Simulation numérique à l`échelle macroscopique par la méthode

Transcription

Simulation numérique à l’échelle macroscopique par la
méthode des éléments finis
Franck Pigeonneau
Surface du verre et Interfaces, UMR 125 CNRS/Saint-Gobain
39, quai Lucien Lefranc
93303 Aubervilliers cedex
Tél. 01 48 39 59 99
email : [email protected]
Mai 2011
ii
TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1 Introduction
1
2 Rappel de mécanique des milieux continus
2.1 Les principes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Equations générales de la mécanique des milieux continus
2.2.1 Equations de l’élasticité . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Equations de la mécanique des fluides . . . . . . .
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3
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13
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16
18
19
3 Formulation variationnelle, méthode des résidus pondérés
3.1 Classification des équations aux dérivées partielles . . .
3.2 Formulation variationnelle d’un problème elliptique . . .
3.3 Formulation variationnelle des équations de l’élasticité .
3.4 Formulation variationnelle des équations de Stokes . . .
3.5 Méthode des résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . .
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4 Méthode des éléments finis ou comment passer du continu au discret
21
4.1 Méthode des éléments finis à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Eléments finis à deux ou trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Mise en œuvre numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Exemples de problèmes traités par la méthode des éléments finis
5.1 Comsol Multiphysicsr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Compression diamétrale d’un disque . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Equation de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Solution à l’aide de la méthode de Galerkin . . . . . . . . .
5.3.3 Solution à l’aide de la méthode de Galerkin/moindres carrés
5.4 Ecoulement forcé dans un demi-cylindre . . . . . . . . . . . . . . .
GDR Verres
Modélisations des verres : de la structure aux propriétés
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TABLE DES MATIÈRES
iii
6 Travaux dirigés
6.1 Equation de Poisson avec un terme source ponctuel . . . . . . . . . . . . .
6.2 Propagation de front de fissure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Géométrie, conditions aux limites et propriétés mécaniques . . . . .
6.2.2 Rappel sur le facteur d’intensité de contrainte . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Simulation dans Comsol Multiphysicsr . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Transfert de masse autour d’une bulle en ascension dans un verre en fusion
6.3.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Simulation dans Comsol Multiphysicsr . . . . . . . . . . . . . . .
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Bibliographie
51
Index
53
GDR Verres
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Introduction
1
Chapitre 1
Introduction
La physique, la thermodynamique des phénomènes irréversibles, la mécanique ou plus généralement les sciences des transferts présentent une très large variété d’équations multidimensionnelles s’appliquant à des milieux continus. Ces équations décrivent les processus mise en jeu
dans les phénomènes à étudier tels que la diffusion chimique ou thermique, le mouvement d’un
fluide ou encore des réactions chimiques. Dans la grande majorité des cas, ces équations sont des
formes différentielles et sont couramment appelées “équations aux dérivées partielles” (EDP en
abrégé).
Les solutions exactes ou approchées de ces EDP qui sont toujours d’une aide précieuse ne
sont malheureusement pas très répandues. Elles sont généralement limitées à des géométries
et des situations simples ou dégénérées. Le recours à des méthodes alternatives s’impose. La
résolution numérique de ces EDP en est une.
Les ordinateurs qui deviennent jour après jour de plus en plus puissants restent néanmoins
“finis” en place mémoire, en précision et en temps de calcul. Ainsi, il est utopique de penser
pouvoir résoudre le problème continu. De là découle inéluctablement une formulation “discrète”
du problème.
Parmi les approximations discrètes, citons la méthode des différences finies qui est sans nulle
doute une des premières méthodes à avoir été développée 1 basée simplement sur les développements limités permettant d’évaluer les dérivées. Elle est simple à implémenter mais reste d’une
utilité limitée pour décrire des géométries complexes. Citons la méthode des volumes finis très
utilisée dans la résolution des problèmes hydrodynamiques. Elle est particulièrement bien adaptée aux problèmes faisant intervenir des équations de conservation avec peu de diffusion.
La méthode des éléments finis, terme pour la première fois introduit par Clough [7] prend
ses racines dans la résolution de calcul des structures. Elle a ensuite reçue une assise mathématique importante basée sur les approches variationnelles et des résidus pondérés proposées bien
des années auparavant par Rayleigh [30] en 1870 pour la première et par Gauss dès 1795 pour
la deuxième. Depuis, la méthode des éléments finis a été étendue à une très large gamme de
problèmes allant bien sur de la mécanique des structures à la mécanique des fluides mais aussi
électromagnétisme [35, 9].
1. Newton [24] dans ses “Principia” avait recours à des approximations discrètes bien que présentées uniquement
sous forme géométrique dans son œuvre maitresse.
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2
Introduction
Ces éléments de cours ne feront qu’effleurer la technique des éléments finis. Comme il s’agit
ici de résoudre des équations sur des domaines macroscopiques, il nous a semblé important de
rappeler les concepts de milieux continus, de même que les principes de la dynamique, chapitre
2. Pour les lecteurs ayant de bonnes connaissances de la mécanique des milieux continus, ce
premier chapitre peut être sauté. La méthode des éléments finis étant fondée sur une formulation
“faible” 2 , le chapitre 3 sera consacrée à la formulation variationnelle et à la méthode des résidus
pondérés. Ce chapitre débutera par la classification des EDPs. Nous appliquerons la formulation variationnelle à trois problèmes qui se rencontrent très fréquemment dans les applications.
Ensuite, le passage du continu au discret sera abordé dans le chapitre 4 en traitant d’abord un
exemple simple à une dimension. La généralisation à un nombre de dimension plus élevé sera
abordée. La chapitre 5 sera dénié à la présentation de trois exemples numériquement résolus à
l’aide du logiciel Comsol Multiphysicsr. Le premier exemple sera un problème d’élasticité, le
deuxième sera consacré à la résolution d’une équation non-linéaire. Le dernier exemple sera un
problème de mécanique des fluides. Finalement, nous finirons, chap. 6, ces éléments de cours
par la présentation des travaux dirigés réalisés au cours de cette école.
2. Cet adjectif qui peut vous sembler flou sera précisé par la suite.
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Rappel de mécanique des milieux continus
3
Chapitre 2
2.1 Les principes fondamentaux
La mécanique des milieux continus est la théorie sur laquelle se fonde la mécanique des structures et la mécanique des fluides. Cette dernière est dite “classique” car fondée sur le concept
de temps absolu. Ainsi, l’ensemble T des instants est considéré comme un espace affine de
dimension un. Un repère de temps ayant été choisi, à chaque instant correspond un temps t.
Spatialement, la mécanique classique est formulée dans l’espace affine euclidien orienté à trois
dimensions dont le référentiel est noté E. Un repère R de E étant choisi, chaque point géométrique P ∈ E est repéré par le triplet x = (x1 ,x2 ,x3 ) ∈ R3 .
La matière est considérée constituée d’éléments appelés particules ou points matériels. Un
ensemble A de telles particules est un ensemble matériel. La conception de milieu continu admet
que la matière est sans lacune. Ainsi, on appelle corps matériel ou milieu continu tout ensemble
matériel dont toute position est une région fermée de E.
La conséquence première de cette conception est que l’on ne peut pas déduire la mécanique
des milieux continus de celle du point [34]. Ainsi, les principes de conservation de la masse et
de la dynamique doivent être formulés directement. Pour cela rappelons les notions de configuration, de déformation et de mouvement.
Définition definition On appelle configuration d’un ensemble matérial A, toute application K
de A dans E.
Définition definition On appelle déformation d’un ensemble matérial A entre deux configurations K et K′ , la bijection g de K(A) vers K′ (A) définie par
g = K′ ◦ K−1 .
(2.1)
Définition definition On appelle mouvement d’un ensemble matériel A durant l’intervalle de
temps I ⊂ R, une fonction
χ : A × I 7−→ E
(2.2)
qui à chaque particule p ∈ A et à chaque instant t ∈ I associé un point géométrique P ∈ E
P = χ(p,t).
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(2.3)
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Chaque application partielle
χt : p ∈ A 7−→ χ(p,t) ∈ E
(2.4)
est une configuration de A.
La masse d’un point matériel n’ayant aucun fondement, on doit introduire ρ la masse volumique du point matériel p associé au point géométrique P dans la configuration χt . Le principe
de la conservation de la masse s’exprime sous la forme :
Principe principe La masse de tout corps matériel ne dépend pas de la configuration. La masse
de tout corps en mouvement χ est indépendante de t:
Z
d
ρ(P )dV = 0.
(2.5)
dt χt (A)
Le principe de la dynamique exprime des relations entre grandeurs cinématiques et efforts.
La vitesse et l’accélération se déduisent du mouvement. Ainsi, l’application partielle
χp : t ∈ I 7−→ P = χ(p,t)
(2.6)
définit la loi horaire du mouvement de point matériel p. Si une origine O de E est choisie, on
aura
OP = χ(p,t).
(2.7)
Ainsi, la vitesse et l’accélération de p par rapport au repère R sont simplement définies par
dOP
dχ(p,t)
=
,
(2.8)
dt
dt
d2 OP
d2 χ(p,t)
=
.
(2.9)
γ(p,t) =
dt2
dt2
Le torseur dynamique d’un ensemble matériel A écrit en un point quelconque A par rapport
au repère R est donné par la relation
R
d(A/R) =
γ(p,t)ρdV
R A
.
(2.10)
D(A/R) =
j A (A/R) = A AP × γ(p,t)ρdV
On définit de même le torseur des efforts de B sur A au point A par
F (A,B)
F (A,B) =
,
(2.11)
M A (A,B)
V (p,t) =
où F (A,B) est la force et M A (A,B) le moment défini en A.
Le principe de la dynamique écrit dans le cadre de la mécanique des milieux continus s’écrit
sous la forme
Principe principe Il existe un référentiel Eg (de repère Rg ) appelé galiléen et une chronologie absolue, tels que pour tout corps matériel A en mouvement et à chaque instant, le torseur
dynamique galiléen de A soit égal au torseur des efforts extérieurs appliqués à A :
D(A/Rg ) = Fe (A) = F (A,Ae ),
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(2.12)
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S
n
coté négatif
coté positif
F IG . 2.1 – Représentation de la coupure S̃ réalisée sur un corps matériel A à l’aide d’une
orientation continue de la normale n.
où Ae est le plus grand corps séparé de A. Le torseurs des efforts extérieurs prend également en
compte les forces à distance.
Passons maintenant à une écriture locale de ces principes de conservation.
Afin de décrire les efforts internes que subit un corps matériel A par un autre B, la notion
de contrainte doit être introduite. Elle repose sur le fait que les efforts de contact ne dépendent
pas des corps mais uniquement des surfaces de contact. C’est pour cette raison que ces efforts
sont introduits sous forme de densités surfaciques mesurées en Newton par mètre carré (N/m2 ).
Lorsque l’on exprime les efforts de contact, il convient de distinguer la partie agissante de la
partie recevante, la notion de coupure est là pour préciser ce point.
Définition definition Etant donnée une surface S, illustrée sur la Fig. 2.1, intérieure à A, on
appelle coupure de A, notée S̃, le couple constitué de S et du choix d’une orientation continue du
vecteur unitaire normal, n, à S. On appelle coté positif (resp. négatif) de S˜ le domaine matériel
situé au voisinage de S du même coté (resp. du coté opposé) que la normale n.
La convention universelle de la mécanique des milieux continus est la suivante
Définition definition S̃ étant une coupure de A, on note T S̃ la densité vectorielle surfacique
d’efforts de contact réalisant l’action de la matière située du coté positif de S˜ sur la matière
˜
située du coté négatif de S.
L’hypothèse fondamentale de Cauchy (1822), démontrée par Noll en 1955 (cf. pour plus de
détails, Truesdell et Toupin [34]) stipule que T S̃ ne dépend que de la normale et non pas de S que
l’on peut alors notée T (P ,n). De plus, Cauchy a démontré que T S̃ s’écrivait de façon linéaire en
fonction de n. Ainsi, on peut dire qu’en tout point matérial P , il existe un tenseur de contrainte,
σ(P ), tel que
T (P ,n) = σ(P ) · n,
(2.13)
où le point représente le produit contracté. Sous forme indicée relativement à une base orthonormée, la relation précédente s’écrit
Ti (P ,n) = σij (P )nj ,
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(2.14)
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où la convention d’Einstein sur les indices muets (répétés deux fois) est utilisée.
Le principe de la dynamique peut être maintenant formulé sous forme locale où nous passons sous silence l’obtention de ces équations via l’écriture intégrale de la relation (2.12). Nous
obtenons les deux relations fondamentales suivantes :
ργ = f + div σ,
σij = σji .
(2.15)
(2.16)
f correspond à la densité volumique des forces à distance (gravité par exemple) ; div est l’opérateur de divergence qui appliqué à un tenseur d’ordre deux s’exprime sous la forme
(div σ)i =
∂σij
= σij,j .
∂xj
(2.17)
La relation (2.16) montre que pour avoir la conservation des moments, il est nécessaire que le
tenseur des contraintes soit symétrique.
Ces relations de conservation ne sont pas suffisantes pour poser complètement le problème
car les conditions aux frontières (conditions aux limites) stipulant par exemple un chargement ou
un encadrement doivent être ajoutées. Nous reportons la discussion sur ce point dans le chapitre
suivant.
Nous allons maintenant particulariser ces équations de conservation dans le cadre de la mécanique des structures (élasticité) et de la mécanique des fluides.
2.2.1 Equations de l’élasticité
L’élasticité est la science où l’on cherche à définir l’état de contrainte et de déformation dans
un corps sollicité mécaniquement. L’objectif est de contrôler si ce dernier peut supporter les
charges soumises sans aucun endommagement. Afin de relier les déformations et les contraintes,
nous devons exprimer la relation les liant qui est généralement décrit sous le nom de loi de
comportement. Pour cela, rappelons la notion de champ de déplacement. Celle-ci doit être faite
en introduisant une configuration de référence, K appliqué au corps matériel A. Le domaine de
référence est noté D = K(A) ∈ E.
Définition definition On appelle déplacement associé à une déformation g, le champ vectoriel
u définit sur la configuration de référence D par
∀ P ∈ D, u(P ) = g(P ) − OP
(2.18)
En dehors des solides indéformables, la première approximation possible pour décrire les
déformations dans un solide est de supposer que celles-ci sont petites ou infinitésimales. Dans
ce cas, la configuration déformée reste très voisine de la configuration de référence. L’état de
déformation se décrit en faisant un développement limité autour d’un point P :
u(Q) = u(P ) + grad u(P ) · PQ,
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(2.19)
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7
où grad est l’opérateur gradient tel que appliqué à un vecteur ce dernier donne un tenseur d’ordre
deux :
∂ui
(grad u)ij =
= ui,j .
(2.20)
∂xj
La décomposition canonique du tenseur du gradient de u s’écrit sous la forme
grad u(P ) = w + e,
(2.21)
où w, e sont définis par
1
grad u − t grad u ,
2
1
e=
grad u + t grad u .
2
w=
t
(2.22)
(2.23)
désigne le tenseur transposé. w correspond à la partie antisymétrique et e à la partie symétrique
On rappelle que la partie antisymétrique ne décrit uniquement le mouvement de translation
et rotation solide, il est d’ailleurs appelé tenseur de rotation. La partie symétrique, qu’en à elle,
décrit les déformations : les termes diagonaux correspondent à des allongements et les termes
non-diagonaux à des glissements [34].
Maintenant que les déformations ont été caractérisées, les relations entre contrainte et déformation peuvent être spécifiées. Comme nous l’avons vu auparavant seul le tenseur e décrit les
déformations. Ainsi, l’état de contrainte étant uniquement relié à l’état de déformation, on s’attend à avoir un tenseur de contrainte qui soit une fonction de e décrivant la loi de comportement.
Cette dernière constitue une restriction sur les forces subies par un solide. Nous allons nous limiter ici au cas de l’élasticité linéaire reposant sur deux hypothèses : l’une stipule l’existence
d’un état libre de contrainte, appelé état naturel et la seconde est que les contraintes s’expriment
de façon linéaire en fonction des déformations. Ceci se traduit mathématiquement sous la forme
suivante
σ(P )ij = Cijkl (P )ekl .
(2.24)
Le tenseur d’ordre quatre C est appelé tenseur élastique.
Cette relation reste encore trop compliquée pour les applications. C’est pourquoi on introduit
encore deux autres simplifications. La première est de supposer que le corps est homogène, i.e.
que le tenseur élastique est indépendant du point matériel, P ; la deuxième est de considérer le
milieu comme isotrope. Ainsi et compte-tenu des symétries des deux tenseurs σ et e, seuls deux
constantes suffissent pour exprimer le tenseur élastique sous la forme [34] :
Cijkl = λδij δkl + µ(δik δjl + δil δjk ).
(2.25)
où λ et µ désignent les coefficients de Lamé et δij correspond au symbole de Kronecker, égal à 1
si i = j et à zéro si i 6= j.
La relation contrainte déformation devient alors
σ(P )ij = λtr(e)δij + 2µeij ,
GDR Verres
(2.26)
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8
où tr(e) désigne la trace de e : eii .
Remarquons que les deux coefficients de Lamé sont reliés au module de Young, E, et au coefficient de Poisson, ν, classiquement introduit en résistance des matériaux à l’aide des relations
suivantes
µ(3λ + 2µ)
,
λ+µ
λ
.
ν=
2(λ + µ)
E=
(2.27)
(2.28)
Ceci finit complètement l’établissement des équations de l’élasticité linéaire. En effet, le principe de la dynamique entraîne l’écriture de trois relations scalaires dépendant de trois inconnues
scalaire, ui . L’introduction de la loi de comportement (2.26) dans l’équation exprimant le bilan
de quantité de mouvement, Eq. (2.15), conduit à l’écriture des équations de Navier :
ρ
∂ 2 ui
= µui,jj + (λ + µ)uj,ji + fi .
∂t2
(2.29)
2.2.2 Equations de la mécanique des fluides
Description cinématique des fluides
Nous avons vu précédemment qu’en élasticité, la configuration de référence avait beaucoup
d’intérêt pour écrire les équations de la déformation du solide matériel. En mécanique des fluides,
on l’on cherche à étudier le mouvement d’un fluide, deux descriptions du milieu matériel existent.
La première appelée description Lagrangienne consiste à exprimer la position x à tout instant t
de chaque particule matériel en fonction de t et de x0 , position dans la configuration de référence,
D0 . On écrit
x = g(x0 ,t).
(2.30)
Les variables x0 , t sont dites variables de Lagrange.
Pour un x0 donné, g(x0 ,t) décrit la loi horaire du mouvement d’une particule matérielle p
dont la position dans la configuration de référence est x0 . La vitesse et l’accélération sont alors
simplement données par les dérivées partielles suivantes
∂g(x0 ,t)
,
∂t
∂ 2 g(x0 ,t)
.
γ(x0 ,t) =
∂t2
v(x0 ,t) =
(2.31)
(2.32)
Cette description est généralement mal adaptée pour décrire le mouvement du fluide. En
effet, on recherche rarement à connaître le mouvement individuel de chaque particule matérielle.
Il est plus intéressant de connaître à tout moment et en tout point d’une région de l’espace où le
fluide se trouve, la vitesse ou toute autre variable des particules matérielles. Ainsi, on introduit la
description eulérienne qui consiste à exprimer toute grandeur en fonction de la position, x dans
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9
le domaine de l’espace et à chaque instant t. Par exemple, la vitesse, notée ici U , est alors écrite
sous la forme suivante :
U = U (x,t).
(2.33)
Les variables x , t sont appelées variables d’Euler.
L’introduction de cette représentation nécessite de bien définir la dérivation par rapport au
temps. Ainsi on définit les deux dérivées temporelles suivantes [1] :
∂
∂
: dérivée temporelle à x fixé,
=
∂t
∂t x
∂
D
: dérivée temporelle à x0 fixé.
=
Dt
∂t x0
(2.34)
(2.35)
La deuxième dérivée correspond au cas où l’on suit une particule matérielle au cours de son
mouvement. Elle est appelée dérivée matérielle ou dérivée convective. Il vient alors que la vitesse
est donnée par
Dx
U (x,t) =
.
(2.36)
Dt
L’accélération est également définie à l’aide de
γ(x,t) =
DU
.
Dt
(2.37)
L’expression de la dérivée matérielle s’obtient facilement en utilisant la notion de dérivée de
fonctions composées. Ainsi on a pour toute grandeur scalaire, f (x,t), la relation suivante :
Df
∂f
=
+ U · grad f.
Dt
∂t
(2.38)
Pour une grandeur vectorielle comme la vitesse, on a
∂U
DU
=
+ U · grad U ,
Dt
∂t
(2.39)
qui suivant une base cartésienne, s’écrit pour la composante Ui
∂Ui ∂Ui
DUi
Uj .
=
+
Dt
∂t
∂xj
(2.40)
Pour finir ces quelques rappels, on parle de mouvement stationnaire si toutes les dérivées
partielles par rapport au temps définies par la relation (2.34) sont nulles. Dans le cas contraire, le
mouvement est dit instationnaire.
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10
Equations de Navier-Stokes
Les principes de la conservation de la masse et de la dynamique peuvent maintenant énoncés.
Ainsi, la conservation de la masse s’exprime à l’aide de l’équation suivante
∂ρ
+ div(ρU ) = 0.
∂t
(2.41)
où ρ est la masse volumique du fluide. Cette relation est appelée équation de continuité.
Pour la quantité de mouvement, on a
ρ
DU
= f + div σ,
Dt
(2.42)
où f sont les forces volumiques.
Pour clore le système, le tenseur des contraintes doit être relié au champ de vitesse. L’expérience montre qu’un fluide au repos subit toujours une compression liée à la pression, P régnant
dans le fluide. Lorsque le fluide est mis en mouvement, l’existence de la variation du champ de
vitesse provoque, l’apparition de contrainte de frottement ou de viscosité. Ainsi le tenseur de
contrainte peut être décomposé sous la forme suivante
σ = −P I + σ v ,
(2.43)
où I est le tenseur unité et σ v est le tenseur de contrainte visqueuse.
Ce dernier doit être relié au gradient de viscosité, grad U . A l’instar de ce que nous avons vu
pour la déformation des solides, le gradient de vitesse peut être décomposé de façon canonique
sous la forme :
grad U = Ω + d,
(2.44)
où Ω, d sont définis par
1
grad U − t grad U ,
2
1
D=
grad U + t grad U .
2
Ω=
(2.45)
(2.46)
La partie antisymétrique est relié au vecteur tourbillon, ω défini par
ω=
1
rot U ,
2
(2.47)
où rot est l’opérateur rotationel. On a la relation suivante en repère cartésien [1]
1
ωi = − ǫijk Ωjk ,
2
(2.48)
où ǫijk désigne le tenseur d’ordre trois antisymétrique de Levi-Cevitta qui faut 1 si i, j et k sont
des permutations paires de 123, −1 si i, j et k sont des permutations impaires et 0 si deux des
trois indices i, j et k sont repetés une fois.
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Le tenseur d caractérise au même titre que e les déformations subit par le milieu et est appelé
tenseur des taux de déformations.
Le tenseur des contraintes visqueuses σ v doit alors être une fonction de d. Dans le cas
d’un comportement linéaire et isotrope, connu sous le nom de fluide newtonien, le tenseur des
contraintes visqueuses est
σ v = λtr(D)I + 2µd,
(2.49)
Le coefficient µ est appelé viscosité de cisaillement. Le premier, λ est relié à la compressibilité
subit par le fluide. L’hypothèse couramment utilisée est de supposer que la quantité 3λ + 2µ
est égal à zéro. De tels fluides sont appelés, fluides de Stokes. On remarque également que
tr(d) = div U .
En reportant (2.49) dans l’équation de quantité de mouvement et pour des fluides homogènes,
i.e. pour µ et λ constants, on obtient l’équation de Navier-Stokes :
ρ
DU
= − grad P + (λ + µ) grad(div U ) + µ∆U + f .
Dt
(2.50)
A l’aide de l’équation de bilan de masse, nous disposons de deux équations pour trois inconnues, P , U et ρ. Il faut donc compléter ce système par une relation supplémentaire fournie par
une loi d’état. Néanmoins, l’hypothèse couramment utilisée est de considérer la masse volumique
comme constante. Dans ce cas, l’équation de continuité devient seulement
div U = 0,
(2.51)
signifiant qu’il y a conservation du volume, i.e. mouvement isochore. De là, l’équation de quantité de mouvement dégénère sous la forme la plus connue
ρ
DU
= − grad P + µ∆U + f .
Dt
(2.52)
Alors que dans le cas général, la pression P s’identifie à la pression thermodynamique [1], ce
caractère n’a plus de sens dans la situation incompressible. La pression n’est alors qu’un scalaire
qui assure la condition d’incompressibilité correspondant à un multiplicateur de Lagrange [23].
L’une des grandes difficultés des équations de Navier-Stokes est leur non-linéarité. En effet,
la dérivée particulaire de la vitesse présente la contribution Uj ∂Ui /∂xj . Cette particularité fait
que ces équations font partir des plus compliquées à étudier mathématiquement [33, 23]. A ce
jour, les mathématiciens ne savent toujours pas démontrer l’existence et l’unicité des équations de
Navier-Stokes dans l’espace à trois dimensions. Ce problème fait d’ailleurs parti des “problèmes
du millénaire” proposés par “the Clay Institute of Mathematics” en 2000.
Le membre de gauche de (2.52) correspond aux forces d’inertie. Le deuxième terme du
membre de droite traduit les forces de viscosité. Lorsque la viscosité d’un fluide est importante
comme pour le verre en fusion, les effets visqueux dominent le reste. Ainsi, les équations de
Navier-Stokes se simplifient sous la forme des équations de Stokes :
− grad P + µ∆U + f = 0.
GDR Verres
(2.53)
9-13 mai 2011
12
Les conditions aux limites généralement prises pour les fluides visqueux sur une paroi est
d’imposer une condition de non-glissement. Ceci signifie que la vitesse est soit fixée à zéro si la
paroi est immobile sinon le fluide est animé de la même vitesse que la paroi. Les écoulements font
apparaître nécessairement un gradient de pression. Inversement, si un gradient de pression existe,
il en résulte un mouvement d’un fluide. Ainsi, une des conditions aux limites qui est souvent prise
est de fixer une valeur de la contrainte normale principalement dominée par la pression. Lorsque
deux fluides sont en contact, des conditions de saut doivent être écrites traduisant la conservation
de la quantité de mouvement (cf. pour plus de détails [18]). Nous reviendrons sur ces conditions
aux limites lors de la résolution numérique des équations de Navier-Stokes.
GDR Verres
9-13 mai 2011
Formulation variationnelle, méthode des résidus pondérés
13
Chapitre 3
Formulation variationnelle, méthode des
résidus pondérés
La formulation intégrale est à la base de toute discrétisation par la méthode des éléments
finis. Nous verrons ci-dessous que dans certain cas cela conduit à la minimisation de fonctionnelle, d’où l’adjectif “variationnelle” dans le titre de ce chapitre. De plus, les formes intégrales
permettent de préciser si les problèmes sont bien posés au sens d’Hadamard [14] : un problème
est bien posé s’il admet une et une seulle solution et si cette dernière est stable par rapport aux
données. La première propriété nous assure que la solution que l’on obtient est bien la bonne. La
deuxième nous assure qu’en changeant une donnée, par exemple en multipliant par un facteur
quelconque un terme source, la solution ne présente pas de singularité (en terme plus imagé, il
ne faut pas que la solution “explose”).
3.1 Classification des équations aux dérivées partielles
Les équations aux dérivées partielles sont souvent classifiées en fonction de la valeur prise par
les coefficients multiplicateurs des termes différentiels. Le but ici est juste d’introduire le vocabulaire communément employé par les numériciens. Prenons le cas d’une équation aux dérivées
partielles portant sur un champ u dépendant de deux variables, x et y, écrite sous la forme
A
∂2u
∂2u
∂2u
∂u
∂u
+
B
+
C
+D
+E
+ F u + G = 0,
2
2
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
(3.1)
où les coefficients A à G peuvent être constants ou fonctions de x et y. L’équation aux dérivées
partielles (3.1) est
elliptique si
B 2 − 4AC < 0,
(3.2a)
parabolique si
et hyperbolique si
GDR Verres
B 2 − 4AC = 0,
(3.2b)
B 2 − 4AC > 0.
(3.2c)
9-13 mai 2011
14
On remarque que cette classification ne porte que sur les coefficients des dérivées d’ordres deux.
Elle est directement reliée à la forme quadratique prise par les trois termes des dérivées d’ordres
deux de (3.1) [14]. Elle peut être généralisée à un nombre de dimension plus grands que deux et
à un nombre d’équations plus grands que un (cf. pour plus de détails la référence [11]).
La classification des équations est importante à connaître car elle conditionne les types de
conditions aux limites mais également les méthodes numériques à employer. Lorsque les coefficients A à G sont constants, la classe de l’équation ne change pas. Dans le cas contraire, la
classification devient locale. Ce dernier cas est généralement la source de difficultés numériques
et intervient par exemple dans la résolution des écoulements subsoniques.
L’équation de Laplace
∂2u ∂2u
(3.3)
∆u = 2 + 2 = 0,
∂x
∂y
écrite ici en dimension deux, est l’archétype de l’équation elliptique. Elle se rencontre dans de
nombreux problèmes de physique où bien souvent des problèmes plus général se réduisent à
l’écriture d’une équation de Laplace ou de Poisson lorsqu’il y a un terme source. Notons que
les équations de Navier stationnaire présentée précédemment est également un exemple typique
d’équation elliptique.
L’exemple typique de l’équation parabolique est l’équation de diffusion instationnaire qui
pour un champ de température T s’écrit
∂T
= κ∆T,
∂t
(3.4)
où κ est la diffusivité thermique. L’opérateur laplacien ∆ peut être écrit en dimension deux ou
trois ce qui ne change rien au caractère de l’équation.
Finalement, le modèle d’équation hyperbolique nous est fourni par l’équation des cordes
vibrantes qui se réduit à
∂2u
1 ∂2u
=
,
(3.5)
c2 ∂t2
∂x2
où c représente la vitesse de propagation des ondes donnée par
s
Ft
.
(3.6)
c=
ρ
Ft représente la force de traction et ρ la masse volumique de la corde.
Cette équation, écrite ici en dimension un se généralise à plusieurs dimensions pour les applications de propagation des ondes sonores mais également des ondes gravitaires à la surface
d’un liquide [17] décrivant les Tsunamis !
3.2 Formulation variationnelle d’un problème elliptique
Pour faire passer l’idée de la formulation variationnelle, nous allons regarder le problème
simple suivant où u vérifie dans un domaine à deux dimensions D, représenté sur la Fig. 3.1,
GDR Verres
9-13 mai 2011
3.2 Formulation variationnelle d’un problème elliptique
15
∂D1
n
D
∂D2
F IG . 3.1 – Représentation du domaine D sur lequel l’équation (3.7) est appliquée. La frontière
de D est partitionné en deux sur lesquels les conditions aux limites sont appliquées. n est la
normale unitaire sortante à la frontière de D.
l’équation de Poisson suivante
−∆u = g,
(3.7)
où le signe “-” a été introduit pour des raisons qui apparaitront plus loin dans l’exposé. La prise
de dérivée du second ordre ne peut se faire que si u ∈ C 2 (D). Nous préciserons plus loin quel
espace doit être considéré.
Afin de définir complètement le problème, on complète l’équation (3.7) par les conditions
aux limites suivantes
u = u1 , sur ∂D1 ,
∂u
∂u
ni = φ, sur ∂D2 .
=
∂n
∂xi
(3.8)
(3.9)
La première condition qui porte sur la valeur prise par u sur ∂D1 est dite condition de Dirichlet.
La deuxième écrite sur la dérivée normale est appelée condition de Neumann.
La formulation variationnelle s’obtient en multipliant l’équation (3.7) par une “fonction test”.
Pour faire cela de façon rigoureuse, des espaces fonctionnels doit être introduits. L’espaces W
est ainsi définis :
W = {v ∈ L2 (D),∂ m v ∈ L2 (D) avec m ≤ 2,v|∂D1 = 0}.
(3.10)
L2 (D) est l’espace de fonctions à carré sommable sur D. Les quantités ∂ m v correspondent à l’ensemble des dérivées soit d’ordre un, soit d’ordre deux. Cet espace est une version plus restrictive
de C 2 (D). Il s’agit d’un espace de Sobolev d’ordre deux (pour plus de détails sur ces espaces,
voir le livre de Raviart et Thomas [29]).
De même, on définit un deuxième espace V sous la forme suivante :
V = {v ∈ L2 (D),∂v ∈ L2 (D),v|∂D1 = 0}.
GDR Verres
(3.11)
9-13 mai 2011
16
V forme donc un espace moins régulier que W .
Si u ∈ W , vérifiant le problème initial constitué de l’équation (3.7) et muni des conditions
aux limites (3.8) et (3.9), en multipliant par une fonction test v ∈ V , et en intégrant sur l’ensemble
du domaine D, on obtient la forme variationnelle suivante
a(u,v) =
Z
D
Trouver u ∈ V, tel que
Z
φvdl, ∀v ∈ V,
gvdS +
(3.12)
∂D2
où a(u,v) est forme bilinéaire symétrique donnée par
Z
grad u · grad vdS.
a(u,v) =
(3.13)
D
L’équation (3.12) s’obtient en faisant une intégration par partie et en appliquant le théorème de
Green-Ostrograski. C’est cette étape qui justifie l’introduction du signe “-” dans (3.7) qui est
éliminé par l’intégration par partie. La vérification de l’équation (3.12) est laissée en exercice.
On remarque que dans le problème (3.12), u est maintenant à chercher dans V qui est moins
régulier que l’espace W . C’est dans ce sens où cette formulation est dite “faible” car nous réduisons le niveau de régularité de u. L’obtention de la forme variationnelle est à la base de la
recherche de l’existence et de l’unicité de la solution du problème continu formulé au début de
cette section.
Montrons maintenant qu’il est relié à un problème de minimisation. En effet en prenant v =
δu considéré comme une variation de u, on montre que la fonctionnelle
Z
Z
1
φvdl,
(3.14)
gvdS −
J(v) = a(v,v) −
2
D
∂D2
est minimum si u vérifie le problème variationnel. C’est à partir de ce résultat que l’on montre
que la solution est unique, cf. [10, 29].
L’obtention du problème de minimisation n’est possible que si a est une forme symétrique.
C’est d’ailleurs pour cela que par abus de langage, la formulation intégrale, Eq. (3.12), est appelée formulation variationnelle.
3.3 Formulation variationnelle des équations de l’élasticité
Les équations de l’élasticité linéaire écrites sur un domaine spatial à trois dimensions D dans
le cas stationnaire s’écrivent sous la forme suivante
∂σij
+ fi = 0.
∂xj
(3.15)
Le tenseur de containte est donné par la loi de comportement
σij = λtr(e)δij + 2µeij ,
GDR Verres
(3.16)
9-13 mai 2011
3.3 Formulation variationnelle des équations de l’élasticité
17
où le tenseur de déformation e est défini par
1
eij =
2
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
(3.17)
et u correspond au champ de déplacement.
Comme précédemment, nous considérons la situation où la frontière de D est partitionnée en
deux. Sur la partie ∂D1 , on impose les déplacements sous la forme
u = 0, sur ∂D1
(3.18)
et sur la deuxième partie, on impose un chargement exprimé en terme de contrainte sous la forme
σ · n = T , sur ∂D2 .
(3.19)
Les espaces introduits précédemment doit être généralisées pour les fonctions vectoriels, u.
Ainsi, ici V et W seront les suivants
3
3
= {v ∈ L2 (D) ,∂v ∈ L2 (D) ,v|∂D1 = 0},
3
3
W = {v ∈ L2 (D) ,∂ m v ∈ L2 (D) avec m ≤ 2,v|∂D1 = 0}.
V
(3.20)
(3.21)
La formulation faible du problème continu local, Eq. (3.15), s’obtient en multipliant par
v ∈ V l’équation (3.15). Par suite de l’intégration par partie et compte-tenu des conditions aux
limites et du fait que le tenseur de contrainte est symétrique, on obtient le problème variationnelle
suivant :
a(u,v) =
Z
D
Trouver u ∈ V , tel que
Z
T · vdS, ∀v ∈ V,
f · vdV +
(3.22)
∂D2
avec
a(u,v) =
Z
σij (u)eij (v)dV.
(3.23)
D
Cette forme bilinéaire est encore symétrique comme on peut le voir simplement en permutant u
et v. Le problème variationnel (3.22) exprime le principe des travaux virtuels. En prenant pour
v une variation de u, on montre que la solution de (3.22) minimise la fonctionnelle suivante
1
J(v) = a(v,v) −
2
Z
D
f · vdV −
Z
∂D2
T · vdS.
(3.24)
Résultat bien connu de tout les mécaniciens qui savent que parmi les champs cinématiquement
admissibles, le champ réel est celui qui minimise l’énergie potentielle [10].
GDR Verres
9-13 mai 2011
18
3.4 Formulation variationnelle des équations de Stokes
Passons à un problème crucial pour la résolution des équations de la mécanique des fluides.
Nous nous limitons ici à la situation d’un fluide incompressible où les effets visqueux sont prépondérants. Dans cette situation, les équations de Stokes régissent l’écoulement dans un domaine
D qui sont rappelées ci-dessous
div U = 0,
−µ∆U + grad P = 0.
(3.25)
(3.26)
U et P désignent respectivement la vitesse et la pression. µ est la viscosité dynamique. Dans ces
équations, les forces de volume ont été négligées. Les conditions aux limites sont simplement
des conditions de vitesse imposée :
U = g sur ∂D.
(3.27)
A la différence de ce nous avons vu jusqu’à maintenant, U et P ont un caractère différent.
Alors que la vitesse présente un caractère elliptique, la pression n’intervient uniquement par son
gradient. On s’attend à ce que ces deux variables jouent un rôle différent.
Pour établir la forme faible de ce problème et compte-tenu des conditions aux limites indiquées ci-dessus, on prend comme espace pour les fonctions tests pour la vitesse le suivant :
3
3
(3.28)
H 10 = {v ∈ L2 (D) ,∂v ∈ L2 (D) ,v|∂D = 0}.
Pour la pression, l’espace suivant :
L20
2
= {q ∈ L (D),
Z
qdV = 0}.
(3.29)
D
Le fait de prendre un espace à moyenne nulle provient du fait que la pression intervient uniquement à travers son gradient. Ainsi, prendre P + c où c est une constante à la place de P ne
change rien aux équations de conservation. L’imposition d’une moyenne nulle permet d’éliminer
cet arbitraire.
En multipliant V ∈ H01 par l’équation de quantité de mouvement et en intégrant par partie et
en multipliant par q ∈ L20 l’équation de conservation de la masse et en intégrant, la formulation
faible du problème de Stokes s’énonce sous la forme :
Trouver (U ,P ) ∈ H 10 (D) × L20 (D) tel que
a(U ,V ) + b(V ,p) = 0, ∀V ∈ H 10 (D),
b(U ,q) = 0, ∀q ∈ L20 (D),
(3.30)
où a(U ,V ) et b(U ,q) sont donnés par
∂Ui ∂Vi
dV,
µ
D ∂xj ∂xj
Z
b(U ,q) = −
q div U dV.
a(U ,V ) =
Z
(3.31)
(3.32)
D
GDR Verres
9-13 mai 2011
3.5 Méthode des résidus pondérés
19
Comme dans les deux précédents exemples, en prenant V = δU , on établit la fonctionnelle
suivante
1
(3.33)
L(V ,q) = a(V ,V ) + b(V ,q).
2
On montre que si L(U ,P ) admet l’encadrement suivant
L(U ,q) ≤ L(U ,P ) ≤ L(V ,P ), ∀(V ,q) ∈ H01 (D) × L20 (D),
(3.34)
alors le problème (3.30) est bien posé.
L’encadrement montre que la fonctionnelle ne correspond plus à un minimum mais à un point
selle [9]. Cette particularité a des conséquences importantes sur la mise en œuvre numérique de
la résolution du problème de Stokes. En effet, les résultats établis sur le problème continu doit
être également vrais sur le problème discret. Ainsi, le fait que U et P ne soient pas dans les
mêmes espaces fonctionnels et que l’encadrement (3.34) doit être vérifié entraîne que les choix
d’éléments finis pour discrétiser la vitesse et la pression ne sont pas arbitraire. Nous en donnerons
des exemples dans le chapitre 4.
Remarquons pour finir que nous avons abordé ce problème de type point selle en prenant
l’exemple de la mécanique des fluides. Néanmoins, la mécanique des solides présente le même
type de problème lorsque le coefficient de Poisson tend vers 1/2 correspondant à la limite d’un
solide incompressible [9, 35].
3.5 Méthode des résidus pondérés
La méthode des résidus pondérés est déjà un premier pas vers une solution discrète. Supposons qu’un problème s’écrit de façon générale dans un domaine D sous la forme suivante
L(u) = f , ∀ x ∈ D,
(3.35)
où L est un opérateur différentiel vectoriel quelconque portant sur le champ u et f un terme
source. De même, les conditions aux limites peuvent être écrites ainsi
M (u) = t ∀ x ∈ ∂D.
(3.36)
Comme numériquement il est impossible de résoudre le problème continu, u peut être approchée en la développant suivant une base de fonctions sous la forme suivante :
ū =
N
X
an φ n ,
(3.37)
n=1
où an sont des coefficients numériques inconnus et φn des fonctions de base. La barre au dessus
de u signifie qu’il s’agit d’une solution approchée. L’introduction du champ approché, ū dans
les équations du problème continu entraîne que les égalités des équations (3.35) et (3.36) ne sont
plus rigoureusement vérifiées. On note les résidus sous la forme suivante :
R(ū) = L(ū) − f ,
B(ū) = M (ū) − t.
GDR Verres
(3.38)
(3.39)
9-13 mai 2011
20
La méthode des résidus pondérés consiste à minimiser l’erreur commise en intégrant les
résidus sous la forme
Z
Z
R(ū) · W m dV +
B(ū) · W m dS = 0, pour m = 1 à N,
(3.40)
∂D
D
où W m correspond à une fonction test ou encore appelée fonction poids.
Le choix de W m permet d’énumérer diverses méthodes [11] :
1. Méthode des sous-domaines : Elle s’obtient en décomposant le domaine D en N sousdomaines tel que D = ∪N
n=1 Dn et que Dn ∩ Dm = ∅ ∀n 6= m et en prenant W m = 1
sur Dm . Cette méthode coïncide avec celle des volumes finis qui a l’avantage d’assurer la
conservation des bilans sur le domaine discrétisé.
2. Méthode de collocation : Ici W m = δ(x − xm ) où δ représente la fonction de Dirac. Cette
méthode impose que l’on force le problème discret à vérifier les équations du problème
locale en un nombre limité de points. C’est la base de la méthode des différences finies où
les opérateurs différentiels sont par la suite approchés. Cette méthode est également utilisée
dans les méthodes spectrales où dans ce cas les fonctions de base sont prises suivant des
bases de polynômes orthogonaux qui en font des méthodes très précises.
3. Méthode des moindres carrés : En prenant comme fonction test
Wm =
∂R
sur D
∂am
(3.41)
et
∂B
sur ∂D,
∂am
on minimise les erreurs revenant à écrite la forme intégrale ainsi
Z
Z
R(ū) · RdV +
B(ū) · BdS = 0,
Wm =
D
(3.42)
(3.43)
∂D
correspondant bien à l’erreur quadratique.
4. Méthode de Galerkin : Elle correspond au choix suivant W m = φm . Remarquons que dans
le cas où les fonctions de base sont choisies de telle sorte à être des solutions fondamentales
du problème local et vérifiant les conditions aux limites, la méthode de Galerkin permet
d’établir une solution exacte du problème correspondant par exemple à une décomposition
de Fourier.
Comme nous l’avons vu au cours du précédent chapitre, le fait de prendre la fonction test dans
le même espace que celui de l’inconnue conduit soit à un problème de minimisation soit à un problème de type point selle. Ainsi, l’utilisation de la méthode de Galerkin nous assure de retrouver
cette caractéristique. C’est pourquoi cette méthode est la plus populaire dans la méthode des éléments finis. Néanmoins, dans certaines situations comme par exemple les équations de transport,
la méthode de Galerkin n’est pas efficace. Pour ces situations, la méthode des moindres carrés
est préférable car elle donne toujours des opérateurs symétriques. Néanmoins, elle requiert des
espaces très réguliers. Quelque fois, les deux méthodes sont couplées, on parle alors d’approche
“Galerkin-Moindres carrés”. Nous en verrons deux exemples au cours du chapitre 5.
GDR Verres
9-13 mai 2011
Méthode des éléments finis ou comment passer du continu au discret
21
Chapitre 4
Méthode des éléments finis ou comment
passer du continu au discret
Sur la base des deux chapitres précédents, nous pouvons aborder la mise en œuvre de la
méthode des éléments finis. Les étapes importantes dans la discrétisation sont la formulation
sous une forme varionnelle ou plus précisément sous une forme faible et ensuite l’écriture sous
forme discrète du problème continu et puis finalement la résolution numérique du problème
discret. Pour aborder cette méthode, nous commençons par traiter un problème à une dimension,
§4.1. Ensuite, une situation à plusieurs dimensions sera présentée, §4.2.
4.1 Méthode des éléments finis à une dimension
L’exemple traité ici est emprunté à Raviart et Thomas [29]. Il s’agit d’un problème elliptique
écrit sur l’ouvert Ω =]0,1[ sous la forme suivante
−
d2 u
= f sur Ω =]0,1[,
dx2
u(0) = u(1) = 0.
(4.1)
(4.2)
Comme précédemment dans l’écriture intégrale, nous introduisons un espace fonctionnel.
Ici, il s’agit de l’espace de Sobolev H01 que nous avons déjà rencontré précédemment et qui est
défini en 1D par
H01 (Ω) = {v ∈ L2 (Ω),
dv
∈ L2 (Ω), v(0) = v(1) = 0}.
dx
(4.3)
En prenant u et v deux fonctions dans l’espace H01 (Ω), la formulation variationnelle s’écrit
Z 1
a(u,v) =
f vdx,
(4.4)
0
avec
a(u,v) =
Z
0
GDR Verres
1
du dv
dx.
dx dx
(4.5)
9-13 mai 2011
22
1 2
x0 = 0
i
N
xN = 1
xi−1 xi
F IG . 4.1 – Discrétisation du segment ]0,1[ en N éléments réguliers.
1 φ0 φ1
φi
1 2
x0 = 0
φN −1 φN
i
xi−1 xi
N
xN = 1
F IG . 4.2 – Fonctions de base sur le segment ]0,1[.
La discrétisation commence par la réalisation d’un maillage. Pour le cas simple qui est le
nôtre ici, on partitionne Ω en N segments qui constituent les éléments finis comme illustré sur
la F IG . 4.1. L’élément i est compris entre les sommets xi−1 et xi . En prenant pour simplifier un
maillage uniforme, les sommets xi sont donnés par la relation suivante
xi = ih,
(4.6)
où h correspond à la taille de la maille donnée par
h=
1
.
N
(4.7)
Nous allons maintenant construire une approximation uh de u pour cela on introduit un espace d’approximation de fonctions continue et affines par morceau défini ainsi
Vh = {vh ∈ C 0 (Ω); ∀i ∈ [1,N], vh |[xi−1 ,xi] ∈ P1 },
(4.8)
où P1 désigne l’espace des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 1. On définit les
fonctions de base φi pour i variant de 0 à N par
 x−xi−1
, si x ∈ [xi−1 ,xi ],

h
xi+1 −x
φi (x) =
(4.9)
, si x ∈ [xi ,xi+1 ],
h

0 sinon.
Ces fonctions, dessinées sur la F IG . 4.2, satisfont la condition
φi (xj ) = δij , 0 ≤ i,j ≤ N.
(4.10)
Dans la mesure où la famille (φ0 , · · · ,φN ) constitue un espace vectoriel de dimension N +1 1 ,
on peut construire une approximation de u sous la forme
uh =
N
X
uh (xi )φi (x),
(4.11)
i=0
1. C’est d’ailleurs pour cela que les fonctions φi sont dites fonctions de base.
GDR Verres
9-13 mai 2011
4.1 Méthode des éléments finis à une dimension
23
où uh (xi ) correspondent à la valeur prise par uh en xi et qui constitue nos inconnues maintenant.
Par la suite on note uh (xi ) = ui .
La formulation variationnelle peut maintenant être écrite en prenant des fonctions dans Vh . Le
nombre d’inconnues s’élève à N +1 entraînant qu’il est nécessaire de constituer N +1 équations.
Pour se faire, la méthode de Galerkin est employée. Ceci veut dire que nous allons écrire N + 1
l’équation (4.4) en prenant vh = φi où i varie de 0 à N.
Le support de φi est l’intervalle [xi−1 ,xi+1 ] sur les éléments intérieurs. Pour φ0 , le support
n’est que [x0 ,x1 ] et pour φN , le support n’est que [xN −1 ,xN ]. La formulation variationnelle s’écrit
sous la forme du système suivant
Z x1
a(φ0 ,φ0 )u0 + a(φ1 ,φ0 )u1 =
f φ0 dx,
(4.12)
0
Z xi+1
a(φi−1 ,φi )ui−1 + a(φi ,φi )ui + a(φi+1 ,φi )ui+1 =
f φi dx,
(4.13)
xi−1
pour i = 1 à N − 1
Z xN
a(φN −1 ,φN )uN −1 + a(φN ,φN )uN =
f φN dx.
(4.14)
xN−1
Ce système est dit tridiagonale montrant que la discrétisation par éléments finis reste locale. Le
calcul des coefficients a(φi ,φj ) se fait sans difficulté. On obtient le système suivant
1
1
u0 − u1 = b0 ,
(4.15)
h
h
1
2
1
− ui−1 + ui − ui+1 = bi ,
(4.16)
h
h
h
pour i = 1 à N − 1
1
1
− uN −1 + uN = bN .
(4.17)
h
h
Les coefficients de second membre doivent être déterminés par une méthode d’intégration numérique telle que la méthode des trapèzes. On remarque au passage, que cette discrétisation est
totalement équivalente à celle obtenue par une méthode des différences finies.
Remarquons qu’à ce stade les conditions aux limites n’ont pas été utilisées. Dans cet exemple,
les valeurs de u sont imposées à zéro en x = 0 et 1. Ces conditions doivent être fixées a priori
. Le fait de stipuler indépendamment de la formulation variationnelle les conditions aux limites
de type Dirichlet font qu’elles sont appelées “conditions aux limites essentielles”. Les conditions
aux limites de type Neumann rentrent directement dans la formulation intégrale et sont alors dites
“conditions aux limites naturelles” [8]. Ainsi, pour notre exemple, la première et la dernière ligne
doivent être remplacées en imposant u0 = 0 et uN = 0. Le système final peut être résolu sans
aucune difficulté.
Afin d’illustrer cette partie, nous appliquons cette méthode à la résolution du problème suivant
d2 u
(4.18)
− 2 = sin(πx), sur Ω =]0,1[,
dx
u(0) = u(1) = 0.
(4.19)
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24
-2
||u − uex ||1 , ||u − uex ||0
10
-3
10
-4
10
||u − uex ||1
||u − uex ||0
||u − uex ||1 = 0.2/N
||u − uex ||0 = 6.4 · 10−2 /N 2
-5
10
-6
10
1
2
10
N
10
F IG . 4.3 – Représentation des erreurs ||u − uex ||1 , ||u − uex ||0 en fonction du nombre de maille
sur le segment ]0,1[.
Ce problème admet une solution exacte très simple donnée par
uex (x) =
sin(πx)
.
π2
(4.20)
Ce problème est résolu à l’aide du logiciel Comsol Multiphysicsr qui sera utilisé lors des
travaux dirigés. La connaissance de la solution exacte permet de faire un contrôle de l’erreur
faite par la résolution numérique. Pour faire cette estimation d’erreur, nous devons définir une
norme, dans le cadre des espaces de Sobolev, la norme utilisée est définie ainsi :
v
uZ 1 "
2 #
u
du
u2 +
||u||1 = t
dx.
(4.21)
dx
0
Il est courant d’utiliser la norme dans l’espace des fonctions à carré sommable L2 défini par
s
Z 1
||u||0 =
u2 dx.
(4.22)
0
Le calcul de l’erreur suivant les deux normes suivantes a été réalisé en prenant un nombre
d’éléments allant de 10 à 100. Le résultat est montré sur la F IG . 4.3 où les erreurs obtenues à
l’aide des normes H1 et L2 sont représentées en fonction du nombre d’éléments. La norme H1
étant plus contraignante, l’erreur est plus importante que celle obtenue en norme L2 . Les courbes
correspondent à des régressions linéaires où l’on constate que l’erreur décroît en h = 1/N en
norme H1 et en h2 en norme L2 .
Ce résultat montré sur l’exemple numérique traité ici est en fait un résultat fondamental de
l’approximation par éléments finis. Si uh désigne la solution du problème discret et u la solution
GDR Verres
9-13 mai 2011
4.2 Eléments finis à deux ou trois dimensions
25
F IG . 4.4 – Représentation du maillage d’une ellipse à l’aide d’éléments triangulaires.
du problème continu, l’erreur ||u − uh ||1 est du même ordre de grandeur que ||u − I(u)||1 où
I(u) correspond à l’interpolation de u sur Vh . De plus, on montre [9] que ||u − I(u)||1 = O(h)
et ||u − I(u)||0 = O(h2 ). Il est possible d’étendre ces résultats à des éléments finis non plus
linéaires mais dans des espaces de polynômes d’ordre plus élevé que 1 type Pk où k est l’ordre
des polynômes utilisés. Dans ce cas, on a le résultat suivant [9] : ||u − I(u)||1 = O(hk ) et
||u − I(u)||0 = O(hk+1 ).
4.2 Eléments finis à deux ou trois dimensions
A plusieurs dimensions, la discrétisation de tout problème continu va devoir passer par le
partitionnement du domaine auquel est appliqué le problème à résoudre. La F IG . 4.4 présente
l’exemple du maillage d’une ellipse à l’aide d’éléments triangulaires.
Les logiciels utilisent plusieurs types d’éléments finis basés sur des polyêdres réguliers. Les
éléments finis ont une définition précise que nous donnons ci-dessous [10].
Définition definition On appelle élément fini de Lagrange 2 le triplet (K,Σ,P ) constitué de
– d’un compact K polyédrique droit ou courbe,
– d’un ensemble Σ de points appelés nœuds ou degrés de liberté,
– d’un espace vectoriel P de fonctions appelé espace d’interpolation.
Il faut que ce triplet donne des valeurs d’une fonction quelconque f sur K continues. Dans
le cas où l’interpolation est continue d’une élément à l’autre, on parle d’élément fini conforme
dans le cas contrainte, d’élément non-conforme.
2. Il existe des éléments où les degrès de liberté sont à la fois les valeurs nodales mais également les dérivées, on
parle alors d’élément fini de Hermite[9].
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2D
3D
P1
P2
P3
F IG . 4.5 – Eléments finis de Lagrange, P1 , P2 et P3 , pour les dimensions de l’espace égales à 2
et 3.
2D
3D
Q1
Q2
Q3
F IG . 4.6 – Eléments finis de Lagrange, Q1 , Q2 et Q3 , pour les dimensions de l’espace égales à 2
et 3. Seuls les nœuds visibles sont représentés.
Des exemples d’éléments finis triangles en deux et prismes en trois dimensions, dits Pk sont
présentés sur la F IG . 4.5 pour k de 1 à 3. Les cercles correspondent aux nœuds où sont imposées
les valeurs des inconnues. En deux dimensions, l’élément P1 possède 3 degrés de liberté, l’élément P2 en a 6 et l’élément P3 , 10. A trois dimensions de l’espace, les éléments P1 , P2 et P3 en
possèdent respectivement 4, 10 et 20. Les fonctions de base sur ces éléments sont généralement
établis à l’aide des coordonnées barycentriques [10]. Ces fonctions ne sont pas présentées ici et
peuvent être trouvées dans la référence [9].
Il est couramment utilisé dans les applications des éléments basés sur les formes carrée ou cubique. Ces éléments en fonctions du degré d’interpolation sont appelés Qk . La F IG . 4.6 présente
ces éléments pour k allant de 1 à 3 en 2D et 3D. Les nombres de nœuds sont pour les éléments
Q1 , Q2 et Q3 respectivement 4, 9 et 16 en 2D et 8, 27 et 64 en 3D. Les fonctions de base pour ces
éléments sont obtenues en prenant les fonctions d’interpolation de Lagrange suivant les deux ou
trois directions de l’espace.
Ces éléments ont été présentés ici pour des mailles parfaites dont les arêtes avaient toutes une
longueur unité. On les appelle éléments de référence. Pour passer d’un élément quelconque dans
une géométrie complexe à un élément de référence, une transformation géométrique simple est
GDR Verres
9-13 mai 2011
4.3 Mise en œuvre numérique
27
appliquée.
Lors de la présentation de la formulation faible du problème de Stokes, nous avons vu que
ce dernier avait une structure particulière où l’on peut prouver l’existence et l’unicité de la solution en montrant que le problème est de type point selle. Pour avoir des chances de trouver une
solution numérique à ce type de problème, il est nécessaire que le problème discret présente les
mêmes caractéristiques que celui continu. Pour avoir la structure de point selle, des conditions
sont à remplir. Celles-ci induisent un choix non arbitraire des éléments finis utilisés pour la vitesse et la pression. Cette condition a été clairement établie sur le plan mathématique par Babuška
[3] et Brezzi [4] et est connue sous le nom de condition Babuška-Brezzi. La vitesse devant être
dans un espace plus régulier que la pression, les éléments Pk /Pk−1, où le premier correspond à
celui de la vitesse et le deuxième pour la pression, est stable. Cet élément est connu sous le nom
d’“élément de Taylor-Hood”. La généralisation aux éléments Qk /Qk−1 est également souvent
utilisée en pratique.
4.3 Mise en œuvre numérique
L’objectif de ce cours n’étant pas de programmer de code d’éléments finis, nous allons rapidement passer sur la mise en œuvre numérique.
Une des caractéristiques de la méthode des éléments finis est que le maillage est dit “non
structuré”. Ceci veut dire qu’il est impossible de repérer par un couple (i,j) ∈ N2 en 2D ou
un triplet (i,j,k) ∈ N3 chaque élément ou sommet. Cette particularité provoque que chaque
élément ainsi que ces nœuds doivent être bien repérés. Cette étape est connue sous le nom de
connectivité. Cette particularité fait que la technique par éléments finis est souvent considérée
comme compliquée à mettre en œuvre. Il est vrai que sur une géométrie simple, la méthode
des éléments finis sera plus longue à programmer que la méthode des différences finies, par
exemple. Par contre, la méthode des éléments finis est tout de suite généralisable à des géométries
complexes alors que la méthode des différences finies induit des simplifications géométriques qui
réduisent le champ d’application.
Le maillage est une étape cruciale dans la mise en œuvre. La réalisation d’un mailleur est un
travail de spécialiste. Nous avons vu qu’un élément fini doit permettre une interpolation bien définie. Pour assurer cette propriété, il est nécessaire d’avoir des mailles les plus géométriquement
parfaites. Une des techniques les plus utilisées est celle de la triangulation de Delaunay. Pour
plus de détails, nous renvoyons aux ouvrages spécialisés comme celui de George et Bourouchaki
[12].
L’utilisation de la transformation géométrique entre un élément quelconque et l’élément de
référence est cruciale dans la mise en œuvre de la méthode des éléments finis. En effet, les
intégrales induites par la formulation faible d’un problème peuvent être faite sur l’élément de
référence. Ceci permet de faire un passage du local au global. Tous les programmes basés sur la
méthode des éléments finis sont bâtis sous cette forme. Ceci permet de faire l’assemblage des
matrices.
Les intégrales doivent être calculées numériquement. Les quadratures les plus utilisées sont
celles faisant appel à la méthode de quadrature de Gauss où l’on transforme les intégrales en une
GDR Verres
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28
somme finie de termes évalués en des points précis sur l’élément de référence appelés points de
Gauss.
Le but de toute discrétisation étant d’obtenir des systèmes matriciels, la méthode des éléments
finis n’échappe pas à la règle. Notons que l’aspect local de cette méthode conduit à ce que les
matrices obtenue sont creuses, i.e. pleines de zéro. Comme dans les applications, le nombre de
degrés de liberté peut être très élevé, il est impossible de stocker toutes les matrices. Ainsi, les
méthodes numériques ne sauvent que les coefficients non nuls. La connectivité des éléments
permet de savoir a priori les coefficients des matrices non nuls. Ensuite, le calcul des inconnues
se fait à l’aide de méthodes, soit directes lorsque l’on cherche à déterminer directement le vecteur
inconnu, soit itératives lorsque l’on cherche le vecteur inconnu sans à avoir à résoudre de système
linéaire, cf. pour plus de détails [19, 20].
GDR Verres
9-13 mai 2011
Exemples de problèmes traités par la méthode des éléments finis
29
Chapitre 5
Exemples de problèmes traités par la
méthode des éléments finis
Ce chapitre illustre des exemples résolus à l’aide de la méthode des éléments finis. Le champ
d’application possible étant très grand, il a fallu faire un choix. Comme l’élasticité est à la base
de l’utilisation de la méthode nous traitons en premier ce cas. Ensuite afin de montrer les possibilités de cette technique, deux problèmes non-linéaires seront vus. De plus, ils seront formulés
à l’aide de l’approche Galerkin/moindres carrés. Comme ces exemples numériques sont réalisés
à l’aide du logiciel Comsol Multiphysicsr, nous présentons au préalable une rapide introduction
du logiciel.
5.1 Comsol Multiphysicsr
Ce logiciel a d’abord été une boîte à outil dans Matlabr . Ensuite, il a été vendu séparément de
Matlabr sous le nom Femlab. Ce logiciel utilisait un langage de script très proche du langage de
Matlabr . Depuis la version 4, Comsol Multiphysicsr a complètement évolué sous une nouvelle
forme. Le langage de script est maintenant Java.
Ce logiciel est avant tout un logiciel de résolution de système d’équations différentielles
algébriques. Il présente l’avantage d’être un environnement de modélisation intégrée avec une
approche semi-analytique : l’utilisation spécifie ses équations ce qui rend son utilisation très
flexible. Afin de répondre à des problèmes plus spécifiques, des modèles sont déjà construits
pour étudier par exemple la mécanique des structure, la mécanique des fluides, les transferts de
chaleur, l’électromagnétisme. Le dernière particularité de ce logiciel est de pouvoir coupler des
phénomènes physiques entre eux.
Comsol Multiphysicsr intégre l’ensemble des outils à la réalisation d’une simulation : le prétraitement, la résolution et le post-traitement. Le prétraitement consistera à construire la géométrie du problème considéré, indiquer les matériaux, décrire les équations, imposer les conditions
aux limites et mailler le domaine. La résolution est le calcul de la solution avec le solveur intégré.
Le post-traitement permet de visualiser les résultats et sauvegarder la solution.
Ce logiciel présente un large panel d’applications. Ici, nous avons choisi quelques exemples
GDR Verres
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30
σn = −P
B C
2α A
D′
D
C ′A′B ′
σn = −P
F IG . 5.1 – Géométrie et maillage du disque en compression.
d’utiliser du logiciel en élasticité, équation non-linéiaire à une dimension et mécanique des
fluides.
5.2 Compression diamétrale d’un disque
Cet exemple traite un problème d’élasticité linéaire à deux dimensions. La géométrie est un
disque de rayon R et d’épaisseur e. On sollicite le matériau en lui appliquant une compression
diamétrale sur un angle 2α. La géométrie et le chargement sont illustrés sur la F IG . 5.1. Expérimentalement, ce type de problème est connu sous le nom d’essai brésilien. Il est très utilisé pour
les matériaux fragiles comme le verre, le béton [6].
5.2.1 Position du problème
Le disque a un rayon de 2 cm. L’épaisseur est prise égale à 1 cm. Le problème est formulé
en élasticité linéaire en supposant que le champ des contraintes est plan. Ce qui signifie que le
tenseur des contraintes s’écrie


σxx σxy 0
σ =  σyx σyy 0  .
(5.1)
0
0 0
Le tenseur de déformation est alors donné par


exx exy 0
e =  eyx eyy 0  .
0
0 ezz
(5.2)
Toutes ces quantités ne dépendent que des coordonnées x et y.
GDR Verres
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5.2 Compression diamétrale d’un disque
31
F IG . 5.2 – Composantes de contrainte (a) σxx , (b) σxy et (c) σyy dans le disque.
Les équations d’équilibre sont identiques à celles que nous avons écrites, §3.3 Eq. (3.15). La
formulation variationnelle reste également la même. En terme de conditions aux limites, sur les
arcs BC et B ′ C ′ , nous imposons une compression diamétrale sous la forme suivante :
σn = −P
s
2
θ
,
1−
α
(5.3)
où P correspond à la pression maximale qui est prise pour cette exemple à 10 MPa. θ est l’angle
fait entre un point courant sur les arcs BC et B ′ C ′ . Ce choix de cette condition aux limites vient
de la théorie de Hertz du contact [16]. Sur le reste du disque, les contraintes sont nulles. Pour
que le problème soit bien posé, il faut se fixer une valeur du déplacement. Ici, on fixe à zéro les
déplacements verticaux aux deux points D et D ′ :
uy = 0, en D et D ′ .
(5.4)
5.2.2 Résultats numériques
Les composantes de contrainte σxx , σxy et σyy sont représentées sur la F IG . 5.2. La composante σxx est très homogène sur l’ensemble du disque avec une valeur de l’ordre de 0,4 MPa. En
dehors des zones localisées autour des contacts, σxx est supérieur à zéro montrant que le matériau est sollicité en traction. Cet essai est donc le moyen indirect de faire un essai en traction.
Il est également utilisé pour étudier la propagation de fissure. La composante σxy présente une
symétrie par rapport au centre du disque. σyy montre que le disque est sollicité en compression
où les valeurs maximales de pression sont obtenues au niveau des contacts.
L’élasticité linéaire plane peut être formulée de façon théorique à l’aide de la fonction d’Airy
ce qui permet d’obtenir des solutions analytiques. Le cas de la compression d’un disque a été
étudié par Hertz en 1882, cf. [16]. Dans le cas où la sollicitation se fait suivant la ligne AB
représentée sur la F IG . 5.1, il existe une solution exacte en supposant que la force s’applique en
un point. Les deux composantes du tenseur des contraintes σxx et σxy suivant la ligne AA′ sont
GDR Verres
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32
σxx , sol. num.
σxx , sol. num.
σxx , Eq. (5.5)
σyy , Eq. (5.6)
0
σxx , σyy
-1e+06
-2e+06
-3e+06
-4e+06
-5e+06
-0,02
-0,01
-0,015
-0,005
0
y
0,005
0,01
0,015
0,02
F IG . 5.3 – σxx et σyy en fonction de y suivant la ligne AA′ . Comparaison à la solution donnée
par (5.5) et (5.6).
alors données par [16]
F
,
πRe
−F 3R2 + y 2
=
,
πRe R2 − y 2
σxx =
(5.5)
σyy
(5.6)
où F représente la force totale due à la pression appliquée sur les arcs BC et B ′ C ′ . Dans notre
calcul, F vaut 274,35 N. On constate que dans cette solution exacte, σxx est indépendant de y.
La F IG . 5.3 donne l’évolution en fonction de y des deux composantes σxx et σxy obtenues
numériquement. Elles sont comparées aux deux équations indiquées ci-dessus. En dehors de la
zone de contact, la comparaison avec la solution exacte est très acceptable.
5.3 Equation de Burgers
Dans cet exemple, nous allons étudier un problème non-linéaire à advection prédominante
où la méthode de Galerkin est mise en défaut. Pour remédier à ce problème, nous utiliserons une
méthode mixte Galerkin/moindres carrés.
Soit un ouvert à une dimension, Ω =] − 1,1[, repéré par la coordonnée x. L’inconnue, u,
vérifie l’équation d’advection/diffusion suivante :
u
GDR Verres
du
d2 u
− ν 2 = 0,
dx
dx
(5.7)
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33
où ν est un coefficient de diffusivité.
L’équation (5.7) est connue sous le nom d’équation de Burgers stationnaire. Burgers [5] a
proposé cette équation modèle pour étudier la turbulence dans les fluides. Elle est également à la
base de la compréhension des phénomènes tels que les trafics routiers.
Les conditions aux limites sont les suivantes :
u(−1) = 1,
u(1) = −1.
(5.8)
(5.9)
La solution exacte de cette équation peut être obtenue sans trop de difficulté. Elle prend la
forte suivante
Ax
,
(5.10)
uex (x) = A tanh −
2ν
où A est une constante d’intégration solution de l’équation transcendante
A
= 1.
A tanh
2ν
(5.11)
Si ν est
√ très petit devant un, A tend vers 1. Dans la situation inverse où ν est très grand, A tend
vers 2ν. Pour des valeurs quelconques de ν, il faut avoir recours à une résolution numérique
pour obtenir A.
5.3.2 Solution à l’aide de la méthode de Galerkin
Le formulation faible au sens de Galerkin du problème discret consiste à résoudre le problème
suivant :
Trouver uh ∈ H01 (ω), tel que
a(uh ,vh ) = 0, ∀vh ∈ H01 (ω),
(5.12)
où a(uh ,vh ) est donné par
1
duh
duh dvh
a(uh ,vh ) =
uh
dx.
vh + ν
dx
dx dx
−1
Z
(5.13)
Remarquons que a(uh ,vh ) n’est ni bilinéaire ni symétrique. Le problème ici ne peut pas être
interprété comme un problème d’optimisation. Il peut néanmoins être résolu par la méthode
des éléments finis. Des éléments de type P2 ont été utilisés. L’utilisation de Comsol Multiphicsr
permet de résoudre le problème non-linéaire à l’aide d’un solveur utilisant la méthode de Newton.
La F IG . 5.4 présente l’évolution de u en fonction de x pour trois valeurs de ν égales à 10−1 , 10−2
et 10−3 .
Pour ν = 10−1, la solution numérique est tout à fait régulière. Par contre, pour les plus
faibles valeurs de ν, on observe des oscillations dans le profil de u. Ceci est dû au fait qu’avec
la diminution de ν les termes de diffusion deviennent négligeables. L’advection devient donc
GDR Verres
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34
2
ν = 10−1
ν = 10−2
ν = 10−3
1,5
1
0,5
u
0
-0,5
-1
-1,5
-2
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0
x
0,25
0,5
0,75
1
F IG . 5.4 – Solution numérique de l’équation de Burgers en formulation de Galerkin pour ν =
10−1 , 10−2 et 10−3 .
prépondérante. La formulation de Galerkin s’avère inadéquate dans ce cadre. En effet, on montre
que pour avoir une solution stable en formulation de Galerkin, il faut que l’inégalité suivante soit
vérifiée
a(uh ,uh ) ≥ αh ||uh ||21.
(5.14)
On appelle cette propriété, la coercivité [9]. Or, pour une équation d’advection, le coefficient
αh devient très grand et l’inégalité (5.14) n’est plus assurée. En terme matricielle, ceci revient à
avoir un système avec une matrice mal conditionnée rendant difficile la recherche d’une solution.
Il convient de trouver un remède à ce problème. Une des solutions est de faire une discrétisation plus fine car on donne dans ce cas un caractère plus important aux termes de diffusion.
Pour des équations comme l’exemple traité ici c’est possible car le nombre de degrés de liberté
reste faible. Dans des situations générales, ce n’est pas souhaitable pour des raisons de temps de
calcul. L’autre solution est de changer de formalisme ce qui est proposé ci-dessous.
5.3.3 Solution à l’aide de la méthode de Galerkin/moindres carrés
La perte du caractère elliptique entraîne que la méthode de Galerkin n’est plus optimale pour
résoudre les problèmes à forte dominance hyperbolique. Ceci a souvent été interprété comme
une impossibilité pour la méthode des éléments finis de résoudre des équations hyperboliques. Il
est possible de remédier à cette difficulté en utilisant la méthode des moindres carrés. En effet,
à l’aide de cette dernière, on minimise l’erreur quadratique du résidu de l’équation discrétisée.
Cette formulation vue dans le chapitre 3 prend la forme suivante lorsqu’on l’applique à l’équation
de Burgers étudiée ici :
Z 1
dvh
d2 u h
d2 vh
duh
vh
(5.15)
−ν 2
− ν 2 dx = 0.
uh
dx
dx
dx
dx
−1
GDR Verres
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35
On retrouve dans ce cas un opérateur symétrique ce qui conduira sous forme discrétisée à des
matrices symétriques qui sont toujours régulières et donc faciles à inverser. Les espaces dans
lesquels se trouvent uh et vh n’ont pas été précisés. La présence de dérivée seconde entraîne qu’il
faut donner un sens suffisamment régulier à ce type de terme. Or, ceci ne peut pas être fait si
nous nous limitons à des espaces de type H 1 conforme. En effet, si uh est dans un espace H 1 ,
sa première dérivée aura une image dans un espace L2 et la dérivée seconde dans un espace
encore moins régulier qui ne peut être réalisé à l’aide de la méthode des éléments finis où seul la
continuité des champs est imposée au passage d’un élément à un autre.
Une des façons pour remédier à cette difficulté est de prendre des espaces plus riches en
utilisant des éléments finis qui se trouvent dans des espaces H 2 conforme [2]. Une autre façon
de faire est de coupler la formulation de Galerkin avec celle des moindres carrés. Le principe de
la méthode repose sur le fait que sur chaque élément du maillage la quantité du type
uh
duh
d2 uh
−ν 2 ,
dx
dx
(5.16)
a un sens car toutes les fonctions engendrées sur les espaces H 1 sont C ∞ sur chaque élément [9].
Ainsi, la formulation Galerkin/moindres carrés s’écrit sous la forme :
a(uh ,vh ) +
X
K∈Ωh
τ (hK )
Z K
Trouver uh ∈ H01 (ω), tel que
duh
d2 u h
dvh
d2 vh
uh
−ν 2
vh
− ν 2 dx = 0,
dx
dx
dx
dx
(5.17)
∀vh ∈ H01 (ω).
K désigne un élément fini et Ωh au maillage sur le domaine Ω. τ (hK ) est une fonction de la taille
de la maille notée ici hK . Cette quantité doit être dimensionnellement une fonction en hK /u ou
en h2K /ν. Hauke et Hughes [15] proposent une forme générale qui prend la forme suivante pour
notre exemple traité ici :
hK h2K
τ (hK ) = min
,
(5.18)
,
|uh,K | 12ν
où |uh,K | correspond à la valeur absolue de uh sur l’élément K. Le coefficient numérique 1/12
provient de l’estimation de la dérivée seconde des fonctions de base.
La résolution numérique de la formulation (5.17) est faite à l’aide de Comsol Multiphysicsr
où l’intégrale du terme de moindres carrés est ajouté. La F IG . 5.5 donne l’évolution de u en
fonction de x obtenue à l’aide de la formulation Galerkin/moindres carrés pour ν = 10−4 . Deux
discrétisations ont été utilisées : l’une avec 100 éléments et une deuxième avec 400 éléments. Les
résultats numériques sont comparés à la solution exacte, Eq. (5.10). La solution numérique ne
présente plus d’oscillations. Avec le maillage le moins raffiné, la zone où u passe de 1 à −1 se
fait sur quelques éléments. En raffinant le maillage, cette zone se réduit et la variation très brutale
est très bien capturée avec le maillage fin.
La formulation de Galerkin/moindres carrés a été vue ici sur un exemple très simple. Elle peut
être étendue à une forme très générale présentée dans l’article [15] où les auteurs l’utilisent pour
des écoulements avec des ondes de choc. La formulation de Galerkin/moindres carrés est très
GDR Verres
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36
1
0,5
u
N = 100
N = 400
Sol. exacte, Eq. (5.10)
0
-0,5
-1
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0
x
0,25
0,5
0,75
1
F IG . 5.5 – Solution numérique de l’équation de Burgers en formulation de Galerkin/moindres
carrés pour ν = 10−4 avec deux maillage. Comparaison avec la solution exacte, Eq. (5.10).
F IG . 5.6 – Géométrie et maillage d’un demi-cylindre de longueur 2 et de diamètre unité.
bien adaptée pour décrire des problèmes à forte dominante hyperbolique que l’on rencontre en
mécanique des fluides compressibles ou lorsque la viscosité devient très faible. Nous en donnons
un exemple dans la prochaine section.
5.4 Ecoulement forcé dans un demi-cylindre
L’exemple de cette section traite de la résolution numérique des équations de Navier-Stokes
instationnaire sur une géométrie tridimensionnelle. La géométrie correspond à un cylindre coupé
en deux. Le problème est écrit sous forme réduite où l’échelle caractéristique est le diamètre du
cylindre. La longueur du cylindre est prise à deux fois le diamètre. La géométrie et le maillage
sont montrés sur la F IG . 5.6.
L’écoulement est généré en faisant glisser le plan horizontal, z = 0, suivant la direction x.
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5.4 Ecoulement forcé dans un demi-cylindre
37
0,25
Re = 200
Re = 2000
0,2
Ux 0,15
0,1
0,05
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
t
F IG . 5.7 – La composante U de la vitesse en un point de coordonnées (0,1,O,25) en fonction du
temps pour Re = 200 et 2000.
Les équations de l’écoulement sont les suivantes
div U = 0,
1
∂U
+ grad U · U = − grad P +
∆U .
∂t
Re
(5.19)
(5.20)
Le problème normalisé ne dépend que d’un seul paramètre, Re correspondant au nombre de
Reynolds défini par
ρUD
Re =
,
(5.21)
µ
où ρ est la masse volumique, µ la viscosité dynamique, U est la vitesse de glissement du plan
z = 0 et D est le diamètre du conduit. Les conditions aux limites sont de types non glissement.
Sur la plan z = 0, la vitesse est égale à U = ex où ex est le vecteur unitaire suivant la direction
x.
Ce problème est résolu numériquement à l’aide de Comsol Multiphysicsr où des éléments de
Taylor-Hood, P2 /P1 , sont employés. Il est formulé à l’aide de la méthode de Galerkin/moindres
carrés. Le problème étant instationnaire l’avancement en temps se fait à l’aide d’une méthode
d’intégration empruntée à la résolution des systèmes d’équations différentielles ordinaires, cf.
pour plus de détails [32], chap 7. Le problème étant non linéaire, le système matriciel est résolue
à l’aide d’une méthode de type Newton.
Deux calculs ont effectué pour Re = 200 et 2000. A priori, les conditions aux limites ne
changeant pas avec le temps, on s’attend à trouver une solution stationnaire. Néanmoins, les
équations de Navier-Stokes peuvent conduire à des instabilités contrôlées par un paramètre, ici il
s’agit du nombre de Reynolds. La F IG . 5.7 présente l’évolution de la composante suivant l’axe
x pour un point de coordonnées (0; 1; 0,25) pour Re = 200 et 2000.
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Les comportements en fonction du nombre de Reynolds sont très différents. Pour, Re = 200,
l’écoulement tend vers un état stationnaire. L’écoulement est constitué d’une seule cellule engendrée par le glissement du plan z = 0. Par contre, à Re = 2000, l’écoulement est instationnaire.
L’instabilité de ce type d’écoulement est connue sous le nom d’instabilité de Görtler. Cette dernière est due au fait que le fluide au cours de son mouvement subit des forces centrifuges causées
par la courbure du cylindre. Il se forme alors un écoulement secondaire.
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Travaux dirigés
39
Chapitre 6
Travaux dirigés
Ce dernier chapitre décrit les exercices qui seront vus lors des travaux dirigés réalisés à l’aide
de Comsol Multiphysicsr. Nous proposons trois exercices dont le premier est un exemple emprunté directement dans la bibliothèque de modèles de Comsol Multiphysicsr. Le but de ce
premier exercice est de se familiariser avec le logiciel sur un cas très simple. Les deux autres
exercices ont des liens plus forts avec des applications touchant le verre dans son état solide et
liquide.
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6.1 Equation de Poisson avec un terme source ponctuel
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44
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6.2 Propagation de front de fissure
45
l
ux = 0 E
F
r
D
w
A
a
B
C
uy = 0
F IG . 6.1 – Géométrie de l’éprouvette sollicitée en compression.
l (mm) 20
w (mm) 2
r (mm) 0,4
a (mm) 10
e (mm)
5
TAB . 6.1 – Valeurs des coefficients géométriques de l’échantillon soumis à une compression.
6.2 Propagation de front de fissure
La propagation des fissures avec corrosion sous contraintes dans les matériaux fragiles comme
le verre présente beaucoup d’intérêts pour étudier la tenue de ces matériaux. On imagine très bien
les applications possibles par exemple comme la tenue des pare-brises suite à un choc ou à l’initiation d’une fissure. Dans cet exercice, nous reproduisons une étude numérique faite dans le
cadre de la thèse de Pallares [25]. Il s’agit de la sollicitation en compression d’un verre de faible
épaisseur sur lequel une fissure est initiée.
6.2.1 Géométrie, conditions aux limites et propriétés mécaniques
La géométrie de l’échantillon est très simple : il s’agit d’un barreau percé d’un trou localisé
au milieu de l’éprouvette. Comme le problème présente deux symétries, seulement un quart du
domaine est considéré pour la simulation numérique. La géométrie est représentée sur la F IG .
6.1. La demi-longueur de l’échantillon est notée l, sa demi-hauteur w. Le trou a un rayon r. On
considère qu’une fissure a été initiée faisant une longueur a.
Le tableau 6.1 donne les valeurs à prendre pour cet exercice.
Les conditions aux limites sont les suivantes : sur la frontière BC, on impose un déplacement
nul suivant y, uy = 0 ; sur EF , un déplacement nul suivant l’axe x, ux = 0 ; sur CD, une
contrainte de compression égal à 10 MPa. Les autres parties de la frontière sont laissées libre de
charge, σ · n = 0.
Les propriétés du matériau sont celles d’un verre. Elle sont résumées dans le TAB . 6.2.
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Travaux dirigés
Propriété
E
ν
ρ
Valeur
70 · 109
0,23
2500
Unité
Pa
–
kg/m3
TAB . 6.2 – Propriétés mécaniques utilisées pour le calcul d’élasticité.
y
P
r
Fissure
θ
x
O
F IG . 6.2 – Fissure et système de coordonnées polaire à la pointe de la fissure.
6.2.2 Rappel sur le facteur d’intensité de contrainte
Lorsque l’on sollicite l’échantillon en compression, il subit une traction suivant la direction
transverse. Ainsi, la fissure, artificiellement créée, est soumise en traction correspondant au mode
I de sollicitation d’une fissure. Pour un domaine infini comme représenté sur la F IG . 6.2, subissant une traction uniforme suivant l’axe y, les composantes du tenseur des contraintes s’écrivent
[21]
σxx
σyy
σxx
θ
3θ
θ
KI
1 − sin
sin
,
cos
= √
2
2
2
2πr
θ
3θ
KI
θ
1 + sin
sin
,
cos
= √
2
2
2
2πr
KI
θ
3θ
θ
= √
cos
cos
.
sin
2
2
2
2πr
(6.1)
(6.2)
(6.3)
Le champ de déplacement est donné par
ux
uy
r
r
KI
3θ
θ
=
− cos
,
(1 + ν) (2κ − 1) cos
2E 2π
2
2
r
KI
3θ
r
θ
=
− sin
,
(1 + ν) (2κ − 1) sin
2E 2π
2
2
(6.4)
(6.5)
où κ = (3 − ν)/(1 + ν) en contrainte plane. r et θ sont les coordonnées polaires dont l’origine
est prise à la pointe de la fissure, cf. 6.2. KI est le facteur d’intensité de contrainte dans le mode
I.
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6.2.3 Simulation dans Comsol Multiphysicsr
Le calcul présentera les caractéristiques suivante :
– 2D ;
– Calcul de mécanique des structures ;
– Stationnaire.
La géométrie est assez simple à réaliser. Dans la mesure où l’on souhaite faire varier les
dimensions géométriques, par exemple la longueur de la fissure, il est préférable de définir au
préalable l’ensemble des grandeurs définisant la géométrie du problème en suivant le TAB . 6.1
et les indications données dans la sous-section 6.2.1. On fera de même par les propriétés du
matériau selon le TAB . 6.2.
Concernant la géométrie, on commencera par faire un rectangle de longueur l et de largeur w.
Ensuite, on placera un disque centré au niveau de l’origine du repère cartésien ayant pour rayon
r. La différence booléenne entre ces deux objets permettra de définir la géométrie. Finalement,
on placera un point correspondant à la pointe de la fissure ayant pour coordonnées (a,0).
Le matériau sera défini en spécifiant le module de Young, le coefficient de Poisson et la masse
volumique.
Pour le modèle, on choisira l’option contrainte plane. Les conditions aux limites seront spécifiées en suivant ce qui est résumé sur la F IG . 6.1.
Le calcul sera fait en choisissant le solveur où un raffinement automatique est fait afin de
minimiser les erreurs de calcul.
L’exploitation consistera à sortir l’évolution du déplacement depuis la pointe de la fissure et
à déterminer le facteur d’intensité de contrainte suivant les développements rappelés ci-dessus.
6.3 Transfert de masse autour d’une bulle en ascension dans
un verre en fusion
Les transferts de masse sont importants dans le cadre de l’élaboration des verres. Ils conditionnent l’évolution du volume des bulles en mouvement dans le verre fondu [26, 27]. Cet exercice a pour but de calculer le coefficient de transfert de masse. Si n désigne le nombre de moles
d’une espèce au sein d’une bulle de rayon a, l’évolution temporelle de n varie selon l’équation
suivante
dn
= 2πaShD(C ∞ − C S ),
(6.6)
dt
où D est le coefficient de diffusion, C ∞ la concentration molaire à l’infini, C S celle à la surface
de la bulle. Sh est le nombre de Sherwood correspondant au coefficient de transfert de masse
normalisé. Il est défini par la relation
R
| dS
D ∂C
∂n S
S
Sh =
,
(6.7)
∞
2πaD(C − C S )
où S est la surface de la bulle.
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Travaux dirigés
z
ez
ephi
y
erho
x φ
rho
F IG . 6.3 – Système de coordonnées cylindrique, (r,φ,z).
Le nombre de Sherwood dépend de la compétition de deux modes de transfert : la diffusion
et la convection. Dans cet exercice, on se propose de calculer le nombre de Sherwood.
Pour faire le calcul du nombre de Sherwood, il faut résoudre l’équation décrivant le transport
de la concentration C. On prend en compte dans ce problème le déplacement de la bulle. On admet que la vitesse de déplacement de la bulle est donnée par la solution d’Hadamard-Rybczynski
[13, 31]. Le problème admettant une symétrie de révolution, on utilise le système de coordonnées
cylindriques (r,φ,z) illustré sur la F IG . 6.3.
Le problème est écrit sous une forme normalisée. L’équation d’advection/diffusion est alors
la suivante :
∂C
∂C
∂2C
∂C
1 1 ∂
uz
r
+
,
(6.8)
+ ur
=
∂z
∂r
P e r ∂r
∂r
∂z 2
où ur et uz , les deux composantes de la vitesse normalisées par la vitesse d’ascension de la bulle,
sont donnée par [28]
zr
,
+ r 2 )3/2
r 2 + 2z 2
.
= −1 +
4(z 2 + r 2 )3/2
ur =
uz
4(z 2
(6.9)
(6.10)
P e désigne le nombre de Péclet ainsi défini
Pe =
2aUT
,
D
(6.11)
où UT est la vitesse d’ascension de la bulle.
La géométrie du problème est définie suivant la F IG . 6.4. La bulle a un diamètre unité car
le diamètre réel a été utilisé pour normaliser le problème. Pour prendre en compte l’écoulement
autour de la bulle, on la place sur un disque représentant le verre. Comme le problème est fortement dépendant des mouvements de la bulle, la position de cette dernière est décentrée de façon
à décrire correctement son sillage. S est la surface de la bulle. La surface du grand disque est
découpée en deux afin d’aménager les conditions aux limites.
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z
Γ1
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r
S
Γ2
F IG . 6.4 – Domaine de calcul autour de la bulle dans le plan (z,r).
Les conditions aux limites pour C sont les suivantes :
C = 1, sur S,
C = 0, sur Γ1 ,
∂C
= 0, sur Γ2 .
∂n
Ceci définit l’ensemble des éléments pour faire le calcul.
(6.12)
(6.13)
(6.14)
6.3.2 Simulation dans Comsol Multiphysicsr
Le modèle aura les caractéristiques suivantes :
– 2D axi ;
– Equation d’advection/diffusion disponible dans le module de transport d’espèce chimique ;
– Stationnaire.
On définira un paramètre, note P e, correspondant au nombre de Péclet que l’on prendra égal
pour un premier calcul à 100.
La géométrie sera faite en définition un demi-disque de rayon égal à 20. On placera un autre
demi-disque de rayon unité dont le centre sera situé à deux fois le diamètre du petit disque depuis
le haut du grand demi-disque. On placera un point à la coordonnée z = 0 et r = 20. Ensuite, la
géométrie sera finalisée en faisant la différence booléenne des deux disques.
Concernant l’équation, on rentrera comme coefficient de diffusion 1/P e. Les deux composantes de vitesses seront définies suivant les relations (6.9) et (6.10) en changeant le signe afin de
prendre la situation d’une bulle fixe placée dans un écoulement descendant. Les conditions aux
limites seront définies comme présenté ci-dessus.
Pour le solveur, on utilisera le raffinement automatique afin de bien résoudre la couche limite
autour de la bulle. Ceci sera surtout vrai lorsque le nombre de Péclet devient grand.
Lorsque le calcul sera fini, on fera le calcul de l’intégrale du flux à la surface de la bulle qui
nous donnera directement le nombre de Sherwood. Ce calcul se fait en faisant une intégration sur
le contour de la bulle du flux de concentration, ∂C/∂n. Pour tenir compte de la prise en compte
du coefficient diffusion, il convient de multiplier la valeur de l’intégrale par un facteur P e/π.
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Travaux dirigés
On cherchera à voir quelle loi suit Sh en fonction de P e afin de vérifier la solution de Levich
[22] qui montre que
√
Sh = 0.651 P e.
(6.15)
GDR Verres
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BIBLIOGRAPHIE
51
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Index
Q2 , 26
Q3 , 26
Coefficient de Poisson, 8
conforme, 25
Coercivité, 34
de Lagrange, 25
Compression diamétrale, 30
non-conforme, 25
Condition de Dirichlet, 15
Ensemble matériel, 3
Condition de Neumann, 15
Equation, 13
Conditions aux limites, 6, 14, 15
d’advection/diffusion, 32
essentielles, 23
de Burgers, 33
naturelles, 23
de contniuité, 10
Configuration, 3
de diffusion, 14
Configuration de référence, 6
de Laplace, 14
Contraintes planes, 30
de Poisson, 15, 40
Convention d’Einstein, 6
des cordes vibrantes, 14
Convention universelle de la mécanique des mielliptique, 13
lieux continus, 5
hyperbolique, 13
Coupure, 5
parabolique, 13
Equations, 1
Description
aux dérivées partielles, 1, 13
eulérienne, 8
de Navier, 8, 14
Lagrangienne, 8
de Navier-Stokes, 36
Décomposition canonique, 7
de Stokes, 11, 18
Déformation, 3
Espace de Sobolev, 15
Déplacement, 6
Facteur d’intensité de contrainte, 46
Dérivée
Fissure, 45
matérielle, 9
Fluide
Elasticité, 6
de Stokes, 11
linéaire, 7, 16, 30
newtonien, 11
Elément
Fonction de base, 19
P2 , 33
Fonction de Dirac, 20
Elément fini, 25
Fonction poids, 20
P1 , 26
Fonction test, 15
P2 , 26
Formulation
faible, 16
P3 , 26
Formulation variationnelle, 14
Q1 , 26
Accélération, 4
GDR Verres
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54
INDEX
Homogénéité, 7
Instabilité
de Görtler, 38
Loi de comportement, 6, 7
Loi horaire, 4, 8
Maillage, 22
non structuré, 27
uniforme, 22
Maille, 22
Matrice
creuse, 28
Module de Young, 8
Mouvement, 3
stationnaire, 9
Mécanique, 3
classique, 3
des fluides, 3
des milieux continus, 3
des structures, 3
Méthode, 1
de collocation, 20
de Galerkin, 20, 23
de Newton, 33
des différences finies, 1, 20, 23
des moindres carrés, 20
des résidus pondérés, 19
des sous-domaines, 20
des volumes finis, 1
des éléments finis, 21
Galerkin/moindres carrés, 32
continu, 1
de minimisation, 16
de Stokes, 27
elliptique, 14, 21
Problème
bien posé, 13
Tenseur, 5
de contrainte, 5
des contraintes, 10, 30
des taux de déformation, 11
élastique, 7
Torseur, 4
des efforts, 4
dynamique, 4
Transfert de masse, 47
Variables
d’Euler, 9
de Lagrange, 8
Vitesse, 4
Nombre
de Péclet, 48
de Reynolds, 37
de Sherwood, 47
Points matériels, 3
Principe, 3
de la conservation de la masse, 4, 10
de la dynamique, 4, 6, 10
Problème, 1
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Simulation numérique à l`échelle macroscopique par la méthode

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