Devoir surveillé

N˚ 3
TSCG02
Devoir surveillé
Exercice 1 : 6 points
On considére une variable aléatoire T qui suit une loi normale de moyenne 0 et d’écart-type 1
(T = N (0; 1))
Déterminer à l’aide de la table de la loi normale :
1. P (T ≤ 2, 29)
2. P (T > 1, 63)
3. P (T ≤ −1, 8)
4. P (−1.8 < T < 1, 8)
Exercice 2 : 14 points
Une entreprise fabrique en grande quantité des sacs poubelles.
Partie A : Probabilités conditionnelles
On admet que 3% des sacs produits présentent un défaut. On contrôle les sacs d’un lot. Ce contrôle
refuse 94% des sacs avec défaut et accepte 92% des sacs sans défaut.
On prélève au hasard un sac dans le lot.
On considère les événements suivants :
D « Le sac a un défaut »
A « Le sac est accepté à l’issue du contrôle »
1. Déterminer P (A ∩ D) , P (A ∩ D) puis P (A)
( On pourra utiliser un arbre de probabilités)
2. Calculer la probabilité qu’un sac soit défectueux sachant qu’il a été accepté par le contrôle.
On arrondira le résultat à 0, 01 près
Dans les parties B et C les résultats seront arrondis à 0, 01 près
Partie B : Loi binomiale
On note E l’événement : « Un sac prélevé au hasard dans une grosse livraison pour une municipalité n’a pas de défaut »
On suppose que la probabilité de E est 0, 97 .
On prélève au hasard 10 sacs de cette livraison pour vérification. La livraison est suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler ce prélévement à un tirage avec remise de 10 sacs.
On considère la variable aléatoire X qui à tout prélévement de 10 sacs, associe le nombre de sacs
sans défaut de ce prélévement.
1. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètre 10 et 0, 97
B(10; 0, 97))
(X =
2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélévement, tous les sacs soient sans défaut.
3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélévement, exactement 9 sacs soient sans défaut.
4. Calculer la probabilité que, dans un tel prélévement, au moins 9 sacs soient sans défaut.
Hervé Gurgey
1
26 février 2013
N˚ 3
TSCG02
Partie C : Loi Normale
On note Y la variable aléatoire qui, à chaque sac prélevé au hasard dans la production, associe
la masse maximale, en kilogrammes, qu’il peut supporter sans se déchirer
On suppose que Y suit la loi normale de moyenne 5 et d’écart-type 0, 4.
1. Calculer
P (4, 6 ≤ Y ≤ 5, 4)
2. Déterminer le nombre réel positif h tel que : P (Y ≤ 5 + h) = 0, 95
Interpréter le résultat obtenu à l’aide d ’une phrase.
Exercice 1 : Correction
1. P (T ≤ 2, 29) ≈ 0, 989
( Lecture directe sur la table)
2. P (T > 1, 63) = 1 − P (T ≤ 1, 63) ≈ 1 − 0, 9484 ≈ 0, 0516
3. P (T ≤ −1, 8) = P (T ≥ 1, 8) = 1 − P (T < 1, 8) ≈ 0, 9641 ≈ 0, 0359
4. P (−1.8 < T < 1, 8) = 2 × P (T ≤ 1, 8) − 1 ≈ 2 × 0, 9641 − 1 ≈ 0, 9282
Exercice 2 : Correction
Une entreprise fabrique en grande quantité des sacs poubelles.
Partie A : Probabilités conditionnelles
On admet que 3% des sacs produits présentent un défaut. On contrôle les sacs d’un lot. Ce contrôle
refuse 94% des sacs avec défaut et accepte 92% des sacs sans défaut.
On prélève au hasard un sac dans le lot.
On considère les événements suivants :
D « Le sac a un défaut »
A « Le sac est accepté à l’issue du contrôle »
1. Arbre de probabilité :
0, 03
0, 06
A
p(D ∩ A)
0, 94
A
p(D ∩ A)
0, 92
A
p(D ∩ A)
0, 08
A
p(D ∩ A)
D
0, 97
D
8 P (A ∩ D) = P (D ∩ A) = P (D) × PD (A) = 0, 03 × 0, 06 = 0, 0018
8 P (A ∩ D) = P (D ∩ A) = P (D) × PD (A) = 0, 97 × 0, 92 = 0, 8924
8 P (A) = P (A ∩ D) + P (A ∩ D) = 0, 0018 + 0, 8924 = 0, 8942
2. Probabilité qu’un sac soit défectueux sachant qu’il a été accepté par le contrôle.
P (A ∩ D)
0, 0018
PA (D) =
=
≈ 0, 02
P (D)
0, 8942
Hervé Gurgey
2
26 février 2013
N˚ 3
TSCG02
Partie B : Loi binomiale
1. X donne le nombre de succés dans une répétion indépendante de 10 épreuves de Bernouilli de
paramètre 0, 97.
X suit donc une loi binomiale B(10; 0, 97)
(X = B(10; 0, 97))
2. Probabilité que, dans un tel prélévement, tous les sacs soient sans défaut.
P [X = 10] = 10
× 0, 9710 × 0, 030 ≈ 0, 74
10
3. Probabilité que, dans un tel prélévement, exactement 9 sacs soient sans défaut.
P [X = 9] = 10
× 0, 979 × 0, 031 ≈ 0, 23
9
4. Probabilité que, dans un tel prélévement, au moins 9 sacs soient sans défaut. P [X ≥ 9] =
P [X = 9] + P [X = 10] = 0, 74 + 0, 23 = 0, 97
Partie C : Loi Normale
On note Y la variable aléatoire qui, à chaque sac prélevé au hasard dans la production, associe
la masse maximale, en kilogrammes, qu’il peut supporter sans se déchirer
On suppose que Y suit la loi normale de moyenne 5 et d’écart-type 0, 4.
4, 6 − 5
Y −5
5, 4 − 5
1. P (4, 6 ≤ Y ≤ 5, 4) = P
≤
≤
0, 4
0, 4
0, 4
Y −5
On pose T =
0, 4
T suit une loi normale centrée réduite
P (−1 ≤ T ≤ 1) = 2 × P (T ≤ 1) − 1 = 2 × 0, 8413 = 0, 6826
2. Nombre réel positifh tel que : P (Y ≤ 5 + h) =0, 95
Y −5
5+h−5
h
P (Y ≤ 5 + h) = P
≤
=P T ≤
0, 4
0,
4
0, 4
h
On cherche donc h tel que : P T ≤
= 0, 95
0, 4
h
Par lecture inverse sur la table, on lit : 0, 64 <
< 0, 65 D’où : 0, 64 × 0, 4 < h < 0, 65 × 0, 4
0, 4
Ou encore :
0, 256 < h < 0, 26
En remplissant les sacs avec 5,26 kg de produits, Il y a 65% de chances que le sac résiste.
Hervé Gurgey
3
26 février 2013