Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Exercice 1
Carré inscrit dans un demi-cercle
On donne un carré ABCD de côté 2 et un demi-cercle de
diamètre [AB] intérieur au carré.
O désigne le milieu de [AB], Q celui de [CD].
Les segments [OD] et [OC] coupent respectivement le demicercle en E et F , qui se projettent orthogonalement sur
[AB] en G et H.
E
Théorème de Gua
C
Q
D
Exercice 6
On donne un tétraèdre OABC tel que les droites (OA),
(OB) et (OC) soient deux à deux orthogonales.
On souhaite démontrer que le carré de l’aire de la face ABC
est égal à la somme des carrés des aires des trois autres
faces, ce résultat étant connu sous le nom de théorème de
Gua.
C
F
L
B
O
H
A
A
G
O
H
B
Déterminer la nature ainsi que l’aire du quadrilatère
EF GH.
Exercice 2
Un trapèze rectangle
On donne un trapèze ABCD, rectangle en A et D, tel que
AB = 2, BC = 1 et qu’une de ses diagonales soit de longueur 2.
Quelle est cette diagonale ? Quelle est la plus grande des
deux bases ? Quelles sont les longueurs CD et DA ?
Exercice 3
Quadrilatères orthodiagonaux
Démontrer que si un quadrilatère convexe a ses diagonales
perpendiculaires alors la somme des carrés de deux côtés
opposés est égale à la somme des carrés des deux autres.
Exercice 4
1. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur
la droite (AB).
Montrer que (CH) est une hauteur du triangle ABC.
2. Démontrer le théorème de Gua.
Exercice 7
D
C
Localisation d’un puits
Un puits de pétrole P est foré dans un un champ rectangulaire ABCD à 630 m du coin A, à 160 m du coin opposé
C et enfin à 560 m de B.
À quelle distance de D le puits se trouve-t-il ?
D
Un carré de côté inconnu
On considère un carré ABCD et F le point intérieur à
celui-ci, situé à égale distance des sommets A et D et du
côté [BC].
Sachant que F A = F D = F E = 10 cm, que vaut l’aire du
carré ABCD ?
E
F
C
P
A
B
Exercice 8
Aire d’un anneau
Sachant que les deux cercles sont concentriques, que (AB)
est tangente au cercle intérieur et que AB = 8 cm, calculer
l’aire exacte de l’anneau délimité par les deux cercles.
A
B
Exercice 5
A
Arbelos d’Archimède
On donne trois points distincts alignés A, B et C, tels que
B se touve entre A et C.
D’un côté de la droite ∆ qui les porte, on trace les demicercles de diamètres respectifs [AB], [BC] et [AC].
On nomme D le point d’intersection de la perpendiculaire
en B à ∆ avec le demi-cercle de diamètre [AC].
Établir que l’aire de la région délimitée par les trois demicercles est égale à celle du cercle de diamètre [BD].
B
D
J
Exercice 9
K
∆
A
B
C
Deux médianes perpendiculaires
Construire un triangle ABC dont les médianes issues de B
et de C sont perpendiculaires.
Trouver, dans de tels triangles, l’expression de AB 2 + AC 2
en fonction de BC 2 .
Exercice 10
Le tunnel du Mont-Blanc
On assimile l’entrée du tunnel du Mont Blanc à un demidisque de diamètre 8 mètres.
Exercice 13
Minimisation d’une somme
Soit ABC un triangle rectangle en A. Le but de l’exercice
est de déterminer le (ou les) point(s) P du périmètre de
ABC tel(s) que la somme P A + P B + P C soit minimale.
1. Démontrer que si P appartient à [AB] ou à [AC] alors
P A + P B + P C > AB + AC.
2. Soit H le projeté orthogonal de A sur [BC].
a) Justifier que si P appartient à [BC] alors P A > HA
et en déduire que P A + P B + P C > HA + BC.
b) Comparer les produits HA × BC et AB × AC.
c) Établir que (HA + BC)2 − (AB + AC)2 = HA2 .
d) Déduire de la question 2c que HA+BC > AB +AC.
3. Conclure.
Exercice 14
Quelle est, en théorie, la hauteur maximale que peut avoir
un camion de largeur 2,4 mètres souhaitant emprunter ce
tunnel ?
Exercice 11
Les lunules d’Hippocrate
Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle rectangle en
A, C1 , C2 et C3 trois demi-cercles de diamètres respectifs
[AB], [AC] et [BC].
On pose a = BC, b = AC et c = AB.
C1
A
C3
C2
c
b
Théorème d’Al-Kashi
Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur
du troisième côté d’un triangle, connaissant les longueurs
des deux autres, dans le cas où le triangle est rectangle.
Nous allons maintenant démontrer un résultat plus général, permettant de calculer des longueurs de côtés dans un
triangle quelconque.
Théorème d’Al-Kashi (ou de Pythagore généralisé)
Soient trois points distincts A, B et C.
Les longueurs des côtés du triangle ABC sont liées par la
’
relation BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 × AB × AC × cos BAC.
Pour cela, on se donne un triangle ABC et on appelle H
le projeté orthogonal de C sur (AB). On pose AB = c,
AC = b, BC = a, AH = x et CH = y.
’ est aigu.
1. Cas où l’angle ABC
a
B
C
Comparer l’aire du triangle ABC et la somme des aires des
deux lunules délimitées par C1 , C2 et C3 .
Exercice 12
Comparaison d’aires
Sur la figure ci-dessous, le point M est intérieur au triangle
ABC et J, K et L sont les projetés orthogonaux de M sur
les côtés de ce triangle.
On a construit, comme indiqué, six carrés à l’extérieur du
triangle.
Comparer la somme des aires des carrés foncés et celle des
carrés clairs.
J
K
L
A
b) En utilisant le théorème de Pythagore dans deux triangles bien choisis, établir que :
b2 − x2 = a2 − (c − x)2
’
c) En déduire que a2 = b2 + c2 − 2bc × cos BAC.
’ est obtus.
2. Cas où l’angle ABC
a) Réaliser une figure soignée et annotée.
b) Montrer que l’égalité établie dans la première question est également vérifiée dans ce cas.
3. Application 1 : Il est impossible, à cause d’un marécage,
de mesurer la distance séparant deux villages A et B.
Un troisième village C est situé à 27 km de A et à 41 km
de B.
Grâce aux clochers des églises, on a pu mesurer l’angle
’ et on a obtenu ACB
’ = 33◦ .
ACB
Calculer, à 0,1 km près, la distance entre A et B.
C
M
a) Réaliser une figure soignée et annotée puis vérifier
’
que x = b × cos BAC.
B
4. Application 2 : On considère un triangle équilatéral
ABC de côté 6 cm et M un point mobile sur [AB].
N et P sont les points situés respectivement sur [BC]
et [CA] tels que AM = BN = CP .
Déterminer la position de M sur [AB] qui minimise
l’aire du triangle M N P .
✎ On rappelle que l’aire
√ d’un triangle équilatéral de
3 2
côté a est donnée par
a .
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