Cours Sémantique et analyse de Programmes

Introduction
Pour raisonner sur les programmes il faut :
Cours Sémantique et analyse
de Programmes
pouvoir parler des résultats attendus
exprimer des conditions sur des résultats intermédiaires
et faire des preuves.
Filière Ingénièrie des systèmes d’Information - Ensimag 2A
Donc :
Marie-Laure Potet
disposer d’un langage de spécification ou d’annotations
modéliser et axiomatiser les structures de données
VERIMAG, Grenoble, France
propager les conditions dans le programme
résoudre les obligations de preuve
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Rappel : binary Search
int binary_search(int* t, int n, int v) {
n ≥ 0 ∧ ∀i, j . 0 ≤ i ≤ j ≤ n − 1 ⇒ t[i] ≤ t[j]
int k = 0, u = n-1;
while (k <= u ) {
int m = k + (u-k) / 2;
{m ∈ 0..n − 1}
if (t[m] < v) { k = m+1 ; }
else if (t[m] > v) { u = m-1 ; }
else { return m; }
}
return -1 ;
}
((0 ≤ res < n ∧ t[res] = v) ∨ (res = −1 ∧ ∀i . 0 ≤ i < n ⇒
t[i] 6= v)) ∧ t′ = t ∧ n′ = n ∧ v ′ = v
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Différentes approches
Approche par annotations :
on reste au niveau du programme en ajoutant des
formules logiques (JML, Spec#, . . . )
Approche par raffinement :
on dispose d’un langage de spécification permettant
de décrire les résultats attendus de manière plus
abstraite.
Une relation de raffinement permet de montrer la
correction d’un programme vis-à-vis d’une
spécification (raffinement de comportements et
raffinement de données)
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Le cadre général
Nous : méthode B
langage de
langage de
programmation
spécification/annotation
variable
structure de données
modèle mathématique
propriété
type
formule logique
vérification
algo de typage
preuve
comportement
instruction
relation avant-après
spécification abstraite
Exemples :
x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ x + y < M axInt
(z ′ = x ∨ z ′ = y) ∧ z ′ ≥ x ∧ z ′ ≥ y
valeur après : old(name) (JML), name’ (B, Z, TLA), name@pre (OCL) . . .
Une logique du premier ordre ensembliste
suffisamment expressive
possibilité d’automatisation des preuves
Un langage d’instructions permettant aussi bien la
spécification que la programmation
précondition, non-déterminisme . . .
Calcul de plus faible précondition (propagation des
annotations dans les programmes)
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Logique du premier Ordre
Logique du premier ordre :
P ∧Q
P ⇒Q
¬P
∀x · P
quantification
P red
prédicat
Expressions et Ensembles
Les ensembles (typés) :
S1 × S2
produit
P(S)
ensemble des parties
{ x | P red}
ensemble en compréhension
BIG
un ensemble infini
Les expressions :
x
variable
(E1 , E2 )
paire d’expressions
choice(S)
fonction de choix
S
ensemble
Prédicats de base :
x∈S
appartenance
E1 = E2
égalité
Les autres constructeurs sont dérivés :
P ∨ Q, ∃x · P , x 6∈ S , etc.
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Axiomes de base
Substitution - variable libre/liée
Une variable x est dite libre dans la formule F ssi F contient
une occurrence de x dans F qui n’est pas sous la portée
d’un quantificateur.
Ex : P (y, x) ∧ ∀x . Q(x, y)
x a une occurrence libre et une occurrence liée.
Axiome
SET1 (E, F ) ∈ s × t ⇔ E ∈ s ∧ F ∈ t
SET2 s ∈ P(t) ⇔ ∀x · (x ∈ s ⇒ x ∈ t)
SET3 E ∈ {x | x ∈ s ∧ P } ⇔ (E ∈ s ∧ [x := E] P )
SET4 ∀x · (x ∈ s ⇔ x ∈ t) ⇒ s = t
SET5 (∃x · x ∈ s) ⇒ choice(s) ∈ s
SET6 infinite(BIG)
[x := E] P décrit le remplacement des occurrences libres de
x par E dans P . Exemple :
[x, y := e, f ](P (y, x) ∧ ∀x . Q(x, y)) = P (f, e) ∧ ∀x . Q(x, f )
Exercice. Calcul des variables libres :
F → F ∧ F | F ⇒ F | ∀ . F | ¬F | P red(T )
T → idf | cst
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Expressivité
Exercices
Logique du premier ordre + théorie des ensembles = un
formalisme puissant.
les opérations ensemblistes classiques : ∩, ∪, −...
s ∩ t=
ˆ {a |a ∈ s ∧ a ∈ t} si s ⊆ u ∧ t ⊆ u
Exercice : preuve de s ∩ t = t ∩ s.
les relations r ⊆ P(s × t) et les fonctions (f ∈ s →
p t).
dom(r)
=
ˆ
{x | x ∈ s ∧ ∃ y · (y ∈ t ∧ (x, y) ∈ r)}
ran(r)
=
ˆ
{y | y ∈ t ∧ ∃ x · (x ∈ s ∧ (x, y) ∈ r)}
s→
p t
=
ˆ
{r | r ⊆ P(s × t) ∧ ∀ x, y, z·
Définir :
r−1 : la relation inverse
r[u] : l’image de l’ensemble u par la relation r
Id(E) : la fonction identité sur l’ensemble E
r1 ; r2 : la composition séquentielle
Définir le type tableau et le type SEQ(ELEM )
((x, y) ∈ r ∧ (x, z) ∈ r ⇒ y = z)}
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Les séquences
Les tableaux
les tableaux de taille n. Représentation :
Représentation :
(s, b1 , b2 ) ∈ (b1 ..b2 → ELEM ) × N AT × N AT
tab ∈ 0..n − 1 → ELEM
Codage:
<>=(∅,
ˆ 1, 0) et ajout(a, (s, b1 , b2 )) = (s ∪ {b1 − 1, a}, b1 − 1, b2 )
Exemple précondition :
∀ind1 , ind2 (ind1 ∈ 0..n − 1 ∧ ind2 ∈ 0..n − 1 ∧ ind1 < ind2
⇒ tab(ind1 ) < tab(ind2 ))
Exemple postcondition :
(tab−1 [{v}] = ∅ ∧ res = −1) ∨ (res ∈ tab−1 [{v}])
Définition de premier et reste :
s 6= ∅ ⇒ premier((s, b1 , b2 )) = s(b1 )
s 6= ∅ ⇒ reste((s, b1 , b2 )) = (s − {b1 , s(b1 )}, b1 + 1, b2 )
Preuve : s 6= ∅ ⇒ premier(ajout(a, (s, b1 , b2 ))) = a ?
premier((s ∪ {b1 − 1, a}, b1 − 1, b2 ))
= (s ∪ {b1 − 1, a})(b1 − 1) = a
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Construction de N
Définition par induction
Schéma d’induction caractérisant un sous-ensemble E de s :
un élément de base
une règle
a∈E
x ∈ E ⇒ f (x) ∈ E
une clause de fermeture : E est le plus petit sous-ensemble de s
finiment engendré par la règle à partir de la base.
Axiomatisation de E:
a ∈ E ∧ ∀x . (x ∈ E ⇒ f (x) ∈ E) ∧
∀F . (F ⊆ s ∧ a ∈ F ∧ ∀x . (x ∈ F ⇒ f (x) ∈ F ) ⇒ E ⊆ F )
Exemple : fermeture transitive d’une relation r (notation r+ ) :
r ⊆ r+ ∧ ∀g . (g ⊆ r+ ⇒ r ; g ⊆ r+ ) ∧
∀h . (r ⊆ h ∧ ∀g . (g ⊆ h ⇒ r ; g ⊆ h) ⇒ r+ ⊆ h)
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On doit avoir (axiomes de Peano):
12345-
0∈N
n ∈ N ⇒ succ(n) ∈ N
0 6= succ(n)
succ(n) = succ(m) ⇒ n = m
[n := 0]P ∧ ∀n · (n ∈ N ∧ P ⇒ [n := succ(n)]P )
⇒ ∀n · (n ∈ N ⇒ P )
Codage des opérateurs :
0 =
b ∅
succ =
b λn · (n ∈ F(BIG) | n ∪ {choice(BIG − n)})
On construit alors les relatifs, les entiers bornés, les
ensembles énumérés . . .
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Exercice : les arbres
Représentation :
(noeud, pere, rac) ∈ P(Etiquette) × (noeud →
p noeud) × noeud
avec :
dom(pere) = noeud − {rac}
pere+ ∩ Id(noeud) = ∅
Logique du premier ordre
Déduction naturelle adaptée à la preuve automatique et
interactive.
On manipule des jugements de la forme Γ ⊢ A avec Γ une
liste de formules (les hypothèses) et A la formule à prouver.
Ex : A ⇒ B, A ⇒ C, A ⊢ B ∧ C .
Axiome :
A⊢A
Règle de l’affaiblissement :
Γ⊢A
Γ, Γ′ ⊢ A
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Déduction naturelle
Pour chaque connecteur op :
Connecteur ⇒
Règle d’introduction :
des règles d’introduction : comment prouver A op B ?
des règles d’élimination : comment "découper" A op B ?
Calcul propositionnel : A | ¬F | F ∧ F | F ⇒ F
Calcul des prédicats du premier ordre :
P red | ¬F | F ∧ F | F ⇒ F | ∀x F
avec P red défini à partir d’un ensemble de symboles de
prédicats, d’un ensemble de symboles de fonction et de
variables. Ex: x > 3.
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Γ, A ⊢ B
Γ⊢A⇒B
⇒ Intro
Règle d’élimination :
Γ⊢A⇒B
Γ, Γ′ ⊢ B
Γ′ ⊢ A
⇒ Elim
Exercice : A ⇒ B, B ⇒ C ⊢ A ⇒ C
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Connecteur ∧
Connecteur ¬
Règle d’introduction :
Règle d’introduction :
Γ⊢A
Γ′ ⊢ B
∧ Intro
Γ, Γ′ ⊢ A ∧ B
¬Intro
Γ, Γ′ ⊢ ¬A
Règle d’élimination :
Règle d’élimination :
Γ⊢A∧B
∧ Elim1
Γ⊢A
Γ′ , A ⊢ ¬B
Γ, A ⊢ B
Γ⊢A∧B
∧ Elim2
Γ⊢B
Γ′ ⊢ ¬A
Γ⊢A
Γ, Γ′ ⊢ B
¬Elim
En logique classique on ajoute une des règles suivantes :
Exercice : A ∧ B ⊢ B ∧ A
⊢ A ∨ ¬A
Γ ⊢ ¬¬A
TE
Γ⊢A
DN
Γ′ , ¬A ⊢ ¬B
Γ, ¬A ⊢ B
Γ, Γ′ ⊢ A
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Connecteur ∨
Ab
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Premier ordre
Défini par A ∨ B = ¬A ⇒ B = ¬(notA ∧ ¬B)
Axiome et règles associés aux prédicats et termes.
Règle d’introduction :
Règle d’introduction :
Γ⊢A
∨ Intro1
Γ⊢A∨B
Γ⊢B
∨ Intro2
Γ⊢A∨B
Γ⊢P
x 6∈ libre(Γ)
∀Intro
Γ⊢∀x.P
Règle d’élimination :
Règle d’élimination :
Γ⊢A∨B
Γ′ , A ⊢ C
Γ, Γ′ , Γ′′ ⊢ C
Γ′′ , B ⊢ C
∨ Intro
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Γ⊢∀x.P
Γ ⊢ [x := t]P
∀Elim
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Quantificateur existentiel
Egalité
Règle d’introduction :
t=t
Γ ⊢ [x := t]P
∃Intro
Γ⊢∃x.P
Γ ⊢ t = t′
Γ′ ⊢ P (t)
cong
Γ, Γ′ ⊢ P (t′ )
Règle d’élimination :
Γ⊢∃x.P
Γ′ , P ⊢ C
x 6∈ libre(C)
′
Γ, Γ ⊢ C
ref l
x 6∈ libre(Γ′ )
∃Elim
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