Les plus courts chemins

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Trouver le plus court chemin
Une application moderne de la théorie des graphes: le navigateur
GPS.
Comment trouver rapidement le chemin le plus court?
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Plus court chemin dans un graphe
Les carrefours sont les sommets, les routes sont les arêtes.
Comment encoder les distances?
Une fonction de poids sur un graphe (V , E, ψ) est une fonction
E → R. Un graphe pondéré est un graphe muni d’une fonction de
poids.
Ici le poids est typiquement une longueur (toujours ≥ 0).
Le poids ou la longueur d’un parcours est la somme des poids des
arêtes qui le compose.
La distance d(u, v ) est la longueur du plus court chemin de u vers
v.
Ceci généralise la notion de longueur = nombre d’arêtes d’un
parcours.
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Plus court chemin et plus court parcours
Pourquoi le plus court chemin, et non le plus court parcours?
Parce que c’est la même chose!
Théorème: Pour un graphe avec une fonction de poids ≥ 0, si le
plus court parcours entre u et v est de longueur d, alors le plus
court chemin entre u et v est aussi de longueur d.
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Le problème du plus court chemin
Le problème du plus court chemin: étant donnés un graphe et
deux sommets u et v , trouver le chemin le plus court de u vers v .
Solution évidente: essayer tous les chemins! Temps de calcul
énorme. On veut un algorithme plus efficace.
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Dijkstra
Edsger Wybe Dijkstra (1930-2002) trouve une solution efficace en
1959.
Célèbre pour ses aphorismes:
“L’informatique n’est pas plus la
science des ordinateurs que
l’astronomie n’est celle des
télescopes.”
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Un exemple
Idée: on va déterminer, de proche en proche, les distances à
partir de u0 .
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Algorithme de Dijkstra
Etant donné un graphe avec fonction de poids w ≥ 0, on veut
trouver la longueur du plus court chemin entre u0 et t. Par
convention, w(ab) = ∞ si les sommets a et b ne sont pas
adjacents.
On peut supposer le graphe simple, c’est-à-dire sans boucle et
avec au plus une arête entre deux sommets.
Algorithme de Dijkstra:
I
I
Initialisation: `(u0 ) = 0, `(v ) = ∞ pour v 6= u0 , S := u0 ,
u 0 = u0 .
Tant qu’il reste des sommets hors de S:
I
I
I
I
pour chaque v ∈
/ S, `(v ) = min(`(v ), `(u 0 ) + w(u 0 v ))
% MISE A JOUR DE ` ;
trouver vmin ∈
/ S tel que `(vmin ) ≤ `(v ) pour tout v ∈
/ S;
u 0 := vmin ;
S := S ∪ {u 0 }.
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Ca marche!
Théorème: Après chaque MISE A JOUR DE ` dans l’algorithme,
les deux propriétés suivantes sont vérifiées:
I
pour v ∈ S, `(v ) = d(u0 , v ) et le chemin le plus court de u0 à
v reste dans S;
I
pour v ∈
/ S, `(v ) ≥ d(u0 , v ), et `(v ) est la longueur du plus
court chemin de u0 vers v dont tous les noeuds internes sont
dans S.
Ces deux propriétés maintenues à chaque passage de boucle
sont appelées des invariants de boucle.
Corollaire: L’algorithme de Dijkstra est correct.
Si on n’est intéressé que par le plus court chemin de u0 vers un
certain noeud v0 , on peut arrêter l’algorithme quand v0 ∈ S.
On peut modifier l’algorithme pour trouver les plus courts
chemins, et pas seulement leur longueur.
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L’algorithme de Dijkstra est quadratique
Théorème: L’algorithme de Dijkstra sur un graphe se termine en
un temps de l’ordre n2 .
Rappel: Une fonction f (n) est de l’ordre de g(n), noté
f (n) = O(g(n)), s’il existe un réel c > 0 et un entier n0 tels que
|f (n)| ≤ c|g(n)| pour tout n > n0 .
Compter le temps “à une constante près” permet de s’affranchir
des détails de l’implémentation de l’algorithme (du langage, de
l’ordinateur, etc.).
Un temps de n2 , est-ce rapide ou lent?
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L’algorithme de Dijkstra est efficace
Un algorithme qui prend comme donnée un graphe à n noeuds et
m arêtes est dit efficace s’il s’arrête en un temps polynomial,
c’est-à-dire un temps de l’ordre de P(m, n), pour un certain
polynôme P.
L’algorithme de Dijsktra est donc efficace.
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Pourquoi les algorithmes efficaces sont-ils
efficaces?
Pourquoi les temps de calcul polynomiaux sont-ils considérés
comme efficace, et pas les temps de calcul exponentiels, par
exemple?
Supposons qu’un programme, sur un graphe à n noeuds,
s’exécute en un temps de T (n)µs.
T(n)
n
n2
n3
103 n3
2n
3n
n = 10
10 µs
100 µ s
1 ms
1s
1 ms
60 ms
n = 20
20 µs
400 µ s
8 ms
8s
1s
1h
n = 30
30 µs
900 µ s
27 ms
27 s
18 min
6 ans
n = 40
40 µs
1,6 ms
64 ms
64 s
13 jours
3900 siècles
n = 50
50 µs
2,5 ms
125 ms
125 s
36 ans
2.108 siècles
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Applications
Quelques applications:
I
I
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routage de données sur internet;
navigation GPS (pour distance, temps, coût, etc. minimum);
comment faire parvenir un message secret à Obama le plus
vite possible?
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Recherche moderne
Algoritmes adaptifs ou pour des graphes évolutifs
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Graphes dirigés
Comment tenir compte des sens uniques?
Un graphe dirigé est un triplet (V , E, ψ), où
I
V est un ensemble dont les éléments sont appelés sommets
ou noeuds;
I
E est un ensemble dont les éléments sont appelés arêtes;
I
ψ est une fonction, dite fonction d’incidence, qui associe à
chaque arête un couple de sommets.
Les définitions de parcours, chemins, poids se généralisent
aisément. L’algorithme de Dijkstra fonctionne aussi sur les
graphes dirigés.
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Un exemple de graphe dirigé pondéré
Trouver les distances à partir de a: