Plan de cours - Université de Sherbrooke

Département de mathématiques
MAT902 - Algèbre linéaire et géométrie vectorielle
Plan de cours
Enseignant :
Courriel :
Local :
Téléphone :
Site Web :
Olivier Godin
[email protected]
D4-1010-20
(819) 821-8000, poste 65565
http ://www.usherbrooke.ca/moodle/
Description officielle de l’activité pédagogique
Objectifs : Appliquer les méthodes de l’algèbre linéaire et de la géométrie à la résolution de problèmes
Contenu : Matrice et déterminant : définitions, propriétés, opérations, applications. Méthodes de GaussJordan et de la matrice inverse pour résoudre des systèmes d’équations linéaires. Vecteurs géométriques
et algébriques : définition, représentation, propriétés, opérations, applications. Produits de vecteurs :
scalaire, vectoriel et mixte. Espace vectoriel : repère, base, dimension, combinaison linéaire, indépendance linéaire. Applications géométriques : droites et plans, intersections de lieux, calculs d’angles et de
distances. Démonstration de propositions se rattachant à l’algèbre linéaire ou à la géométrie vectorielle
Crédits : 3
Organisation :
Cours :
Exercices :
Travail personnel :
0 heure par semaine
2 heures par semaine
7 heures par semaine
Préalable : Aucun.
Horaire : Le cours est offert de façon autodidacte en formation à distance. Les étudiantes et les étudiants
sont les principaux responsables de leurs apprentissages. Le professeur est disponible quelques heures
par semaine en vidéoconférence pour reprendre l’explication de certaines notions, pour répondre aux
questions ou pour compléter des exercices en collaboration avec les étudiantes et étudiants.
Durée : L’étudiant dispose d’un maximum de six mois pour compléter le cours et s’inscrire à la passation
d’un examen final.
Échéances : Le délai pendant lequel il est possible d’annuler (sans frais) son inscription au cours
MAT902 est fixé à deux semaines suivant l’obtention de l’accès au site Web du cours. Le délai maximum
pour abandonner le cours est fixé à trois mois suivant l’obtention de l’accès au site Web du cours.
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Présentation du cours
Le cours d’algèbre linéaire (201-NYC-05) est un cours de premier ou de deuxième trimestre prescrit
par le programme des sciences de la nature. Au même titre que les autres cours de mathématiques (calcul
différentiel, calcul intégral, calcul avancé, probabilités et statistiques) de ce programme, le cours d’algèbre
linéaire vise à développer la capacité d’utiliser adéquatement le vocabulaire et le symbolisme mathématiques,
ainsi qu’à accroître les habiletés suivantes :
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manipulation d’expressions symboliques ;
réflexion ;
formalisation ;
conceptualisation ;
modélisation mathématique ;
élaboration de stratégies de résolution de problèmes (formels ou concrets) ;
interprétation de résultats.
L’algèbre est habituellement considérée comme l’arithmétique littérale, c’est-à-dire la branche des mathématiques qui traite des opérations arithmétiques sur des quantités inconnues ou variables désignées par
des lettres, des équations comportant de telles inconnues ou variables, et de la solution de telles équations.
L’algèbre linéaire est la partie de l’algèbre qui a pour objet l’étude des matrices, des équations linéaires,
des vecteurs et des espaces vectoriels. Le qualificatif linéaire ajouté aux mots algèbre et équation tire son
origine du terme latin linea (ligne) du fait que l’équation «linéaire» la plus simple est celle d’une droite, qu’on
qualifie de ligne dans la langue courante. L’algèbre linéaire traite donc des généralisations et des extensions
de ce qu’on peut associer à l’idée de droite et, par conséquent, de certains aspects de la géométrie analytique.
L’étude de l’algèbre linéaire fait partie de plusieurs programmes, parce que peu de sujets sont aussi
utiles à autant de disciplines (biologie, physique, chimie, sciences économiques et administratives, nutrition,
démographie, etc.). En plus des nombreuses applications qu’elle présente, l’algèbre linéaire sert à illustrer
l’axiomatique, parce qu’elle a aussi pour objet l’étude de structures mathématiques.
Dans le cours d’algèbre linéaire, on traite des notions de matrice, de déterminant, de système d’équations
linéaires, de nombre complexe, de vecteur, d’espace vectoriel, de droite et de plan. Tout au long du cours,
les étudiantes et les étudiants seront appelés à comprendre ou à produire des démonstrations, et à appliquer
des algorithmes de calcul. Au terme du cours, les étudiantes et les étudiants auront développé la capacité de
représenter sous forme mathématique (équations linéaires, graphique), des informations données sous forme
littérale. Les étudiantes et les étudiants devront également résoudre les modèles ainsi posés, notamment des
systèmes d’équations linéaires de manière graphique, en recourant à des algorithmes ou encore au logiciel de
calcul symbolique Maple.
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Texte ministériel
Activité d’apprentissage
Champ d’étude : Sciences de la nature
Discipline : Mathématiques
Pondération : 3-2-3
Nombre d’heures-contact : Ce cours représente une charge de travail de 135 h.
Compétences
Énoncé de la compétence à atteindre
Appliquer les méthodes de l’algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle à la résolution de problèmes.
Énoncé des éléments de compétence à atteindre
À la fin du cours, les étudiantes et les étudiants devront avoir acquis des connaissances déclaratives
(décrire un contexte historique, utiliser un vocabulaire approprié, définir correctement des termes ou des
expressions, énoncer des théorèmes, énoncer des formules, etc.), des connaissances procédurales (manipuler
des expressions symboliques, effectuer des calculs, appliquer une technique, etc.) et des connaissances conditionnelles (formuler un problème en langage mathématique, choisir une stratégie de résolution de problèmes,
etc.).
Plus précisément, les étudiantes et les étudiants devront être capables d’effectuer les opérations suivantes :
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traduire des problèmes concrets sous forme d’équations linéaires ;
résoudre des systèmes d’équations linéaires à l’aide de méthodes matricielles ;
établir des liens entre la géométrie et l’algèbre ;
établir l’équation de lieux géométriques (droites et plans) et déterminer, s’il y a lieu, leur intersection ;
calculer des angles, des longueurs, des aires et des volumes ;
démontrer des propositions ;
construire des représentations de lieux géométriques dans le plan et dans l’espace ;
résoudre des problèmes reliés au domaine des sciences de la nature (physique, biologie, chimie, etc.) en
recourant aux méthodes de l’algèbre linéaire ;
• utiliser le logiciel Maple pour résoudre des problèmes d’algèbre linéaire et de géométrie vectorielle.
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Contenu détaillé
Chapitre 1 - Langage matriciel
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Approche intuitive
Lexique matriciel
Matrices particulières
Preuves
Objectif terminal 1 Vous devrez être capable d’utiliser le langage matriciel de base.
Chapitre 2 - Opérations sur les matrices
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Addition de deux matrices
Multiplication d’une matrice par un scalaire
Transposition d’une matrice
Multiplication de deux matrices
Propriétés des opérations matricielles
Multiplication de matrices et systèmes d’équations linéaires
Notation sigma
Matrices particulières
Chaîne de Markov
Preuves
Objectif terminal 2 Vous devrez être capable d’effectuer les principales opérations matricielles.
Chapitre 3 - Déterminants et inversion de matrices
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Algorithme de calcul d’un déterminant
Définition formelle du déterminant
Propriétés des déterminants
Calcul d’une matrice inverse
Propriétés de la matrice inverse
Résolution d’un système d’équations linéaires par la méthode de la matrice inverse
Preuves
Objectif terminal 3 Vous devrez être capable de calculer des déterminants et d’inverser des matrices.
Chapitre 4 - Résolution de systèmes d’équations linéaires
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Importance de la résolution de systèmes d’équations linéaires
Règle de Cramer
Interprétation géométrique d’un système d’équations linéaires de deux équations à deux inconnues
Types de solution d’un système d’équations linéaires (aucune solution, solution unique ou infinité de
solutions)
Résolution de systèmes d’équations avec paramètres
Méthode d’élimination gaussienne
Opérations élémentaires de ligne
Calcul du rang d’une matrice
Méthode de Gauss-Jordan (résolution d’un système d’équations linéaires et inversion d’une matrice)
Stratégie de formulation d’équations
Interprétation contextuelle de la solution d’un système d’équations linéaires
4
• Chaîne de Markov
• Preuves
Objectif terminal 4 Vous devrez être capable de résoudre (Cramer, élimination gaussienne, GaussJordan) des systèmes d’équations linéaires, d’interpréter la réponse selon le contexte et d’inverser des matrices
avec la méthode de Gauss-Jordan.
Chapitre 5 - Vecteurs du plan
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Utilité des vecteurs
Vecteurs géométriques du plan (terminologie, opérations, propriétés)
Combinaison linéaire et indépendance linéaire
Produit scalaire et angle entre deux vecteurs
Preuves vectorielles en géométrie
Vecteurs algébriques (terminologie, opérations, propriétés)
Lien entre les vecteurs algébriques du plan et les matrices
Projection orthogonale d’un vecteur sur un vecteur non nul
Barycentre et centre de masse
Preuves
Objectif terminal 5 Vous devrez être capable de recourir aux propriétés des vecteurs du plan pour
résoudre des problèmes de géométrie plane, des problèmes de nature scientifique (physique, biologie, chimie)
ainsi que des problèmes relatifs aux notions de combinaison linéaire, de dépendance et d’indépendance
linéaire, de système générateur et de base.
Chapitre 6 - Droite du plan
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Terminologie
Formes de l’équation d’une droite du plan
Caractéristiques d’une droite du plan
Droites parallèles et droites concourantes
Intersection de deux droites concourantes du plan
Distances
Angle déterminé par deux droites
Preuves
Objectif terminal 6 Vous devrez être capable de résoudre des problèmes relatifs à la droite du plan.
Chapitre 7 - Nombres complexes
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Terminologie
Représentation vectorielle des nombres complexes
Formes des nombres complexes
Opérations sur les nombres complexes
Formule de Moivre et racine n-ième d’un nombre complexe
Preuves
Objectif terminal 7 Vous devrez être capable d’effectuer les principales opérations dans C.
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Chapitre 8 - Vecteurs de R3 et de Rn
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Système de coordonnées de l’espace
Combinaison linéaire, indépendance linéaire, système générateur, base
Vecteurs géométriques et algébriques de R3 (terminologie, opérations, propriétés)
Espace euclidien de dimension n (Rn )
Opérations et relations sur des vecteurs de Rn
Comparaison des vecteurs du plan et des vecteurs de R3 et de Rn
Projection orthogonale d’un vecteur de R3 sur un vecteur non nul
Problèmes de géométrie
Preuves
Objectif terminal 8 Vous devrez être capable de recourir aux propriétés des vecteurs de l’espace pour
résoudre des problèmes de géométrie, des problèmes de nature scientifique (physique, biologie, chimie) ainsi
que des problèmes relatifs aux notions de combinaison linéaire, de dépendance et d’indépendance linéaire,
de système générateur et de base.
Chapitre 9 - Droite et plan de l’espace
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Terminologie
Caractérisation de la droite et du plan de l’espace
Représentation algébrique de la droite et du plan de l’espace
Intersection (droites, plans)
Distances (point, droites, plans)
Angles (droites, plans)
Preuves
Objectif terminal 9 Vous devrez être capable de résoudre des problèmes de géométrie relatifs à la droite
et au plan de l’espace.
Chapitre 10 - Programmation linéaire
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Terminologie
Représentation graphique d’inéquations linéaires
Formulation d’un programme linéaire
Résolution graphique d’un programme linéaire
Résolution d’un problème de maximisation standard par la méthode du simplexe
Dualité
Résolution d’un problème de minimisation à l’aide du principe de dualité
Objectif terminal 10 Vous devrez être capable de formuler et de résoudre des programmes linéaires
simples.
Chapitre 11 - Espaces vectoriels
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Structure d’espace vectoriel
Sous-espace vectoriel
Base d’un espace vectoriel
Preuves
Objectif terminal 11 Vous devrez être capable de reconnaître et de décrire la structure d’espace vectoriel
ainsi que les propriétés de cette structure.
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Méthodes pédagogiques
Le cours est entièrement en ligne. Les étudiants pourront interagir avec le professeur au moyen de vidéoconférences. En plus du matériel de cours habituel, des captures vidéos d’écran (screencasts) viennent
reprendre l’explication de matière ou d’exercices plus difficiles. Les étudiants peuvent utiliser les tableaux
blancs interactifs sur le Web pour résoudre en direct des problèmes de mathématique et ainsi obtenir une
rétroaction immédiate sur leurs erreurs et sur la façon d’écrire leurs solutions. Il sera aussi possible pour
les étudiants du cours d’échanger entre eux dans un forum de discussion sur la page Web du cours afin de
s’entraider et comparer leurs démarches et réponses. De plus, les solutions détaillées à plusieurs exercices
seront fournies.
Les étudiants cheminent à leur rythme. Toutes les leçons sont disponibles dans l’environnement d’apprentissage virtuel Moodle et, lorsqu’il en ressent le besoin, l’étudiant peut contacter le professeur par
vidéoconférence.
Modalités d’évaluation
L’évaluation du cours prendra trois formes :
1. Questionnaires récapitulatifs (15 %) : À la fin de chaque leçon, l’étudiant doit répondre à un bref
questionnaire en ligne. À la fin du cours, les résultats aux questionnaires sont additionnés et ramenés
sur 15.
2. Devoirs (45 %) : L’étudiant aura à réaliser trois devoirs (15 % chacun). Ceux-ci devront être remis
à l’enseignant en utilisant la fonction de dépôt de fichiers sur la page Web du cours.
3. Examen (40 %) : L’étudiant devra réussir un examen final récapitulatif d’une durée de 3 h. L’examen
aura lieu à des dates fixées à l’avance, au moins deux fois par trimestre. Trois semaines avant la date
choisie pour l’examen, l’étudiant recevra par la poste une tablette graphique (à temps pour faire le
troisième devoir, afin de sa familiariser avec l’outil). L’examen se fera en ligne, à l’aide de celle-ci.
Pour la passation de l’examen, l’étudiant devra se procurer une webcaméra. Pour toute la durée de
l’examen, l’étudiant sera surveillé par vidéoconférence. L’étudiant aura accès à l’énoncé de l’examen à
l’heure et à la date convenue, sous la forme d’un fichier informatique. À l’aide de la tablette graphique,
l’étudiant inscrira ses réponses et devra soumettre électroniquement ledit fichier, aussitôt l’examen
terminé. L’étudiant n’aura ni à se présenter à l’Université de Sherbrooke, ni à envoyer des documents
par la poste. Après l’examen, l’étudiant devra nous retourner la tablette graphique au moyen d’une
enveloppe affranchie inclue dans l’envoi de la tablette.
Le cours de calcul différentiel porte sur un contenu qui se construit et s’élabore de plus en plus tout
au long de la session. Les notions apprises précédemment seront reprises dans des travaux ultérieurs et, en
particulier, à l’examen final.
Dans les devoirs et examens, les étudiantes et les étudiants auront à appliquer les connaissances acquises
précédemment, à expliquer les concepts importants et à mettre en oeuvre les méthodes vues au cours. Les
critères de correction seront la pertinence et la cohérence de la démarche, la rigueur des raisonnements, la
clarté, l’exactitude et la précision des solutions aux problèmes et la justesse des calculs.
De plus, tout texte devra être rédigé proprement et dans un français de qualité. En effet, il est possible
de pénaliser jusqu’à un maximum de 5 % tout travail rédigé dans un français incorrect.
La note alphabétique est déterminée en fonction du résultat numérique. Si la note numérique est x/100,
la note alphabétique est :
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A+
B+
C+
D+
si
si
si
si
100 ≥ x ≥ 90
80 ≥ x ≥ 77
70 ≥ x ≥ 67
60 ≥ x ≥ 55
A
B
C
D
90 > x ≥ 85
77 > x ≥ 73
67 > x ≥ 63
55 > x ≥ 50
si
si
si
si
A−
B−
C−
E
si
si
si
si
85 > x ≥ 80
73 > x ≥ 70
63 > x ≥ 60
50 > x
Particularités
1. Si, après avoir dépassé la limite de 6 mois pour compléter le cours, vous omettez de vous inscrire à
l’examen final que vous deviez passer, vous obtiendrez la cote W.
2. Si vous vous inscrivez à un examen final et que vous « oubliez » de vous y présenter, vous obtiendrez
la cote W.
3. Si vous vous inscrivez à un examen final et que la somme pondérée (selon les proportions définies dans
le plan de cours) de vos notes ne permet pas de réussir le cours (résultat final inférieur à 50 %), vous
obtiendrez la cote E.
4. Si vous obtenez la cote W et que vous souhaitez reprendre le cours, vous devrez vous réinscrire auprès
de la Faculté des sciences. Vos progrès dans le cours (devoirs, tests) seront conservés et vous continuerez
au point où vous étiez rendu.
5. Si vous obtenez la cote E et que vous souhaitez reprendre le cours, vous devrez vous réinscrire auprès
de la Faculté des sciences. Vous devrez toutefois reprendre la matière du début.
Bibliographie
Manuel obligatoire (inclus avec l’inscription) :
• AMYOTTE, Luc. Introduction à l’algèbre linéaire et à ses applications, 3e édition, Saint-Laurent,
ERPI, 2009.
Manuels de référence :
• ALRIC, Guy, et coll. Géométrie vectorielle, Montréal, McGraw-Hill, 1969, 596 p.
• ANTON, Howard, et Chris RORRES. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, Mississauga, John Wiley
& Sons Canada, Inc., 2006, 420 p.
• CHARRON, Gilles, et Pierre PARENT. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 3e édition, Montréal,
Beauchemin, 2005, 556 p.
• LACASSE, Raynald. Algèbre linéaire, 2e édition, Longueuil, Loze-Dion éditeur, 2002, 323 p.
• LEROUX, Pierre. Algèbre linéaire : une approche matricielle, Outremont, Modulo Éditeur, 1983, 500
p.
• LIPSCHUTZ, Seymour. Algèbre linéaire 1, Paris, McGraw-Hill, collection Maxi Schaum, 1990, 308 p.
• MARTEL, Paul A., et Ginette OUELLETTE. Introduction à l’algèbre linéaire, Mont-Royal, Modulo
Éditeur, 1991, 572 p.
• OUELLET, Gilles. Algèbre linéaire : vecteurs et géométrie, 2e édition, Sainte-Foy, Les Éditions Le
Griffon d’argile, 2002, 528 p.
• PAPILLON, Vincent. Vecteurs, matrices et nombres complexes, Mont-Royal, Modulo Éditeur, 1993,
387 p.
• ROSS, André. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Applications en sciences humaines, Mont-Royal,
Le Griffon d’argile, 2003, 417 p.
• ROSS, André. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Applications en sciences de la nature, MontRoyal, Le Griffon d’argile, 2003, 450 p.
• STEWART, James, et coll. Algèbre et géométrie, Montréal, Guérin, 1993, 503 p.
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