1 Les lois de l`électricité à connaître en Terminale S Lors des 3

Les lois de l’électricité à connaître en Terminale S
Lors des 3 chapitres relatifs à l’électricité, il est souvent demandé d’établir
des équations différentielles. Ces équations s’établissent facilement en
appliquant rigoureusement les lois citées ci-dessous :
I/ Lois vérifiées par les intensités :
Tension aux bornes d’un interrupteur FERME : uKfermé = 0V
Tension aux bornes d’un interrupteur OUVERT : | uKouvert| = E avec E la
fem (Force ElectroMotrice) du générateur du circuit.
C/ uAB et uBA :
uAB = - uBA
A/ Loi d’unicité de l’intensité dans une branche :
L’intensité du courant électrique est la même en tous les points d’une même
branche quelque soit l’ordre et la nature des dipôles.
Remarque : l’ordre des dipôles sur une même branche n’a AUCUNE
importance.
B/ Loi des nœuds :
La somme des intensités qui arrivent à un nœud est égale à la somme des
intensités qui en repartent.
II/ Lois vérifiées par les tensions :
A/ Représentation d’une tension :
La tension uAB entre 2 points A et B d’un
circuit se représente par une flèche allant
de B vers A (toujours de la 2ème lettre du
nom de la tension vers la 1ère).
Exemple sur le schéma ci-contre.
B/ Valeurs de tensions à connaître :
Tension aux bornes d’un fil de connexion : ufil = 0 V.
D/ Loi d’additivité des tensions :
Une tension uAB quelconque peut s’écrire sous la forme d’une somme de
plusieurs tensions telles que :
uAB = uAC + uCD + uD... + u...E + uEF + uFB
On remarque une relation qui s’apparente à la relation de Chasles pour les
vecteurs. On peut écrire la somme avec un nombre quelconque de tensions.
III/ Convention générateur et convention récepteur :
Soit un dipôle D quelconque. Pour l’étudier, on peut adopter une des 2
conventions suivantes : la convention « récepteur » ou la convention
« générateur ».
Convention « récepteur »
La flèche de la tension du dipôle et
celle de l’intensité sont en sens
contraire.
Convention « générateur »
La flèche de la tension du dipôle et
celle de l’intensité sont dans le même
sens
Si ces conventions sont appliquées rigoureusement (voir par la suite), vous ne
vous tromperez jamais...
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IV/ Relations liant tension et intensité pour certains dipôles :
Convention « récepteur »
Convention « générateur »
Remarque : les conducteurs ohmiques seront appelés « résistances » (Je sais, je
sais...).
A/ La résistance :
Loi d’ohm : la tension uR aux bornes d’une résistance R est proportionnelle à
l’intensité i qui la traverse. Le coefficient de proportionnalité est R.
L’expression mathématique de cette loi dépend de la convention adoptée :
Convention « récepteur »
Convention « générateur »
On a : i = +
dq
dt
On a : i = −
On en déduit alors : i = + C
du C
dt
dq
dt
On en déduit alors : i = −C
du C
dt
C/ La bobine :
uAB = R.i
uBA = - R.i
Vous remarquez qu’on retrouve uAB = - uBA
B/ Le condensateur :
Une bobine est un enroulement de fils qui possède donc une résistance r. Pour
que ce soit plus clair, on fera apparaître cette résistance dans le symbole de la
bobine :
Convention « récepteur »
Convention « générateur »
La charge électrique q et la tension uC aux bornes du condensateur sont
reliées par la relation suivante : q = C.uC avec C la capacité du condensateur.
L’intensité i de la branche contenant le condensateur et la charge q sont
reliées par une relation qui dépend de la convention adoptée :(uC = uAB)
u AB = L
di
+ ri
dt
u AB = − L
di
− ri
dt
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V/ Un exemple d’application de ces lois :
Afin d’utiliser l’ensemble des lois présentées
précédemment, on va étudier la décharge d’un
condensateur (initialement chargé) dans une
bobine et une résistance. Voir schéma ci-contre.
Question : Etablir l’équation différentielle
vérifiée par uC, la tension aux bornes du
condensateur.
Réponse :
1. Pour commencer, on repère uC : uC = uBA d’après la flèche de
représentation.
Ensuite on va écrire la loi d’additivité des tensions (« ça commence toujours
comme ça... ») :
On écrit cette loi rigoureusement : uC = uBA = uBD + uDE + uEF + uFG + uGA
Comme les portions (DE) et (AG) sont des fils de connexion, uDE et uAG sont
nulles doù : uC = uBD + uEF + uFG
2. Comment fait-on pour exprimer les tensions alors
qu’il n’y a pas d’intensité représentée. Aucun
problème, on choisit le sens de l’intensité
arbitrairement ; en clair, vous la choisissez comme
vous voulez !
Ici, elle a été choisie dans le sens des aiguilles d’une
montre. (Voir ci-contre)
On peut alors écrire, d’après les conventions « récepteur » et « générateur » :
uBD = R.i (convention récepteur)
uEF = r.i (convention récepteur)
di
u FG = + L (convention récepteur)
dt
di
di
On en déduit : uC = R.i + r.i + L =(R+r).i + L
équation 1
dt
dt
Le problème est qu’on n’a pas uniquement la fonction uC dans cette équation ;
on a aussi i(t)...
Comment faire ?
On utilise la relation aux bornes d’un condensateur !
Comme une convention générateur a été adoptée pour le condensateur, on a :
du
dq
i=−
On en déduit donc : i = −C C
dt
dt
Il suffit de remplacer cette expression de i dans l’équation 1 :
du C
d2uC
u C = (R + r)(−C
) − LC 2
dt
dt
On ramène tous les membres de cette équation à gauche du signe « = » :
d2u
du
LC 2C + (R + r).C. C + u C = 0
dt
dt
On divise tous les membres par LC :
d 2 u C (R + r) du C
1
+
+
uC = 0
2
dt
L
dt LC
Voilà l’équation différentielle vérifiée par la tension uC(t) aux bornes d’un
condensateur lors de sa décharge dans une bobine et une résistance.
Commentaires :
La résolution de cette équation et l’écriture de ses solutions ne sont pas au
programme.
On remarque que si les résistances sont négligées, on se retrouve avec :
d2uC
1
+
u C = 0 équation 2
2
dt
LC
Vous devez alors savoir répondre à la question suivante :
1
- Montrer que u C = A.sin(ω0 t + B) si (et seulement si même) ω0 =
.
LC
Donner les valeurs de A et B avec les conditions initiales.
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