M. Pierre

Systèmes de réaction-diffusion
École de printemps
”Equations aux dérivées partielles non linéaires”
Marrakech, 31 mars–5 avril 2008
Michel Pierre
École Normale Supérieure de Cachan, Antenne de Bretagne
et Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR), France
Remarque préliminaire: Ce résumé est écrit en français, puis en anglais.
Preliminary Remark: This summary is written first in French, then in English.
Le but de ce cours est de donner un panorama des résultats obtenus au cours
de ces dernières années autour de la question d’existence globale de solutions
pour des systèmes de réaction-diffusion satisfaisant à deux propriétés qu’ont
trouve classiquement dans beaucoup d’applications:
(P) La positivité des solutions est préservée au cours du temps
(M) La masse totale des composants est contrôlée au cours du temps.
Le fait que la masse totale des composants n’explose pas en temps fini incite
à penser que les solutions existent en un certain sens globalement en temps. Il
s’avère que la solution n’est pas aussi simple. Des éléments de réponse seront
donnés tout au long de ce cours.
Ces éléments de réponse requièrent des outils parfois fins pour les équations
aux dérivées partielles linéaires et non linéaires, qui sont intéressants en soi, et
que nous discuterons au fur et à mesure. Nous parsèmerons aussi le cours de
plusieurs problèmes ouverts.
Par ”systèmes de réaction-diffusion”, nous entendons des systèmes d’équations
aux dérivées partielles du type suivant, posées sur un cylindre (0, T ) × Ω où Ω
est un ouvert de RN :
∀i = 1, ...m, ∂t ui − di ∆ui = fi (u1 , ..., um ),
(1)
où ui = ui (t, x), di > 0, fi : R → R est une fonction régulière, avec des
conditions au bord de Ω pour les inconnues ui ainsi que des conditions initiales
en t = 0.
La condition (P) est vérifiée si et seulement si f = (f1 , ..., fm ) est quasipositive ce qui signifie que, pour tout i = 1, ..., m
m
[u1 ≥ 0, ..., ui−1 ≥ 0, ui+1 ≥ 0, ..., um ≥ 0]
implique que
[fi (u1 , ..., ui−1 , 0, ui+1 , ..., um ) ≥ 0].
1
La condition (M) est par exemple satisfaite dès que
X
fi ≤ 0,
1≤i≤m
et que les conditions au bord sur les ui sont ”correctes”. Il suffit pour le voir de
faire la somme des m équations et d’intégrer
sur (0, t) × Ω. Des conditions aux
R
bord ”correctes” vont assurer que − Ω ∆ui (t, x) dx ≥ 0, si bien qu’on obtient
l’estimation a priori:
X Z
X Z
∀t ∈ (0, T ),
ui (t, x) dx ≤
ui (0, x) dx.
1≤i≤m
Ω
1≤i≤m
Ω
Lorsque les ui sont initialement positifs, comme les ui (t) le restent, ceci assure
bien que la masse totale des composants reste bornée au cours du temps.
La question générique est d’apprécier dans quelle mesure ceci contribue à l’existence globale en temps de solutions pour le système
(c’est-à-dire T = +∞).
Nous suivrons essentiellement le plan suivant:
1. Introduction. Premiers résultats simples pour les systèmes vérifiant les
propriétés (P) et (M): existence locale; estimations L1 . Quelques cas simples
d’existence globale. Exemples.
2. Existence globale de solutions classiques pour une sous-classe de systèmes
à structure non linéaire dite ”triangulaire”: utilisation de la théorie de régularité
Lp pour les opérateurs paraboliques.
3. Extensions et limites de l’approche ci-dessus: localisation des estimations
Lp . Données initiales L1 ou mesures. Influence des conditions au bord: continuité d’opérateurs de préconditionnement. Cas de diffusions couplées. Versions
elliptiques.
4. Un résultat d’explosion en temps fini pour les systèmes (P)+(M): une
remarque sur les opérateurs paraboliques à forme non divergentielle et à coefficients bornés (seulement). Nécessité de considérer des solutions faibles.
5. Une estimation L2 majeure pour les systèmes (P)+(M).
6. Un résultat général d’existence globale de solutions faibles pour les
systèmes (P)+(M) à nonlinéarité bornée dans L1 : un pseudo-principe du maximum pour les systèmes. Application aux systèmes quadratiques.
7. Etude d’un système quadratique particulier. Estimation de la mesure de
Hausdorff de l’ensemble des points d’explosion.
Nous donnons plus loin tout un ensemble de références très directement liées
au questions ci-dessus (la liste n’étant pas exhaustive).
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ENGLISH VERSION
The goal of this series of lectures is to give an overview of results that have
been obtained in the past years around the question of global existence in time
2
of solutions for reaction-diffusion systems satisfying two main properties that
one finds in many applications, namely:
(P) Positivity of the solutions is preserved for all time
(M) The total mass of the components is controled for all time.
The fact that the total mass of the components does not blow up in finite
time suggests that solutions should exist for all time. But, it turns out that the
answer is not so simple. We will progressively describe the situation all along
the lectures.
The analysis will require sometimes sophisticated tools from the theory of linear and nonlinear partial differential equations, which are interesting for themselves, and that we will discuss when encountered. We will also provide several
open problems here and there.
By ”reaction-diffusion” systems, we mean systems of partial differential
equations of the following type, set on a cylinder (0, T ) × Ω where Ω is an
open subset of RN :
∀i = 1, ...m, ∂t ui − di ∆ui = fi (u1 , ..., um ),
(2)
where ui = ui (t, x), di > 0, fi : Rm → R is a regular function, and boundary
conditions are imposed on ui as well as initial conditions at t = 0.
Condition (P) is satisfied if and only if f = (f1 , ..., fm ) is quasi-positive which
means that, for i = 1, ..., m
[u1 ≥ 0, ..., ui−1 ≥ 0, ui+1 ≥ 0, ..., um ≥ 0]
implies
[fi (u1 , ..., ui−1 , 0, ui+1 , ..., um ≥ 0].
Condition (M) is satisfied for instance when
X
fi ≤ 0,
1≤i≤m
assuming moreover that boundary conditions on the ui ’s are ”correct”. To see
this, add up the m equationsRand integrate over (0, t) × Ω. ”Correct” boundary
conditions will ensure that − Ω ∆ui (t, x) dx ≥ 0, so that one obtains the a priori
estimate
X Z
X Z
∀t ∈ (0, T ),
ui (t, x) dx ≤
ui (0, x) dx.
1≤i≤m
Ω
1≤i≤m
Ω
When the ui are initially nonnegative, they remain nonnegative so that this
indeed implies that the total mass of the component stays bounded for all time.
The generic question is then to appreciate how much this helps to
provide global existence of solutions for the system (that is T = +∞).
Here is the outline of the lectures.
3
1. Introduction. First simple results for systems satisfying (P) and (M):
local existence; L1 -estimates. Some cases of global existence. Examples.
2. Global existence of classical solutions for a sub-class of systems with a
so-called ”triangular structure” in the nonlinear part: from the Lp -regularity
theory for parabolic operators.
3. Extensions and limits of the previous approach: localization of the Lp estimates. Initial data L1 or measures. Influence of the boundary conditions:
about continuity of preconditioning operators. Case of coupled diffusions. Elliptic versions.
4. Blow up in finite time is possible for the systems (P)+(M): a remark
on parabolic operators in non divergential form with (only) bounded coefficients.
Necessity of introducing weak solutions.
5. A main L2 -estimate on systems (P)+(M).
6. A general existence result of global weak solutions for systems (P)+(M)
with nonlinear terms bounded in L1 : a pseudo-maximum principle for systems.
Application to quadratic systems.
7. A particular quadratic system. Estimate of the Hausdorff measure of the
set of blowing-up points.
We give next a wide (but certainly incomplete) list of references strongly
related to these questions.
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