distribution d`echantillonnage

DISTRIBUTION D’ECHANTILLONNAGE
• Le but est d ’étendre à la population entière des constatations
faites sur un échantillon en quantifiant les erreurs commises
On appelle taux de sondage le rapport n/N (n taille de
l ’échantillon, N taille de la population)
• On cherche le type de loi modélisant le mieux la distribution du
caractère observé. En supposant ce type connu on cherche à
attribuer la meilleure valeur pour chacun des paramètres, il s ’agit
alors de méthodes paramétriques offrant plusieurs possibilités:
-proposer pour chacun des paramètres une valeur (estimation
ponctuelle), ou une fourchette de valeurs (estimation par
intervalle de confiance)
-émettre à priori des hypothèses contradictoires sur la valeur
d ’un paramètre et retenir celle qui est la plus cohérente avec les
observations (test paramétrique)
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X VA dont la loi de probabilité dépend d’un paramètre inconnu par
exemple le paramètre ë pour une loi de Poisson
( X 1 , X 2 ,..., X n )
( x1 , x2 ,..., xn )
Estimer
un échantillon de taille n
une réalisation de cet échantillon
c’est lui attribuer une valeur θ̂ fonction de ( x1 , x2 ,..., xn )
θ̂ =f
( x1 , x2 ,..., xn )
Qui est une réalisation de T=f ( X 1 , X 2 ,..., X n )
θ̂
est une estimation ponctuelle de
T est un estimateur de
T est un estimateur sans biais si E(T)=
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Enquêtes par sondage
• Elles sont notamment utilisées en contrôle de production, en
gestion de stocks …
• PB :désigner la population « mère »
choix de la méthode pour l ’échantillon
recherche d ’un compromis entre les objectifs et les
moyens dont on dispose.
• Différents types de sondages
- Sondages aléatoires : utilisation des nombres au hasard ou
tirages systématiques.
-Échantillons empiriques : on impose à l ’échantillon d ’avoir
une structure identique à celle de la population mère
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• Exemple de modélisation : contrôle de qualité
Une machine produit des pièces caractérisées par leur diamètre
Soit X la VA modélisant le diamètre des pièces, posons
E(X)=m et σ( X) = σ
La loi de X est inconnue de même pour m et σ
On désigne par X la VA modélisant de diamètre moyen sur
les échantillons de taille n , une réalisation de X sur un
échantillon de taille n, notée x est considéré comme une
estimation ponctuelle de m. Les différentes moyennes
observées sur tous les échantillons de taille n constituent la
distribution d ’échantillonnage des moyennes.
Sur un échantillon (ω1 , ω 2 ,..., ω n ) , la suite ( x1 , x 2 ,..., x n )
des valeurs prise par X peut être considérée comme une suite
de n VA de même loi que X
n
n
∑i=1 X i
∑i =1 x i est une réalisation de la VA
X=
x=
n
n
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• D ’après le Th Central-limit (n suffisamment grand) X
suit une
σ
N(m,
)
n
Ce résultat permet la mise en œuvre de méthode
paramétrique concernant l ’étude de m (intervalle de
confiance), en utilisant éventuellement une estimation
ponctuelle de σ notée s.
La VA X est un estimateur du paramètre
m
1 n
De même un estimateur σ ² noté S² = n ∑ (X i − X )²
i =1
m
σ
population
x
s
échantillon
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Étude de la moyenne empirique
• Espérance variance
est la VA modélisant la moyenne sur les échantillons
de taille n
E( X ) = m
-Espérance
-Variance
Tirages avec remise
Tirage sans remise
σ²
n
N −n σ ²
V (X ) =
N −1 n
V( X ) =
Dans le cas de tirage avec ou sans remise (n ≥ 30) X
suit approximativement une
σ
N ( m,
n
)
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Variance empirique S²
• S² modélise la variance sur les échantillons de taille n
1 n
S² = ∑ (X i − X )²
n i =1
Tirage avec remise
E (S'²) = σ²
Tirage sans remise
E(S'²) =
N
σ²
N −1
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Fréquence empirique
• Soit p la fréquence d ’individu présentant la modalité M
dans une population de taille N
F modélise la fréquence d ’individus présentant M sur un
échantillon de taille n, dans le cas d ’un tirage sans remise
F suit H(N,n,p)
E(F)=p
V(F)= N − n p(1 − p)
N −1
n
Pour un tirage avec remise
p(1 − p)
E (F) = p
V (F) =
n
p(1 − p)
F → N(p;
)
n
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