Poly de cours - GIPSA-Lab

- Module M3 Calcul intégral et Equations différentielles
Cléo BARAS, [email protected]
IUT1 - Grenoble
Département Réseaux et Télécommunications
DUT - 1ère année
Année universitaire 2009-2010
Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/GTR/mathM3/index.asp
Table des matières
Table des matières
1
2
3
Calcul intégral
1.1 Primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.1
Condition d’existence d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.2
DES primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.1
Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.2
Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Intégrales (propres) de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Intégrales (propres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.2
Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.3
Interprétation au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Applications de l’intégration à la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Fonctions intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Propriétés de l’intégrale propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Techniques d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.1
T ECHNIQUE 1 : Rechercher une primitive F de f puis calculer F (b) − F (a)
1.2.5.2
T ECHNIQUE 2 : l’Intégration Par Partie (IPP) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.3
T ECHNIQUE 3 : le Changement de Variable (CV) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Intégrales (impropres) généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.2
Intégrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Calcul d’intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.1
Méthodologie pour le calcul d’intégrales impropres . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.2
Conditions d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.3
Intégrales impropres usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.4
Calcul d’une intégrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12
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13
13
14
15
Équations différentielles
2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Résoudre une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Ordre d’une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Équations différentielles du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 ED du 1er ordre à variables séparables/séparées . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.2
Méthodologie 1 : Résoudre une ED du 1er ordre à coeffs séparés
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4
Table des matières
2.2.3
2.3
ED linéaire du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.2
Méthodologie 2 : Résoudre une ED linéaire du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Cas particulier des ED linéaires du 1er ordre : ED linéaire du 1er ordre à coefficients
constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4.2
Méthodologie 3 : Résoudre une ED linéaire du 1er ordre à coeffs constants . . .
2.2.5 ED affine du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5.1
Méthodologie 4 : Résoudre une ED affine du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5.2
Trouver une solution particulière de l’ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Des conditions initiales à une solution unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équation différentielle du 2ème ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 ED linéaire du 2ème ordre à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2.2
Méthodologie 6 : Résoudre une ED linéaire du 2ème ordre à coeffs constants .
2.3.3 ED affine du 2ème ordre à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3.2
Techniques pour la recherche d’une solution particulière de l’ED . . . . . . . .
2.3.3.3
Méthodologie 7 : Résoudre une ED affine du 2ème ordre à coeff. constants . .
2.3.4 Des conditions initiales à une solution unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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26
C HAPITRE
1
Calcul intégral
1.1 Primitives d’une fonction
1.1.1 Définitions
Définition 1. P RIMITIVE Soit f une fonction définie et continue sur l’intervalle [a; b]. On appelle primitive
de la fonction f toute fonction F définie de [a; b] sur IR tel que :
∀x ∈ [a; b], F 0 (x) = f (x)
Z
Notation. F =
(1.1)
Z
f =
f (t )d t (où t est une variable muette, que l’on peut donc remplacer par n’im-
porte quel autre nom de variable)
Exemple
ln(x) est une primitive de
1
1
sur ]0; +∞[, mais ln(|x|) est une primitive de sur ] − ∞; 0[
x
x
1.1.1.1 Condition d’existence d’une primitive
Théorème 1. T HÉORÈME DE D ARBOUX
Pour qu’une fonction f admette une primitive F sur l’intervalle [a; b], il faut qu’elle soit continue sur
[a; b].
Ï cf. M2 pour le calcul de l’ensemble de continuité
Ï Si F est une primitive de f sur [a; b] alors F est dérivable sur [a; b] et F 0 (x) = f (x) sur [a; b]
1.1.1.2 DES primitives
Théorème 2. E NSEMBLE DES PRIMITIVES DE f
Il existe une infinité de primitives de f (x), définies à une constante c près, appelée constante d’intégration ; les primitives forment l’ensemble des fonctions {x 7→ F (x) + c/c ∈ IR}.
5
6
Calcul intégral
Ï Si F est une primitive de f sur [a; b], alors x 7→ F (x)+c (avec c une constante réelle quelconque) est aussi
une primitive de f sur [a; b], car (F (x) + c)0 = F 0 (x) = f (x).
Ï Si on s’impose de trouver une primitive dont la valeur en un point x 0 est y 0 , alors il n’existe plus qu’une
seule et unique primitive pour f : c’est la fonction x 7→ F (x) + c avec la constante c choisie de sorte que
y 0 = F (x 0 ) + c.
1.1.2 Calcul de primitives
1.1.2.1 Primitives des fonctions usuelles
Les primitives des fonctions usuelles sont données table 1.1, où c est un réel quelconque désignant la
constante d’intégration.
Fonction f
Primitives F =
Constante f (x) = k
Monôme f (x) = x n (n ∈ IN)
1
Racine n-ième f (x) = x n
(n ∈ IN\{0, −1})
1
Inverse f (x) =
x
Puissance f (x) = x α
Cosinus f (x) = cos(x)
Sinus f (x) = sin(x)
f (x) = 1 + tan2 (x)
1
f (x) = − p
1 − x2
1
f (x) = p
1 − x2
1
f (x) =
1 + x2
Cos hyper. f (x) = ch(x)
Sin hyper. f (x) = sh(x)
f (x) = 1 + t h 2 (x)
f
sur [a, b]
F (x) = kx + c
x n+1
+c
F (x) =
n 1+ 1
x n +1
F (x) = 1
+c
n +1
IR
IR
IR+
F (x) = ln(|x|) + c
IR∗
x (α+1)
+c
α+1
IR∗+
F (x) =
(α ∈ IR\{−1})
Exponentielle f (x) = e λx
R
1 λx
e +c
λ
F (x) = sin(x) + c
F (x) = − cos(x) + c
F (x) = t an(x) + c
F (x) =
IR
IR
IR
IR
F (x) = Arccos(x) + c
] − 1; 1[
F (x) = Arcsin(x) + c
] − 1; 1[
F (x) = Arctan(x) + c
IR
F (x) = sh(x) + c
F (x) = ch(x) + c
F (x) = t h(x) + c
IR
IR
IR
TABLE 1.1: Primitive des fonctions usuelles (avec c ∈ IR la constante d’intégration)
1.1.2.2 Opérations sur les fonctions
Soient une fonction f dont une primitive est F et une fonction g dont une primitive est G. Les primitives
résultant des opérations standards sur les fonctions (somme, différence, multiplication par une constante) sont
données table 1.2.
De plus, si l’on reconnaît dans la fonction f l’expression de la dérivée d’un produit, d’un quotient, d’une
composée, on peut aisément déterminer ses primitives en suivant les formules de la table 1.3.
Théorème 3. M ÉTHODOLOGIE POUR LA RECHERCHE DES PRIMITIVES DE f
1. Reconnaître les fonctions usuelles dans f et donner une de leur primitive
2. Reconnaître l’assemblage de fonctions utilisées (somme, dérivée, amplification, composée)
3. Intégrer en utilisant les tables en n’oubliant pas la constante d’intégration
1.2. Intégrales (propres) de Riemann
7
Fonction
Primitives
¶
f + g = F +G + c
µZ
¶
− f = −F + c
µZ
¶
f − g = F −G + c
µZ
¶
λ f = λF + c
µZ
¶
1
f (λx)d x = F (λx) + c
λ
µZ
Somme f + g
Opposée − f
Différence f − g
Amplification λ f
Homothétie f (λx) (λ ∈ IR∗ )
TABLE 1.2: Primitives résultant d’opérations (simples) sur les fonctions (où c ∈ IR est la constante d’intégration)
Fonction
f = (uv)0 = u 0 v + uv 0
³ u ´0 u 0 v − uv 0
=
f =
v
v2
f (x) = (u ◦ v)0 (x) = v 0 (x)u 0 (v(x))
Primitives
Z
F = (uv)0 = uv + c
Z ³ ´0
u
u
= +c
F=
v
v
Z
F (x) =
x
(u ◦ v)0 = u(v(x)) + c
TABLE 1.3: Primitive de dérivées usuelles (où c ∈ IR est la constante d’intégration)
1.2 Intégrales (propres) de Riemann
1.2.1 Intégrales (propres)
1.2.1.1 Définitions
Définition 2. I NTÉGRALE ( PROPRE )
Soit f une fonction continue sur [a; b]. L’intégrale (propre) de f du réel a au réel b est définie par :
Z
b
a
f (t )d t = [ F (x) ]ba = F (b) − F (a)
(1.2)
où F est une primitive de f sur [a; b].
En utilisant les techniques de calcul des primitives de f , on sait calculer l’ensemble des primitives de f
{F (x) + c/c ∈ IR} (définies à la constante d’intégration c près) ; quelle que soit celle choisie (autrement dit quelle
que soit la valeur de la constante d’intégration choisi), l’intégrale de f de a à b est la même. En effet :
Z
b
a
f (t )d t = (F + c)(b) + (F + c)(a) = F (b) + c − F (a) − c = F (b) − F (a)
Le résultat obtenu est donc indépendant de la constante d’intégration.
Z a
Remarques :
f (t )d t = 0
a
1.2.1.2 Interprétation géométrique
Z
Ï L’intégrale
b
f (t )d t est l’aire algébrique (c’est à dire l’aire signée) de la surface délimitée par l’axe des
a
abscisses et le graphe de f borné par les verticales x = a et x = b.
Ï Le signe de l’intégrale est dépendant du sens de parcours de la surface : dans l’exemple de la figure 1.2
Z b
(pour lequel la fonction est positive), l’intégrale
f (t )d t consiste à parcourir la surface du point A(a, 0)
a
8
Calcul intégral
y
f (b)
Gf
f (a)
Rb
a
f (x)dx
x
a
b
F IGURE 1.1: Intégrale (propre) comme aire sous la courbe
à B (a, f (a)) puis à C (b, f (b)) et à D(b, 0) avant de revenir à a. Ce parcours se fait dans le sens horaire (sens
des aiguilles d’une montre) ; l’intégrale sera positive. Par contre, si le parcours se fait dans le sens antihoraire (sens inverse des aiguilles d’une montre), l’intégrale sera négative. Attention, donc, aux fonctions
qui changent de signe.
y
C
f (b)
Gf
B
f (a)
Rb
a
f (x)dx > 0
x
D
A
a
b
F IGURE 1.2: Intégrale et aire positive
1.2.1.3 Interprétation au sens de Riemann
Z
b
L’intégrale d’une fonction f sur [a; b], autrement dit
f (x)d x, peut s’approximer par une somme de n
a
rectangles de largeur δx, comme le présente les figures 1.3 (a) et (b). Pour se faire, on découpe l’intervalle [a, b]
en n sous-intervalles [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], [x 3 , x 4 ], ..., [x i , x i +1 ], ..., [x n−1 , x n ] (avec x 0 = a et x n = b, chacun étant de
b−a
largeur δx =
. En considérant respectivement les valeurs de la fonction f aux points f (x i ) et f (x i +1 ) (avec
n
i variant de 0 à n −1), cette approximation peut être à valeurs inférieures ou supérieures (par rapport à la valeur
de l’intégrale).
Par valeurs inférieures, l’approximation consiste à ajouter l’aire des rectangles sous la courbe soit : s n =
f (x 0 )δx + f (x 1 )δx + ... + f (x n−1 )δx, que l’on peut noter de manière compacte sous la forme suivante :
n−1
X
sn =
f (x i )δx.
i =0
Par valeurs supérieures, l’approximation consiste à ajouter l’aire des rectangles au dessous de la courbe
soit : S n = f (x 1 )δx + f (x 2 )δx + ... + f (x n )δx, que l’on peut noter de manière compacte sous la forme suivante :
n−1
X
Sn =
f (x i +1 )δx.
i =0
On a alors :
Z
sn ≤
b
a
f (x)d x ≤ S n ⇔
n−1
X
i =0
Z
f (x i )δx ≤
b
a
f (x)d x ≤
n−1
X
i =0
f (x i +1 )δx
(1.3)
1.2. Intégrales (propres) de Riemann
9
y
y
f (xn−1 )
f (xi )
f (xn )
f (xn−1 )
Gf
Gf
f (x2 )
f (a)
x
x
x1 x2
...
xi
...
x1 x2
xn−1
a
...
a
b
xi
...
xn−1
b
F IGURE 1.3: Approximation de l’aire comme somme de rectangles : Approximation inférieure à gauche, Approximation supérieure à droite
Définition 3. I NTÉGRALE ( PROPRE ) AU SENS DE R IEMANN
f est intégrable au sens de Riemann sur [a; b], SSI lorsque n → +∞, les sommes S n et s n convergent vers la
Z b
même limite L. Cette limite L n’est autre que
f (x)d x (telle que définie dans la définition 2).
a
Lorsque n tend vers +∞ :
Ï les largeurs des rectangles δx deviennent infiniment petites ; δx s’assimile donc à une petite variation
sur x, autrement dit à la différentielle d x mathématique. On dit que la variation physique devient une
différentielle mathématique.
Ï les sommes consistent à ajouter de plus en plus de valeurs de la fonction aux points f (x i ) (pondérés par
d x), et donc en quelque sorte à ajouter toutes les valeurs f (x) de la fonction pour x variant entre a et b.
La somme devient une intégrale, autrement dit une accumulation de valeurs.
Z b
n−1
X
f (x)d x
Ï On dit que : à la limite,
f (x i )δx tend vers
a
i =0
1.2.2 Applications de l’intégration à la physique
Exemple Signaux électriques
Pour une tension U (t ), fonction du temps t , on peut définir les grandeurs physiques suivantes :
Ï Valeur moyenne entre l’instant a et l’instant b
Umoy =
1
b−a
b
Z
a
U (t )d t =
X
1 n−1
U (x i )
n i =0
(1.4)
Ï Valeur efficace entre l’instant a et l’instant b
s
Ue f f =
1
b−a
Z
b
a
v
u n−1
u1 X
U (t )d t = t
U 2 (x i )
n i =0
2
(1.5)
1.2.3 Fonctions intégrales
Définition 4. F ONCTION INTÉGRALE
Soient f une fonction continue de [a; b] dans IR et un point x 0 ∈ [a; b]. On définit la fonction intégrale par :
10
Calcul intégral
F:

 [a; b]
→
Z
x

7→
ZIRx
x
x0
f =
(1.6)
f (t )d t
x0
C’est l’unique primitive de f qui s’annule en x 0 .
Ï La fonction intégrale F est continue et dérivable sur [a; b] ; sa dérivée est F 0 = f
Ï Puisque le sens de variation d’une fonction dépend du signe de sa dérivée (cf. M2), alors si f (x) ≥ 0, F (x)
est croissante ; de même, si f (x) ≤ 0, F (x) est décroissante
Exemple
x
1
1
d t pour x > 0 est la primitive de x 7→ ou de manière équivalente, la fonction
x
1 t
1
intégrable associée à x 7→ , qui s’annule en 1.
x
Z
ln(x) =
1.2.4 Propriétés de l’intégrale propre
Théorème 4. R ELATION DE C HASLES
Pour tous points a, b, c ∈ IR, et toute fonction f intégrable sur l’intervalle [min(a, b, c); max(a, b, c)] (où
min(a, b, c) est la plus petite valeur parmi a, b et c et max(a, b, c) est la plus grande valeur parmi a, b et c),
on a :
Z
b
a
c
Z
f (x)d x =
a
b
Z
f (x)d x +
f (x)d x
(1.7)
c
Théorème 5. I NVERSION DES BORNES
Pour tous points a, b ∈ IR, et toute fonction f intégrable sur l’intervalle [min(a, b); max(a, b)], on a :
Z
b
a
Conséquences :
Z
Ï Pour une fonction f paire :
a
−aZ
Ï Pour une fonction f impaire :
f (x)d x
b
a
Z
f (x)d x = 2
a
a
Z
f (x)d x = −
f (x)d x
0
f (x)d x = 0
Z a+T
Z
Ï Pour une fonction f T -périodique :
f =
−a
a
T
0
Z
f =
T
2
− T2
f
Théorème 6. R ELATIONS D ’ ORDRE
Soient deux points a, b ∈ IR (avec a ≤ b) et deux fonctions f et g intégrables sur [a, b]. Alors :
¯Z b
¯ Z b
¯
¯
Ï ¯¯
f (x)d x ¯¯ ≤
| f (x)|d x
a
a
Z b
Z b
Ï Si f ≤ g sur [a; b],
f (x)d x ≤
g (x)d x
a
a
(1.8)
1.2. Intégrales (propres) de Riemann
11
Théorème 7. I NÉGALITÉ DE C AUCHY-S CHWARZ
Soient deux points a, b ∈ IR (avec a ≤ b) et deux fonctions f et g intégrables sur [a, b].
¯Z
¯
¯
¯
b
a
¯2 µZ
¯
f (x)g (x)d x ¯¯ ≤
b
a
¶ µZ
f 2 (x)d x ·
b
g 2 (x)d x
¶
(1.9)
a
1.2.5 Techniques d’intégration
Dans cette partie, connaissant la fonction f définie et continue sur [a; b] et à valeur dans IR, on souhaite
Z b
calculer I =
f (x)d x.
a
1.2.5.1 T ECHNIQUE 1 : Rechercher une primitive F de f puis calculer F (b) − F (a)
On notera les cas particuliers où :
Ï f est une fraction rationnelle ; on procède alors souvent à une décomposition en éléments simples (de
1ère espèce et certains 2ème espèce) avant de chercher une primitive de chaque élément simple ;
Ï f est construite à partir de fonctions trigonométriques ; on procède alors souvent à une linéarisation en
somme de cos et de sin (à la puissance 1) avant de déterminer les primitives de chaque terme linéarisé ;
Ï f est une fonction usuelle ou un assemblage (simple) de fonctions usuelles (somme, différence), alors
on utilise les tables des primitives usuelles et les règles des opérations sur les fonctions vu précédemment.
1.2.5.2 T ECHNIQUE 2 : l’Intégration Par Partie (IPP)
On peut utiliser une intégration par partie pour se ramener à la technique 1.
Théorème 8. I NTÉGRATION PAR PARTIES
Soient f , g deux fonctions de primitives respectives F et G. Alors :
F (t )
↓
Z
b
f (t )
G(t )
dt
a
= [F (t ) · G(t )]ba
Z
−
b
F (t )g (t )d t
(1.10)
a
↓
g (t )
Ce théorème reste valable lorsqu’une des bornes de l’intégrale devient variable.
1.2.5.3 T ECHNIQUE 3 : le Changement de Variable (CV)
On peut aussi effectuer un (ou plusieurs) changement de variable pour se ramener à la technique 1.
Théorème 9. C HANGEMENT DE VARIABLE
Z
Soit f (x) une fonction intégrable sur [a; b] et d’intégrale I =
b
f (x)d x.
a
On pose x = g (t ) (le changement de variable) où g est une fonction de la variable t , de sorte à définir
la variable x en fonction de la variable t . La fonction g doit :
Ï être définie et continue sur un intervalle [α; β], les valeurs α et β étant telles que g (α) = a et g (β) = b
Ï être monotone sur [α; β] ; g admet donc une réciproque g −1 . De fait, cette réciproque donne l’expression de la variable t en fonction de la variable x avec t = g −1 (x), mais permet aussi de calculer
les bornes de l’intervalle sus-mentionné [α; β] puisque α = g −1 (a) et β = g −1 (b)
12
Calcul intégral
Ï être dérivable sur l’intervalle [α; β], de sorte à pouvoir calculer la différentielle de x en fonction de
la différentielle de t avec la formule : d x = g 0 (t )d t
Alors, on a :
Z b
Z β
¡
¢
I=
f (x)d x =
f g (t ) g 0 (t )d t
(1.11)
α
a
Remarques : cf. M2 pour le calcul de différentielles et de fonctions réciproques
En général, le CV est suggéré par l’énoncé ; sinon, on peut utiliser la table 1.4 qui donne les CVs usuels pour
Z b
le calcul de
f (x)d x.
a
f de la forme
p
1 − x2
p
1 + x2
p
x2 − 1
1
x2 + 1
1
1x− x 2
e +α
x
p e +β
2
a x + bx + c
Changement de variable (CV)
x = cos(t ) ou x = sin(t )
x = sh(t )
x = ch(t )
x = tan(t )
x = th(t )
x = ln(t )
Forme canonique puis
CV avec les fonctions trigo. précédentes
TABLE 1.4: Changements de variable usuels
1.3 Intégrales (impropres) généralisées
1.3.1 Définitions
1.3.1.1 Introduction
Z b
L’objectif des intégrales impropres est de pouvoir calculer (dans les cas qui le permettent)
f (t )d t bien
a
que :
Ï la fonction f ne soit pas définie ni continue sur tous les points de [a; b]
Ï f ne soit définie que sur [a; b[ et non définie en b
Ï l’intervalle d’intégration soit du type [a; +∞[, ]−∞; b] (l’intégrale étant alors l’aire d’une surface "infinie")
Exemple
Ces phénomènes se produisent notamment :
1
1. en Télécommunications avec le taux d’erreur binaire TEB = q
2πσ2b
où σb est la puissance du bruit parasitant le canal de communication.
+∞
Z
0
Ã
exp −
x2
2σ2b
!
d x,
1
2. en Banques : en empruntant 1 euro avec le plan de remboursement suivant : le 1er mois 10
1
1
euro, le 2ème mois : 100
euro, le 3ème mois : 1000
euro, ..., le x-ème mois : 101x euro et en
déterminant combien sera remboursé à la banque au bout d’un temps infini ?
1.3.1.2 Intégrale impropre
1.3. Intégrales (impropres) généralisées
13
Définition 5. I NTÉGRALE IMPROPRE ( OU GÉNÉRALISÉE )
Soit f une fonction définie sur [a; b[ mais non définie en b. On dit que b est la borne à risque.
Z b
Z x
Z →b
f (t )d t existe SSI lim
f (t )d t , notée
f (t )d t , existe et vaut une valeur réelle finie L.
x→b a
a
a
Si cette proposition est vérifiée,
Ï on dit que f est intégrable sur [a; b[
Z →b
Ï on dit que
f (t )d t est une intégrale impropre (ou généralisée) convergente (cv 1 )
a
Z b
Ï la valeur de l’intégrale impropre est L, de sorte qu’on peut écrire
f (t )d t = L.
a
Z x
Dans le cas contraire, c’est à dire lorsque lim
f (t )d t est un infini (+∞ ou −∞), on dit que l’intégrale
x→b a
Z →b
impropre
f (t )d t n’existe pas ou de manière équivalente on dit qu’elle diverge (dv).
a
Remarques :
1. La borne à risque peut aussi bien être la borne supérieure que la borne inférieure :
Z →b
Z x
Ï Si la borne à risque est la borne supérieure, on étudie :
f (t )d t = lim
f (t )d t
x→b a
Z ab
Z b
Ï Si la borne à risque est la borne inférieure, on étudie :
f (t )d t = lim
f (t )d t
x→a x
→a
2. Il peut y avoir 2 bornes à risques : une sur la borne inférieure et une sur la borne supérieure ; auquel cas,
on utilisera la relation de Chasles pour se ramener à deux intégrales ayant chacune une seule borne à
risque.
1.3.2 Calcul d’intégrales impropres
1.3.2.1 Méthodologie pour le calcul d’intégrales impropres
Théorème 10. M ÉTHODOLOGIE POUR LE CALCUL DES INTÉGRALES IMPROPRES
Z b
f (t )d t , il faut :
Lorsqu’on étudie une intégrale impropre
a
1. Étudier la continuité de f sur [a; b]
2. Identifier les valeurs/bornes à risques dans [a; b]
3. Utiliser la relation de Chasles pour découper l’intervalle d’intégration en un certain nombre d’intervalles dont une seule borne est à risque
4. Pour chacun des intervalles d’intégration obtenus,
Ï Montrer que l’intégrale existe
Ï Calculer la valeur de l’intégrale
1.3.2.2 Conditions d’existence
Théorème 11. C ONDITIONS D ’ EXISTENCE LORSQUE LA BORNE À RISQUE
EST ∞
Z
→+∞
Ï Soit f une fonction définie et continue sur [a; +∞[. Pour que
suffit pas) que lim f (t ) = 0
f (t )d t existe, il faut (mais il ne
a
t →+∞
Z
Ï Soit f une fonction définie et continue sur ]−∞; b]. Pour que
suffit pas) que lim f (t ) = 0
t →−∞
b
f (t )d t existe, il faut (mais il ne
→−∞
14
Calcul intégral
Théorème 12. C ONDITIONS D ’ EXISTENCE LORSQUE LA BORNE À RISQUE EST UN POINT RÉEL FINI (∈ IR)
∞
OU EST
Soient f et g deux fonctions définies et continues sur [a; b[ avec b un nombre réel ou b = +∞ et b = −∞.
1. R ELATIONS D ’ ORDRE : Si f ≤ g sur [a; b[, alors :
Z →b
Z →b
• Si
g (t )d t existe, alors
f (t )d t existe
a
Za→b
Z →b
• Si
f (t )d t n’existe pas, alors
g (t )d t n’existe pas
a
a
Z
2. C OMPARAISON : Si f (x) ∼ g (x), alors
→b
Z
→b
f (x)d x et
x→b
a
g (x)d x sont de même nature
a
Remarques : Les théorèmes 11 et 12 sont généralisables lorsque la borne à risque est la borne inférieure.
1.3.2.3 Intégrales impropres usuelles
Théorème 13. I NTÉGRALES DE R IEMANN
La définition des intégrales de Riemann (paramétrées par le paramètre α ∈ IR+ ) et leurs conditions
d’existence sont données dans la table suivante :
α<1
α=1
α>1
1
+∞
1
dt
α
t
0
(borne à risque 0)
1
dt
α
t
1
(borne à risque +∞)
Intégrale définie
Intégrale non définie
Intégrale non définie
Intégrale non définie
Intégrale non définie
Intégrale définie
Z
Z
Remarque : Lorsque α < 0, il ne s’agit plus d’intégrales impropres mais d’intégrales propres (un monôme
de t que l’on sait parfaitement intégré).
Théorème 14. I NTÉGRALES DE B ERTRAND
Les définitions des intégrales de Bertrand (paramétrées par deux paramètres α ∈ IR+ et β ∈ IR) et leurs
conditions d’existence sont données dans la table suivante :
Z
α < 1 (quel que soit β)
α = 1 et si β > 1
α = 1 et si β ≤ 1
α > 1 (quel que soit β)
1/2
1
+∞
Z
1
dt
0
t α (ln(t ))β
(borne à risque 0)
(borne à risque +∞)
Intégrale définie
Intégrale définie
Intégrale non définie
Intégrale non définie
Intégrale non définie
Intégrale définie
Intégrale non définie
Intégrale définie
2
t α (ln(t ))β
dt
Remarques : Bien que l’on connaisse les cas où les intégrales de Bertrand existent, leurs valeurs sont très
souvent difficiles à calculer explicitement.
Théorème 15. I NTÉGRALES EXPONENTIELLES
+∞
Z
Les intégrales exponentielles sont les intégrales impropres de la forme
mètre réel ; ces intégrales existe SSI λ < 0
0
e λt d t où λ est un para-
1.3. Intégrales (impropres) généralisées
15
1.3.2.4 Calcul d’une intégrale impropre
Théorème 16. M ÉTHODOLOGIE POUR LE CALCUL D ’ UNE INTÉGRALE IMPROPRE
Z b
Si l’intégrale impropre
f (dont la borne à risque est b) à calculer existe,
a
Z x
1. Poser x un réel quelconque dans [a; b[, puis calculer F (x) =
f (t )d t avec les outils classiques sur
a
les intégrales propres (recherche d’une primitive directe, intégration par partie, changement de variable), en exprimant le résultat en fonction de x ;
2. Calculer la limite du résultat précédent quand x → b (où b est la borne à risque) ; la limite obtenue
(indépendante de x) est notée L
Z →b
Z x
3. Conclure que
f (t )d t = lim
f (t )d t = L
a
x→b a
C HAPITRE
2
Équations différentielles
2.1 Généralités
2.1.1 Equations différentielles
Définition 6. É QUATION DIFFÉRENTIELLE ( EQUA DIFF , ED)
Une équation différentielle (ED) est une relation mathématique liant une fonction inconnue y(x) de la
dn y
d y d2y
,
,
...,
et des fonctions connues de la variable x.
variable réelle x à certaines de ses dérivées
d x d x2
d xn
Cette équation provient en pratique de la mise en équation d’un problème physique (dans le domaine de la
mécanique, la physique, ou l’électronique, par exemple, la décharge d’une capacité dans un circuit électrique,
ou la position d’un mobile fixé au bout d’une corde). L’objectif du problème est alors de rechercher la fonction
inconnue y(x) solution du problème physique.
2.1.2 Résoudre une équation différentielle
Définition 7. R ÉSOLUTION /I NTÉGRATION D ’ UNE ED
Résoudre une ED/Intégrer une ED, c’est trouver TOUTES les fonctions y solutions de la (Relation R).
Une équation différentielle a donc une infinité de fonctions solutions.
Théorème 17. FAMILLE DE SOLUTIONS D ’ UNE ED
Les solutions d’une ED forment une famille de solutions qui peut prendre la forme suivante :
©
ª
F = y(x) = f (x, λ)/λ ∈ IR
(2.1)
Cette famille est un ensemble de fonctions, noté F ; elle contient des fonctions solutions y(x), paramétrées par un certain nombre de constantes 1 (ou degrés de liberté) indéterminées ; dans notre exemple
il s’agit de la constante λ à valeurs indéterminées dans IR.
A la valeur des paramètres près, les fonctions solutions y(x) ont toutes la même "forme" ou "expression générique" ; cette expression générique est appelée solution générale de l’ED.
Exemple
17
18
Équations différentielles
La famille de fonctions exponentielles amplifiées peut être décrite à l’aide de deux paramètres
(deux constanteso réelles α et λ), donnant la formalisation mathématique suivante :
n
F = y(x) = αe λx /α, λ ∈ IR . Elle se caractérise par l’expression générique des fonctions y(x) de
la forme y(x) = αe λx .
Définition 8. R ÉSOLUTION /I NTÉGRATION D ’ UNE ED AVEC C ONDITIONS I NITIALES : LA SOLUTION D ’ UNE ED
Ï Les EDs peuvent être associées avec un certain nombre de conditions initiales (CI), par exemple : avoir
y(x 0 ) = α et y 0 (x 1 ) = β avec x 0 , x 1 , α, β quatre réels fixés par l’énoncé ou le problème physique.
Ï Résoudre/intégrer l’ED avec CI, c’est trouver LA et LA SEULE fonction y qui soit à la fois solution de
l’ED et solution des CI.
Le Théorème de Cauchy montre que lorsque ©des conditions initiales
ª (CI) sont fournies en nombre suffisant, on peut trouver parmi les fonctions de F = y(x) = f (x, λ)/λ ∈ IR l’unique fonction solution ET de l’ED
ET des CI.
2.1.3 Ordre d’une équation différentielle
Définition 9. O RDRE D ’ UNE ED
L’ordre d’une ED est l’ordre de la dérivée de rang le plus élevé apparaissant dans l’ED.
Exemple
dy
= 3 est une ED d’ordre 1
dx
2
d y
Ï m 2 + k y = mg est une ED d’ordre 2
dx
Ï k y = mg est une ED d’ordre 0
Ï x
Remarque : Pour sélectionner une et une seule fonction parmi l’ensemble des solutions d’une ED, il faudra
fixer (en général) autant de paramètres (ou de degrés de liberté) que l’ordre de l’ED.
Dans ce module, nous allons va étudier les ED du 1er ordre et certaines ED du 2d ordre.
2.2 Équations différentielles du 1er ordre
2.2.1 Définitions générales
Définition 10. ED DU 1 ER ORDRE
Une équation différentielle du 1er ordre est une équation fonctionnelle comportant une fonction y incondy
nue de la variable x, sa dérivée
, et des fonctions connues de x.
dx
Remarque : Une fonction-solution y(x) d’une ED du 1er ordre sur un intervalle I est nécessairement dérivable sur I .
Exemple Une ED du 1er ordre
1
d y = cos(x)d x
y2
Parmi les ED du 1er ordre, on dénombre : les ED à variables séparées, les ED linéaires et les ED affines.
2.2. Équations différentielles du 1er ordre
19
2.2.2 ED du 1er ordre à variables séparables/séparées
2.2.2.1 Généralités
Définition 11. ED DU 1 ER ORDRE À VARIABLES SÉPARÉES
Les ED du 1er ordre à variables séparées sont les ED de la forme :
(Relation R 1 )
f (y)d y = g (x)d x
où f est une fonction de y (ici vu comme une variable) et g est une fonction de la variable x.
Exemple Une ED du 1er ordre à variables séparables
1
1
d y = cos(x)d x avec f (y) = 2 et g (x) = cos(x)
2
y
y
Théorème 18. S OLUTIONS D ’ UNE ED DU 1 ER ORDRE À VARIABLES SÉPARÉES
Les solutions de la (Relation R 1 ) sont les fonctions de la famille (de fonctions) suivante :
©
ª
F1 = y(x)/F (y) = G(x) + λ, avec λ ∈ IR
Z
où F =
(2.2)
Z
f (y)d y et G =
g (x)d x sont respectivement une primitive de f et g sur un intervalle I (à
déterminer), sur lequel f et g sont continues.
Remarque : Le paramètre λ de la famille F1 peut être déterminé par une CI associée à l’ED
2.2.2.2 Méthodologie 1 : Résoudre une ED du 1er ordre à coeffs séparés
1. Identifier le type d’ED et l’écrire sous la forme f (y)d y = g (x)d x
2. Identifier les fonctions f et g et leur intervalle de continuité
3. Su chaque intervalle de continuité,
Ï Déterminer une de leurs primitives F et G ¡
¢
Ï Ecrire la solution générale sous la forme F y(x) = G(x) + λ, puis manipuler l’équation pour isoler
y(x) à gauche de l’égalité
4. Si une CI est imposée, remplacer les données fournies par la CI dans la solution générale et résoudre
l’équation pour déterminer λ
2.2.3 ED linéaire du 1er ordre
2.2.3.1 Généralités
Définition 12. ED LINÉAIRE DU 1 ER ORDRE
Les ED linéaires du 1er ordre sont les ED de la forme :
dy
+ b(x)y = 0
dx
(2.3)
dy
= p(x)y
dx
(2.4)
(Relation R 2 ) a(x)
ou de manière équivalente
(Relation R 2 )
avec :
Ï a(x), b(x) deux fonctions continues de la variable x sur I .
b(x)
Ï p(x) = −
une fonction continue sur J .
a(x)
20
Équations différentielles
Exemple Une ED linéaire du 1er ordre
dy
x
x 2 + 1 y 0 + x y = 0 que l’on peut réécrire sous la forme
= −p
y est une ED
2 +1
dx
x
p
x
linéaire du 1er ordre, avec a(x) = x 2 + 1, b(x) = x, et p(x) = − p
x2 + 1
L’ED
p
Remarques : Les ED linéaires du 1er ordre sont une forme particulière des ED à variables séparées ; on peut
donc utiliser la méthodologie 1 pour les résoudre mais il existe une autre méthode, plus rapide, car plus adaptée
à ce type d’équation.
Théorème 19. S OLUTION GÉNÉRALE
Les solutions de la (Relation R 2 ) sont les fonctions formant la famille de fonctions suivantes :
©
ª
F2 = y(x) = λe P (x) /λ ∈ IR
où la fonction P est une primitive de la fonction p sur un intervalle I sur lequel la fonction p est continue.
Remarque : λ peut être déterminé par la donnée d’1 CI
2.2.3.2 Méthodologie 2 : Résoudre une ED linéaire du 1er ordre
dy
= p(x)y
dx
2. Identifier la fonction p(x) dans l’ED, et préciser sur quel(s) intervalle(s) I la fonction p est définie et
continue
1. Identifier le type d’ED et l’écrire sous la forme :
3. Pour chaque intervalle de continuité,
Ï Déterminer une primitive P (x) de p(x)
Ï Déduire les solutions y(x) = λe P (x) avec λ réel qcq
4. Si une CI est imposée, remplacer les données fournies par la CI dans la solution générale et résoudre
l’équation pour déterminer λ.
2.2.4 Cas particulier des ED linéaires du 1er ordre : ED linéaire du 1er ordre à coefficients
constants
Il s’agit du cas particulier des ED linéaires du 1er ordre ayant la forme de la (Relation R 2 ) est celui où les
fonctions a(x) = α et b(x) = β sont des fonctions constantes, avec α, β deux constantes réels.
2.2.4.1 Généralités
Définition 13. ED LINÉAIRE DU 1 ÈRE ORDRE À COEFFS CONSTANTS
Les ED linéaires du 1er ordre à coefficients constants sont de la forme :
(Relation R 3 ) α
dy
+ βy = 0
dx
avec α ∈ IR∗ , β ∈ IR deux constantes
Exemple Une ED linéaires du 1er ordre à coefficients constants
5y 0 − y = 0 est une ED linéaire du 1er ordre à coefficients constants avec α = 5 et β = −1.
(2.5)
2.2. Équations différentielles du 1er ordre
21
Pour résoudre ces ED, on peut bien sûr utiliser les méthodologies précédentes (méthodologie 1 ou méthodologie 2), puisque avant d’être à coefficients constants, ce sont des ED linéaires voire à variables séparables.
On dispose néanmoins d’une 3ème méthodologie pour les résoudre : la méthode de l’équation caractéristique
que l’on décrit par la suite et qui est beaucoup plus rapide.
Définition 14. É QUATION CARACTÉRISTIQUE (EC) ASSOCIÉE À UNE ED
L’équation caractéristique (EC) associée à une ED (de n’importe quel ordre) est un polynôme de la variable
ρ (qui se lit "rho") obtenu en remplaçant :
dn y
), par le monôme de ρ de degré égal à l’ordre de la dérivée (ici ρ n )
d xn
Ï et y par 1 (le mônome ρ 0 = 1)
Ï les dérivées de y (par ex.
Exemple
d3y
d1y
+ b 1 + c y = 0 d’EC aρ 3 + bρ 1 + c1 = 0
3
dx
dx
d1y
Ï a 1 + b y = 0 d’EC aρ 1 + b1 = 0
dx
Ï a
Remarques : Les racines de l’EC vont intervenir dans la forme générale de la solution de l’ED.
Théorème 20. S OLUTIONS GÉNÉRALES DE L’ED LINÉAIRE DU 1 ER ORDRE À COEFFS CONSTANTS
Une ED linéaire du 1er ordre à coeff. constants dont la forme est celle de la (Relation R 3 ) admet une
équation caractéristique (EC) de la forme :
(Equation E 3 ) aρ + b = 0
(2.6)
Les solutions de la (Relation R 3 ) sont les fonctions formant la famille (de fonctions) suivante :
©
ª
F3 = y(x) = λe p 0 x /λ ∈ IR
b
est la racine de l’EC (Equation E 3 ) associée à l’ED (Relation R 3 ) ; p 0 est appelé le coefficient
a
d’amortissement.
où ρ 0 = −
Les fonctions solutions y(x) sont valables sur IR.
2.2.4.2 Méthodologie 3 : Résoudre une ED linéaire du 1er ordre à coeffs constants
1. Identifier le type d’ED et l’écrire sous la forme a
dy
+by = 0
dx
2. Écrire l’EC associé et trouver sa racine ρ 0
3. Déduire les solutions sous forme y(x) = λe ρ 0 x avec λ réel qcq
4. Si 1 CI est imposée, remplacer les données fournies par la CI dans la solution générale et résoudre l’équation pour déterminer λ
2.2.5 ED affine du 1er ordre
Définition 15. ED AFFINE DU 1 ER ORDRE
Les ED affines du 1er ordre sont de la forme :
(Relation R 4 ) a(x)
dy
+ b(x)y = c(x)
dx
(2.7)
22
Équations différentielles
ou de manière équivalente
(Relation R 4 )
dy
= p(x)y + q(x)
dx
(2.8)
avec
Ï a(x), b(x), c(x) trois fonctions continues sur un intervalle I .
b(x)
c(x)
Ï p(x) = −
, q(x) = −
deux fonctions continues sur un intervalle J .
a(x)
a(x)
Exemple Une ED affine du 1er ordre
x y 0 + 2y = 2 − 4x 2 ⇔
q(x) =
2 − 4x 2
.
x
2 − 4x 2
2
dy 2
+ y=
, avec a(x) = x, b(x) = 2, c(x) = 2 − 4x 2 , p(x) = et
dx x
x
x
Théorème 21. S OLUTIONS D ’ UNE ED AFFINE DU 1 ER ORDRE
Les solutions d’une ED affine du 1er ordre sont les fonctions formant la famille :




P (x)
F4 = y(x) = λe
+y
(x)/λ
∈
IR
1
| {z }


(2.9)
y 0 (x)
avec :
Ï λ ∈ IR
R paramétrant les solutions
Ï P = p(x)d x est une primitive de la fonction p
Ï la fonction y 0 est la solution générale de l’ED linéaire associée à l’ED affine, qui se définit par la
dy
(Relation R̃ 4 )
= p(x)y
dx
dy
Ï la fonction y 1 est une fonction solution particulière de l’ED affine initiale : (Relation R 4 )
=
dx
p(x)y + q(x)
Remarques
Ï Les solutions y(x) ont un seul degré de liberté (λ), éventuellement fixé par les CI
Ï N’importe quelle solution particulière y 1 fonctionne pour trouver toutes les solutions d’une ED affine
du 1er ordre.
2.2.5.1 Méthodologie 4 : Résoudre une ED affine du 1er ordre
1. Identifier le type de l’ED et l’écrire sous la forme :
2. Résoudre l’ED linéaire associée
logie 1,2,3)
dy
= p(x)y + q(x).
dx
dy
= p(x)y, pour trouver la fonction-solution générale y 0 (cf. Méthododx
3. Déterminer une fonction solution particulière y 1 de l’ED affine.
4. Conclure sur toutes les fonctions solutions de l’ED en ajoutant les fonctions obtenues aux étapes (2) et
(3).
5. Si des CI sont fournies, trouver λ qui satisfait les CI.
2.2.5.2 Trouver une solution particulière de l’ED
Il existe trois techniques/méthodes pour trouver une solution particulière y 1 d’une ED affine du 1er ordre
dy
et ainsi finir de résoudre (Relation R 4 )
= p(x)y + q(x) :
dx
1. Vérification d’une solution suggérée ou d’une solution évidente.
2. Observation des fonctions coefficients : la table 2.1 fournit le lien entre les fonctions p(x) et q(x) intervenant dans l’ED et la forme de la solution particulière à rechercher.
2.3. Équation différentielle du 2ème ordre
23
3. Méthode de Lagrange (dite méthode de variation de la constante) à n’employer qu’en dernier recours,
car elle est souvent longue en terme de calcul.
Forme de p(x) et de q(x)
Solution particulière y 1 (x)
C te
y 1 (x) est une fonction constante
y 1 (x) est un polynôme
d’ordre et de coefficients à déterminer
y 1 (x) = θ cos(ωx) + µ sin(ωx),
avec θ, µ constantes à déterminer
y 1 (x) = e αx h(x)
avec h(x) un polynôme à déterminer
polynômes
α cos(ωx) + β sin(ωy)
e αx g (x)
avec g (x) un polynôme
TABLE 2.1: Des coefficients de l’ED à la solution particulière y 1
Exemple Résoudre y 0 + 2y = 2 − 4x 2
Ï en recherchant une solution particulière de type polynôme : y 1 (x) = a + bx + c x 2 + d x 3 + ...
avec a, b, c, d , ... des coefficients à déterminer en utilisant le fait que y 1 (x) est solution de
l’ED
Ï Le degré du polynôme est (en général) choisi pour être le maximum entre l’ordre de l’ED et
le degré du plus haut monôme présent dans l’ED
Théorème 22. M ÉTHODE DE L AGRANGE
Partant de la solution générale y 0 (x) = λe P (x) avec λ une constante réelle de l’ED affine du 1er ordre
dy
vérifiant la (Relation R 4 )
= p(x)y + q(x), on cherche une solution particulière y 1 (x) de la forme
dx
P (x)
y 1 (x) = λ(x) e
où λ(x) devient cette fois une fonction de x à déterminer ; on dit que l’on fait varier
la constante. En injectant y 1 (x) dans la (Relation R 4 ), on en déduit que y 1 (x) est solution (particulière) de
l’ED SSI :
λ0 (x) = q(x)e −P (x)
(2.10)
On détermine alors une primitive de q(x)e −P (x) pour trouver la fonction λ(x) et ainsi expliciter la solution
particulière y 1 (x).
2.2.6 Des conditions initiales à une solution unique
Pour résoudre une ED du 1er ordre avec une CI, il faut :
1. Déterminer une solution générale (dépendant du paramètre λ) de l’ED en suivant les méthodologies
vues précédemment
2. Substituer la condition initiale dans la solution générale trouvée.
3. Résoudre l’équation algébrique en fonction de λ.
4. Reporter la valeur obtenue de λ dans la forme générale de la solution pour conclure sur la fonction solution ET de l’ED ET de la CI.
2.3 Équation différentielle du 2ème ordre
2.3.1 Généralités
Définition 16. ED DU 2 ÈME ORDRE
Une ED du 2ème ordre est une équation fonctionnelle comportant une fonction y inconnue de la variable
dy
d2y
x, sa dérivée
, sa dérivée seconde
et des fonctions connues de x.
dx
d x2
24
Équations différentielles
Remarques :
Ï Une solution y d’une ED du 2ème ordre sur un intervalle I est nécessairement dérivable à l’ordre 2 sur I .
Ï Toutes les solutions de l’ED auront deux paramètres (2 degrés de liberté), qui pourront être fixés par 2
CI.
Nous allons étudié deux catégories/types d’ED linéaire du 2ème ordre 2 : les ED linéaire du 2ème ordre et
les ED affine du 2ème ordre. On ne s’intéressera ici qu’aux ED à coefficients constants.
2.3.2 ED linéaire du 2ème ordre à coefficients constants
2.3.2.1 Généralités
Définition 17. ED LINÉAIRE DU 2 ÈME ORDRE À COEFFS CONSTANTS
Les ED linéaires du 2ème ordre à coefficients constants sont les relations fonctionnelles de la forme :
(Relation R 6 ) a
d2y
dy
+b
+cy = 0
d x2
dx
(2.11)
où a ∈ IR∗ , b, c ∈ IR sont 3 constantes.
Exemple Une ED du 2d ordre à coefficients constants
y 00 + 2y 0 − 3y = 0, avec a = 1, b = 2, c = −3
Définition 18. E QUATION CARACTÉRISTIQUE (EC) ASSOCIÉE À L’ED LINÉAIRE DU 2 ÈME ORDRE À COEFFI CIENTS CONSTANTS
L’EC associée à une ED linéaire du 2ème ordre à coeffs constants est le polynôme de la variable ρ suivant :
(Equation E 6 ) ap 2 + bp + c = 0
(2.12)
Les solutions de l’ED vérifiant la (Relation R 6 ) sont dépendantes des racines de l’EC (Equation E 6 ) et donc
du discriminant :
∆ = b 2 − 4ac
(2.13)
Théorème 23. S OLUTIONS D ’ UNE ED LINÉAIRE DU 2 ÈME ORDRE À COEFF . CONSTANTS
Soit ∆ le discriminant de l’EC (Equation E 6 ) associée à une ED linéaire du 2ème ordre à coefficients
constants.
Cas 1 : Si ∆ = b2 − 4ac > 0, les solutions de l’ED (R 6 ) sont les fonctions formant la famille :
©
ª
F6 = y(x) = λe ρ 1 x + µe ρ 2 x /λ, µ ∈ IR
(2.14)
p
−b ± ∆
où ρ 1 , ρ 2 =
sont les deux solutions réelles de l’EC (Equation E 6 ).
2a
2
Cas 2 : Si ∆ = b − 4ac = 0, les solutions de l’ED (R 6 ) sont les fonctions formant la famille :
©
ª
F6 = y(x) = (λ + µx)e ρ 0 x /λ, µ ∈ IR
(2.15)
−b
est la solution réelle double de l’EC (Equation E 6 ).
2a
Cas 3 : Si ∆ = b2 − 4ac < 0, les solutions de l’ED (R 6 ) sont les fonctions formant la famille :
©
¡
¢
ª
F6 = y(x) = e αx λ cos(ωx) + µ sin(ωx) /λ, µ ∈ IR
(2.16)
p
−b ± j −∆
où ρ 1 , ρ 2 =
= α ± j ω sont les deux solutions complexes de l’EC (Equation E 6 ) avec α =
2a
¯
¯ ¯
¯
¯
|ρ 1 | = |ρ 2 | et ω = Arg(ρ1)¯ = ¯Arg(ρ2)¯.
où ρ 0 =
2. par extension des ED du 1er ordre
2.3. Équation différentielle du 2ème ordre
25
2.3.2.2 Méthodologie 6 : Résoudre une ED linéaire du 2ème ordre à coeffs constants
1. Identifier le type de l’ED et l’écrire sous la forme : a
dy
d2y
+b
+cy = 0
d x2
dx
2. Déterminer l’EC, calculer son discriminant ∆
3. Suivant le signe de ∆, déduire la forme des solutions générales de l’ED en fonction des deux degrés de
liberté λ et µ
4. Si des CI sont fournies, remplacer les données fournies dans la solution générale et résoudre le système
d’équation pour déterminer λ et µ
2.3.3 ED affine du 2ème ordre à coefficients constants
2.3.3.1 Généralités
Définition 19. ED AFFINE DU 2 ÈME ORDRE À COEFFS CONSTANTS
Les ED affines du 2ème ordre à coeffs constants sont les relations fonctionnelles de la forme :
(Relation R 7 ) a
d2y
dy
+b
+ c y = e(x)
d x2
dx
(2.17)
avec
Ï a ∈ IR+ et b, c ∈ IR trois constantes
Ï e(x) une fonction continue sur un intervalle I .
Exemple Une ED du 2d ordre à coefficients constants
2y 00 − y 0 + 6y = x 2 − 1, avec a = 2, b = −1, c = 6 et e(x) = x 2 − 1
Théorème 24. S OLUTIONS D ’ UNE ED AFFINE DU 2 ÈME ORDRE À COEFFS CONSTANTS
Les solutions d’une ED affine du 2ème ordre à coeffs constants sont les fonctions formant la famille :
©
ª
F7 = y(x) = y 0 (x) + y 1 (x)
(2.18)
où
Ï y 0 est la solution générale de l’ED linéaire associée à la Relation (R 7 ), qui est définie par la
d2y
dy
(Relation R̃ 7 ) a 2 +b
+c y = 0 ; la solution obtenue sera dépendante de 2 paramètres λ, µ ∈ IR.
dx
dx
dy
d2y
Ï y 1 est une solution particulière de l’ED affine initiale (Relation R 7 ) a 2 + b
+ c y = e(x).
dx
dx
Remarque : N’importe quelle solution particulière y 1 (x) fonctionne pour finaliser l’écriture des solutions
d’une ED affine du 2d ordre à coefficients constants.
2.3.3.2 Techniques pour la recherche d’une solution particulière de l’ED
Les techniques pour rechercher une solution particulière d’une ED du second ordre à coefficients constants
sont identiques à celles du cas des ED du 1er ordre :
1. Vérification d’une solution suggérée ou d’une solution évidente.
2. Observation des fonctions coefficients.
3. Méthode de Lagrange (ou méthode de variation de la constante), à n’utiliser qu’en dernier recours.
26
Équations différentielles
2.3.3.3 Méthodologie 7 : Résoudre une ED affine du 2ème ordre à coeff. constants
1. Identifier le type de l’ED et l’écrire sous la forme : a y 00 + b y 0 + c y = e(x)
2. Écrire l’ED linéaire associée : a y 00 +b y 0 +c y = 0 et la résoudre (en utilisant la méthodologie 6) pour trouver
la solution générale y 0 (x), fonction de deux paramètres λ et µ
3. Chercher une solution particulière de l’ED affine y 1 (x) (en utilisant la méthodologie 5)
4. Conclure sur les solutions de l’ED en ajoutant les résultats de (2) et (3)
5. Si des CI sont fournies, remplacer les données fournies dans la solution générale et résoudre le système
d’équation pour déterminer λ et µ
2.3.4 Des conditions initiales à une solution unique
En suivant le théorème de Cauchy, une ED affine du 2ème ordre, disposant de 2 conditions initiales, par
exemple :
dy
d2y
+ c y = e(x) avec y(α1 ) = β1 et y 0 (α2 ) = β2
(2.19)
a 2 +b
dx
dx
où α1 , β1 , α2 et β2 sont quatre réels fixés par l’énoncé, admet une unique solution.
Méthodologie : Résoudre une ED (R) avec deux CIs :
1. Déterminer une solution générale (dépendant des 2 paramètres λ et µ de l’ED)
2. Dériver la solution générale (en fonction des 2 paramètres)
3. Substituer les conditions initiales dans la solution générale trouvée et sa dérivée.
4. Résoudre le système d’équations algébriques en fonction de λ et µ
5. Reporter les valeurs obtenues de λ et µ dans la forme générale de la solution.
Bibliographie
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propos des fonctions. http ://www.e-filipe.org/modules/M1/index.htm.
[BS94]
Jean-Claude B ELLOC et Patrice S CHILLER : Mathématiques pour l’électronique. Masson, 1994.
[CCB05] Gérard C HAUVAT, Alain C HOLLET et Yves B OUTEILLER : Mathématiques BTS/DUT - Analyse. EdiScience, Dunod, Paris, objectif bts/dut édition, 2005.
[LPR96] C. L ARCHER, M. PARIENT et J.-C. R OY : Mathématiques - L’essentiel du cours - BTS-DUT Industriels.
Techniplus, Paris, 1996.
[Par06]
Sophie PARISI : Module M2 - Fondamentaux d’Analyse. IUT de Valence - Département Réseaux et
Télécommunications, Année universitaire 2005/2006.
27