Gestion des contacts 2D dans une approche par macro

Gestion des contacts 2D dans une approche
par macro-éléments discrets de
l’effondrement de portiques en béton-armé
Jean-Luc Hanus — Hélène Lachapèle — Patrice Bailly
ENSI de Bourges et Université d’Orléans
88 boulevard Lahitolle, F-18020 Bourges Cedex
{jean-luc.hanus, helene.lachapele, patrice.bailly}@ensi-bourges.fr
RÉSUMÉ. Un code dynamique bidimensionnel, reposant sur l’utilisation de macro-élements discrets de poutre, a été développé pour comprendre les mécanismes d’effondrements de structures de type portique suite à une agression accidentelle (impact d’un projectile, explosion...).
L’objectif de cette communication est de présenter les nouveaux développements portant sur la
gestion et la détection automatique précise des contacts. La modélisation retenue est celle des
corps déformables associée à l’utilisation d’une hiérarchie de boites englobantes orientées qui
permet une détection précise des collisions.
A computer bidimensionnal frame progressive collapse procedure, based on the use
of macro-discrete beam elements, has been proposed. The aim of this paper is to present the
developpment of an accurate and efficient strategy for collision detection and contact forces
determination. The contact-detection algorithm lies on an OBB-tree hierarchical representation
associated with the method of separating axis theorem.
ABSTRACT.
MOTS-CLÉS : contact, macro-élément discret, dynamique, OBB, axe de séparation, poutre, portique, effondrement
KEYWORDS:
collapse
contact, macro-discrete element, dynamic, OBB, separating axis, frame structure,
2
8ème Colloque national en calcul des structures
1. Introduction
La modélisation de l’effondrement d’un bâtiment soumis à une agression accidentelle (impact d’un projectile, explosion...) est un phénomène, dynamique par essence,
très complexe à appréhender. Ce qui fait la force de la méthode des éléments finis,
à savoir que la structure est considérée comme un milieu continu, devient un handicap pour l’analyse de l’effondrement qui implique que la milieu initialement continu
va se fragmenter. Certains auteurs ont adapté la méthode des éléments finis (Isobe
et al., 2000), (Kaewkulchai et al., 2004). Nous avons, pour notre part, privilégié une
approche discrète alternative reposant sur l’utilisation de macro-éléments de poutres.
Les premiers résultats avaient permis de qualifier la méthode par comparaison des
réponses élastiques et élastoplastiques de portiques obtenus avec la méthode des éléments finis (Reimeringer et al., 2005).
L’objectif de cette communication est de présenter les nouveaux développements
portant sur la gestion et la détection précise des contacts.
2. Macro éléments discrets
Les éléments constitutifs du portique, poutres et colonnes, sont modélisés comme
un ensemble de corps rigides reliés par des laisons rhéologiques dans lesquelles est
localisé le comportement, tant linéaire que non linéaire, des matériaux. Cette formulation discrète s’inspire des analogies entre les éléments finis et les assemblages masse
ressort RBSM (Rigid Body Spring Model) proposées par Kawai (Kawai, 1980) et Toi
(Toi, 1991) dans le domaine des petites perturbations.
x
z
−1
1
r
l0
(1 + r)
2
0
l0
(1 − r)
2
1
2
ui
vi−1
y
vi
ui−1
θi−1
ψ
θi
k2
k1
k3
Figure 1. Elément discret ei
Le comportement global est décrit en variables généralisés (N − , V − γ, M − χ)
avec i =
li − l0
,
l0
γi =
sin(ψ − θi ) + sin(ψ − θi−1 )
,
2
χi =
θi − θ0
l0
Notre macro-élément discret de poutre étant équivalent à l’élément fini de poutre
de Timoshenko, tout modèle de comportement global, phénoménologique ou basé sur
la thermodynamique des processus irréversibles, peut-être utilisé.
3
L’intégration temporelle des équations de mouvements est réalisée au moyen de
l’algorithme explicite dit des «différences centrées».
3. Détection des contacts
Différentes représentations géométriques peuvent être utilisées pour simplifier la
détection du contact entre deux corps rigides en 2D. Les plus courantes (Lin et al.,
1998) sont par ordre de complexité : les cercles englobants, les boites englobantes
alignées sur les axes ou AABB (Axis Aligned Bounding Box), les boites englobantes
orientées ou OBB (Oriented Bounding Box) et les k-DOP (Discrete Oriented Polytope).
Les corps rigides élémentaires intervenant dans notre modélisation n’ont pas une
forme quelconque, il s’agit soit de rectangles soit de l’union d’au plus deux rectangles
(figure 2). L’utilisation d’une hiérarchie de boites englobantes orientées nous permettra donc une détection précise des collisions puisque l’enveloppe retenue coïncidera
exactement avec la surface extérieure de nos corps rigides (figure 3).
Test grossier
Elément en croix
Test précis
par
arbre d’OBB
OBB globale
Cercle englobant
Sous OBB no 1
Figure 2. Portique en vue éclatée
Sous OBB no 2
Figure 3. Surfaces englobantes
Le test de recouvrement de deux OBB est basé sur le théorème1 de l’axe de séparation (Gottschalk, 2000). Appliqué à deux macro-éléments (figure 4), composés
éventuellement chacun de deux sous-éléments, ce test nécessitera de nombreuses opérations de calcul. Notre choix s’est donc porté sur un test de recouvrement en deux
étapes :
– test rapide/grossier de tri des candidats au contact par cercles englobants ;
– test exact par arbre d’OBB sur ceux jugés en contact après le test grossier.
1. Deux polygones convexes disjoints en 2D peuvent toujours être séparés par une droite qui est
parallèle à un côté de l’un des polygones. On appelle axe de séparation, un axe sur lequel les
images projetées des deux polygones sont disjointes. En conséquence, deux polygones convexes
sont disjoints s’il existe un axe de séparation orthogonal à un côté d’un des polygones. Nous
aurons donc au maximum 4 tests à effectuer associés aux 2 axes directeurs de chaque rectangle.
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1
ra
2
projection
sur a2 2
da
2
2
2
2
ra
2
2
C 1 C 2 |a
2
2
a22
a21
P1
C2
a11 l11
P2
a21 l21
a12 l12
P4
C1
a22 l22
a12
P3
a11
1
ra
1
projection
sur a1 1
1
da
1
1
C 1 C 2 |a
1
1
2
ra
1
1
Figure 4. Exemple : projections sur les axes a11 et a22
Recouvrement dans les deux cas : d12 = M in da1 1 , da2 2
4. Efforts associés au contact
La gestion des contacts entre solides rigides peut classiquement être abordée au
moyen de deux approches opposées : l’école des corps déformables popularisée par
Cundall (Cundall, 1971) et l’école des corps indéformables, dans le cadre de la mécanique des contacts non réguliers, initiée par Moreau (Moreau, 1988).
C’est la première méthode qui a été privilégiée pour sa simplicité de mise en
oeuvre et sa cohérence avec la modélisation simplifiée retenue qui utilise déjà des
modèles rhéologiques pour représenter le comportement des matériaux constitutifs.
A l’issue de l’étape de détection de contact entre deux éléments i et j nous disposons, en cas de test positif, des informations suivantes : distance d’interpénétration
dij , normale au contact et point de contact Pc .
L’effort normal est, pour sa partie réversible, proportionnel à la distance d’interpénétration et, pour sa partie dissipative, proportionnel à la vitesse normale relative des
deux éléments en contact :
n
Fni→j = −Kn dij − mef f γ vrel
L’effort tangentiel est déterminé de manière incrémentale, l’incrément étant proportionnel à la vitesse tangentielle relative des deux éléments en contact. Une loi de
Coulomb est adoptée pour modéliser les frottements entre deux éléments :
∆Fti→j = −Kt v trel ∆t
5
t
vrel
Ft i→j = −min |Ft i→j |, µ |Fn i→j |
t
|vrel |
Ces efforts engendrent des moments sur les deux éléments en contact :
M i→j = F i→j ∧ Pc C j
avec Kn raideur normale associée au contact et Kt raideur tangentielle, mef f =
mi mj
mi +mj masse effective, γ coefficient d’amortissement et µ coefficient de frottement.
5. Application à l’étude de la cinématique d’un effondrement
L’exemple proposé est celui d’un portique en béton-armé pour lequel on suppose qu’une colonne du rez-de-chaussée a été détruite par une chargement accidentel
(Kaewkulchai et al., 2004). Le modèle de comportement retenu est une simple loi bilinéaire moment-courbure avec seuil de rupture.
La séquence (figure 5) présente en vue éclatée différentes phases de l’effondrement
du portique :
– plastification puis rupture de liaisons consécutives à l’endommagement initial ;
– chute libre d’une partie et rupture de liaisons lors de l’impact avec le sol ;
– empilement des éléments rompus et état final du portique2.
6. Conclusion
La gestion explicite des contacts par arbre d’OBB permet de représenter de manière géométriquement précise les chocs entre éléments et les impacts sur le sol. L’effondrement d’un portique en béton armé avec une loi globale « moment-courbure »
illustre les potentialités de la démarche proposée pour décrire, de manière simplifiée,
la ruine d’une structure.
7. Bibliographie
Cundall P. A., « A computer model for simulating progressive large scale movements of blocky
rock systems », Symposium of the international society of rock mechanics, vol. 1, Nancy,
p. 132-150, 1971.
Gottschalk S., Collision Queries using Oriented Bounding Boxes, PhD thesis, University of
North Carolina, Department of Computer Science, 2000.
Isobe D., Toi Y., « Analysis of structurally discontinuous reinforced concrete building frames
using the ASI technique », Computers and Structures, vol. 76, n◦ 4, p. 471-481, 2000.
2. Les sphères bleues représentent les liaisons dont le comportement demeure élastique, les
sphères vertes les liaisons plastifiées.
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8ème Colloque national en calcul des structures
Kaewkulchai G., Williamson E., « Beam element formulation and solution procedure for dynamic progressive collapse analysis », Computer and Structures, vol. 82, p. 639-651, 2004.
Kawai T., « Some considerations on the finite element method », Int. J. for Num. Meth. in Eng.,
vol. 16, n◦ 1, p. 81-120, 1980.
Lin M. C., Gottschalk S., « Collision detection between geometric models : A survey », IMA
Conference on Mathematics of Surfaces, Budapest, p. 37-56, 1998.
Moreau J. J., « Unilateral contact and dry friction in finite freedom dynamics », in , J. J. Moreau,
, P. D. Panagiotopoulos (eds), Non Smooth Mechanics and Applications, vol. 302, CISM
Courses and Lectures, Springer-Verlag, Vienna, p. 1-82, mai , 1988.
Reimeringer M., Hanus J., Woznica K., « Effondrement de structures en béton armé : une approche par éléments discrets », 7ième colloque national en Calcul de Structures, Giens, mai ,
2005.
Toi Y., « Shifted integration technique in one-dimensionnal plastic collapse analysis using linear
and cubic finite elements », Int. J. for Num. Meth. in Eng., vol. 31, n◦ 8, p. 1537-1552, 1991.
t = 0.22 s : plastification des liaisons
t = 0.28 s : rupture des premières liaisons
t = 0.5 s : chute libre d’une partie
t = 0.94 s : contacts avec le sol
t = 1.4 s : contacts entre éléments
t = 5 s : structure résiduelle
Figure 5. Cinématique d’effondrement d’un portique en béton armé