Figures et solides géométriques

Transcription

LA GEOMETRIE DES TRANSFORMATIONS
dans l'apprentissage des mathématiques
Site WEB : www.uvgt.net
Synthèse des figures géométriques
et solides géométriques
en
Géométrie Elémentaire
Approche intuitive
Michel DEMAL - Jacques DUBUCQ
Danielle POPELER
U.R.E.M. (U.L.B.) – H.E.C.F.H.- U.V.G.T.
Michel DEMAL 34, avenue Saint Pierre B7000 Mons 065 84 77 86.
Danielle POPELER 6/1 place des Droits de l'Homme B7130 Binche 064 26 79 91.
Copyright © DEMAL-POPELER 2000-2004 – Site WEB : www.uvgt.net
1
Plan des figures géométriques
et solides géométriques
en géométrie élémentaire
1. Les figures géométriques
Définitions de figures géométriques
et exemples
Définition de polygones
Définitions de figures rondes
Définitions de figures hybrides
Classement
Structure de l’étude
des figures géométriques planes
2. Les solides géométriques
Définitions et exemples
Caractéristiques des polyèdres
Polyèdres de Pétrie
Classement
Analogies entre le classement des figures
géométriques et des solides géométriques
Structure de l’étude des solides géométriques
2
1. Les figures géométriques
Définitions
Familles de figures géométriques rencontrées dès la première année
primaire.
Comme il s'agit de rencontrer ces notions, les définitions adoptées ne sont
évidemment pas plaquées, a priori, mais découvertes tout au long des
activités développées avec les enfants. Il s'agit en fait qu'il s'imprègnent, a
posteriori, des contraintes délimitant les figures géométriques et en
particulier les polygones.
D'ailleurs, comme le rappelle FREUDENTHAL: " Comment peut-on
définir un objet ou une famille d'objets avant de connaître cet objet ou
cette famille d'objets?".
Les figures géométriques.
A propos des contraintes délimitant les figures géométriques.
Les figures géométriques que nous retenons et à partir desquelles nous
construisons une première activité structurée et cohérente se définissent de
la manière suivante.
Par définition, les figures géométriques sont formées de côtés et de
sommets de telle manière que:
• les sommets sont des points et les côtés sont soit droits, soit
courbes;
• les côtés droits sont des segments de droite dont les extrémités sont
des sommets;
• les côtés courbes sont tantôt des courbes fermées sans sommet,
tantôt des arcs de courbe dont les extrémités sont des sommets;
• les côtés courbes sont "lisses", sans aspérité (sans pointe) sauf
éventuellement aux sommets;
• tout sommet est l'extrémité d'exactement deux côtés;
• la figure est en une seule partie (connexe);
• deux côtés droits consécutifs ne sont jamais alignés.
3
Exemples de figures géométriques:
1
4
1
7
2
3
6
2
5
3
4
5
2
1
3
2
5
4
1
1
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1
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2
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2
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5
1
4
3
2
3
4
Contre exemples : dessins de figures qui ne sont pas des figures
géométriques.
1
2
2
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1
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1
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1
2
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5
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4
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1
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1
4
3
1
3
3
1
3
2
figure à 4 sommets
4
2
5
En résumé, une définition des figures géométriques que nous travaillons à
ce stade peut s'exprimer de la manière suivante:
Les figures géométriques planes sont formées de côtés droits et/ou
de côtés courbes de telle manière que:
• tout sommet est l'extrémité d'exactement deux côtés;
• la figure est en une seule partie;
• les côtés courbes sont lisses, dépourvus d'aspérité (sans pointe)
sauf éventuellement aux extrémités;
• deux côtés droits consécutifs ne sont jamais alignés.
Il découle immédiatement de la définition adoptée, que dans le plan, il
existe 3 types de figures géométriques.
Les figures géométriques dont tous les côtés sont des segments de droites:
les polygones.
Les figures géométriques dont tous les côtés sont des côtés "courbes": les
figures rondes.
Les figures géométriques qui possèdent au moins un côté droit et au moins
un côté courbe: les figures hybrides.
6
Classement des figures géométriques planes
Les polygones
Les figures
géométriques
Les figures
hybrides
Les non
polygones
Les figures
rondes
7
Structure de l'étude des figures planes
en géométrie élémentaire
Figures planes
Figures géométriques planes
Non polygones
Figures
rondes
La famille
des
cercles
Polygones
Figures
hybrides
Classement en
fonction
du nombre de
côtés
Étude des familles et
sous familles des
quadrilatères
Étude des familles et sous
familles des triangles
Polygones convexes
Classement en
fonction
de la régularité des
angles et des côtés
Polygones
réguliers
Polygones non réguliers
8
2. Les solides géométriques
Définitions
Définition de polyèdre.
Un polyèdre est un solide géométrique dont toutes les
faces sont des polygones, telles que:
•
•
•
•
•
toute arête est un côté de deux faces;
le solide est en une seule partie;
aucun sommet n'est commun à plusieurs angles polyèdres ;
deux faces contiguës ne sont jamais dans un même plan ;
les extrémités des arêtes sont les sommets du polyèdre.
Remarque.
On peut montrer que sur base de ces caractéristiques, en chaque sommet il
arrive au minimum 3 faces.
Exemples de polyèdres.
Sommet
Face
Arête
9
Exemples de solides formés de faces polygonales, qui ne sont pas des polyèdres.
2
9
8
7
10
3
1
4
5
12
11
6
Définition de corps rond.
Un corps rond est un "solide géométrique dont toutes les faces sont
des faces courbes (non planes) ou (et) des faces planes rondes".
Définition de corps hybride.
Par définition, un corps hybride est un "solide géométrique où il
existe au moins une face hybride."
Remarques:
-Un corps hybride est un solide géométrique où il existe au moins
une face hybride et au moins une face courbe (non plane).
-Certains corps hybrides possèdent aussi une face polygonale.
10
Conclusion :
Nous avons retenu comme critères de classements, des critères
mathématiques et non pas des critères non mathématiques tels que "roulent
ou ne roulent pas" ou "boule ou non boule" ou « toutes les faces planes ou
non planes ».
Polyèdres de Pétrie
Contrairement à bien des affirmations, les critères " toutes les faces sont
planes" et "toutes les faces sont des polygones" ne sont plus des critères
équivalents.
En effet, et à titre d'exemple, citons le fameux "cube" à faces gauches (non
planes) de PETRIE (ci dessous), déterminé par quatre hexagones gauches
réguliers.
7
8
Ce sont les 4 hexagones réguliers suivants:
2
3
6
1
5
L'hexagone rouge ( 7 - 8 – 3 – 4 – 1 - 6 )
L'hexagone bleu ( 7 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 )
L'hexagone vert ( 7 – 8 – 5 – 4 – 1 – 2 )
L'hexagone noir ( 2 – 3 - 8 – 5 – 6 – 1 )
4
Si ce type de polyèdre peut paraître surprenant, il vérifie néanmoins les
caractéristiques habituelles des polyèdres usuels.
11
Classement des solides géométriques
Les polyèdres
Les solides
géométriques
Les corps
ronds
Les nonpolyèdres
Les corps hybrides
12
Analogies entre le classement
des figures géométriques et des solides géométriques
Les polyèdres
Les polygones
Les figures
géométriques
Les solides
géométriques
Les corps
ronds
Les figures
rondes
Les non
polyèdres
Les non
polygones
Les figures
hybrides
Les corps
hybrides
13
Structure de l'étude des solides en géométrie élémentaire
Solides géométriques
Non polyèdres
Corps ronds:
les familles des
sphères
cônes
cylindres
solides de
révolution
Polyèdres
Corps
hybrides
Classement
en fonction
du nombre de
faces
Polyèdres convexes
Classement en
Prismes
Pyramides
Antiprismes
Autres
Classement en fonction de la régularité des faces
Il existe au moins une face
polygonale non régulière
Polyèdres à faces régulières isométriques
homogènes ou non homogènes en leurs
sommets (10)
( Toutes les faces sont des polygones
réguliers isométriques)
Deltaèdres (8) - Cube – Dodécaèdre Polyèdres platoniciens (5)
Toutes les faces sont des
polygones réguliers
Polyèdres à faces régulières non
isométriques homogènes ou non
homogènes en leurs sommets
( Il existe au moins deux polygones
réguliers dont le nombre de côtés diffère)
Polyèdres archimédiens (13) - Prismes et
Antiprismes – Polyèdre de MILLER Autres
Le classement des polyèdres convexes à faces régulières en fonction de la transitivité des faces et des
sommets (les polyèdres réguliers et semi réguliers) n’est pas abordé avant 17/18 ans. En effet, ce
classement exige la maîtrise des automorphismes des polyèdres concernés.
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Figures et solides géométriques

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