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Mécanique des fluides Rappels
___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides Rappels ___________________________________ ___________________________________ Jean-Martial Cohard ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ [email protected] ___________________________________ Mécanique des fluides : Plan du cours I- ___________________________________ GENERALITE II- RAPPEL DE STATIQUE 1- Principe fondamentale de la statique 2- efforts sur les parois immergées ___________________________________ III- RAPPEL D’HYDRODYNAMIQUE 1- notion de flux – conservation de la masse 2- équations intrinsèques 3- Relation de Bernoulli 4- Théorème des quantités de mouvement 5- Cas des fluides réelles 6- Notion d’Analyse dimensionnelle ___________________________________ ___________________________________ IV- ECOULEMENT A SURFACE LIBRE – REGIME PERMANENT 1- Introduction 2- Géométrie 3- Formule de Chezy, … V- ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIE 1- Charge spécifique 2- Ligne d’eau 3- Le ressaut hydraulique 4- Passage d’obstacle ___________________________________ ___________________________________ VI- INTRODUCTION AUX ECOULEMENT EN MILIEUX POREUX 1- Loi de Darcy ___________________________________ Mécanique des fluides : Généralités ___________________________________ Qu’est ce qu’un fluide les solides : Agencement cristalin des molécules les gaz : Molécules libres (mouvement brownien) les fluides : État intermédiaire ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Introduction Particule fluide ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Suffisamment grand pour contenir un grand nombre de molécules Suffisamment petit pour qu’on ne puisse distinguer des hétérogénéités. ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Généralités ___________________________________ Effort sur une particule fluide ___________________________________ T S : domaine matériel de masse m ∂S : surface qui délimite S ∂S ___________________________________ ___________________________________ S F = m f; avec f : densité massique d’effort T = S t ; avec t : densité surfacique d’effort ___________________________________ F ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Généralités ___________________________________ Force de pesanteur ___________________________________ P=m.g f=g ez L’énergie potentielle massique associée ep est tel que : ___________________________________ ___________________________________ S dep = -g dl = -g dz ez = g dz Soit : ep = g.z + cte ___________________________________ P ___________________________________ Réciproquement : g = -grad ep = -grad(g.z) ___________________________________ Mécanique des fluides : Généralités ___________________________________ Vecteur contrainte ___________________________________ en Torseur des actions exercées sur A : {dF; dM} dF ___________________________________ dM dA On défini le vecteur contrainte : t (M, en) = dF/dA M A ___________________________________ ___________________________________ Contrainte normale : σn = t . e n Contrainte tangentielle : σt et = t - σn en dF σn.en en σt.et dA M Mécanique des fluides : Généralités Qu’est ce qu’un fluide Application d’une force de cisaillement Comportement des solides ___________________________________ Comportement des liquides ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Déformation + état d’équilibre Déformation … ___________________________________ Mécanique des fluides : Généralités ___________________________________ Qu’est ce qu’un fluide Comportement des fluides et autres …. Plastique de Bingham τxy Plastique τ0 t pen e =μ ___________________________________ ___________________________________ Fluide solidifiant stable ___________________________________ Fluide newtonien ___________________________________ Fluide épaississant ___________________________________ dU/dy Mécanique des fluides : Généralités Compressibilité ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Variables : ρ, P, T Pour un gaz : Loi des gaz parfaits : p/ ρ = R.T/M ; avec R = 8,32 J.K-1.kg –1 Ou équation de Van der Waals : p.M/(ρ.R.T) = 1+ ρ.C(T) + ρ 2.D(T) + … L’air est en général considéré comme un gaz parfait incompressible si U ≤ 100 m.s-1 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ρ = cte Mécanique des fluides : Généralités Compressibilité ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Pour un liquide : (ρ - ρ 0)/ ρ 0 = - β.(T-T0) + χ.(p - p0) Avec β est le coefficient de dilatation et χ, le coefficient de compressibilité - χ dp = dρ/ ρ0 ≈ 0 Pour l’eau : β = 1/5000 °K-1; χ = 1/22400 bar –1 (5. 10-10 Pa-1) Pourtant les ondes se propagent (coup de bélier, chant des baleines …) à la vitesse c tel que : ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ c2 = (∂p/ ∂ρ)T=cte Mécanique des fluides : Généralités Compressibilité ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Air Coef. De compressibilité 1,00E-05 Célérité du son c (m/s) 330 eau 5E-10 1420 Nombre de Mach : Ma = U/c Fluide incompressible pour Ma << 1 Dans le cadre de ce cours on supposera l’eau et l’air comme des fluides incompressibles : ρair = 1,3 kg/m3 ρeau = 103 kg/m3 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Généralités ___________________________________ Notion de Pression ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Contrainte normale résultant des chocs des molécules sur les parois. L’intensité de cette contrainte est caractérisée par un scalaire : la pression ___________________________________ ___________________________________ - Défini en chaque point du fluide - C’est une grandeur locale - Fluide en mouvement ou pas - Besoin d’une surface pour être révélée ___________________________________ Mécanique des fluides : Généralités ___________________________________ Force de Pression ___________________________________ en dF = - p en dA σn = - p P ___________________________________ dM dA en est la normale sortante M La pression s’exprime en N. m -2 = kg.s-2.m –1 A dF ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ F = ∫A - p en dA ___________________________________ Mécanique des fluides : Généralités ___________________________________ Conversion des unités de Pression ___________________________________ Pa bar mm CE mm Hg atm Pascal 1,00E+00 1,00E-05 1,02E-01 7,50E-03 9,87E-06 bar 1,00E+05 1,00E+00 1,02E+04 7,50E+02 9,87E-01 9,68E-05 mm C.E. 9,81E+00 9,81E-05 1,00E+00 7,35E-02 mmHg = torr 1,33E+02 1,33E-03 1,36E+01 1,00E+00 1,32E-03 Atmosphère 1,01E+05 1,01E+00 4 7,60E+02 1,00E+00 1,033.10 Pabs est la pression absolue Peff est la pression effective mesurée par rapport à la pression atmosphérique (Patm) ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Viscosité Fluide réel z u(z) ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Généralités Fluide parfait ___________________________________ z u(z) ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ≠ de gaz parfait Pour un fluide réel en mouvement, il y a glissement et frottement entre le fluide et les parois solides mais également glissement et frottement entre les couches de fluide ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Généralités ___________________________________ Viscosité ___________________________________ F Paroi mobile z Pour maintenir la vitesse u0, il faut exercer sur la paroi mobile une force F tel que u0 h ___________________________________ ___________________________________ F = μ u0/h Paroi fixe ___________________________________ μ est la viscosité dynamique Elle s’exprime kg.m-1.s-1, l’unité SI est le poiseuille (Pl) ou le Pa.s ___________________________________ Le travail F*Δl fourni est dissipé en chaleur ___________________________________ Mécanique des fluides : Généralités ___________________________________ Viscosité; fluide Newtonien ___________________________________ z u + du u Le fluide est soumis à une contrainte de cisaillement σt et = dF / dA ___________________________________ ___________________________________ x σt = μ ∂u/∂y ___________________________________ dF Les fluides qui vérifient cette relation linéaire entre la contrainte et le gradient de vitesse sont des fluides newtonien dA ___________________________________ dF ___________________________________ Mécanique des fluides : Généralités ___________________________________ Viscosité ___________________________________ On définit également la viscosité cinématique ν = μ / ρ [poise] ___________________________________ Ordre de grandeur ___________________________________ Masse Viscosité Viscosité volumique (kg/m3) dynamique (kg/(m.s)) dynamique (m2/s) Air 1,29E+00 1,85E-05 1,43E-05 eau 1,00E+03 1,00E-03 1,00E-06 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Statique des fluides ___________________________________ Equation fondamentale de la statique ___________________________________ Etude des fluides au repos; pas de mouvement relatif entre les particules fluide σt = 0 p.dx.dy - (p + dp).dx.dy + ρ.fz.dx.dy.dz = 0 dp/dz - ρ.fz = 0 ___________________________________ (p+dp).dx.dy ∂p/∂z - ρ.fz = 0 ρfz.dV dz ___________________________________ ___________________________________ De même dans les autres directions, il vient grad p - ρ.f = 0 ___________________________________ dy z dx y x p.dx.dy ___________________________________ Mécanique des fluides : Statique des fluides ___________________________________ Propriété du PFS ___________________________________ Si il y a équilibre alors : rot grad p - rot ρ.f = 0 = rot f ___________________________________ Alors il existe une fonction ep tel que : ___________________________________ - grad ep = f ep est l’énergie potentielle ___________________________________ grad p + ρ.grad ep = 0 ___________________________________ Les équipotentielles et les isobares sont confondues Les isobares sont des surfaces d’égale masse volumique Les isobares sont aussi des surfaces isothermes ___________________________________ Mécanique des fluides : Statique des fluides ___________________________________ Cas de la pesanteur : loi de l’hydrostatique ___________________________________ Le fluide a une masse volumique uniforme Le seul champ de force est le champ de pesanteur f = g = - grad(g.z) ___________________________________ Léquation de la statique devient grad(p + ρ.g.z) = 0 ___________________________________ L’équation de l’hydrostatique s’écrit ___________________________________ p + ρ.g.z = cte = pg ___________________________________ pg est la pression motrice ___________________________________ Mécanique des fluides : Statique des fluides ___________________________________ loi de l’hydrostatique p + ρ.g.z = cte = pg ___________________________________ z A * La différence de pression Δp entre 2 points A et B ne dépend que de la différence d’altitude Δz = zB – zA zA Δp = - ρ.g. Δz ___________________________________ B zB F f S * Principe de Pascal : les fluides transmettent la pression zB = zA Î pB = pA A ___________________________________ B s zB zA ___________________________________ ___________________________________ F/S = f/s ___________________________________ Mécanique des fluides : Statique des fluides ___________________________________ loi de l’hydrostatique p + ρ.g.z = cte = pg Patm ___________________________________ z * La pression augmente linéairement avec l’altitude P(z) ___________________________________ ___________________________________ Patm * Pour une surface libre p = patm . C’est une surface isobare ⊥ à g et plus généralement ⊥ à l’accélération locale g Fluide au repos U Patm a g Fluide en écoulement : U = cte ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Statique des fluides ___________________________________ Force de pression z dF = - p en dA avec p(zA) + ρ.g.zA = patm +ρ.g.zh zh zA p(zA) = patm +ρ.g.(zh – zA) = cte Patm P(z) F A z=0 F = ∫A - p en dA = - p (zA) z ∫A dA = - p (zA) z A ___________________________________ z z=0 zA p(z) = patm - ρ.g. z F = ∫A - p en dA = - x ∫A p (z) dA = - (A.patm – 0,5.ρ.g.l.(zA2-zB2)).x Patm x P(z) A zB ___________________________________ ___________________________________ Pression effective ___________________________________ On défini la pression effective : peff = p – patm Elle est plus simple à mesurer ___________________________________ On peut quasiment toujours travailler avec la pression effective plutôt qu’avec la pression réelle p car la pression atmosphérique est quasiment toujours présente ___________________________________ z Patm A ___________________________________ F Mécanique des fluides : Statique des fluides x ___________________________________ ___________________________________ dF = - p en dA avec p(z) + ρ.g.z = patm ; vrai pour z <0 z=0 ___________________________________ ___________________________________ dF due à patm ___________________________________ dF due à peff ___________________________________ Mécanique des fluides : Statique des fluides ___________________________________ Centre de poussée ___________________________________ Le centre de poussé est le point C tel que le moment des forces de pression en C est nul ___________________________________ Mc = ∫A CM ^ dF = 0 Mc = ∫A CM ^ - p en dA = 0 ___________________________________ CM ^ dF = (z-zC) z ^ -p.x.dA = -p.(z-zC).y.dA Mc = ∫A -(-ρ.g. z ).(z-zC).y.dA = 0 Î Î Î ___________________________________ z peff(z) = - ρ.g.z ∫z (z2- z.zC).dz = 0 [z3/3 – zc.z2/2]AB = 0 zC = zA+2.(zB- zA)/3 z=0 zA zC zB Patm x P(z) A C ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Notion de flux La quantité B convectée pendant dt par l’écoulement à travers la surface dA est contenue dans un cylindre dV de base dA et de hauteur : u.dt.cos(u.en) = u.en dt Soit dV = u.en dt.dA La quantité transportée par unité de temps est appelée flux de B à travers dA dΦB = ρ.b. u.en dt.dA où b est la densité massique de B ___________________________________ F ___________________________________ A u ___________________________________ dA en M ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Notion de flux ___________________________________ A Débit masse : b = 1 dqm = ρ. u.en.dA ___________________________________ dA u en Si u = cte sur A et ⊥ à A alors qm = ρ. U.A ___________________________________ M ___________________________________ Flux de quantité de mouvement b=u ___________________________________ dΦqdm = ρ.u. u.en.dA = u.dqm dΦ qdm s’exprime en N/m2 ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Vitesse particulaire Ecoulement permanent non-uniforme : accélération convective Ecoulement uniforme non-permanent : accélération locale ds = u.dt M u ___________________________________ ds = u.dt u+du u t N u+du t+dt u t u M ___________________________________ N u+du t+dt ___________________________________ u+du ___________________________________ du = ∂u/∂t. dt + ∂u/∂s. ds ___________________________________ as = du/dt = ∂u/∂t + ∂u/∂s.ds/dt = ∂u/∂t + u.∂u/∂s ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Conservation de la masse ___________________________________ dqm(x) = ρ. u(x).dy.dz dqm(x+dx) = ρ. u(x+dx).dy.dz Dans la direction x la variation de masse pendant le temps dt est : ∂m/∂t = ∂(ρ.dV)/∂t =dV. ∂ρ/∂t = - ∂(ρ.u )/∂x.dx.dy.dz = - ∂(ρ.u)/∂x .dV ρ.dV u(x+dx) dz ___________________________________ ___________________________________ u(x) dy z dx y ___________________________________ x ___________________________________ De même dans les autres directions ∂ρ/∂t = - div (ρ.u) ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Conservation de la masse ___________________________________ Pour un écoulement permanent : ∂ρ/∂t = 0 = div (ρ.u) Pour un fluide incompressible : ρ = cte ___________________________________ u2 A2 div u = 0 Cas d’un tube de courant ∫A1 ρ.u1.e1 dA = ∫A2 ρ.u2.e2 dA = cte ___________________________________ e2 ___________________________________ z ___________________________________ u1 e1 x A1 ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Dynamique des fluides parfaits ___________________________________ Pas de viscosité ν=μ=0 Fluide parfait ___________________________________ Fluide réel z z u(z) ___________________________________ u(z) ___________________________________ ___________________________________ C’est une bonne approximation tant que l’on ne s’intéresse pas à ce qui se passe à proximité d’une paroi, d’un sillage, d’une zone de mélange … ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Équation d’Euler ___________________________________ (p+dp).dx.dy Le principe fondamentale de la dynamique pour un fluide parfait s’écrit : ρ du/dt = - grad p + ρ.f ux(t) dz ρ (∂u/∂t + u.grad u) = - grad p + ρ.f ρfz.dV dy z dx y Pour f = - grad (gz) p.dx.dy x ρ du/dt = - grad pg ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ L’équation d'Euler est une équation différentielle du premier ordre une seule condition à la limite est nécessaire : la condition d’imperméabilité aux frontières de l’écoulement. ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Equations dynamiques intrinsèques R : rayon de courbure C : centre de courbure et u = u et ___________________________________ du/dt = du/dt et + = -ρ-1 grad pg u2/R en trajectoire s0 en s eb et u(s) Il vient ∂u/∂t + u. ∂u/∂s = -ρ-1 ∂ pg /∂s équation tangentielle u2/R = -ρ-1 ∂ pg /∂r ___________________________________ ___________________________________ Conséquence de l’équation normale ρ.u2/R = - ∂ pg /∂r R pg Ê rivière ___________________________________ R=∝ ___________________________________ Æ ∂ pg /∂r = 0 Æ pas de variation de pression +++ --Æ arrachement , creusement ___________________________________ équation normale Mécanique des fluides : Hydrodynamique u(s) ___________________________________ ___________________________________ = ∂u/∂t + u.grad u pg Ê ___________________________________ patm patm ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Relation de Bernoulli u.grad u = ___________________________________ u ∂u/∂x + v ∂u/∂y + w ∂u/∂z u ∂v/∂x + v ∂v/∂y + w ∂v/∂z = grad(u2/2) – (rot u)^u u ∂w/∂x + v ∂w/∂y + w ∂w/∂z ___________________________________ ρ (∂u/∂t + grad(u2/2) – (rot u)^u) + grad (p + ρ.g.z) = 0 ___________________________________ Pour un écoulement irrotationnel : rot u = 0 ___________________________________ Sur une ligne de courant : (rot u)^u).ds = (u^ds).rot u = 0 ___________________________________ Il vient alors : ρ.∂u/∂t + grad(ρ u2/2 + p + ρ.g.z) = 0 ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Relation de Bernoulli ___________________________________ Pour un écoulement permanent : ∂u/∂t = 0 M2 En intégrant l’équation précédente : ρ u2/2 + p + ρ.g.z = Cte Ec M1 Ep ρ u12/2 + p1 + ρ.g.z1 = ρ u22/2 + p2 + ρ.g.z2 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Ec + Ep = Et = Cte Conservation de l’énergie totale Mécanique des fluides : Hydrodynamique Hypothèse de la relation de Bernoulli ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ρ u2/2 + p + ρ.g.z = Cte Fluide parfait Fluide incompressible écoulement permanent Écoulement irrotationnel ou sur une ligne de courant Écoulement dans le champs de pesanteur f = ρ.g Mécanique des fluides : Hydrodynamique Ligne de charge, ligne piezométrique ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Plan de charge U2/2.g Ligne piézométrique p/ρ.g ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ H z ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Cas des écoulements en conduite de fluides réelles Ecoulement laminaire r ___________________________________ ___________________________________ u(r) - Les lignes de courant sont rectilignes - Vitesse relative nulle à la paroi - u ne dépend que de r - u(r) = 2.Ud.(1-(r/R)2) - Q = ∫Su.en.dS - Ud = Q/S = Q/πR2 - Ud est la vitesse débitante - Umax = 2.Ud D=2R ___________________________________ ___________________________________ 4Ud 2Ud Ud ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Cas des écoulements en conduite de fluides réelles Ecoulement turbulent r ___________________________________ ___________________________________ umoy(r) D=2R ___________________________________ - Les lignes de courant se mélangent - Vitesse relative nulle à la paroi - Ud = Q/S = Q/πR2 - Ud est la vitesse débitante - Umax = α.Ud ; avec α ≈ 1,05 - En pratique, les écoulements en conduite sont turbulents, on prendra α = 1 Ud ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Que devient la relation de Bernoulli ρ grad(u2/2) = - grad p + ρ.f + force de frottement Profil de vitesse non uniforme dans la section ρ.α.u2/2 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ viscosité ___________________________________ + p + ρ.g.z + Δpperte = Cte ___________________________________ S2 ___________________________________ Pour un écoulement turbulent : ρ u12/2 + p1 + ρ.g.z1 = ρ u22/2 + p2 + ρ.g.z2 + Δpperte S1 ___________________________________ Convection Thermique ___________________________________ Nombre de REYNOLDS ___________________________________ Re = ρ×V × D μ ρ v D μ [kg/m 3], : masse volumique du fluide : vitesse moyenne du fluide [m/s], : plus petite dimension géométrique du problème [m], : viscosité dynamique du fluide [Pa.s]. ___________________________________ ___________________________________ Rapport entre les force d’inertie et les force de frottement : Re petit : frottement prépondérant Re grand : inertie prépondérante ___________________________________ ___________________________________ laminaire critique turbulent laminaire ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique Conservation de la quantité de mouvement en ∂D ___________________________________ d(m.u)/dt = d (∫D ρ.u.dv) /dt = (∫D ∂ (ρ.u)/∂t dv + ∫D ρ.u.grad u .dv = (∫D ∂ (ρ.u)/∂t dv + ∫∂D ρ.u.u.en.ds D ___________________________________ = Σ Fext→D ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Pour un écoulement permanent : ___________________________________ ∫∂D ρ.u.u.en.ds = Σ Fext→D ∫∂D ρ.u.u.en.ds est le flux de quantité de mouvement à travers dD ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique Conservation de la quantité de mouvement Ex : écoulement à débit constant dans un tuyau horizontal ud Q = ud.S e1 D S P1 e2 ud P2 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ e3 ∫∂D ρ.u.u.en.ds = Σ Fext→D Mécanique des fluides : Hydrodynamique Analyse dimensionnelle ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Soit un système physique Φ décrit par n paramètres physique gi dimensionnels (grandeurs physiques) Φ(g1, g2 ,.... , gn) = 0 Soit p le nombre de grandeurs fondamentales (m, t, T°, L) Alors le problème peut s’exprimer en fonction de n-p variables sans dimension Gj de la forme : F(G1, G2 ,.... , Gn-p) avec Gj = g1α1. g2α2 ..... gnαn Mécanique des fluides : Hydrodynamique Analyse dimensionnelle Ex : traînée d’une pile de pont U F = g( 0 = Φ (F, n= D F ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ p= ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Hydrodynamique ___________________________________ Cf = f(Re) ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Re = U = 1m/s; D = 2m; μ = 10-3 Pl Cf = F= ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Définition ___________________________________ Patm P Écoulement en charge La section de l’écoulement est celle de la conduite ___________________________________ Écoulement à surface libre Il existe une surface de séparation entre le liquide et l’air ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ La section de passage dépend du débit ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ exemples ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ doc.Ph.Bois ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Distribution des vitesses Frottement à la surface z ___________________________________ z u(y) y u(z) ___________________________________ ___________________________________ Frottement au fond du canal Frottement sur les parois u(y) y ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Géométrie ___________________________________ Section mouillée S : χ section de l’écoulement moyen limitée par les parois et la surface libre S Périmètre mouillé χ : Contour mouillé (sans la surface libre) ; zone de frottement solide Rayon hydraulique : ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ RH = section mouillée / périmètre mouillé = S/χ DH = 4 * RH ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Géométrie cas du canal rectangulaire ___________________________________ y S= Χ= RH = DH = b y ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Que devient RH si y << b ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Géométrie ___________________________________ z ___________________________________ u(z) ___________________________________ θ Pente de fond : i = sinθ ≈ θ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre Nombre de Froude ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Paramètre adimensionnel caractéristique des écoulement à surface libre ___________________________________ Fr = U/√(gh) ___________________________________ Rapport entre énergie cinétique et énergie potentielle Ec / Ep = 0,5*m*U2 / ∫ρgz dv = 0,5.ρ.V.U2/0,5.ρ.g.h2.S = Fr2 Si Fr > 1 Î Ec > Ep Î Régime torentiel Si Fr < 1 Ec < Ep Î Régime fluvial Si Fr = 1 Î Régime critique ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Propagation des ondes ___________________________________ V=0 Les ronds dans l’eau C+ = + gh ___________________________________ C- = - gh X0 V =0 V < gh ___________________________________ V > point d’impact gh ___________________________________ point d’impact V Les ondes peuvent remonter le courant V ___________________________________ Les ondes ne peuvent pas remonter le courant ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Ecoulement Uniforme et permanent ___________________________________ Ecoulement uniforme : la section mouillée reste constante le long de l’écoulement. Ecoulement permanent : ∂./∂t = 0. Exemple : pour un canal prismatique de grande longueur. S(x) = Cte Î h = Cte Î Ligne de ch arge z La surface libre est alors un plan parallèle au fond de pente i, u(z) U = Cte Î la ligne de charge // au fond ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ θ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Formule de CHEZY (1775) y τair y l b U S g.sinθ ___________________________________ ___________________________________ θ τparoi g ___________________________________ Force motrice : ρ.V.g.sinθ = ρ.l.S.g.sinθ Force résistante : - τparoi .χ.l = 0,5.ρ.Cf.U2.χ.l (frottement) - τair .b.l = 0,5.ρ.C’f.U2.b.l ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Formule de CHEZY U = Cte Î ΣF = 0 ___________________________________ ρ.l.S.g.sinθ = 0,5.ρ.Cf.U2.χ.l + 0,5.ρ.C’f.U2.b.l ___________________________________ U2 = 2.g/(Cf+C’f.b/χ).S/χ.i ___________________________________ On appelle C, coefficient de Chezy : C= Alors : 2g Cf + C'f b χ U = C RHi ___________________________________ [C] = m1/2.T-1 ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Formule de CHEZY ___________________________________ U = C RHi En général C’f.b/χ << Cf Î C= ___________________________________ 2g Cf ___________________________________ 30 < C < 100 (MKS) ___________________________________ Cf grand Î frottement grand Î C petit ___________________________________ Cf grand Î frottement petit Î C grand ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Débitance d’un canal ___________________________________ U = C RHi ( Q = U.S = S.C RHi = S.C RH ) ___________________________________ i ___________________________________ Par définition la débitance K d’un canal est : K = S.C.√RH ___________________________________ Alors : Q = K. √i ___________________________________ K dépend de la géométrie par S et RH et par la nature des parois par Cf K ne dépend pas de la profondeur d’eau !!! ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Coefficient de frottement En général Re est grand Î régime turbulent rugueux Î Cf = Cte y u(y) ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Profil externe : U = yα ___________________________________ Profil logarythmique : U = a.lny + b a ≈ 1/κ ≈ 2,5; b ≈ 5 Sous couche visqueuse, Profil linéaire : U = y.τparoi/μ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Bazin, Manning, … Dans la littérature les formules empiriques abondent … Formule de Bazin C= 87 1+ γ Formule de Manning (Strickler) η ou Ks caractérise la nature des parois (cf table) γ caractérise la nature des parois (cf table) RH C= 1 η ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 1/6 RH 1/6 = K sRH ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Exemple : canal trapézoïdal ___________________________________ l = 4m Berge revétu de béton Pente de fond : i = 0,3m/km h = 1,6 m h ___________________________________ ___________________________________ l Calculer la débitance du canal, la vitesse et le débit pour un écoulement uniforme S= RH = Bazin : γ = 0,16 K= Q= 45° χ= ___________________________________ C= ___________________________________ U= Tracer la courbe de tarage Q(h) de ce canal ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Exemple : canal trapézoïdal Q m3/s ___________________________________ 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 0,00 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 1,00 h (m) 2,00 3,00 4,00 ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Ecoulement graduellement varié Hypothèses : les lignes de courant sont rectilignes (localement) Î la hauteur d’eau n’est pas constante Î répartition hydrostatique de la pression dans une section Î les profils de vitesse sont identique à ceux de l’écoulement uniforme ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ y ___________________________________ U P(y) ___________________________________ θ x ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre Ligne de charge, ligne d’eau, … y ___________________________________ Ligne de charge U2/2g U ___________________________________ j h(x) Patm = 0 dh/dx = ? θ=i z(x) En x la charge est définie par : H = p/ρg + z + U2/2g = h(x) + z(x) + U2/2g ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Charge Spécifique La cote du fond étant donnée, il est plus simple d’étudier la charge comptée à partir du fond, c’est ce qu’on appelle la charge spécifique Hs: H = Hs + z Hs = h(x) + U2/2g = h(x) + Q2/(2gS2) Ep ___________________________________ ___________________________________ dHs/dh = 1 + d(Q2/(2gS2) )/dh = 1 - Q2/(gS3) dS/dh = 1 - Fr2 h ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Charge Spécifique ___________________________________ Hs L h = hm S hm = S/L dS = L.dh ___________________________________ ___________________________________ Ec Hs dHs/dh = 0 = 1 + Q2/(gS3) dS/dh ___________________________________ hc = [Q2/(gL2)]1/3 ___________________________________ Hs(hc) = 3.hc/2 ___________________________________ ___________________________________ Hc h Î Q2L/(gS3) = U2/ghc = Fr2 = 1 ___________________________________ hc Hs(h) atteint un minimum pour h = hc hc est appelée hauteur critique ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Fonction du débit, de la section ___________________________________ Hs = h(x) + Q2/(2gS2) ___________________________________ QÊ Hs Hs LÌ ___________________________________ ___________________________________ Hc ___________________________________ Hc h h hc hc ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Exemple : Passage d’un seuil ___________________________________ Hs + zf = H0 = Cte zf Ê Î Hs Ì Q hn ___________________________________ Hs hn A ___________________________________ Régime fluvial : h diminue B Q C hc A D C hn Q ___________________________________ Hc Régime torrentiel : h augmente D ___________________________________ B hc h hc ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Fonction du débit, de la section ___________________________________ Hs = h(x) + Q2/(2gS2) Q = S.[2.g.(Hs - h(x))]1/2 h Rég im Hs e flu vial Ré ___________________________________ Pour une section donnée, le débit est maximum pour h = hc hc = 3Hs/2 Hc ___________________________________ l tie ren tor e gim ___________________________________ ___________________________________ Q Qmax ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre y Lign e de charg U2/2g U ___________________________________ ligne d’eau e ___________________________________ H = z + p/ρg + U2/2g j ___________________________________ = z(x) + h(x) + U2/2g On à donc entre 2 sections : y(x) ___________________________________ dH/dx = dz/dx + dy/dx + d(U2/2g)/dx i z(x) ___________________________________ -j = -i + dHs/dx Or dHs/dx = dHs/dh . dh/dx Pente de fond : i = - dz/dx Perte de charge : j = - dH/dx ___________________________________ = (1 - Fr2).dh/dx Î dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2) ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ ligne d’eau ___________________________________ dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2) ___________________________________ Profil de vitesse identique à ceux de l’écoulement uniforme Î j = Q2/(S2.C2.RH) = Q2/(S2.Ks2.RH4/3) S ___________________________________ dh/dx = (i - Q2/(S2.Ks2.RH4/3))/(1 - Fr2) ___________________________________ h L S Pour la section rectangulaire : ___________________________________ dh/dx = (i - Q2/(L2.h2.Ks2.h4/3))/(1 - Fr2) Équation différentielle en h ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Profondeur normale, pente critique, … ___________________________________ dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2) Si h=cte = hnÎ dh/dx = 0 Î i = j (hn est la profondeur normale) on retrouve le cas de l’écoulement uniforme i = Q2/(S2.Ks2.RH4/3) ___________________________________ ic = gS/(L.Ks2.RH4/3) ___________________________________ ___________________________________ Pente critique ic: i tel que h = hc ic = Q2/(S2.Ks2.RH4/3) Fr2 = 1 = Q2L/(gS3) i < ic (hn > hc) : canal de pente faible y Ligne de ch arge U h(x) i > ic (hn < hc) : canal de pente forte hc i y ___________________________________ Ligne de ch arge U h(x) hc i ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre Cas fluvial y Lign e de dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2) charg e ___________________________________ Cas torrentiel ligne d’eau Lign e de y charg ___________________________________ e j U U Il faut traiter les cas Fr < 1 et Fr > 1 Cas fluvial et torrentiel hc h(x) i h(x) z(x) Ligne de charge Mais aussi i < j et i > j j U ___________________________________ i z(x) y j hc j ___________________________________ hc U hc h(x) ___________________________________ Ligne de charge y ___________________________________ h(x) i i z(x) z(x) ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ ligne d’eau : canal de faible pente ___________________________________ dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2) h 0 hc - - 1 - F2 - 0 + dh/dx + ∝ - 0 0 hn > hc ∝ hn i-j + i + 1 + i ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ y ___________________________________ M1 Q M2 M3 hn hc θ=i ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ ligne d’eau : canal de faible pente ___________________________________ Exemples y M1 Q hn hc ___________________________________ ___________________________________ θ=i ___________________________________ y M2 Q M3 hn hc ___________________________________ S2 h’n θ=i ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ ligne d’eau : canal de forte pente ___________________________________ dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2) h 0 i-j hn - 1 - F2 - dh/dx + 0 0 + hn < hc ∝ hc + i - 0 + 1 - ∝ + i ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ y S1 Q S2 S3 ___________________________________ hc hn θ=i ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ ligne d’eau : canal de forte pente ___________________________________ Exemples y ___________________________________ hc S3 hn Q ___________________________________ θ=i ___________________________________ y S1 Q ___________________________________ hc hn S2 θ=i ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Le ressaut ___________________________________ Hs B Le régime fluvial ou torrentiel ne dépend que d’une seule condition à la limite (éq. diff. Du 1er ordre). Si au 2 extrémités d’un canal les conditions sont incompatibles alors il y aura un changement de régime. A Hc ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ h hc ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Le ressaut : passage fluvial Î torrentiel Exemple : cas d’un changement de pente Hs A hc B A Q M2 ___________________________________ ___________________________________ hn S2 ___________________________________ B h’n Hc h ___________________________________ ___________________________________ hc La profondeur h(x) diminue. L’écoulement étant convergent, il n’y à pas de perte de charge. ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Le ressaut : passage torrentiel Î fluvial ___________________________________ Hs B h’n ΔH A A hn B M3 Q hc ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Hc h hc La profondeur h(x) augmente. L’écoulement diverge, Î apparition d’une très grande de perte de charge. Le ressaut est un écoulement très fortement varié ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Equation du ressaut ___________________________________ h’n hn ___________________________________ hc Q M3 S1 ___________________________________ S2 Application de la conservation de la quantité de mouvement entre les sections S1 et S2 forces de pesanteur négligeables hypothèse de fluide parfait (frottements au fond négligés) ___________________________________ Equation du ressaut h’n ___________________________________ hc Q M3 ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre hn ___________________________________ ___________________________________ S1 S2 ___________________________________ ρ.Q.Q/S2 - ρ.Q.Q/S1 = ρ.g.h1.S1/2 - ρ.g.h2.S2/2 ___________________________________ pour une section rectangulaire S = L.h Q2/g.L2 (h2-1 – h1-1) = 0,5.(h1 – h2) Après calcul, en notant que hc3 = Q2/g.L2 ___________________________________ : ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Perte de charge du ressaut ___________________________________ h’n hn Q M3 ___________________________________ hc S1 ___________________________________ S2 Application de la conservation de l’énergie (relation de bernoulli) entre les sections S1 et S2 forces de pesanteur négligeables prise en compte d’une perte de charge singulière pas de perte de charge régulière pente de fond négligeable entre S1 et S2 ___________________________________ Perte de charge du ressaut h’n Q M3 S1 ___________________________________ hc ___________________________________ S2 ___________________________________ ρ.g.h1+ 0,5.ρ.(Q/S1 = ρ.g.h2 + 0,5.ρ.(Q/S2 + ΔH )2 pour une section rectangulaire S = L.h ΔH = (h1 – h2).[1 – (Q2/2.g.L2).(h2 )2 + h1).(h1.h2)-2] Après calcul, en notant que 2.hc = h1.h2.(h1+h2) : 3 ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre hn ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Localisation du ressaut Le ressaut se fixe de telle sorte que h1 (amont) et h2 (aval) soient conjuguées, c.a.d. qu’ils vérifient tous les deux l’équation du ressaut. ___________________________________ ___________________________________ Si on suppose que le ressaut a une longueur nulle (idéal), alors il se place à l’intersection de : - la courbe fluviale et de la conjuguée torrentielle - la courbe torrentielle et de la conjuguée fluviale ___________________________________ ___________________________________ Conjuguée de la torrentielle h’n ___________________________________ hc hn M3 Conjuguée de la fluviale Q S1 S2 ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Le ressaut ___________________________________ le jet du robinet dans l'évier divergent: le débit par u. de largeur diminue ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Transition réservoir canal A h Hs B Q Hs hn hc A Rég im Régime permanent e flu vial B hc = 3Hs/2 ___________________________________ C ___________________________________ B’ Hs B’ S2 A hc Q ___________________________________ l tie en orr et m i g Ré Hc A ___________________________________ Qmax Q ___________________________________ hn ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Transition réservoir canal ___________________________________ Hs hn M1 ___________________________________ M2 hc Q ___________________________________ ___________________________________ Hs hc ___________________________________ Q hn ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Franchissement d’un ouvrage : section contractée ___________________________________ Q Section contractée B A ___________________________________ Hs B’ En régime fluvial B ___________________________________ A A’ - abaissement de la ligne d’eau entre A et B - accélération - érosion ! ___________________________________ Hc En régime torentiel Section naturelle - élèvation de la ligne d’eau entre A et B ___________________________________ h hc ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Franchissement d’un ouvrage : section contractée Section contractée ___________________________________ B ___________________________________ Hs Q C D B’ A A’ ___________________________________ Hc Section naturelle Il faut prendre en charge les pertes de charge singulières ___________________________________ h hc Au niveau du convergent : (en C) ΔH convergent = K con Au niveau du divergent : (en D) ΔH divergent = K div (Vcon − Vam ) 2g (Vcon − Vav ) 2g 2 ___________________________________ K con ≈ 0 2 K div ≈ 1 ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre Franchissement d’un ouvrage : section contractée, endiguement hc ___________________________________ ___________________________________ A h’c B B’ Q hn C C’ ___________________________________ ___________________________________ Hs Tracer les position relative de h’n et h’c ___________________________________ Placer les points A, B, C, D sur le graphe Hs, h et tracer les lignes de remous ___________________________________ Hc Section naturelle h hc ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre Franchissement d’un ouvrage : section contractée, étranglement hc A B’ B Q ___________________________________ h’c C ___________________________________ hn C’ M3 D ___________________________________ ___________________________________ Hs ___________________________________ ___________________________________ D Hc Section naturelle hc h ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Les seuils ou déversoir ___________________________________ Les seuils servent à mesurer ou à réguler le débit ou encore à contrôler les niveaux d’eau ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Le débit dépend de l’excès de hauteur par rapport au niveau du seuil H h= hc= 2/3 H H Q Canal ___________________________________ Bassin ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Les seuils ou déversoir En régime dénoyé : ___________________________________ h= hc= 2/3 H Q = ghc α Bhc H Q ___________________________________ 2 hc = H 3 ___________________________________ En régime noyé : ( ) ΔH noyé ≅ y amont − y aval = K (y amont − y aval ) ___________________________________ V2 2g H Q Qnoyé 1 ⎛ ⎜ =K 2 g ⎜ α B y amont − y seuil ⎝ ( ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ___________________________________ 2 ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Les seuils ou déversoir ___________________________________ En régime dénoyé : ( h ( = 0, 4 + 0, 05 Qdénoyé = K s Ls 2 g hamont − hseuil Ks amont − hseuil hseuil ( Ls = L − 0, 2 hamont − hseuil ) ) 3 2 ___________________________________ ___________________________________ ) ___________________________________ Pour un déversoir triangulaire à 90° : ( Qdénoyé = 2,50 hamont − hseuil ) 2,5 ___________________________________ En régime noyé : ( Qnoyé = K s Ls 2 g y amont − y seuil )( y amont − y aval ) 1 2 ___________________________________ Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre ___________________________________ Les seuils ou déversoir hn 1 - Calculer la hauteur de seuil maximal Zfmax en dessous de laquelle on retrouvera un écoulement fluvial à la sortie du seuil. 2 - Que se passe t’il si Zfmax est supérieur à H0Hs(hc) ? montrer que l’écoulement passe d’un régime fluvial à un régime torrentiel en dérivant 2 fois H0 par rapport à x. 3 - Le canal précédent rencontre un seuil de hauteur 0,5 m. Calculer la hauteur h0 nécessaire à l’amont pour que l’écoulement franchissent le seuil ainsi que la hauteur h1 à la sortie du seuil. 4 - La pente du canal étant identique à l’amont et à l’aval l’écoulement va donc retrouver la hauteur hn = 2 m. Pour cela un ressaut hydraulique va apparaître en aval du ressaut. Faire un schéma représentant la ligne d’eau de cet écoulement au passage du seuil et du ressaut. 5 - Calculer la perte de charge au passage du ressaut. A B Q hc ___________________________________ ___________________________________ Hs ___________________________________ A ___________________________________ B ___________________________________ Hc h hc
