BTS ACSE/GPN/TV Travaux dirigés Étude de la croissance d`une

BTS ACSE/GPN/TV
Travaux dirigés
Étude de la croissance d’une tige de tomate. (D’après un document de biologie)
On mesure l’allongement X de la tige d’une tomate, exprimé en mm/j, en fonction de la température
diurne T, exprimée en °C.
Le tableau suivant fournit le relevé des valeurs du couple de variables statistiques (T, X).
5
1
ti
xi
7
2
10
3
13
6
15
8
18
10
20
11
22
15
25
17
28
20
30
23
1. (a) Quelle est la variable explicative ? Quelle est la variable expliquée ?
(b) Construire le nuage de points représentant cette série statistique double. Que suggère l’examen du
nuage ?
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
b
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
2. En utilisant une calculatrice :
(a) Donner une équation de la droite d’ajustement de X en T, obtenue par la méthode des moindres
carrés.
(b) Construire la droite sur le graphique ci-dessus.
(c) Donner le coefficient de corrélation linéaire r1 entre X et T.
(d) Donner le coefficient de détermination r12 et interpréter ce coefficient.
(e) Avec ce modèle, estimer la croissance d’une tige de tomate soumise à une température de 16,5 °C.
(f) Avec ce modèle, estimer la croissance d’une tige de tomate soumise à une température de 100 °C.
Quelle remarque peut-on faire ?
(g) Donner le domaine de validité du modèle.
3. Le choix des unités, pour le repère dans lequel on construit le nuage de points, n’est pas neutre. Si celles-ci
sont convenablement choisies on constate, dans l’exemple traité, que le nuage est incurvé vers le haut, ce
qui conduit à penser que le modèle linéaire n’est peut-être pas le plus approprié. Mais un choix inadéquat
des unités peut écraser le nuage, masquer cette courbure et induire que le seul modèle pertinent est
l’ajustement affine. Seul le diagramme des résidus va permettre de démasquer cette erreur, en faisant
apparaître que les résidus ont une distribution tendancieuse.
(a) Calculer les écarts résiduels ei = x i − xbi où xbi est la valeur estimée correspondant à t i , calculée en
utilisant l’équation de la droite d’ajustement obtenue à la question 2a
BTS ACSE/GPN/TV
Travaux dirigés
5
1
ti
xi
xbi
ei = x i − xbi
7
2
10
3
13
6
15
8
18
10
20
11
22
15
25
17
28
20
30
23
(b) Représenter les résidus en fonction de la variable explicative T puis de la variable expliquée X.
2
2
b
b
0
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
-2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
-2
(c) Que peut-on dire de la répartition des résidus et de l’ajustement affine ? Quelle remarque peut-on
faire sur les coefficients de corrélation et de détermination entre X et T ?
4. Ajustement exponentiel.
(a) Représenter la série (t i , x i ) dans le repère ci-dessous.
102
101
100
0
2
4
6
(b) On pose z = ln x. Calculer les zi .
ti
5
7
10
zi
ei = zi − zbi
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
13
15
18
20
22
25
28
30
(c) En utilisant une calculatrice : donner une équation de la droite d’ajustement de Z en T, obtenue par
la méthode des moindres carrés.
(d) Calculer les écarts résiduels e0i = zi − zbi où zbi est la valeur estimée correspondant à t i , calculée en
utilisant l’équation de la droite d’ajustement obtenue à la question 4c.
(e) Représenter les résidus en fonction de la variable explicative T. Que peut-on dire de la répartition
des résidus ? L’ajustement affine de la série (t i , zi ) est-il envisageable ?
0.4
0.2
0
-0.2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
-0.4
-0.6
b
BTS ACSE/GPN/TV
Travaux dirigés
5. Ajustement puissance.
(a) Représenter la série (t i , x i ) dans le repère ci-dessous.
102
101
100 0
10
101
(b) On pose u = ln t. Calculer les ui .
ti
5
7
10
ui
zi
0
0,693 1,099
0
ei = zi − zbi
102
103
13
15
18
20
22
25
28
30
1,792
2,079
2,303
2,398
2,708
2,833
2,996
3,135
(c) En utilisant une calculatrice : donner une équation de la droite d’ajustement de Z en U, obtenue par
la méthode des moindres carrés.
(d) Calculer les écarts résiduels e0i = zi − zbi où zbi est la valeur estimée correspondant à ui , calculée en
utilisant l’équation de la droite d’ajustement obtenue à la question 5b.
(e) Représenter les résidus en fonction de la variable explicative U. Que peut-on dire de la répartition
des résidus ? L’ajustement affine de la série (ui , zi ) est-il envisageable ?
(f) Donner les coefficients de corrélation linéaire et de détermination entre les variables statistiques Z
et U. Que peut-on dire de l’ajustement puissance ?
(g) Déduire de l’équation de la droite d’ajustement de Z en U une relation de la forme b
x = f (t) liant b
x
et t. Dans le repère ci-dessous, on a construit la courbe d’équation b
x = f (t) ainsi que le nuage de
points représentant la série (t i , x i ). Comment retrouve-t-on le signe des résidus ?
24
b
22
20
b
18
b
16
b
14
12
b
10
b
8
b
6
b
4
b
2
b
b
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
6. Faire la moyenne des résidus dans chaque cas. Quelle remarque peut-on faire ?