant : à α ∈ C ∞ (ΛT ∗ ∂Ω), on associe β l’unique
solution du problème de Dirichlet :

(∆ − z)β = 0
sur M − ∂Ω


 ∗
i β=0
sur ∂Ω
int
β
=
α
sur ∂Ω

n


β ∈ C ∞ (ΛT ∗ Ω) ∩ L2
On pose alors
NRel (z)α = −i∗ (δβ).
L’opérateur de Dirichlet-vers-Relatif NRel est alors un opérateur pseudo-différentiel
elliptique d’ordre 1 inversible. Et il vérifie les mêmes propriétés que l’opérateur de Dirichlet-to-Neumann. Ces propriétés résultent du fait que l’opérateur
−1
NRel
a pour noyau de Schwartz intnx GRel (z, x, y)θy ∧ . C’est à dire que si
α ∈ C ∞ (ΛT ∗ ∂Ω), alors
Z
NRel (z)−1 α(x) =
intnx GRel (z, x, y)θy ∧ α(y) dy.
∂Ω
En effet, si
Z
GRel (z, x, y)(θy ∧ ϕ(y))dy
u(x) =
∂Ω
où ϕ ∈ C ∞ (ΛT ∗ ∂Ω), alors u vérifie les équations

sur Ω
 (∆ − z)u = 0
u ∈ C ∞ (ΛT ∗ Ω) ∩ L2
 ∗
sur ∂Ω
i u=0
De plus, la formule de Green montre queR−i∗ (δu) = ϕ ainsi NRel (z)−1 ϕ = intn u.
En effet, si T est la distribution v 7→ ∂Ω < v, θ ∧ ϕ >, alors la distribution
(∆Rel − z)−1 T est dans L2 et elle est égale à u, i.e.
Z
−1
−1
(∆Rel − z) T (v) = T (∆Rel − z̄) v =
< v, u > .
Ω
33
Mais la formule de Green montre que si v ∈ D(∆Rel ) alors
Z
< (∆ − z̄)v, u >= −
< v, θ ∧ δu >
∂Ω
Or ceci doit aussi valoir T (v).
On montre de la même façon que si NAbs (z) est l’opérateur qui à α ∈
C ∞ (ΛT ∗ ∂Ω) associe NAbs (z)α = intn dβ, où β est la solution du problème de
Dirichlet

(∆ − z)β = 0
sur M − ∂Ω


 ∗
i β=α
sur ∂Ω
int
β
=
0
sur ∂Ω

n


β ∈ C ∞ (ΛT ∗ Ω) ∩ L2
Alors NAbs (z) est aussi un opérateur pseudo-différentiel elliptique d’ordre 1 inversible. Et le noyau de Schwartz de l’opérateur NAbs (z)−1 est i∗x i∗y GAbs (z, x, y),
c’est à dire que
Z
−1
NAbs (z) f (x) =
i∗x i∗y GAbs (z, x, y)f (y) dy.
∂Ω
Maintenant, la même preuve que le théorème 2.2 montre que
Théorème. 6.2 Si ν est un entier ν > (n − 1)/2, alors on a
dν
(ν − 1)! Tr (∆Rel − z)−ν − (∆0 − z)−ν = ν log det NRel (z),
dz
dν
(ν − 1)! Tr (∆Abs − z)−ν − (∆0 − z)−ν = − ν log det NAbs (z).
dz
Remarque : On pourrait énoncer une formule analogue à propos de l’opérateur
(∆Abs − z)−ν − (∆Rel − z)−ν :
(ν − 1)! Tr (∆Abs − z)−ν − (∆Rel − z)−ν
dν
dν
= − ν log det NAbs (z) − ν log det NRel (z).
dz
dz
6.5
(6.12)
Scattering supersymétrique
Nous rappelons d’abord ce que sont les données du scattering supersymétrique comme elles sont définies dans [B-M-S]. C’est la donnée d’un couple d’opérateurs auto-adjoint non-bornés (Q, Q0 ) agissant sur un espace de Hilbert H
telle que
– H est muni d’une involution τ qui anticommute avec Q et Q0 , i.e.
τ 2 = IdH ; Qτ + τ Q = 0, sur D(Q0 ) ; Q0 τ + τ Q0 = 0, sur D(Q0 ).
Autrement dit si H ± = Ker (τ ∓ IdH ) alors H = H + ⊕ H − et dans cette
décomposition, on a
0 Q−
0 Q−
0
,
Q
=
.
Q=
0
Q+
0
Q+
0
0
34
2
2
– Les opérateurs d’ondes W ± (Q2 , Q20 ) = s−limt→±∞ eitQ e−itQ0 P0 existent
et sont complets, où P0 est le projection spectral de Q20 correspondant à
son spectre absolument continu.
– Ces opérateurs d’ondes enlacent Q et Q0 , i.e.
QW ± (Q2 , Q20 )P0 = W ± (Q2 , Q20 )Q0 P0 , sur D(Q0 ).
Dans [B-M-S], les auteurs obtiennent le critère suivant pour que le couple (Q, Q0 )
définissent des données de scattering supersymétrique.
2
2
Proposition 6.3 Si les opérateurs Qe−tQ − Q0 e−tQ0 sont à trace pour tout
t > 0 ou si pour un réel ν les opérateurs Q(Q2 − z)−ν − Q0 (Q20 − z)−ν sont
| − IR , alors le couple (Q, Q ) définit des données de
à trace pour tout z ∈ C
+
0
scattering supersymétrique.
6.6
L’indice de Witten.
Soient (Q, Q0 ) des données de scattering supersymétrique. Lorsque cela a un
sens, on peut définir l’indice de Witten
2
2
W (t) = Tr τ e−tQ − e−tQ0 .
Lorsque Q0 (et donc Q) a un spectre discret, cette quantité ne dépend pas de t
et vaut l’indice relatif entre Q+ et Q+
0 :
+
−
+
−
W (t) = ind Q+ −ind Q+
0 = dim Ker Q −dim Ker Q −dim Ker Q0 +dim Ker Q0 .
Dans le cas où le spectre de Q0 n’est pas discret, W (t) est la régularisation à la
Witten de l’indice relatif entre Q+ et Q+
0 . De plus selon [G-S 1], si Q0 (et donc
Q) est Fredholm alors
W (∞) = lim W (t) = ind Q+ − ind Q+
0.
t→+∞
Ces indices régularisés à la Witten ont été beaucoup étudiés notamment en lien
avec la théorie du scattering (supersymétrique) (cf. entre autres [B-G-G-S-S],
[B-M-S], [G-S 1], [B-B 1,2,3], [Mo 1,2],...).
6.7
Dans notre cadre.
Nous étudions le couple ((d + δ)Abs , (d + δ)Rel ) sur L2 (ΛT ∗ Ω). L’espace L2 (ΛT ∗ Ω)
se décompose par rapport à la parité du degré des formes différentielles :
L2 (ΛT ∗ Ω) = L2 (Λ2• T ∗ Ω) ⊕ L2 (Λ2•+1 T ∗ Ω).
Et l’involution est l’application τ définit par τ α = (−1)p α si α ∈ L2 (Λp T ∗ Ω).
De la même façon que précédemment, nous avons
35
| − IR , les
Proposition 6.4 Si ν est un entier ν > n/2, alors pour z ∈ C
+
opérateurs
−ν
(d + δ)Abs (∆Abs − z)
−ν
− (d + δ)Rel (∆Rel − z)
sont à trace. Donc le couple ((d + δ)Abs , (d + δ)Rel ) définit des données de scattering supersymétrique.
Ceci se montre à l’aide de la formule suivante :
(d + δ)Rel GRel (z, x, y) − (d + δ)Abs GAbs (z, x, y) =
Z
(d + δ)x GRel (z, x, t)θt ∧ δt GAbs (z, t, y)dt
t∈∂Ω
Z
+
(d + δ)x dt GRel (z, x, t)θt ∧ GAbs (z, t, y)dt.
t∈∂Ω
Et nous avons le théorème suivant concernant l’indice de Witten :
Théorème. 6.5 L’indice de Witten W (t) = Tr τ e−t∆Abs − e−t∆Rel est indépendant de t et il vaut
W (t) = χ(∂Ω),
où χ(∂Ω) est la caractéristique d’Euler du bord de Ω.
Preuve .– Ce résultat est une conséquence directe du résultat de U. Bunke ([B]
qui affirme que dans ce cas W (t) est indépendant de t, et que si on scinde la
trace en
W (t) = WK (t) + WΩ−K (t)
où la première trace est sur un voisinage compact K de ∂Ω et la seconde sur le
complémentaire de ce compact, alors pour une constante C > 0, on a
|WΩ−K (t)| = O(e−c/t )
lorsque t → 0+ . Ainsi
lim W (t) = lim WK (t).
t→0+
t→0+
maintenant cette limite se calcule à l’aide de l’asymptotique local de
Tr ΛTx∗ Ω τ e−t∆Abs − e−t∆Rel (x, x) .
Q.E.D.
Lorsque Ω est compact, ceci est bien connu ; en effet chaqu’un des opérateurs
(d + δ)Abs et (d + δ)Rel a un spectre discret et suivant le théorème de HodgedeRham pour les variétés compactes à bord, on sait que le noyau de (d + δ)Abs
agissant sur les p-formes différentielles est isomorphe aux p-ième groupe de cohomologie absolue de Ω et de même le noyau de (d + δ)Rel agissant sur les p-formes
différentielles est isomorphe aux p-ième groupe de cohomologie relative de Ω (cf.
[Co]). On a ainsi
+
ind (d + δ)+
Abs = χ(Ω) et ind (d + δ)Rel = χ(Ω, ∂Ω).
36
Et le théorème dans ce cas n’est autre que l’égalité
χ(Ω) = χ(Ω, ∂Ω) + χ(∂Ω)
(6.13)
Egalité qui dans ce cas résulte de la suite exacte longue associée à l’homomorphisme cobord :
... −→ H p−1 (∂Ω) −→ H p (Ω, ∂Ω) −→ H p (Ω) −→ H p (∂Ω) −→ ...
Ce théorème montre donc que si on régularise chaqu’un des termes de 6.13 à la
Witten, cette égalité a encore lieu même si la variété n’est pas compacte. Ceci
permet de relier les déterminants relatifs de (∆Abs − z) et (∆Rel − z) aux déterminants de NAbs et NRel . Grâce à (6.12), la même preuve que précédemment
montre que sur L2 (Λp T ∗ Ω), on a
dν
dν
dν
log
det
(∆
−
z,
∆
−
z)
=
log
det
N
(z)
−
log det NRel (z).
Abs
Rel
Abs
dz ν
dz ν
dz ν
Remarquons que ici NAbs (z) est un opérateur sur L2 (Λp T ∗ ∂Ω) alors que Nrel (z)
est un opérateur sur L2 (Λp−1 T ∗ ∂Ω). On peut définir les super-déterminants :
Définition 6.6
detτ (∆Abs − z, ∆Rel − z) =
n
Y
(−1)p
det (∆Abs − z, ∆Rel − z, L2 (Λp T ∗ Ω))
.
p=0
detτ NAbs (z) =
n−1
Y
(−1)p
det (NAbs (z), L2 (Λp T ∗ ∂Ω))
.
p=0
detτ NRel (z) =
n−1
Y
(−1)p
det (NRel (z), L2 (Λp T ∗ ∂Ω))
.
p=0
Suivant le théorème (4.2), il existe un polynôme à coefficients réels P , de degré
inférieur ou égale à (n − 1)/2, tel que
|
detτ (∆Abs − z, ∆Rel − z) = eP (z) detτ NAbs (z)/detτ NRel (z), z ∈ C
− IR+ .
Cependant le super-déterminant
R ∞relatif de (∆Abs − z, ∆Rel − z) est défini à l’aide
de la fonction zeta ζ(s, z) = 0 etz W (t)ts−1 dt/Γ(s) = (−z)χ(∂Ω) . Ainsi, nous
avons le théorème :
Théorème. 6.7 Il existe un polynôme P à coefficients réels de degré inférieur
à (n − 1)/2 telle que
detτ NAbs (z) = (−z)χ(∂Ω) eP (z) detτ NRel (z).
37
6.8
Scattering super-symétrique par un obstacle.
Nous pouvons évidemment étudier de la même façon le couple formé par
l’opérateur de Gauss-Bonnet sur une variété riemannienne complète (M n , g) et
l’opérateur de Gauss-Bonnet au dehors d’un obstacle compact pour les conditions absolues sur le bord. Soit donc (M n , g) une variété riemannienne complète
et O ⊂ M un domaine compact à bord lisse ; on considère alors l’opérateur
(d + δ) agissant sur L2 (ΛT ∗ M ), cet opérateur est auto-adjoint si son domaine
est
D(d + δ) = {α ∈ L2 (ΛT ∗ M ), (d + δ)α ∈ L2 (ΛT ∗ M )}.
Et l’opérateur (d + δ)Abs agissant sur L2 (ΛT ∗ (M − O)), cet opérateur est autoadjoint si son domaine est
D ((d + δ)Abs ) = {α ∈ L2 (ΛT ∗ M ), (d + δ)α ∈ L2 , et intn α = 0},
où n : ∂O −→ T M est le champ normal unitaire extérieur à M −O. En utilisant
l’inclusion de L2 (ΛT ∗ (M − O)) dans L2 (ΛT ∗ M ), on considèra abusivement que
(∆Abs − z)−1 est un opérateur sur L2 (ΛT ∗ M ). On a alors le théorème suivant
| − IR , les
Théorème. 6.8 Si ν est un entier ν > n/2, alors, pour z ∈ C
+
opérateurs
(∆ − z)−ν − (∆Abs − z)−ν et (d + δ)(∆ − z)−ν−1 − (d + δ)Abs (∆Abs − z)−ν−1
sont à trace. Ainsi le couple ((d + δ), (d + δ)Abs ) définit des données de scattering supersymétrique. De plus, l’indice de Witten est indépendant de t et il vaut
la caractéristique d’Euler relative de O, i.e.
W (t) = Tr τ e−t∆ − e−t∆Abs = χ(O, ∂O).
Ce théorème permet de relier les super-déterminants de l’opérateur Dirichlet-toNeumann, de l’opérateur Dirichlet-vers-absolu et de ∆O (le laplacien de HodgedeRham sur O pour les conditions de Dirichlet sur le bord) :
Corollaire 6.9
detτ (∆ − z, ∆Abs − z) = (−z)χ(O,∂O) .
De plus, il exsite un polynôme P à coefficients réels de degré inférieur à (n−1)/2
tel que
detτ N (z)detτ (∆O − z) = (−z)χ(O,∂O) eP (z) detτ NAbs (z).
6.9
(6.14)
Liens avec les formes harmoniques L2 .
Lorsque le noyau L2 de ∆Abs est de dimension finie, alors celui du laplacien
de Hodge-deRham aussi (cf. [L]), il est donc naturel de se demander si l’égalité
Tr τ e−t∆ − e−t∆Abs = χL2 (M ) − χL2 (M − O)
38
Pn
(−1)p dim Ker ∆ ∩ L2 (Λp T ∗ M ) et χL2 (M −
est vrai ; où χL2 (M ) =
p=0
Pn
O) = p=0 (−1)p dim Ker ∆Abs ∩ L2 (Λp T ∗ (M − O)) sont les caractéristiques
d’Euler L2 de M et de M − O. Cette égalité est vrai lorsque 0 n’est pas dans
le spectre essentiel de l’opérateur de Gauss-Bonnet. Et selon [B-M-S], ceci est
encore vrai sur IRn>2 ou une variété riemannienne euclidienne à l’infini de dimension supérieure ou égale à trois.
Cependant ceci n’est pas vrai sur IR2 . En effet, le plan euclidien n’a pas
de formes harmoniques L2 non-nulles et le plan privé du disque ID n’en a pas
qui satisfont aux conditions absolues, on a donc χL2 (IR2 ) = 0 = χL2 (IR2 −
ID). Cependant, on a Tr τ e−t∆ − e−t∆Abs = χ(ID, ∂ID) = 1 ! Dans ce cas, la
formule (6.14) donne
detτ NAbs (z) = eC detτ N (z)detτ (∆ID
0 − z)/(−z).
0 ∗ 2
2 ∗ 2
Maintenant, on a detτ N (z) = detτ (∆ID
0 − z) = 1 puisque Λ T IR ⊕ Λ T IR
1 ∗ 2
et Λ T IR sont unitairement équivalent grâce à une isométrie qui entrelace
les parties paires et impaires de ces opérateurs. On a donc l’existence d’une
constante réel strictement positive c telle que
c
detτ NAbs (z) = − .
z
Nous allons maintenant expliquer d’où vient cette singularité en 1/z lorsque z
tend vers 0. ∆Abs n’a pas de valeurs propre L2 , et on va voir que cette singularité
provient des différentes contributions des 4 états résonnants d’énergie nulle.
Pour une fonction f ∈ C ∞ (S), il est facile de résoudre le problème de Dirichlet
(∆ − z)f˜ = 0 sur IR2 − ID
f˜ = f
sur S
Si on développe f en série de Fourier :
X
f (θ) =
fk eikθ ;
k
alors cette solution f˜ s’expriment en coordonnées polaires
f˜(r, θ) =
X
fk
k
2
Où λ = z, Im λ ≥ 0 et
d’indice |k|. On a ainsi
H1|k|
H1|k| (λr)
H1|k| (λ)
eikθ .
est la fonction de Hankel de première espèce et
N (z)f (θ) = −
X
λ
k
H1|k| 0 (λ)
H1|k| (λ)
fk eikθ .
Lorsque ζ tend vers 0, les fonctions de Hanckel admettent des développements
limités suivant (cf. [Le] page 101)
k
2 !
Γ(k) 2
1
ζ
1
H|k| (ζ) = −i
(1 −
+ O |ζ|2 log |ζ| , si |k| ≥ 2.
π
ζ
|k| − 1 2
39
H11 (ζ) = −
ζ
2i
+ [i2 log ζ + C] + O |ζ|2 log |ζ| .
πζ
2
H10 (ζ) = 2i log ζ + C 0 + O(|ζ|2 log |ζ|).
Ainsi on a les développements limités
λ
H1|k| 0 (λ)
H1|k| (λ)
= −k −
λ2
+ O(|λ|2 ), si |k| ≥ 2.
2(k − 1)
π
H11 0 (λ)
= −1 − λ2 log λ + O(|λ|2 ),
H11 (λ)
2
H1 0 (λ)
1
1
.
λ 01
=−
+O
H0 (λ)
log λ
(log |λ|)2
λ
(6.15)
On en déduit donc que lorsque z tend vers 0 on a :
2
1
0
det NAbs
(z) = C
.
+O
log(1/z)
(log |z|)2
Puis pour les 1-formes : si α = adr + brdθ = Adx + Bdy est solution de
l’équation ∆α = zα alors les fonctions A et B sont solutions des équations
∆A = zA et ∆B = zB. Or en coordonnées polaires, on a
A
cos θ − sin θ
a
(r, θ) =
(r, θ).
B
sin θ
cos θ
b
Ainsi si on introduit la matrice
J=
alors X =
a
b
0 −1
1 0
,
vérifie l’équation :
1 ∂
1 ∂2
∂
∂2
X+
X+ 2
X − X − 2J X + zX = 0.
∂r2
r ∂r
r ∂θ2
∂θ
Maintenant si on développe X en séries de Fourier
X
X(r, θ) =
Xk (r)ekJθ ,
k
alors on obtient que chaque Xk vérifie l’équation suivante
(k + 1)2
1 0
00
Xk = 0.
Xk + Xk + z −
r
r2
On a ainsi
Xk (r) =
H1|k+1| (λr)
H1|k+1| (λ)
40
Xk (1)
où comme précédemment z = λ2 , Im λ > 0. Si on s’intéresse à NAbs , alors la
fonction a est nulle sur le cercle. On a donc
X
0
ekJθ Xk (1) =
.
b
k
xk
Si on pose Xk (1) =
et si on développe b(1, θ) en séries de Fourier
yk
X
X
b(1, θ) = b0 +
bn cos(nθ) +
cn sin(nθ).
n>0
n>0
Alors on obtient xn = −x−n = cn /2 et y0 = b0 , yn = −y−n = bn /2. Ainsi la
solution du problème de Dirichlet : ∆α = λ2 α avec α = a(r, θ)dr + b(r, θ)rdθ et
a(1, θ) = 0 est donnée par
X bn
X cn
cos(nθ) [Qn+1 − Qn−1 ] +
sin(nθ) [Qn+1 − Qn−1 ] ,
a(r, θ) =
2
2
n>0
n>0
b(r, θ) = Q1 b0 +
X cn
X bn
cos(nθ) [Qn+1 + Qn−1 ] +
sin(nθ) [Qn+1 + Qn−1 ] .
2
2
n>0
n>0
Où on a noté Qn = H1n (λr)/H1n (λ). Alors on a
∂
NAbs (bdθ) = −
b + b dθ.
∂r
Et Grâce aux développements limités (6.15), on a
NAbs (λ2 )(dθ) = πλ2 log λ + O(λ2 ) dθ,
−1
+ O (log |λ)−2 (cos θdθ),
NAbs (λ2 )(cos θdθ) =
log λ
−1
+ O (log |λ)−2 (sinθdθ),
NAbs (λ2 )(sin θdθ) =
log λ
2
NAbs (λ )(cos(nθ)dθ) = n − 1 + O(|λ|2 ) (cos(nθ)dθ) si n > 1,
NAbs (λ2 )(sin(nθ)dθ) = n − 1 + O(|λ|2 ) (sin(nθ)dθ) si n > 1.
Sur les 1-formes, on obtient pour une constante non-nulle C :
2
−1
λ2
2
2
det NAbs (λ ) = Cλ log λ
[1 + O (1/ log |λ|)] = C
[1 + O (1/ log |λ|)] .
log λ
log λ
Finallement, la singularité en z = 0 du déterminant de NAbs (z) sur les 1formes provient de trois états résonnants d’énergie nulle
– la forme dθ qui contribue à une singularité en Cz log z,
– Les formes d(x/r) − dx et d(y/r) − dy qui contribuent à une singularité
en C/ log z.
Puis, la singularité en z = 0, du déterminant de NAbs (z) sur les fonctions,
provient de l’état résonnant d’énergie nulle qui est la fonction constante, cette
fonction contribue à une singularité en C/ log z. Le quotient de ces déterminants
présente donc bien une singularité en C/z.
41
7
Bibliographie.
Références
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