I ETUDE D`UN PREMIER ORDRE : ≤ εst( ) 1 HO(p) E(p) S(p) HO(p

Sciences de l’ingénieur
PERFORMANCES DES SYSTEMES BOUCLES.
I ETUDE D’UN PREMIER ORDRE :
S(p)
E(p)
1) En boucle ouverte :
HO(p)
La forme canonique de HO(p) est :
Ho (p)
Ko
1 W o .p
où :
x Ko est le gain statique de la chaîne directe (ou gain statique en boucle ouverte),
x W o est la constante de temps de la chaîne directe (constante de temps de la boucle
ouverte).
Evaluation de la rapidité du système :
Cette évaluation se fait par l’intermédiaire du calcul de t 5%. Ici :
t
5%
= 3. W
o
Evaluation de l’erreur statique du système pour une entrée échelon unitaire :
Cette évaluation se fait par l’intermédiaire du calcul de Hs(t) :
H s (t)
lim( e(t ) s( t))
t o f
D’après le théorème de la valeur finale on peut calculer Hs(t) grâce à :
H s ( t) lim p.(E(p) S(p))
po 0
On trouve : Hs(t) = 1-Ko
Ko étant positif alors : f d H s ( t) d1
2) En boucle fermée :
E(p)
S(p)
HO(p)
+-
E(p)
=
S(p)
HF(p)
Exprimons HF(p)en fonction des paramètres de Ho(p) :
KO
HO (p)
KO
1 W 0 .p
HF (p)
soit HF (p)
, soit en réduisant : HF (p)
KO
1 Ho (p)
1 K 0 W 0 .p
1
1 W 0 .p
KO
1 K O
En mettant HF(p) sous forme canonique il vient : HF (p)
W 0
1
.p
1 K O
On pose :
x
KF
x
W
F
K0
où KF est appelé le gain statique du système bouclé,
1 K 0
W 0
où W F est appelé la constante de temps du système bouclé
1 K 0
Finalement on peut écrire :
Lycée Jacques Amyot
Auxerre
HF (p)
KF
1 W F .p
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Evaluation de la rapidité du système :
Cette évaluation se fait par l’intermédiaire du calcul de t 5%. Ici : t
t 5%
W
3. 0
1 K 0
5%
= 3. W
F
soit
Evaluation de l’erreur statique du système pour une entrée échelon unitaire :
Cette évaluation se fait par l’intermédiaire du calcul de Hs(t) :
H s ( t) lim( e(t ) s(t ))
t o f
D’après le théorème de la valeur finale on peut calculer Hs(t) grâce à :
H s ( t) lim p.(E(p) S(p))
po 0
1
1 K o
H s (t)
On trouve :
Ko étant positif alors : 0 d Hs ( t) d1
3) Représentation graphique de s(t) dans les cas B.O. et B.F. :
Ces tracés sont réalisés pour une entrée échelon unitaire, avec K0 = 2 et W 0=1s. Dans le cas de la
boucle fermée le retour est considéré comme unitaire.
2.15
2.1
2.05
2
1.95
1.9
1.85
1.8
FTBO 1ER ORDRE
1.75
1.7
1.65
1.6
1.55
1.5
1.45
1.4
1.35
1.3
1.25
1.2
Echelon unitaire
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
FTBF 1ER ORDRE
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.25
0
0.25
0.5 0.75
Lycée Jacques Amyot
Auxerre
1
1.25
1.5 1.75
2
2.25
2.5 2.75
3
3.25
3.5 3.75
4
4.25
4.5 4.75
5
5.25
5.5 5.75
6
6.25
6.5 6.75
7
7.25
7.5 7.75
8
8.25
8.5
8.75
9
9.25
9.5
9.75
10 10.25
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4) Conclusions :
Le bouclage n’a pas modifié l’ordre du système,
Le bouclage a modifié le gain du système : KF<KO
Le système bouclé est plus rapide, on améliore sa rapidité en augmentant le gain KO,
Le système bouclé est plus précis l’erreur statique est plus faible en B.F.
II ETUDE D’UN SECOND ORDRE :
S(p)
E(p)
1) En boucle ouverte :
HO(p)
Ho (p)
La forme canonique de HO(p) est :
Ko
2.a o
p²
1
.p Z no
Z no ²
où :
x Ko est le gain statique de la chaîne directe (ou gain statique en boucle ouverte),
x ao est le coefficient d’amortissement de la chaîne directe .
x Z no la pulsation propre du système non amorti de la chaîne directe.
2) En boucle fermée :
E(p)
S(p)
HO(p)
+-
S(p)
E(p)
HF(p)
=
Ko
2.a o
p²
K 0 1
.p Z no
Z no ²
Ko
1 K 0
En mettant HF(p) sous forme canonique il vient : HF (p)
2.a o
p²
1
.p Z no .(K o 1)
Z no ².(K o 1)
On exprime la fonction transfert en boucle fermée : HF (p)
On pose : HF (p)
KF
1
2.aF
p²
.p Z nF
Z nF ²
où :
KF est appelé le gain statique du système bouclé,
aF le coefficient d’amortissement du système bouclé,
Z nF la pulsation propre du système non amorti du système bouclé.
On trouve par identification :
KF
K0
1 K 0
aF
ao
1 K o
Z nF
Z no . 1 K o
3) Réponse à un échelon unitaire :
Soit un système du second ordre dont les paramètres en boucle ouverte sont :
Ko = 3
ao = 0.8
Z no = 2 rad/s
Soit en boucle fermée :
KF = 0.75
Lycée Jacques Amyot
Auxerre
aF = 0.4
Z nF = 4 rad/s
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Evaluation de la rapidité du système :
Grâce à l’abaque du temps de réponse
réduit utilisable pour les systèmes du tr.Z n
second ordre ci-dessous, on évalue
dans les deux cas tr.Z n:
On peut lire sur l’abaque :
En boucle ouverte :
En boucle fermée :
tr.Z no # 3 donc tr 5% # 1.5 s
tr.Z nF # 8 donc tr 5% # 2 s
Coefficient d’amortissement a
Ce qui conduit aux réponses suivantes :
3.3
3.2
3.1
3
2.9
2.8
FTBO 2ème ORDRE
2.7
2.6
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2
1.9
1.8
Echelon unitaire
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
FTBF 2ème ORDRE
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
Lycée Jacques Amyot
Auxerre
5.1 5.2
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4) Conclusion :
Le système bouclé est donc aussi un système du second ordre, a F est inférieur à a o. Or, pour un
système du second ordre, c’est pour un facteur d’amortissement de 0,7 que le temps de réponse est
minimum. Aussi, si a o est supérieur à 0.7, le bouclage peut améliorer le temps de réponse, par
contre si ao est déjà inférieur à 0.7, le bouclage conduit à augmenter le temps de réponse à 5%.
III INFLUENCE DU GAIN SUR LE COMPORTEMENT TEMPOREL :
Les études temporelles menées ci dessus montre l’importance du gain de
la chaîne directe dans l’établissement E(p)
HO(p)
KV
des performances d’un système bouclé.
C’est la raison de la présence, dans la
chaîne directe après le comparateur,
d’un gain variable K V que l’on pourra
ajuster aux performances attendues du système. Ce qui donne le schéma bloc de la figure ci-dessus.
S(p)
Il est important de ne pas confondre le gain statique Ko de Ho(p), qui est structurel (pour le modifier il faut
modifier la structure du processus à commander) avec le gain variable K V, qui est introduit dans la chaîne
directe.
Nota : Les résultats précédents sont transférables à cette étude en remplaçant le gain de la chaîne directe
par le produit du gain structurel Ko et du gain variable (ajustable) KV.
IV CONCLUSION :
Par rapport aux trois critères de performance : la précision, la rapidité et les dépassements, on remarque
que l’influence d’un gain KV est positive pour la précision et la rapidité, ce qui semble conduire à rechercher
un gain maximum.
Outre que pour un système du second ordre une valeur trop importante du gain peut conduire à des
dépassements néfastes, on constate par ailleurs que ce choix mène aussi vers l’instabilité. Aussi lors du
réglage, il faut toujours rechercher le gain minimum qui permet d’assurer les performances temporelles
souhaitées.
1.1
1.075
KV =20
1.05
1.025
1
0.975
0.95
0.925
0.9
KV =15
0.875
0.85
0.825
0.8
0.775
0.75
0.725
KV =10
0.7
0.675
0.65
0.625
0.6
0.575
0.55
0.525
0.5
0.475
KV =5
0.45
0.425
0.4
0.375
0.35
0.325
KV =1
0.3
0.275
0.25
0.225
0.2
0.175
0.15
0.125
Kv
KF
t 5% (s)
1
5
10
15
20
0.75
0.9375
0.9677
0.9782
0.9836
4
0.88
0.36
0.26
0.31
0.1
0.075
0.05
0.025
0
-0.025
-0.05
Etude réalisée avec a 0 =5,Z n0=2 rad/s et K0=3
-0.075
-0.1
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95
Lycée Jacques Amyot
Auxerre
1
1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95
2
2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3
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