Une démonstration de la propriété caractéristique de la médiatrice d
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Une démonstration de la propriété caractéristique de la médiatrice d
Une démonstration de la propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment. Rappel de la définition : la médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Un autre rappel fondamental (relatif à la définition de la symétrie axiale) : La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de segment. Propriété 1 : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Démonstration : Considérons un segment [AB] et la médiatrice de ce segment. On appelle I le milieu du segment [AB]. Considérons un point quelconque M sur . On cherche à démontrer que AM = BM. Les triangles AIM et BIM sont tous les deux rectangles en I. D'après le théorème de Pythagore, on peut donc écrire les deux égalités suivantes : 2 2 2 2 2 2 AI IM =AM et BI IM =BM Or, AI = BI On en déduit rapidement que AM = BM Le point M est donc bien équidistant des points A et B. cqfd (« ce qu'il fallait démontrer ») 1/3 Propriété 2 (réciproque de la propriété 1) : Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment. Démonstration : Considérons un segment [AB] et un point M du plan tel que AM = BM. On appelle I le milieu du segment [AB]. Considérons la médiatrice du segment [AB]. On cherche à démontrer que M ∈ . Pour cela, on peut mener ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde. Supposons que le point M n'est pas sur la droite : Supposons, par exemple, qu'il est du même côté de que B. D'après l'inégalité triangulaire, on peut écrire : BN + NM > BM A et B étant de part et d'autre de , on peut donc affirmer que le segment [AM] coupe en un point N:N≠M N étant sur la médiatrice de , on peut écrire, grâce à la propriété 1 : AN = BN Or on sait aussi que AM = BM. Le fait de supposer que M n'est pas sur entraîne deux résultats contradictoires.... De plus, N ∈ [AM], donc AN + NM = AM Ce que entraîne BN + NM = BM « le point M n'appartient pas à » est donc une proposition fausse. Donc le contraire de cette proposition est vrai et on peut affirmer que : M ∈ . cqfd On peut finalement regrouper les propriétés 1 et 2 en une seule, propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment : Un point est sur la médiatrice d'un segment si et seulement s'il est équidistant des extrémités de ce segment. 2/3 Il existe une écriture symbolique des trois propriétés écrites en couleurs sur les pages précédentes (on entre là dans le domaine de la logique) Appelons P la proposition : « Le point M est sur la médiatrice du segment [AB]. » Appelons Q la proposition : « Le point M est équidistant des extrémités du segment [AB]. » La propriété 1 peut s'écrire : P ⇒ Q (qui se lit : « P implique Q »). La propriété réciproque (propriété 2) peut s'écrire P ⇐ Q (« Q implique P »). Et la propriété caractéristique s'écrit tout naturellement : P ⇔ Q (« P est équivalent à Q »). 3/3