Feuille TD 1 : Probabilités discrètes, dénombrement

Université de Nice-Sophia Antipolis -L2 MASS - Probabilités
Feuille TD 1 : Probabilités discrètes, dénombrement
Exercice 1 :
1. On doit choisir 2 représentants dans une classe de 40 élèves. Quel est le nombre de choix
possibles ?
Les représentants jouent le même rôle, ils ne sont pas "ordonnés" :
2
C40
2. On doit choisir un président et un vice-président dans un groupe de 40 personnes. Quel est
le nombre de choix possibles ?
Il faut choisir 2 éléments parmi 40 et les ordonner :40
× 39
Exercice 2 :
Un chef d'entreprise doit choisir 4 employés (les 4 postes sont similaires) parmi 16 candidats (9
femmes et 7 hommes).
1. Quel est le nombre de choix possibles ?
Choix de 4 parmi 16, non ordonnés :
4
C16
2. Quel est le nombre de choix possibles si le chef d'entreprise veut : a) deux hommes et deux
femmes . On choisit 2H parmi 7 et 2 F parmi 9 :
C72 C92
1 3
b) au moins un homme et au moins une femme. Possibilité 1 : 1H et 3F C7 C9 ; possibilité 2 :
2 2
3 1
2H et 2F C7 C9 ; possibilité 3 : 3H et 1F C7 C9 . On fait la somme des 3, la réponse est donc
C71 C93 + C72 C92 + C73 C91 .
Exercice 3 :
1.
Lors d'une conférence de l'ONU, des auditeurs de même nationalité s'assoient les uns à
côté des autres; de combien de façon 3 français, 2 italiens, 6 américains et 2 chinois peuvent-ils
prendre place sur une rangée de sièges ? Il y a 4 nationalités à ordonner :
4!
2. Un acheteur doit faire immatriculer sa voiture. Les plaques d'immatriculation contiennent
deux lettres distinctes suivies de trois chires et de deux lettres distinctes. Combien de plaques
3
diérentes peut-on avoir ?26 × 25 × 10 × 26 × 25
Exercice 4
Combien existe-t-il de mains diérentes au poker (donne de 5 cartes parmi 32) comportant :
1. Un brelan d'As (3 As). On doit choisir 3 as parmi 4, puis 2 cartes parmi les 28 restantes (la
main contient un brelan d'As, mais pas un carré) :
2
C43 C28
2. Un carré d'As (4 As). On prend les 4 as : une possibilité, puis 1 carte parmi les 28 restantes :
28.
3. Une paire d'As et une paire de rois. On choisit 2 roi parmi 4, puis 2 as parmi 4, puis 1 carte
parmi les 24 restantes :
C42 C42 × 24.
4. Une suite A, R, D, V, 10 quelles que soient les couleurs. On a 4 choix pour chaque carte :
45
8×28
5. Un carré. On choisit la valeur du carré : 8 choix; puis une carte parmi les 28 restantes :
6. Au moins deux As. On choisit 2 as parmi 4; puis 3 cartes parmi les 30 cartes restantes (cette
fois-ci, on garde les 2 as non choisis au début parmi les choix possibles, puisqu'on accepte les
2
3
mains avec 3 ou 4 as) : C4 × C30 .
Boite 12
Boite 1
Boite 13
Boite 3
Boite 2
Ici p = 13 et n = 13, et la séquence du nombre
0, 1, 0, 3, 2, 2, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0. Il y a n − 1 segments verticaux.
Figure 1:
de boules par boîte est
Exercice 5
De combien de façon peut-on ranger
p boules (indiscernables) dans n cases numérotées ?
(Avec
p ≤ n.)
Question dicile. Représentons les
p boules sur une droite, et notons les séparations entre boîtes
avec des segments verticaux, voir gure. Chaque rangement de boules dans les cases correspond
à une conguration de boules et de segments verticaux. Il faut donc compter le nombre de façon
de disposer
p
boules et
n−1
segments verticaux; autrement dit, il faut compter le nombre de
n−1
façon de disposer n − 1 segments parmi n + p − 1 emplacements. Il y a donc Cn+p−1 possibilités.
n−1
1
Vérication avec 2 cases et 2 boules : il y a 3 possibilités (2−0, 1−1, 0−2), et Cn+p−1 = C3 = 3.
Même question avec des boules numérotées.
Si les boules sont numérotées, elles sont discernables; la boule 1 a donc n possibilités, la boule
n
2 aussi, etc. . . Tous ces rangements seront diférents. Il y a donc p possibilités.
Exercice 6
Etant donnés deux entiers
n
et
k
positifs,
k ≤ n − 1,
montrer la relation du triangle de Pascal
(on essaiera de donner deux preuves diérentes) :
k+1
Cnk + Cnk+1 = Cn+1
.
Preuve combinatoire :
on isole un élément parmi les n + 1, noté a. Pour choisir k + 1 éléments
n+1, on peut : prendre a, et choisir k éléments parmi les n restants → Cnk possibilités;
k+1
possibilités. D'où
pas prendre a, et choisir k + 1 éléments parmi les n restants → Cn
parmi les
ou ne
la relation.
Preuve calculatoire :
on écrit les factorielles. . .
Que peut-on dire si
Pour
k≤
k=n
?
Cnk+1 = 0
dans ce cas.
n, montrer la relation d'absorption kCnk =
k−1
nCn−1
=
En déduire la valeur de
Pn
k=0
k−1
nCn−1
.
n(n − 1)!
n!
=k
= kCnk
(n − k)!(k − 1)!
(n − k)!k!
kCnk .
n
X
k=0
kCnk
=n
n
X
k−1
Cn−1
= n2n−1
k=1
Exercice 7
Quelle est la probabilité qu'en jetant six dés équilibrés et discernables (par exemple par la
couleur), toutes les faces exhibent un chire diérent ?
Tous les résultats sont équiprobables. Nombre de cas favorables :
66 . Donc la réponse est 6!/66 .
6!;
nombre de cas possibles :
Exercice 8
Quelles sont les probabilités que, parmi les familles de
constituée d'enfants des deux sexes (événement
A) ?
n
enfants,
n ≥ 2,
une famille (i) soit
(ii) soit constituée de garçons et d'au plus
?. Calculer la probabilité de A ∩ B .
n
Nombre de congurations familiales possibles : 2 (chaque enfant est garcon ou lle); nombre
B)
une lle (événement
de congurations unisexes : 2 (que des garcons, ou que des lles). nombre de congurations
n
correspondant à A : 2 − 2. Donc
P(A) = 1 −
1 (que des garcons) + n (1 lle et n − 1 garcons;
fratrie) = n + 1. Donc
Nombre de congurations correspondant à
il faut choisir le rang de la lle dans la
1
2n−1
B
:
P(B) =
Nombre de congurations correspondant à
n+1
2n
A∩B
=n (1 lle et
P(A ∩ B) =
n−1
garcons). Donc
n
2n
Exercice 9
Une urne contient
M
jetons numérotés de
1 à M.
On tire successivement
n jetons en remettant
chaque fois le jeton tiré et en brassant bien. Donner la probabilité qu'aucun jeton ne soit tiré
plus d'une fois.
n
Il y a M tirages possibles (M possibilité pour chacun des
n
tirages). On compte le nombre
de tirages où aucun jeton n'est tiré plus d'une fois : c'est le nombre de choix de
ordonnés parmi
M.
n
éléments
Donc la proba cherchée est
pM,n =
Application : un groupe de
n
M (M − 1) . . . (M − n + 1)
Mn
étudiants sont réunis dans une même salle. Quelle est la proba-
bilité qu'au moins deux étudiants aient leur anniversaire le même jour (On suppose qu'aucun
n'est né le 29 février et que
n
est inférieur à 365).
C'est la situation précédente avec
M = 365
et
n
jetons tirés. La proba cherchée est donc
1 − pM,n
Exercice 10
M sont édités et numérotés de 1 à M . Pour simplier, on suppose que
2n ≤ M ) sont gagnants. (Naturellement, les acheteurs ne le savent pas.)
Quelle est la probabilité que n billets pris au hasard en contiennent au moins un gagnant ?
On va calculer la proba que les n billets pris au hasard sont tous perdants. Le nombre de tirages
possibles de ces billets est le nombre de choix de n éléments parmi M − n (il y a M − n billets
n
perdants) : CM −n . Le nombre total de tirages possibles est le nombre de choix de n éléments
n
parmi M : CM . Donc la proba pour que les n billets soient tous perdants est
Des tickets au nombre de
les
n
premiers (avec
(M − n)! (M − n)!n!
[(M − n)!]2
=
(M − 2n)!n!
M!
M !(M − 2n)!
Exercice 11 :
Démontrer la formule de Poincaré :
probabilité ni
[
n
Ai
i=1
Application :
numéros.
n
événements
A1 , . . . , An
d'un espace de
(Ω, P),
P
n
n
étant donnés
=
n
X
X
`−1
(−1)
P
1≤i1 <···<i` ≤n
`=1
\
`
Aij .
j=1
un facteur distrait distribue le courrier au hasard dans une rue comptant
En supposant qu'il dépose exactement une lettre par habitation et que, sur les
distribuées au total, une et une seule soit destinée à une habitation donnée, quelle est la
probabilité que personne ne reçoive de lettre lui ayant été explicitement adressée ?
Exercice dicile
Cas
n=2
: la formule sécrit :
P(A1 ∪ A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ∩ A2 )
C'est donc exactement la formule du cours pour la proba d'une union.
n = 3 : on peut faire une gure avec des "patates" pour
A1 ∪ A2 ∪ A3 = (A1 ∪ A2 ) ∪ A3 , et on utilise la formule pour n = 2 :
Cas
les ensembles; on écrit
P((A1 ∪ A2 ) ∪ A3 ) = P(A1 ∪ A2 ) + P(A3 ) − P((A1 ∪ A2 ) ∩ A3 )
n = 2 pour le premier terme, et pour
(A1 ∪ A2 ) ∩ A3 = (A1 ∩ A3 ) ∪ (A2 ∩ A3 ) (faire une gure si besoin) :
On utilise encore la formule pour
le 3e on remarque que
P((A1 ∪ A2 ) ∪ A3 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ∩ A2 ) + P(A3 ) − P((A1 ∩ A3 ) ∪ (A2 ∩ A3 ))
On utilise encore une fois la formule pour
n=2
pour ce dernier terme :
P((A1 ∪ A2 ) ∪ A3 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ∩ A2 ) + P(A3 ) − P(A1 ∩ A3 ) − P(A2 ∩ A3 )
+P(A1 ∩ A2 ∩ A3 )
C'est la formule cherchée.
Cas général : on procède par récurrence...
Application :
on note
Ai
l'événement "la maison
i
reçoit sa lettre".
Nombre de distri-
n éléments : n!; nombre de distributions fan lettres, en distribuant la lettre i à la maison i;
les n − 1 autres maisons, on obtient (n − 1)!. Donc
butions possibles = nombre de permutations à
vorables = nombre de façons de distribuer
n − 1 lettre à répartir dans
P(Ai ) = (n − 1)!/n! = 1/n.
De même, pour Ai1 ∩ . . . Aik , le nombre de distributions favorables est le nombre de façons de
distribuer n lettres, en distribuant la lettre i1 à la maison i1 , . . ., la lettre ik à la maison ik ;
donc il reste n − k lettre à répartir dans les n − k autres maisons, on obtient (n − k)!. Donc
P(Ai1 ∩ . . . Aik ) = (n − k)!/n!.
donc il reste
L'événement
A1 ∪ . . . ∪ An
est l'événement "au moins une maison reçoit sa lettre. Donc la
proba de l'événement "aucune maison ne reçoit sa lettre est
1 − P(A1 ∪ . . . ∪ An )
Or par la formule de Poincaré
P(A1 ∪ . . . ∪ An ) =
X
P(Ai ) −
i
X
P(Ai ∩ Aj ) +
i<j
X
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) − . . .
i<j<k
Le nombre de termes dans la première somme est n; dans la 2e somme, c'est le nombre de
3
2
paires d'indices possibles, donc c'est Cn ; dans la 3e somme, c'est Cn , et ainsi de suite. Donc
(n − 2)!
(n − 3)!
1
− Cn2
+ Cn3
−
n
n!
n!
1
1
= 1 − + − ...
2! 3!
P(A1 ∪ . . . ∪ An ) = Cn1
Notons que cette quantité tend vers
1 − 1/e quand n
1/e.
maison ne reçoive sa lettre tend donc vers
tend vers l'inni. La proba qu'aucune