p - EPFL

5 mai 2009
cours de la semaine # 11a
Bienvenue au
Cours de physique générale
Physique II pour étudiants de première année
en section de mathématiques
Prof. Georges Meylan
Laboratoire d’astrophysique
Site web du laboratoire et du cours :
http://lastro.epfl.ch
EPFL - GM
1
Thermodynamique
Chapitre (ii)
Lois des gaz, équation d’état et
équation des gaz parfaits
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2
gaz parfait = modèle thermodynamique virtuel décrivant le comportement de tous les gaz réels à basse pression p
Les lois des gaz et la température absolue
•
L’Eq. "V = # V0 "T n’est pas très utile dans la description de la
dilatation d’un gaz, car :
– la dilatation peut être très grande ;
– les gaz remplissent tout le volume à disposition.
!•
•
•
EPFL - GM
Cette équation n’a un sens que si la pression est maintenue constante, alors que le volume d’un gaz dépend à la fois de la pression et de
la température.
Il est ainsi utile de déterminer une relation entre :
le volume,
la pression,
la température et
la masse,
i.e., 4 paramètres décrivant un gaz. Une telle relation est appelée
équation d’état
par le mot « état », on désigne les conditions physiques du système.
On ne considère que les états d’équilibre du système, i.e., pour lesquels les variables possèdent la même valeur dans tout le système.
3
Démo : Loi des gaz Pression - Volume Boyle - Mariotte # 657
Les lois des gaz et la température absolue (suite)
•
Pour une quantité donnée de gaz, on trouve expérimentalement,
avec une approximation :
Le volume d’un gaz est inversement proportionnel à la pression qui
lui est appliquée, lorsque la température est maintenue constante.
1
V"
p
pV = cte
T = cte loi de Boyle-Mariotte
Robert Boyle (1627 - 1691)
Edme Mariotte (1620 - 1684)
établissent indépendamment
cette loi en se basant sur
leurs propres expériences
!
Fig. (ii.1)
A température constante, si la pression ou le volume change,
l’autre variable change également de telle sorte que pV = cte
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4
Les lois des gaz et la température absolue (suite)
•
Une relation entre le volume V et la température T n’a été trouvée
qu’un siècle plus tard par Jacques Charles (1746 - 1823) :
Lorsque la pression est constante, le volume d’un gaz augmente avec
la température de façon linéaire. A T = cte , si la pression ou le volume
change, l’autre variable change également de telle sorte que pV = cte .
Attention : tous les gaz finissent
par se liquéfier à des températures
assez basses et donc la droite de la
figure ne peut pas être étendue en
dessous du point de liquéfaction.
Fig. (ii.2)
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Extrapolation à basses températures ⇒ intersecte l’axe à ~ -273 C
Un tel graphe peut être obtenu pour n’importe quel gaz et l’extrapolation de
la ligne droite donne toujours une intersection à ~ -273 C pour une volume
nul. Cela semble indiquer que si un gaz pouvait être refroidi à -273 C , il
aurait un volume nul, et à des températures plus basses, un volume négatif.
Cette absurdité ⇒ -273 C est la plus basse des températures possibles,
appelée zéro absolu.
T(K) = T(°C) + 273,15
5
Les lois des gaz et la température absolue (suite)
•
•
Le zéro absolu forme la base d’une échelle de température connue
sous le nom d’échelle absolue ou échelle de Kelvin, d’unité K. Les
intervalles sont les mêmes que pour l’échelle Celsius, par contre le
point zéro est choisit comme étant le zéro absolu.
Ainsi, le point de congélation de l’eau est à 0 C = 273,15 K
le point d’ébullition de l’eau est à 100 C = 373,15 K
T(K) = T(C) + 273,15
De la Fig. (ii.2 b), on voit que la dte,
représentant le volume un gaz en
fonction de sa température, passe
par l’origine. Ainsi, à une bonne
approximation :
Fig. (ii.2)
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V "T
p = cte
i.e., le volume d’une quantité donnée de gaz est directement
proportionnelle à la température absolue lorsque la pression
est maintenue constante.
Loi de Charles
!
6
Les lois des gaz et la température absolue (suite)
•
Une troisième loi, due à Joseph Gay-Lussac (1778 - 1850) établit que,
à volume constant, la pression d’un gaz est directement proportionnelle à sa température.
Loi de Gay-Lussac
!
!
•
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p "T
V = cte
Loi de Gay-Lussac
V "T
p = cte
Loi de Charles
1
p
T = cte
Loi de Boyle-Mariotte
V"
Remarque. Ces trois lois ne sont pas réellement des lois au sens
moderne du terme, i.e., précises, de sens profond, et de grandes
applications.
Elles ne sont que des approximations qui ne sont
!
précises pour les gaz réels que si la pression et la densité ne
sont pas trop grandes et si le gaz n’est pas trop proche de la
condensation.
7
Démo : Thermomètre à gaz # 371
Echelle de température des gaz parfaits
Thermomètre à gaz à volume constant
Extrémité libre (p atm)
Liquide à température T
(à déterminer)
B
différentes
quantités de gaz
ou différents gaz
!
!
Mercure
p
deux points de
calibration
Niveau de
référence fixe h
Pr ession du gaz = p = p atm + "gh
On suppose : T(p) = a p + b
T
A B
100 °C
C
Point de vap
1
0 °C 0
p
Point de fusi
(atm)
2
Sphère remplie de gaz
à température T
Tube flexible
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-273,15 °C
extrapolation, car
tout gaz finit par
se liquéfier
Pour tous les gaz : T(p = 0) = b = "273.15 °C = constante !
8
Echelle de température des gaz parfaits (suite)
3 lois
!
•
{
p "T
V = cte
Loi de Gay-Lussac
V "T
p = cte
Loi de Charles
1
p
T = cte
Loi de Boyle-Mariotte
V"
!
Remarque.
Les 3 lois ci-dessus ont été obtenues par la méthode standard très
utile
! en science : maintenir une ou plusieurs variables constantes
afin de voir clairement les effets induits par les changements
d’une seule variable. Ces 3 lois peuvent maintenant être combinée
en une seule relation, plus générale, entre la pression, le volume et
la température d’une quantité fixée de gaz :
pV " T
loi des gaz parfaits
dont les 3 lois ci-dessus découlent lorsque
l’on maintient une des variables constantes
Cette relation montre comment une des trois quantités p,V,T varie
lorsque les deux autres changent.
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9
Démo : transformations à T, p ou V constant
(isotherme, isobare, isochore)
•
•
Gaz parfait:
La loi des gaz parfaits
Les gaz, à faible pression p et température T élevée (loin du point de liquéfaction),
tendent tous vers le même comportement : celui du gaz parfait
A p et T normales, la plupart des gaz peuvent être considérés comme parfaits
–
–
Loi empiriques pour des systèmes fermés de gaz parfait:
si T = cte, alors pV = cte
si p = cte, alors V/T = cte
si V = cte, alors p/T = cte
1
V1
p1 T1
2
V’
p1 T2
V2
p2 T2
loi de Boyle (1662) et Mariotte (1676)
loi de Charles (1787) et Gay-Lussac (1802)
utilisée pour définir T (thermomètres à gaz)
•
•
•
•
•
Gaz parfait dans l’état  (p1,V1,T1)
On chauffe de T1 à T2 à p = constante
Etat intermédiaire (p1,V’,T2)
On comprime de p1 à p2 à T=constante
Nouvel état  (p2,V2,T2)
transformation transformation
isobare (p=cte) isotherme (T=cte)
V1/T1 = V' /T2
p1V' = p 2V2
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⇒
p1V1 p2V2
=
= cte
T1
T2
10
La loi des gaz parfaits (suite)
•
Propriété.
Finalement, il faut incorporer l’effet dû à la quantité de gaz présent.
Expériences ⇒ à température et à pression constantes, le volume
d’un gaz confiné augmente en relation proportionnelle avec la masse
du gaz présent :
pV " mT
cte de proportionnalité différente pour chaque gaz
Toutefois, la constante de proportionnalité devient la même pour
tous les gaz si, au lieu de la masse m, on utilise utilise le nombre de
moles.
!
•
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Définition.
- Une mole [mol] se définit comme la quantité de substance qui contient autant d’atomes ou de molécules qu’il s’en trouve dans 0,012 kg
de 12C, élément dont la masse atomique égale précisément 12 u.
- De façon équivalent, 1 mol représente le nombre de grammes égal à
la masse moléculaire d’une substance.
11
La loi des gaz parfaits (suite)
- Le nombre de moles n constituant un échantillon donné d’une substance pure est égale à sa masse en gramme divisée par sa masse
moléculaire exprimée en grammes par mole :
n [mol] = masse [g] / masse moléculaire [g mol-1]
•
Exemples.
- La masse moléculaire de l’hydrogène gazeux H2 est 2,0 u, puisqu’une
molécule d’hydrogène renferme deux atomes d’une masse atomique
de 1,0 u chacun. Ainsi 1 mol de H2 équivaut à 0,0020 kg.
- Similairement, une mole de néon gazeux possède une masse de 20 g
et une mole de CO2 possède une masse de [12 + (2x16)] = 44 g.
- E.g., le nombre de moles dans 132 g de CO2 est égal à :
n = 132 g / 44 g mol-1 = 3.0 mol
• Conclusion.
La proportion ci-dessus ⇒
équation des gaz parfaits
où
n = nombre de moles
R = cte de proportionnalité = cte universelle des gaz =
= 8,314510 ± 0,000070 J/(mol K) R mesurée expérimentalement comme
pV = nRT
étant la même pour tous les gaz
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12
La loi des gaz parfaits (suite)
- La loi des gaz parfaits peut s'écrire sous deux formes :
• l’une ayant une approche macroscopique, en faisant intervenir le volume V
du gaz
• l'autre ayant une approche plus microscopique, en considérant le nombre
de molécules contenu par unité de volume
où
•
•
•
•
•
pV = nRT = nN Ak BT
pV = Nk BT
:
p = pression (en pascal)
V = volume occupé par le gaz (en mètre cube)
n = quantité de matière (en mole)
N = nombre de particules
R = constante universelle des gaz parfaits avec R = 8,314472 J K-1 mol-1
En fait R = NA·kB où NA est le nombre d'Avogadro (6,022×1023 mol-1)
et kB est la constante de Boltzmann (1,38065 10-23 J K-1)
• T = température absolue (en kelvin).
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!
13
La loi des gaz parfaits (suite)
•
•
•
Définition.
L’expression « température et pression normalisées » (TPN)
correspond à T = 273 K (0 C) et à P = 1,00 atm = 1,013 105 N/m2 =
101,3 kPa.
Exemple.
Déterminer le volume de 1,00 mol de n’importe quel gaz qui se comporte comme un gaz parfait : (i) à TPN , (ii) à 20 C.
(i) De l’Eq. des gaz parfaits résolue en fonction de V, on obtient :
V = (nRT)/p = [(1,00 mol) (8,315 J mol-1 K-1) (273 K)] / (1,013 105 N m-2)
= 22,4 10-3 m3
Comme 1 litre = 1000 cm3 = 10-3 m3 ⇒ 1 mol d’un gaz quelconque
occupe un volume V = 22,4 litres à TPN.
(ii) Avec T = 20 C ⇒ T = 293 K ⇒ V = 24,0 litres.
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14
La loi des gaz parfaits (suite)
•
•
Exemple.
Estimer la masse d’air dans une chambre à 20 C dont les dimensions
sont égales à : 5 m x 3 m x 2,5 m.
•
On détermine en premier lieu le nombre de moles n, pour ensuite le
multiplier par la masse d’une mole afin d’avoir la masse totale.
De l’exemple précédent, on sait que le volume d’une mole à 20 C est
de 24,0 l. Le volume de la chambre étant égal à 5 m × 3 m × 2,5 m ,
on a :
n = [(5 m) (3 m) (2,5 m)] / (24,0 10-3 m3) ≅ 1600 mol.
•
•
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L’air est un mélange de 20 % d’oxygène (O2) et de 80 % d’azote (N2)
dont les masses moléculaires sont respectivement :
2 × 16 u = 32u et 2 × 14 u = 28 u
pour une moyenne de 29 u. Donc 1 mol d’air possède une masse
d’environ 29 g, donc la chambre contient une masse d’air égale à :
m ≅ (1600 mol) (0,029 kg/mol) ≅ 50 kg
15
La loi des gaz parfaits (suite)
•
•
•
Exemple.
Un pneu d’automobile est gonflé à la pression p = 200 kPa à la température T = 10 C. Après un voyage de 100 km, la température dans le
pneu s’est élevée à 40 C. Quelle est alors la pression dans le pneu ?
Comme le volume du pneu demeure ≅ constant, V1 = V2, et l’on a :
P1 / T1 = P2 / T2
Ce résultat est lié à la loi de Gay-Lussac. Comme la pression indiquée
par le manomètre ne comprend par la pression atmosphérique, on
ajoute 101 kPa pour connaître la pression absolue, soit P1 = 301 kPa.
Alors :
P2 = (P1 / T1) T2 = [(3,01 105 Pa)(313 K)] / (283 K) = 333 kPa
En soustrayant la pression atmosphérique, on obtient une pression
manométrique de 232 kPa, i.e., accrue de 15 %.
On comprend pourquoi les constructeurs automobile recommandent
de vérifier la pression des pneus lorsqu’ils sont froids.
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Loi des gaz parfaits en termes de molécules : nbre d’Avogadro
•
Le fait que la cte des gaz R possède la même valeur pour tous les gaz est
une remarquable conséquence de la simplicité de la Nature. Ce fait a été
reconnu pour la 1re fois par Amedeo Avogadro (1776 - 1856), énoncé dans
•
L’Hypothèse d’Avogadro.
Des volumes égaux de gaz à la même pression et à la même température
contiennent le même nombre de molécules. Ce qui revient à dire que R
possède la même valeur quel que soit le gaz observé.
•
Nombre d’Avogadro.
Le nombre de molécules contenues dans une mole est appelé nombre
d’Avogadro NA. Bien que l’idée ait été conçue par Avogadro, ce dernier
fut incapable d’en déterminer la valeur. Il fallut attendre le XXe siècle
pour que les scientifiques élaborent différentes méthodes permettant
la mesure de NA :
NA = (6,0221367 ± 0,0000036) x 1023 [molécule/mole]
NA = 6,02 x 1023 [molécule/mole]
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Loi des gaz parfaits en termes de molécules : nbre d’Avogadro (suite)
•
Comme le nombre total de molécules, N, dans un gaz équivaut au nombre
de molécules par mole multiplié par le nombre de moles (N = n NA), on
peut récrire la loi des gaz parfaits sous la forme :
N
PV = nRT =
RT
NA
PV = NkT
Eq. (ii.1)
où k = kB = R/NA est la cte de Boltzmann qui a la valeur kB = 1,38 10-23 J/K.
•
•
•
!
Exemple.
Quand on remplit nos poumons de 1,0 litre d’air, combien de molécules
inhale-t-on ?
Une mole correspond à 22,4 l de sorte que 1,0 l d’air équivaut
Jules César
-101 à -40
à 1 / 22,4 = 0,045 mol. Ainsi, 1,0 l d’air contient :
(0,045 mol) (6,02 1023 molécule/mole) = 2,7 1022 molécules
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Loi des gaz parfaits en termes de molécules : nbre d’Avogadro (suite)
Cambridge University Press, 1940
Jules César
-101 à -40
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Loi des gaz parfaits en termes de molécules : nbre d’Avogadro (suite)
•
•
Exemple.
A l’aide du nombre d’Avogadro, déterminer la masse de l’atome d’hydrogène.
•
Une mole d’hydrogène (masse atomique = 1,008 u) possède une masse de
1,008 10-3 kg et contient 6,02 1023 atomes.
Ainsi la masse d’un atome équivaut à :
m = (1,008 10-3 kg ) / (6,02 1023) = 1,67 10-27 kg
•
Le procédé inverse constitue une des méthodes dont les scientifiques se
sont servis pour déterminer la valeur du nombre d’Avogadro NA : ils se
sont basés sur la mesure déjà établie de la masse d’un atome d’hydrogène.
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20
Equation d’état d’un gaz parfait
•
Variables d’état:
– intensives = indépendantes du nombre de constituants N
une variable est intensive si elle ne dépend pas de la quantité de matière.
– extensives = proportionnelles au nombre de constituants N
une variable est extensive lorsque la somme des valeurs de cette variable pour deux
systèmes disjoints est égale à la valeur de la variable pour la réunion des systèmes.
•
Pour un gaz parfait les variables d’état sont p, V et T :
p, T sont intensives et V est extensive ⇒ pV /T est extensive ⇒ pV /T ∝ N
ou
pV = NkT
pV = nRT
équation d’état d’un gaz parfait
⇒ 1 mole de gaz parfait
occupe 22.4 litres à
T=273 K et p=1 atm
qui décrit le comportement de tous les gaz réels
dans des conditions de basse p et haute T
!
où
k = 1.38065 "10#23 JK#1 : constante de Boltzmann
p = pression
R = 8.31447 JK#1mol#1
: constante des gaz parfaits
V = volume
N A = 6.022142 "10 23 mol#1 : nombre d' Avogadro
T = température
Définitions:
N = nombre de molécules
mole = quantité de matière d’un système
n = N/NA = nombre de moles
contenant NA entités élémentaires
R = kNA de sorte
que
nR
=
Nk
!
NA= nombre égal au nombre d’atomes
dans 12g de carbone 12 (12C)
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!
21
Deux points fixes ⇒ échelle de température des gaz parfaits
(i) plus naturel de définir la « température zéro »
à –273,15 C ⇒ T ∝ p si V = constante
(ii) 2e point de référence = « point triple de l’eau »
Point triple (pt) de l’eau:
coexistence des 3 états
eau-glace-vapeur à l’équilibre,
apparaissant pour des
conditions uniques de T et p :
Tpt = 0.01 C
ppt = 4.58 mm Hg
définition unité de température (SI)
Température T (mesurée)
de l’eau en ébullition
1 K (Kelvin) ≡ Tpt / 273.16
(K)
(K)
374.00
374.00
373.75
373.75
373.50
373.50
373.25
373.00
373.25
373.00
0
200
20
40
40
60
O2
O2
Air
Air
He
He
H2
H2
60
80
Température mesurée avec un
thermomètre à gaz à volume fixé:
p
T = (273.16 K)
p pt
Résultat dépend du thermomètre !
80 (mmHg)
100!(mmHg)
100
Pression
du gaz
aude
point
triple
de l’eau, proportionnelle
Pression du gaz
au point
triple
l’eau,
proportionnelle
tr
nombr e dedemolécules
de gaz
au nombr e deaumolécules
gaz
p = pression du gaz au point triple de l’eau
(∝ nombre de molécules de gaz)
Fig. (ii.3)
#p&
T = (273.16 K) lim % (
p pt "0 $ p pt '
échelle des gaz parfaits
Note: He ≈ gaz parfait
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!
22
Démo : Modèles pression - volume - température # 430
Surface des états d’un gaz parfait
•
•
Définie dans l’espace à 3 dimensions p, V, T comme le lieu des points qui
correspondent à des états d’équilibre du système
Donnée par l’équation d’état pV = nRT ( → paraboloïde hyperbolique )
p
p
droites
isothermes=
hyperboles
équilatères
V2
V1
T
p
T
Attention:
contrairement au gaz
parfait, tous les gaz
réels se liquéfient à
basse température
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T4
T3
T2
V
V2
V1
T2
V
T3
T4
Fig. (ii.4)
23