Translation et rotation

Translation et rotation
CHAPITRE 7
Les gravures et dessins de M.C. Escher expriment diverses symétries, translations ou
rotations.
v Comment reconnaître les symétries, les translations et les rotations ?
M.C. ESCHER
1898-1972
v Quels outils géométriques
M.C. Escher a-t-il utilisés dans
ses œuvres ?
Des outils pour démarrer
1. Symétrie centrale
v L’image d’un point M par la symétrie centrale
de centre O (M ≠ O) est le point M© tel que le
point O est le milieu de [MM©].
v Un point O est centre de symétrie d’une
figure s’il est le milieu du segment reliant deux
points correspondants de la figure.
v Figures symétriques par rapport à un point
N©
M
M©
O
M et M© sont symétriques par rapport
au centre O.
Un demi-tour
M
M
O
O
M©
N
Deux figures sont symétriques par rapport
au point O si, en faisant tourner une figure
d’un demi-tour autour du point O, on
obtient le symétrique de la figure.
M©
O est centre de symétrie.
v La symétrie centrale conserve les longueurs,
l’alignement, les angles et les aires.
2. Symétrie orthogonale
v L’image d’un point M par la symétrie orthogonale d’axe d est le point M© tel que d est la
médiatrice de [MM©] si M n’est pas sur d.
Remarque : si M est un point de l’axe d, M et son
image M© sont confondus.
v Une droite d est axe de symétrie d’une figure
si les deux parties de la figure se superposent
par pliage le long de cette droite.
v Figures symétriques par rapport à une droite
N
d
M©
M
M et M© sont symétriques par rapport
à la droite d.
N©
A
d
M
M©
Les deux figures se superposent par pliage
le long de la droite d.
v La symétrie orthogonale conserve les longueurs, l’alignement, les angles et les aires.
72
MATHÉMATIQUES - 3e TECHNOLOGIQUE ET PROFESSIONNELLE
d
B
d est axe de symétrie.
C
Un Q.C.M. pour faire le point
Pour chaque ligne, indiquer la (ou les) bonne(s) réponse(s).
RÉPONSES
A
B
C
M est le milieu
de [AB]
Le triangle AMB
est isocèle
M est sur la
médiatrice de [AB]
Parallèle à [AB]
De même
longueur que [AB]
Perpendiculaire
à la droite d
I
I
A un axe
de symétrie
A deux axes
de symétrie
A un centre
de symétrie
Le losange
Le carré
Le triangle équilatéral
Les diagonales
perpendiculaires
Les quatre côtés
de même mesure
Des diagonales
de même mesure
9 Effectuer un quart de tour,
c’est tourner de :
90°
45°
30°
10 Effectuer un demi-tour,
c’est tourner de :
90°
180°
45°
1
Si MA = MB alors :
Le symétrique d’un segment [AB]
2 par rapport à une droite d
est un segment :
Dans quel(s) cas le triangle
3 vert et le triangle bleu sont-ils
symétriques par rapport
au point I ?
I
Dans quel(s) cas le drapeau
4 vert et le drapeau bleu sont-ils
symétriques par rapport
à la droite rouge ?
Dans quel(s) cas la droite rouge
5 est-elle un axe de symétrie
du rectangle ?
6 Le mot
7
Les figures ayant un centre
de symétrie sont :
8 Le losange a :
TRANSLATION ET ROTATION
73
Des activités pour découvrir
Activité 1 Des frises
Frise 1
a. La frise a-t-elle un axe de symétrie ? deux axes de symétrie ? un centre de symétrie ?
b. La frise ci-dessus est fabriquée à partir d’un motif minimal. Par quel procédé de construction
réalise-t-on la frise à partir de ce motif minimal ?
c. Sur une feuille de papier quadrillé, inventer une frise en utilisant un procédé analogue.
Frise 2
a. Sur une feuille de papier quadrillé, dessiner le motif minimal permettant d’obtenir la frise
toute entière par « glissement » de ce motif sur une droite.
b. En utilisant le même procédé, inventer une frise sur une feuille de papier quadrillé.
Activité 2 La danse des canards
74
MATHÉMATIQUES - 3e TECHNOLOGIQUE ET PROFESSIONNELLE
a. Choisir et décalquer deux canards blancs du dessin d’Escher.
b. Par quel procédé passe-t-on d’un canard à un autre canard voisin de la même couleur ?
c. Marquer les extrémités des becs par deux points A et A© d’une même couleur puis joindre les
points A et A©. Mesurer la longueur du segment [AA©].
d. Reprendre la question c. avec trois autres couples de points (B et B© ; C et C© ; D et D©) qui se
correspondent.
e. Comparer les directions des droites (AA©), (BB©), (CC©) et (DD©).
Comparer les longueurs des segments [AA©], [BB©], [CC©] et [DD©].
Quelle est la nature des quadrilatères AA©B©B, AA©C©C et AA©D©D ?
Activité 3 Sur un tapis roulant
A
E
A©
B
D
C
Tapis roulant
a. Reproduire le sac de voyage ABCDE sur du papier quadrillé et construire son image A©B©C©D©E©
par le glissement appelé aussi translation qui transforme A en A© parallèlement à (AB).
b. Les points C, D et E sont alignés. Leurs images C©, D© et E© sont-elles alignées ?
c. Comparer les longueurs des côtés du trapèze ABCE aux longueurs des côtés du trapèze A©B©C©E©.
Ù et B©C©D©.
Ù
Comparer la mesure des angles BCD
d. Que peut-on dire des trapèzes ABCE et A©B©C©E© et de leurs aires ?
Activité 4 Des pavés
Pour chacun des pavés, décalquer un motif de base et décrire un procédé permettant de le réaliser. On ne tient pas compte des couleurs des motifs.
TRANSLATION ET ROTATION
75
Activité 5 Le moulin à vent
On a schématisé ci-dessous les quatre ailes du moulin à vent.
D
C
I
E
B
A
O
F
G
H
a. Reproduire les ailes du moulin sur une feuille de papier et sur un calque.
b. On fait tourner les ailes autour du point O d’un angle de 45° dans le sens de la flèche.
Sur la feuille de papier construire les images A©, B©, C©, …, I© des points A, B, C, …, I par la rotation
de centre O et d’angle 45°.
Tracer d’une autre couleur l’image obtenue des quatre ailes.
c. Les points B, I et F sont alignés. Leurs images sont-elles des points alignés ?
Les droites (CD) et (GH) sont parallèles. Leurs images sont-elles deux droites parallèles ?
d. À l’aide du papier calque, comparer :
• les distances AB et A©B© ;
Ù et A©OB©
Ù
;
• les angles AOB
• les aires des triangles OCD et OC©D©.
Activité 6 Polygones réguliers
a. Au compas et à la règle, tracer un carré ABCD de 5 cm de côté et un triangle équilatéral ABC
de 5 cm de côté.
• Tracer leur cercle circonscrit de centre O.
• Indiquer le centre et l’angle des rotations par lesquels chaque point de chacune des deux figures a pour image un point de la figure.
b. Tracer un cercle de centre O et de rayon 5 cm. Placer sur ce cercle un point A.
Soit la rotation de centre O et d’angle 60°. Construire les images B de A, C de B, D de C, E de D,
F de E et G de F.
Quel est le nom du polygone ABCDEF ?
76
MATHÉMATIQUES - 3e TECHNOLOGIQUE ET PROFESSIONNELLE
L’essentiel à retenir
B
1. Translation
v Définition :
L’image d’un point M par la translation qui
transforme A en B est le point M© obtenu
par glissement rectiligne de M parallèlement à la droite (AB).
On représente une translation par une flèche qui part de A pour arriver à B.
M©
A
M
(MM© ) // (AB) et MM© = AB :
ABM©M est un parallélogramme.
v Propriétés :
• Une figure et son image par une translation ont les mêmes dimensions, les
mêmes mesures d’angles et les mêmes
aires.
• Une translation conserve l’alignement
des points et le parallélisme des droites
de la figure.
A
N
B
N©
P
P©
M
M©
Les figures sont superposables.
2. Rotation
v Définition :
L’image d’un point M (M ≠ O) par la rotation de centre O et d’angle a est le point
M© tel que :
Ù
OM = OM© et MOM©
= a.
Remarques :
• L’image de O est O. On dit que O est
invariant.
• La rotation de centre O et d’angle 180°
est la symétrie centrale de centre O.
À la découverte du centre de rotation
La figure verte est l’image de la figure
bleue par une rotation dont on cherche le
centre O.
• On choisit deux points A et B sur la
figure bleue.
• On appelle A© et B© leurs images respectives par la rotation de centre O : donc
OA = OA© et OB = OB©.
Le centre de rotation O est le point d’intersection des médiatrices des segments
[AA©] et [BB©].
• On trace les médiatrices des segments
[AA©] et [BB©] : elles se coupent au point
O, centre de rotation.
Ù
L’angle de rotation est l’angle AOA©.
M©
Sens +
a = 45°
O
M
Le sens positif de rotation est indiqué par la flèche
(sens inverse des aiguilles d’une montre)
O
A
A©
B
B©
Le centre de rotation O est le point d’intersection
des médiatrices des segments [AA© ] et [BB© ].
TRANSLATION ET ROTATION
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v Propriétés :
• Une figure et son image par une rotation
ont les mêmes dimensions, les mêmes
mesures d’angles et les mêmes aires.
• Une rotation conserve l’alignement des
points et le parallélisme des droites de la
figure.
N©
N
M©
a
a
M
O
Les figures sont superposables.
Application aux polygones réguliers
Un polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même
longueur.
Il est invariant par une ou plusieurs rotations.
Carré
Triangle équilatéral
B
B
A
120°
O
O
A
C
C
D
B est l’image de A par la rotation
de centre O et d’angle 90°,
puis C l’image de B…
B est l’image de A par la rotation
de centre O et d’angle 120°,
puis C l’image de B…
Hexagone régulier
B
A
60°
C
O
F
D
E
B est l’image de A par la rotation
de centre O et d’angle 60°,
puis C l’image de B…
78
MATHÉMATIQUES - 3e TECHNOLOGIQUE ET PROFESSIONNELLE
Des exercices pour s’entraîner
Convention : le sens de rotation choisi sera le sens positif
c’est-à-dire le sens contraire de celui des aiguilles d’une
montre.
3
B
N
M
JE SAIS
A
1 Translation et notation
A
B
D
3 Translations et triangle
On considère la translation qui transforme A en B.
Dans chaque figure construire l’image du triangle MNP.
M
1
A
C
F
E
ABCD et DCEF sont des parallélogrammes.
Recopier et compléter les phrases suivantes :
B
N
a. L’image de D par la translation qui transforme A en B
est ….
b. D est l’image de … par la translation qui transforme B
en C.
P
2
A
M
c. L’image de D par la translation qui transforme C en E
est ….
d. A est l’image de F par la translation qui transforme E
en ….
P
e. Par la translation qui transforme A en B, E est l’image
de ….
B
2 Translations et segment
N
On considère la translation qui transforme A en B.
Dans chaque figure construire l’image du segment [MN].
1
3
M
B
M
B
N
A
A
N
P
4 Translations et losange
a. Tracer un losange ABCD.
2
A
M
N
B
b. Construire :
• l’image 1 du losange ABCD par la
translation qui transforme A en B ;
D
• l’image 2 du losange ABCD par la
translation qui transforme A en D ;
• l’image 3 du losange ABCD par la
translation qui transforme A en C.
A
B
C
TRANSLATION ET ROTATION
79
5 Translation ou rotation ?
Dans chacun des cas, passe-t-on du triangle bleu au triangle vert par une translation, par une rotation ou par
une transformation inconnue ?
1
Un seul des trois élèves a réalisé une construction correcte. Lequel ? Indiquer les erreurs.
Pour les deux autres élèves, justifier les erreurs de construction.
M
Vincent
2
N
A
P
M©
P©
3
N©
4
N©
Floriane
M©
P©
M
5
A
N
P
N©
David
M©
P©
6 Rotations
M
a. Placer deux points O et A tel que OA = 4 cm.
b. Construire l’image de A par la rotation de centre O et
d’angle positif a dans les cas suivants :
a = 90° ; a = 45° ; a = 60° et a = 120°.
A
N
P
7 Rotations et rectangle
A
B
9 Rotations
Reproduire les figures et construire les images des figures par une rotation de centre O et d’angle a donné.
D
C
a. Construire un rectangle ABCD.
b. Construire l’image du rectangle ABCD :
• par la rotation de centre A et d’angle 90° dans le sens
positif ;
• par la rotation de centre A et d’angle 60° dans le sens
négatif.
8 Chercher l’erreur
Trois élèves d’une classe de Troisième ont tracé l’image
du triangle MNP par la rotation de centre A et d’angle
90° dans le sens positif.
80
MATHÉMATIQUES - 3e TECHNOLOGIQUE ET PROFESSIONNELLE
1
Angle a = 30°
B
A
2
Angle a = 120°
A
C
B
O
O
C
3
A
Angle a = 90°
O
B
5
J’APPLIQUE
B
A©
10 Translations et pavage
a. Parmi les pavés numérotés, quels sont ceux qui sont
images du pavé 1 par une translation ?
Dans chaque cas, préciser la translation.
b. Parmi les pavés numérotés, quels sont ceux qui sont
images du pavé 9 par une translation ?
Dans chaque cas, préciser la translation.
A
B©
b. Compléter la phrase suivante :
Dans une rotation, lorsque les points A et B ont
pour images respectives les points A© et B© par une rotation, le centre de la rotation est à l’intersection des
......................... des segments [AA©] et [BB©].
12 Rotations et hexagone régulier
B
A
6
7
E
5
9
L
K
4
3
2
O
N
a. Dans chacun des cas, la figure verte est l’image de la
figure bleue par une rotation de sens positif.
Décalquer les figures et trouver le centre et l’angle de
chaque rotation.
2
B©
A
A
A©
2
A©
B©
C©
F
C
3
5
B©
A©
A
B
A
x©
B
C
C
3
4
D
C
Chacun des triangles 2, 3, 4 et 5 est obtenu à
partir du triangle 1 à l’aide d’une symétrie orthogonale, d’une symétrie centrale, d’une translation ou d’une
rotation.
B
B
O
13 La ronde des triangles
11 Chercher la rotation
1
D
c. Par quelles rotations
B
l’hexagone ABCDEF est-il
invariant ?
Donner les caractéristiques de ces rotations.
P
M
E
F
b. Par la rotation de centre
O et d’angle 120° dans le
sens positif :
• quelle est l’image de B ?
A
• quelle est l’image de E ?
• quel point a pour image F ?
H
1
J
I
a. Par quelle(s) rotation(s) :
• l’image de A est-elle B ?
• l’image de A est-elle E ?
8
G
F
Soit l’hexagone régulier ABCDEF ci-dessous.
D
C
x
D
A©
B©
1
C©
A
D©
C
G
4
E
C©
B
TRANSLATION ET ROTATION
81
Compléter les quatre phrases suivantes :
a. Le triangle 3 est obtenu par la symétrie axiale
d’axe … ;
b. Le triangle 5 est obtenu par la symétrie centrale de
centre … ;
c. L’image du triangle 2 par la translation qui transforme F en … est le triangle … ;
d. Le triangle 4 a pour image le triangle 1 par la rotation de centre … et d’angle … dans le sens ….
JE MAÎTRISE
14 Repère
a. Dans un repère orthonormé (O ; I ; J ), placer les points
A (0 ; 3), B (– 1 ; 0), C (2 ; – 1 ) et D (3 ; 2).
Tracer le quadrilatère ABCD. Quelle est sa nature ?
b. Calculer les coordonnées de son centre O. Placer ce
point O.
1
4
C
2
B
3
D
5 I
6 7
A
E F
120°
8
0
9
a. Quelle est l’image de l’hexagone 8 par la symétrie
de centre I ?
b. Quelle est l’image de l’hexagone 0 par la symétrie
orthogonale d’axe (AB) ?
c. Quelle est l’image de l’hexagone 9 par la translation
qui transforme E en C ?
d. Quelle est l’image de l’hexagone 8 par la rotation de
centre A et d’angle 120° dans le sens inverse des aiguilles
d’une montre ?
18 Des écureuils (dessin M.C. Escher)
c. Construire l’image de ABCD par la rotation de centre
O et d’angle 45°.
15 La grande roue
La roue effectue
un quart de tour.
a. Dessiner
la
nouvelle position
de la nacelle.
b. Comment
obtient-on cette
image ?
16 L’essuie-glace
On a schématisé un essuieglace de bus.
La vitre est verticale, A et B
sont des points fixes, ABDC est
un parallélogramme articulé.
a. Quand l’essuie-glace fonctionne, où se déplacent les
points C, D, E et F ?
E
C
A B
D
F
b. Reproduire le schéma sur une feuille et représenter
l’essuie-glace dans une autre position ABC©D©E©F© par
une rotation de 120°.
17 Carrelage
La figure suivante est constituée de dix hexagones réguliers numérotés de 1 à 0.
L’hexagone 5 est noté ABCDEF. Le point I est le milieu
du segment [AB].
Sans justification, répondre aux questions suivantes.
82
MATHÉMATIQUES - 3e TECHNOLOGIQUE ET PROFESSIONNELLE
Est-ce par une symétrie, une translation ou une rotation
que l’on passe :
• de l’écureuil 3 à l’écureuil 1 ?
• de l’écureuil 1 à l’écureuil 2 ?
• de l’écureuil 3 à l’écureuil 2 ?
• de l’écureuil 4 à l’écureuil 3 ?
• de l’écureuil 4 à l’écureuil 1 ?
Définir chacune d’elles.
Des méthodes pour savoir faire
Comment :
a. construire l’image d’un point, d’un segment, d’un cercle par une translation ?
b. construire l’image d’un point, d’un segment, d’un cercle par une rotation ?
c. déterminer le centre et l’angle d’une rotation ?