Equations de Navier-Stokes avec des Conditions aux Limites

Equations de Navier-Stokes avec des Conditions aux Limites
Non Standard
Ce minisymposium est consacré à l’étude des équations de Navier-Stokes posées avec des conditions aux
limites autres que les conditions de Dirichlet. Il se compose de trois parties. Dans la première nous
ferons un état de l’art depuis la publication du travail de Scadilov et Solonnikov en 1973 aux tout récents
travaux en cours, dont certains seront détaillés dans les parties 2 et 3.
Etat de l’art
Chérif AMROUCHE, Université de Pau et des Pays de l’Adour
On s’intéresse ici à l’étude théorique d’écoulements de fluides visqueux incompressibles pouvant intervenir
dans divers domaines : météorologie, océanographie . . . Ils peuvent tre modélisés par des équations de
type Navier-Stokes viscosit variable
∂u
+ (u · ∇)u − div (ν(·) Du) + ∇p = f
∂t
in Ω,
div u = 0
in Ω,
(1)
où Ω est un ouvert born connexe de R3 et auxquelles il faut ajouter des conditions aux limites réalistes.
La plupart des travaux à ce jour considèrent des conditions de type Dirichlet. Cependant, comme l’a
signalé Serrin [11], celles-ci ne sont pas toujours réalistes et conduisent en général à des phénomènes de
couches limites près des parois. En 1827, Navier [10] a proposé une condition dite de glissement avec
friction à la paroi qui permet de prendre en compte le glissement du fluide près du bord et de mesurer
l’effet de friction en considérant la composante tangentielle du tenseur des contraintes proportionnelle à
la composante tangentielle, dsigne par l’indice τ , du champ de vitesses:
u ·n =g
et
(ν(Du)n + αu)τ = h,
(2)
où α est un coefficient de friction et le tenseur Du des déformations est défini par :
(Du)i,j =
∂uj
1 ∂ui
(
+
).
2 ∂xj
∂xi
Remarquons que formellement, si α tend vers l’infini, cela implique que la vitesse tangentielle est nulle,
ce qui nous ramène alors à la condition classique de Dirichlet u = 0 si g et h sont nulles. Le cas tout
aussi intéressant où α est nul correspond à une condition de glissement de Navier, mais sans friction.
Ces conditions sont aussi utilisées dans les simulations numériques d’écoulements en présence de parois
rugueuses [1, 4, 5, 7, 8, 6] comme en aérodynamique, ou bien de parois perforées [2]. Dans le cas d’un
bord plat, la deuxième condition ci-dessus peut être remplacée si α = 0, par une condition portant sur la
composante tangentielle du tourbillon:
u · n=g
et
(∇ × u) × n = h × n,
(3)
voir [13]. Dans certaines situations, il est aussi naturel de prescrire la valeur de la pression, tout au moins
sur une partie du bord, comme dans le cas de pipelines, de systèmes hydrauliques utilisant des pompes,
réservoirs confinés . . . On doit alors compléter par des conditions sur le champ tangentiel des vitesses par
exemple:
1
(4)
u × n=g × n
et
p + |u|2 = p0 ,
2
voir [9]. Rappelons que ce type de conditions aux limites sont le plus souvent mélangées pour traiter des
problèmes réalistes.
L’objet de cette premire intervention consistera à faire un état de l’art de l’étude des équations de NavierStokes avec des conditions aux limites dites non standard.
Chérif AMROUCHE, Université de Pau et des Pays de l’Adour
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Analyse Mathématique et Approximation Numérique des
Equations de Stokes et de Navier-Stokes avec des Conditions
Aux Limites Non Standard
Nour SELOULA, Institut de Mathématiques de Bordeaux
La plupart des travaux mathématiques sur les équations de Stokes et de Navier-Stokes dans des domaines bornés
ont considéré ces systèmes avec une condition aux limites de type Dirichlet pour le champ de vitesses. Néanmoins,
dans les applications, il est possible de se trouver face à des problèmes où il est nécessaire de faire intervenir d’autres
types de conditions aux limites. Pour le cas du système de Stokes, ces conditions au bord peuvent être de la forme:
u × n = g × n et π = π0
sur Γ,
(5)
ou
u · n = g et rot u × n = h × n
sur Γ.
(6)
Le but principal de cet exposé est la résolution des systèmes de Stokes d’abord avec les conditions au bord (5)
ensuite avec les conditions au bord (6). Dans chaque cas nous démontrons l’existence, l’unicité et la régularité de
la solution. Nous traitons aussi, par dualité, le cas de solutions trés faibles. Nous donons une applications aux
systèmes de Navier-Stokes, où on obtient l’existence d’une solution en effectuant un point fixe autour du problème
d’Oseen. Le cadre fonctionel que nous avons choisi est celui des espaces de Banach du type H(div) et H(rot) ou
l’intersection des deux, basés sur l’espace Lp , avec 1 < p < ∞. En particulier, on se place dans des domaines
non simplement connexes, avec des frontières non connexes. Nous nous intéressons en premier lieu à l’obtention
d’inégalités de Sobolev pour des champs de vect eurs u ∈ Lp (Ω). Dans un second temps, nous établissons des
résultats d’existence pour les potentiels vecteurs avec diverses conditions aux limites. Ceci nous permet d’abord
d’effectuer des décompositions de type Helmholtz et ensuite de démontrer des conditions Inf − Sup l’orsque la
forme bilinéaire est un produit de rotationnels. Ensuite, nous proposons une discretisations par la méthode de
Galerkin discontinue pour le problème de Stokes avec des conditions aux limites mixtes (5)-(6) . Nous faisons une
analyse d’erreur a priori de ce schéma.
Nour SELOULA, Institut de Mathématiques de Bordeaux, Université de Bordeaux1 & INRIA Bordeaux-Sud
Ouest, EPI MC2. 351 Cours de la Libération, 33405 Talence Cedex, France
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Différentes cinématiques de frontière en théorie mathématique
des fluides
Patrick PENEL, Université du Sud, Toulon-Var
Sous ce titre, j’entends exposer l’essentiel des cinématiques de frontière étudiées et tenter de faire le point des
connaissances actuelles.
La littérature scientifique récente montre un regain d’intérêt pour des choix différents de conditions aux limites,
notamment en théorie mathématique des fluides. En théorie des équations aux dérivées partielles, les divers
problèmes-de-conditions-initiales-et-aux-limites associés font l’objet de nombreux travaux mathématiques.
Le système des équations de Navier–Stokes est le modèle de référence pour l’écoulement d’un fluide Newtonien
visqueux incompressible. Le champ de vitesse étant représenté par la fonction u, il est bien connu que l’opérateur
gouvernant le terme visqueux, tour à tour écrit −ν ∆u ou bien −Div Tdν (u) ou encore ν ∇ × ∇ × u, commande
d’être complété par des conditions aux limites appropriées pour décrire u, ou Tdν (u) ou encore ∇×u, à la frontière.
Le choix de ces conditions (modélisation, formulation homogène ou non homogène) n’est pas neutre, c’est même
toujours un sujet de controverses : Le fluide visqueux en contact frontière avec une paroi imperméable [Première
condition u·n = 0 à la frontière] peut adhérer complètement ou non à elle. Immobile cette paroi pourrait le freiner
tellement que les composantes tangentielles de la vitesse y seraient nulles, c’est la proposition de non glissement
de Dirichlet–Stokes [Secondes possibles conditions complémentaires uτ := u ∧ n = 0 à la frontière], d’où le cas
standard le plus étudié. La nullité du champ de vitesse à la frontière est ici une contrainte. Une proposition
alternative ’naturelle’ de glissement (physiquement naturelle, mathématiquement naturelle) est celle faite par
Navier d’une proportionnalité des composantes tangentielles de la vitesse aux composantes correspondantes du
tenseur des contraintes visqueuses [Secondes possibles conditions complémentaires {Tdν (u) · n}τ + kuτ = 0 à
la frontière]. Bien préciser le rôle de la viscosité et la notion de proportionnalité, c’est-à-dire la modélisation
du frottement (simple coefficient, fonction ou fonctionnelle), demeure un problème ouvert qui peut conduire à
formuler de nouvelles secondes conditions à la frontière, ’naturelles’ mais non linéaires [cf. Fujita, Serrin]. Simple
coefficient, le frottement peut être nul, auquel cas plusieurs variantes de la proposition de Navier apparaissent
[Secondes possibles conditions complémentaires {Tdν (u) · n}τ = 0, ou encore ∇ × u ∧ n = 0 à la frontière, des
conditions qui sont équivalentes sur les parois planes car on connaı̂t l’identité {Tdν (u)·n}τ = ν ∇×u∧n−2ν ∇n·u
dès lors que la frontière est suffisamment régulière].
Sans prétendre à l’exhaustivité, on notera que d’autres formulations des conditions aux limites peuvent être
associées aux équations de Navier–Stokes :
Outre celles en situation non homogène pour tous les cas précédents et pour tous ceux qui suivent, il faudrait
évoquer les cas de conditions mixtes de type Robin [par exemple, uτ = 0 et λ u · n + ∂n u · n = 0 à la frontière], et
il faudrait bien évidemment évoquer les diverses conditions ’naturelles’ de Neumann [ ∂n u = 0 à la frontière] ou
bien, en faisant intervenir le champ de pression [ ∂n u − (p) n = 0, ou encore Tdν (u) · n − (p) n = 0 à la frontière].
Si l’on considère une éventuelle approximation inviscide, sachant qu’il n’y a absolument plus aucune raison
mathématique d’imposer la nullité pour la vitesse tangentielle à la frontière, une autre proposition ’naturelle’
consiste à compléter les équations par des conditions d’imperméabilité à la fois pour le champ de vitesse et pour
le champ de vorticité [d’où deux conditions scalaires u · n = 0 = ∇ × u · n à la frontière. Il est assez remarquable
que la troisième condition scalaire soit alors intrinsèque au modèle, de la forme ∇ × ∇ × u · n = 0 à la frontière].
On réfère ce cas en parlant de conditions d’imperméabilité généralisée.
Si l’on considère, pour terminer et pour ne rien simplifier (!), la situation où le domaine fluide, toujours de
géométrie bornée, est variable, variant avec le temps parce que extérieur à un ou plusieurs corps en mouvement
qui pourraient entrer en collision, quelle cinématique de frontière ’naturelle’ associer alors aux équations ? Il
faudrait aussi évoquer cette question.
Le mot ’naturelle(s)’ a été employé à plusieurs reprises, des précisions d’analyse mathématique sont nécessaires
pour éclairer le propos et confirmer ’mathématiquement naturelle(s)’ avec des théorèmes chaque fois que possible.
Les grands challenges de la Mécanique des Fluides Mathématique tridimensionnelle demeurent d’actualité (existence et unicité d’une solution globale en temps, éventuelles singularités en temps fini des solutions faibles,
régularité intérieure ou globale des solutions faibles, critères de régularité, limite inviscide, ...) : si en fin d’exposé
le temps le permet, la question de la régularité conditionnelle des solutions faibles sera abordée.
Patrick PENEL, 35 Rue A. Daudet, 83000 TOULON
[email protected]
Références
[1] Y. Amirat, D. Bresch, J. Lemoine, J. Simon. Effect of rugosity on a flow governed by stationary NavierStokes equations. Quart. Appl. Math. 59 (2001), no. 4, 769–785
[2] G.S. Beavers, D.D. Joseph, Boundary conditions at a naturally permeable wall, J. Fluid Mech. 30-01,
pp. 197-207, (1967)
[3] C. Conca, F. Murat, O. Pironneau, The Stokes and Navier-Stokes equations with boundary conditions
involving the pressure, Japan. J. Math., Vol. 20, pp. 263–318, 1994.
[4] D. Bucur, E. Feireisl, S. Necasova. Boundary behavior of viscous fluids: influence of wall roughness and
friction-driven boundary conditions. Arch. Ration. Mech. Anal. 197 (2010), no. 1, 117–138
[5] D. Bucur, E. Feireisl, S. Necasova, J. Wolf. On the asymptotic limit of the Navier-Stokes system on
domains with rough boundaries. J. Differential Equations 244 (2008), no. 11, 2890–2908.
[6] M. Bulicek, J. Malek, K. R. Rajagopal, Navier’s slip and evolutionary Navier-Stokes-like systems with
pressure and shear-rate dependent viscosity. Indiana Univ. Math. J. 56 (2007), no. 1, 51–85.
[7] W. Jager and A. Mikelic’. On the interface boundary condition of Beavers, Joseph, and Saffman. SIAM
J. Appl. Math. 60 (2000), no. 4, 1111–1127
[8] W. Jager and A. Mikelic’. On the roughness-induced effective boundary conditions for an incompressible
viscous flow. J. Differential Equations 170 (2001), no. 1, 96–122.
[9] S. Marusic On the Navier-Stokes system with pressure boundary condition. Ann. Univ. Ferrara Sez. VII
Sci. Mat. 53 (2007), no. 2, 319–331
[10] C.L.M.H. Navier, Sur les lois de l’équilibre et du mouvement des corps élastiques, Mem. Acad. R. Sci. Inst.
Vol. 6, France (1827) 369
[11] J. Serrin, Mathematical principles of classical fluid mechanics, Handbuch der Physik, pp. 125–263, SpringerVerlag, 1959.
[12] V. A. Solonnikov, V. E. Scadilov, A certain boundary value problem for the stationary system of NavierStokes equations, (Russian) Boundary value problems of mathematical physics, 8. Trudy Mat. Inst. Steklov.
125–235, p. 196–210, 1973
[13] Y. Xiao, Z. Xin, Zhouping On the vanishing viscosity limit for the 3D Navier-Stokes equations with a slip
boundary condition. Comm. Pure Appl. Math. 60 (2007), no. 7, 1027–1055.