Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré

Polynômes et fractions rationnelles
Trinômes du second degré
1
Rappels
1. Carré d’une somme :
Pour tous réels a et b,
(a + b)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pour tous réels a et b,
(a − b)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Carré d’une différence :
3. Différence de deux carrés :
Pour tous réels a et b,
2
(a − b)(a + b) = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions polynômes et rationnelles
Définitions : Soit a 6= 0 et p un entier naturel et une variable réelle x : l’expression axp est appelée monôme
de degré p.
On appelle polynôme toute expression pouvant s’écrire comme somme de monômes.
On appelle fraction rationnelle toute fonction pouvant s’écrire comme quotient de deux polynômes.
Remarques
1. Lorsque p = 0, l’expression axp est en fait constante : elle ne dépend plus de la variable x et vaut : . . . . . ..
2. On peut écrire des monômes, des polynômes de plusieurs variables x, y, z, ... Par exemple : 2x3 y,
−5 + y 4 + 2xz 2 .
Exercice 1 : Développer et réduire les expressions suivantes.
Ces fonctions sont-elles des polynômes ? (a)
x
−
2
√
P (x) = (x2 + 2)(x − 3) − 2x
(b) Q(x) =
+ x.
3
Théorème [admis] et définitions : Tout polynôme P non nul possède une unique écriture de la forme :
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
où n ∈ N, an ∈ R − {0} et ai ∈ R, pour tout i ∈ {0, . . . , n − 1}.
L’entier n est appelé degré de P et se note deg P ou d˚P .
ai est le coefficient du monôme de degré i dans P .
Remarques
1. L’expression an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 se note plus correctement
n
X
ai xi .
i=0
2. Une fonction constante est un polynôme de degré . . . ;
une fonction affine est un polynôme de degré . . ..
Exercice 2 : Déterminer le degré, ainsi que les coefficients, des polynômes de l’exercice 1.
x2 − 3x + 1
Exercice 3 : On considère la fonction rationnelle f définie sur R − {2} par f (x) =
.
x−2
c
Prouver qu’il existe trois réels a, b et c tels que pour tout x 6= 2, f (x) = ax + b +
.
x−2
Définition : Soit P un polynôme. On appelle racine de P tout réel a tel que P (a) = 0.
Exercice 4 : Déterminer la valeur de m de sorte que le polynôme x2 − mx + 3 admette 1 pour racine.
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3
Trinômes du second degré
3.1
Définitions
Définition :
On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant s’écrire sous la forme
ax2 + bx + c, où a, b et c sont trois nombres réels, a non nul.
Ainsi, les expressions x2 (a = ..., b = ..., c = ...), x 7−→ 2x2 − 3x − 1 (a = ..., b = ..., c = ...), 16 − 4x2
(a = ..., b = ..., c = ...), (x − 3)2 (a = ..., b = ..., c = ...) sont des fonctions trinômes du second degré.
Définition :
Soit ax2 + bx + c un trinôme du second degré, alors on note ∆, et on appelle discriminant du trinôme, le
nombre ∆ = b2 − 4ac
3.2
Forme canonique
Théorème :
Soit f (x) = ax2 + bx + c un trinôme du second degré. Alors f (x) peut s’écrire sous la forme suivante, dite
forme canonique du trinôme,
f (x) = a(x − α)2 + β
∆
b
où α = − 2a
et β = f (α) = − 4a
Exercice 6 : Si f (x) = 2x2 − 8x + 11
1. on commence par factoriser a dans les deux premiers termes :
f (x) = 2(x2 − 4x) + 11
2. dans la parenthèse, on reconnaît le début du développement d’un carré :
x2 − 4x + ...... = (x − ......)2
3. on en déduit une nouvelle façon d’écrire l’expression entre parenthèses :
x2 − 4x = (x − ......)2 − ......
4. on remplace
dans l’expression
de départ :
f (x) = 2 (x − ......)2 − ...... + 11
5. on termine en faisant
f (x) = 2(x − ......)2 − ...... + 11 = 2(x − ......)2 + ......
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4
4.1
Etude des fonctions trinômes
Courbe représentative
Représentation graphique d’une fonction trinôme du second degré :
Soit f la fonction trinôme du second degré définie par f (x) = ax2 +bx+c, et soit Cf sa courbe représentative.
Soit P la parabole d’équation (y = ax2 ).
b
∆
On obtient Cf en appliquant à P une translation de vecteur − 2a
~ı− 4a
~. Ainsi, Cf est elle-même une parabole.
b
La droite d’équation x = − est axe de symétrie de Cf .
2a
Exercice 7 : On veut représenter la
fonction f définie par
f (x) = 2x2 − 8x + 11 = 2(x − ......)2 + ......,
alors il suffit d’appliquer une translation de
vecteur ......~ı + ......~ à la parabole d’équation
(y = 2x2 ).
4.2
..............................................................
... .... .... .... 9 .... .... .... .... .... .... .... .... ....
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
.............................................................
..............................................................
.... ..... ..... ..... 8 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
...............................................................
... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
. . . . . . . . . . . .
...............................................................
.... ..... ..... ..... 7 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..............................................................
.... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..............................................................
.... ..... ..... ..... 6 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
.............................................................
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
..............................................................
.... ..... ..... ..... 5 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
...............................................................
... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
................................................................
.. ..... ..... ..... 4 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
................................................................
.. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
...............................................................
. . . . . . . . . . . .
.... ..... ..... ..... 3 ..... ..... ..... P..... ..... ..... ..... ..... .....
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
.............................................................
..............................................................
.... ..... ..... ..... 2 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
...............................................................
... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
. . . . . . . . . . . .
...............................................................
.... ..... ..... ..... 1 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..............................................................
.... ..... ..... ..... ~ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..............................................................
.... ..... ..... ..... 0 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
−2
.............................................................
.... .... −1
.... .... 0.... ~ı.... 1.... .... 2.... .... 3.... .... 4....
..............................................................
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
.. ... ... −1
Variations
On peut déduire des tableaux de variations de la fonction x 7−→ ax2 le tableau de variations de la fonction f ;
cela dépend du signe de a :
– Si a > 0 : les branches de la parabole sont dirigées vers le ............
x
−∞
+∞
variations
de x 7→ ax2
x
−∞
+∞
−∞
+∞
variations
de x 7→ f (x)
– Si a < 0 : les branches de la parabole sont dirigées vers le ............
x
variations
de x 7→ ax2
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−∞
+∞
x
variations
de x 7→ f (x)
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Factorisation d’un trinôme du second degré
On se donne le trinôme du second degré T (x) = ax2 + bx + c = 0.
La forme canonique du trinôme T est donnée par
2
b
∆
T (x) = a x +
−
2a
4a
où ∆ = b2 −4ac est le discriminant du trinôme. On peut l’écrire également sous la forme suivante (en factorisant
le coefficient dominant a) :
"
#
2
b
∆
− 2
T (x) = a x +
2a
4a
Il est alors, dans certains cas, possible de factoriser l’expression entre crochets :
– si le discriminant ∆ est négatif, alors l’expression entre crochets n’est pas factorisable.
– si le discriminant ∆ est nul, alors le trinôme T est déjà factorisé, puisqu’il s’écrit
2
b
T (x) = a x +
2a
– si le discriminant ∆ est positif, alors l’expression entre crochets est du type A2 − B 2 , avec A = x +
et B =
√
∆
2a .
On a alors la factorisation suivante (de la forme (A − B)(A + B)) :
√ !
√ !
∆
∆
b
b
T (x) = a x +
+
x+
−
2a
2a
2a
2a
b
2a
Pour résumer : si T (x) = ax2 + bx + c, de discriminant ∆ = b2 − 4ac
Si ∆ < 0
pas de
Factorisation de T :
factorisation
possible
Si ∆ = 0
T (x) = a (x − α)
où α =
b
− 2a
Si ∆ > 0
2
T (x) = a(x − x1 )(x − x2 )
où x1 =
et x2 =
√
−b− ∆
2a
√
−b+ ∆
2a
Exercice 8 : Factoriser si possibles les expressions suivantes :
T (x) = 2x2 − 5x + 7 :
∆ =.............................................................................................................
..................................................................................................................................................
T (x) = −3x2 + 18x − 27 :
∆ =.............................................................................................................
..................................................................................................................................................
T (x) = 5x2 − x − 4 :
∆ =.............................................................................................................
..................................................................................................................................................
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Résolution algébrique des équations du second degré
Grâce aux résultats précédents, on établit une procédure de résolution des équations du type ax2 + bx + c = 0 :
nous savons que cette équation peut s’écrire sous la forme
"
#
2
b
∆
− 2 =0
a x+
2a
4a
b 2
– si le discriminant ∆ est négatif alors l’expression entre crochets est égale à un carré ( x + 2a
) auquel
∆
on ajoute un nombre strictement positif (− 4a
).
2
Cette expression entre crochets ne pourra donc jamais être égale à 0 ; autrement dit, l’équation ax2 +bx+c = 0
n’a pas de solution dans R.
– si le discriminant ∆ est nul alors l’équation peut s’écrire
2
b
a x+
=0
2a
ce qui nous permet d’affirmer que l’équation ax2 + bx + c = 0 n’a qu’une seule et unique solution dans
b
R, qui est : − 2a
.
– si le discriminant ∆ est positif alors le trinôme ax2 + bx + c peut se factoriser, et l’équation devient
√ !
√ !
b
∆
b
∆
a x+
+
x+
−
=0
2a
2a
2a
2a
ce qui nous donne deux solutions distinctes dans R, qui sont :
√
−b− ∆
2a
et
√
−b+ ∆
2a
Pour résumer : si T (x) = ax2 + bx + c, de discriminant ∆ = b2 − 4ac, et que l’on veut résoudre l’équation
T (x) = 0 :
Résolution de T (x) = 0 :
Si ∆ < 0
Si ∆ = 0
Si ∆ > 0
pas de
Une seule solution :
b
α=−
2a
Deux solutions distinctes :
√
−b − ∆
x1 =
2a√
−b + ∆
x2 =
2a
solution
dans R
Exercice 9 : Résoudre dans R les équations suivantes
2x2 − 5x + 2 = 0 :
∆ =.............................................................................................................
..................................................................................................................................................
−3x2 + x − 1 = 0 :
∆ =.............................................................................................................
..................................................................................................................................................
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Signe du trinôme
Résolution algébrique des inéquations du second degré
On utilise à nouveau les résultats acquis dans le paragraphe 4 pour déterminer le signe du trinôme T (x) =
ax2 + bx + c selon les valeurs de x :
– si le discriminant ∆ est négatif alors
"
#
2
b
∆
− 2
T (x) = a x +
2a
4a
b 2
et l’expression entre crochets est égale à un carré ( x + 2a
) auquel on ajoute un nombre strictement
∆
positif (− 4a
2 ). Cette expression entre crochets est donc strictement positive ; autrement dit, le trinôme
T (x) est du même signe que son coefficient dominant a.
−∞
x
+∞
Signe
de
T (x)
– si le discriminant ∆ est nul alors le trinôme peut s’écrire
2
b
T (x) = a x +
2a
b
Cette expression, on l’a vu, est nulle pour x = α = − 2a
. Mais pour les autres valeurs du nombre x, cette
2
b
expression est un carré ( x + 2a ) multiplié par un nombre réel a ; on peut en déduire que ce trinôme sera
alors du même signe que son coefficient dominant a.
−∞
x
+∞
α
Signe de (x − α)2
Signe de
T (x) = a(x − α)2
– si le discriminant ∆ est positif alors le trinôme ax2 + bx + c peut se factoriser, et le trinôme peut s’écrire
√ !
√ !
b
∆
b
∆
T (x) = a x +
+
x+
−
2a
2a
2a
2a
Il est alors possible de compléter un tableau de signes : les valeurs frontières sont les racines x1 =
et x2 =
√
−b+ ∆
,
2a
√
−b− ∆
2a
et on a (en supposant que x1 < x2 , sinon il n’y a quà inverser) :
x
−∞
x1
x2
+∞
Signe de x − x1
Signe de x − x2
Signe de
T (x) = a(x − x1 )(x − x2 )
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Exercice 11 : Résoudre dans R les inéquations suivantes :
3x2 − 5x + 2 > 0
∆ =............................................................................................
On a donc ............ racine(s) : ...................................................................................
Tableau de signes du trinôme T (x) = 3x2 − 5x + 2 :
x
−∞
+∞
Signe
de
T (x)
L’ensemble des solutions de cette inéquation est donc donné par .......................................
−x2 + x − 2 ≤ 0
∆ =............................................................................................
On a donc ........................ racine.
Tableau de signes du trinôme T (x) = −x2 + x − 2 :
x
−∞
+∞
Signe
de
T (x)
L’ensemble des solutions de cette inéquation est donc donné par .......................................
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