Vecteurs - Exercices corrigés Seconde

Transcription

Vecteurs – Géométrie dans le plan
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche :











Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux
Exercice 2 : parallélogramme et égalités vectorielles
Exercice 3 : coordonnées d’un vecteur par lecture graphique
Exercice 4 : coordonnées de vecteurs par le calcul
Exercice 5 : somme de vecteurs et calcul de coordonnées d’un vecteur
Exercice 6 : relation de Chasles et vecteurs opposés
Exercice 7 : multiplication d’un vecteur par un réel
Exercice 8 : milieu de segment et écritures vectorielles
Exercice 9 : vecteurs colinéaires / colinéarité
Exercice 10 : vecteurs colinéaires et points alignés
Exercice 11 : vecteurs colinéaires et droites parallèles
Vecteurs – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
1
Exercice 1 (3 questions)
Soit un rectangle
Niveau : facile
de centre .
1- Représenter les transformés respectifs des points ,
et
et
par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ .
et
Correction de l’exercice 1
Rappel : Translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Soient deux points
point image
et
du plan. La translation qui transforme
du plan tel que les segments
La transformation qui transforme
et
en
associe à tout point
du plan l’unique
ont le même milieu.
est appelée la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
en
Un vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ est caractérisé par :

sa direction : il s’agit de la droite

son sens : il s’agit de l’orientation de

sa norme : il s’agit de la distance
vers
(matérialisée par la flèche orientée vers le point )
, c’est-à-dire de la longueur du segment
Remarque : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont même direction, même sens et même norme.
Soit un rectangle
de centre .
1- Représentons les transformés respectifs des points , et par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
 La translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ transforme le point en . On dit que le point est l’image du point

par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ . En effet, le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a même
direction, même sens et même norme que le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ . Autrement dit, la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et
la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ sont la même transformation.
Le point
est transformé en
2
Point méthode : Pour placer le point , image du point
par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ , on construit
l’unique représentant du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ (même direction, même sens et même norme que le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ayant
⃗⃗⃗⃗⃗ (c’est-à-dire de sorte que les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ soient égaux) .
pour origine le point , de sorte que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ . En effet, le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a même
direction, même sens et même norme que le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ . Autrement dit, la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et
Le point
est transformé en
la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ sont la même transformation. On peut noter : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2- Représentons les transformés respectifs des points , et
 La translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ transforme le point en .

par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ . En effet, le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ a même
direction, même sens et même norme que le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ . Autrement dit, la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ et
Le point
est transformé en
3

par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ . En effet, le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a même
direction, même sens et même norme que le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ . Autrement dit, la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et
Le point
est transformé en
par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Le point
est transformé en
par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ . En effet, le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ a même
direction, même sens et même norme que le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ . Autrement dit, la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ et
3- Représentons les transformés respectifs des points ,

et

par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ . En effet, le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a même
direction, même sens et même norme que le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ . Autrement dit, la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et
Le point
est transformé en

La translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ transforme le point
en .
4
Niveau : moyen
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse :
⃗⃗⃗⃗⃗ .
1est un parallélogramme donc ⃗⃗⃗⃗⃗
2- Une translation transforme en et en donc
3et
sont deux parallélogrammes donc
4-
est un parallélogramme donc
est l’image de
et
ont même milieu.
est un parallélogramme.
1- Soit
un parallélogramme. Il en résulte les égalités vectorielles suivantes :
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
L’affirmation proposée est donc fausse.
2- Une translation transforme
en
Par conséquent, le quadrilatère
parallélogramme.
et
en
.
est un
Or, les diagonales d’un parallélogramme se coupent
en leur milieu donc
et
ont même milieu.
L’affirmation proposée est donc vraie.
3-
et
sont deux parallélogrammes.
5
D’une part,
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
D’autre part,
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
Ainsi, ⃗⃗⃗⃗⃗
Donc
⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , c’est-à-dire ⃗⃗⃗⃗⃗
est un parallélogramme.
⃗⃗⃗⃗⃗ .
L’affirmation proposée est donc fausse.
4- Soit
un parallélogramme.
Par conséquent, le point est l’image du point
la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ .
par
L’affirmation proposée est donc vraie.
6
Exercice 3 (1 question)
Niveau : facile
Dans le repère
ci-contre, lire
les coordonnées des vecteurs suivants :

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
Rappel : Ecriture d’un vecteur dans un repère
Dans un repère
, tout vecteur ⃗ de coordonnées (
) se décompose de façon unique sous la forme :
⃗
Remarque : Dans cet exercice,
est un repère orthogonal mais pas orthonormal. En effet, les axes
et
du repère sont orthogonaux, mais les unités d’axes ne sont pas égales puisque la norme du
vecteur est le double de celle de .
Dans le repère
, on a :

⃗⃗⃗⃗⃗
d’où ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

⃗⃗⃗⃗⃗
d’où ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

⃗⃗⃗⃗⃗
d’où ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

⃗⃗⃗⃗⃗
d’où ⃗⃗⃗⃗⃗ (
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

d’où ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
d’où ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
d’où ⃗⃗⃗⃗⃗ (
d’où ⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
)
)
7
Remarque : Ci-dessous figure la représentation du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ , accompagnée d’une explication permettant de
mieux comprendre l’écriture vectorielle de ⃗⃗⃗⃗⃗ dans le repère
.
Pour « aller » de à , on effectue :
 d’une
part
un
déplacement
horizontal suivant un axe parallèle à
l’axe vert des abscisses
(direction), dans le sens du vecteur
, c’est-à-dire de la gauche vers la
droite (sens), en parcourant une
distance de 3 carreaux, c’est-à-dire
une distance de 3 fois la norme du
vecteur unitaire (norme) ;
 d’autre part un déplacement vertical
suivant un axe parallèle à l’axe
rouge des ordonnées
(direction), dans le sens du vecteur
, c’est-à-dire du bas vers le haut
(sens), en parcourant une distance de
2 carreaux, c’est-à-dire une distance
d’1 fois la norme du vecteur unitaire
(norme).
8
Niveau : facile
Dans un repère, on donne les points suivants :
Calculer les coordonnées des vecteurs suivants :
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Rappel : Coordonnées d’un vecteur dans un repère
Soient
et
deux points dans un repère. Les coordonnées du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ sont :
(
)
Dans un repère, on donne les points suivants :

Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées :
(

)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

(
(

)
)
(
)
(
)
( )
Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées :
(
)
(
)
(
)
9
Remarque : En considérant que les points , ,

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ (
⃗⃗⃗⃗⃗ (
et
sont placés dans un repère
:
)
)
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
10
Dans un repère
Placer le point
Niveau : facile
du plan, on donne les points :
tel que ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ et donner les coordonnées du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Dans le repère orthonormé
ci-contre, on a
commencé par placer les points suivants :



Plaçons désormais le point
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
1ère étape :
On représente le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ d’origine le point . On
choisit le point
comme origine puisqu’on cherche à
placer le point
à placer le point
vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
image de
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , c’est-à-dire
par la translation de
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
11
2ème étape :
On construit le représentant du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ d’origine
le point .
⃗⃗⃗⃗⃗
3ème étape :
⃗⃗⃗⃗⃗
On construit le représentant du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ d’origine
le point
(point extrémité du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ ). Ce vecteur
a par conséquent même direction, même sens et même
norme que le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ et a pour origine .
⃗⃗⃗⃗⃗
On vient par conséquent de représenter finalement le
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗
4ème étape :
On représente désormais (en noir) le représentant du
le point
⃗⃗⃗⃗⃗ d’origine
puisque ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
. Le point extrémité est
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Déterminons dès lors les coordonnées du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Comme ⃗⃗⃗⃗⃗
coordonnées : (
, le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
a pour
)
12
Niveau : moyen
En utilisant la relation de Chasles, compléter les égalités suivantes :
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
deux points. Alors, quel que soit le point , ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Rappel : Relation de Chasles
Soient
et
⃗⃗⃗⃗⃗
Complétons les égalités proposées en faisant appel à la relation de Chasles.

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⏟
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Rappel : Vecteurs opposés
⃗⃗⃗⃗⃗ est le vecteur opposé au vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ et on note ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
Ainsi, ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
13
Soient
et
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Niveau : moyen
deux points distincts du plan. Placer les points
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
,
⃗⃗⃗⃗⃗
,
et
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
tels que :
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Soient
et
deux points distincts. Représentons le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ .

⃗⃗⃗⃗⃗ indique que les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ ont même direction et même sens et
L’égalité vectorielle ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
que la norme de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est 4 fois plus grande que la norme de ⃗⃗⃗⃗⃗ .

⃗⃗⃗⃗⃗ équivaut ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , c’est-à-dire à ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ . Autrement dit, les
L’égalité vectorielle ⃗⃗⃗⃗⃗
vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ ont même direction mais sont de sens contraires et la norme de ⃗⃗⃗⃗⃗ est 3 fois plus
grande que la norme de ⃗⃗⃗⃗⃗ .

L’égalité vectorielle ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ équivaut ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , c’est-à-dire à ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ . Autrement dit, les
vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ ont même direction mais sont de sens contraires et la norme de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est

grande que la norme de ⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗
⏟
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ ont même direction et même sens et la norme de ⃗⃗⃗⃗⃗ est
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
fois plus
⃗⃗⃗⃗⃗
fois plus grande que
celle de ⃗⃗⃗⃗⃗ .
14
Niveau : facile
Soit le milieu du segment
suivantes :
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
. Déterminer la valeur des réels
,
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
,
et
des écritures vectorielles
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗
Soit le milieu du segment

.
Les vecteurs ⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ ont même direction (la droite
) et même sens (de
comme est le milieu du segment
,
. Ainsi :
⃗⃗⃗⃗



) et même sens (de
vers ). En outre, comme
⃗⃗⃗⃗
Les vecteurs ⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ ont même direction (la droite
est le milieu du segment
,
. Ainsi :
⃗⃗⃗⃗
). En outre,
⃗⃗⃗⃗⃗
Les vecteurs ⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ ont même direction (la droite
est le milieu du segment
,
. Ainsi :
⃗⃗⃗⃗
vers
) et sont de sens contraires. En outre, comme
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ équivaut à ⃗⃗⃗⃗
⃗,
⃗⃗⃗⃗ donc l’égalité vectorielle ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
D’après ce qui précède, ⃗⃗⃗⃗
⃗ . En factorisant dans le membre de gauche par le vecteur ⃗⃗⃗⃗ , on obtient :
⃗⃗⃗⃗
c’est-à-dire : ⃗⃗⃗⃗
⃗ . Autrement dit, comme ⃗⃗⃗⃗
⃗,
⃗⃗⃗⃗
. D’où
.
15
Niveau : facile
Dans chaque cas, justifier si les vecteurs ⃗ et
sont colinéaires.
1)
⃗ (
)
et
(
)
⃗ (
)
et
(
)
⃗ (
)
et
√
( )
√
2)
3)
√
Rappel : Vecteurs colinéaires

Définition : Dire que deux vecteurs ⃗ et

Théorème : Deux vecteurs ⃗ et
nul tel que ⃗

non nuls sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction.
non nuls sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel
non
.
Théorème : Deux vecteurs ⃗ ( ) et ( ) non nuls sont colinéaires si, et seulement si,
est le déterminant des vecteurs ⃗ et
L’expression
et on note
⃗
|
|
.
.
1)

⃗
1ère méthode : calcul du déterminant
|
|
Le déterminant des vecteurs ⃗ et
est nul donc les vecteurs sont colinéaires.
16

2ème méthode : recherche d’un réel
Supposons ⃗ (
) et
(
non nul tel que ⃗
) dans un repère
.
. Alors :
⃗
⏞
⏞
⏟
⃗
⏟
(
)
⃗
⃗
donc les vecteurs ⃗ et
sont colinéaires.
2)
⃗
|
|
n’est pas nul donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
3)
⃗
|
√
√ |
√
√
√
( √ )
√
⏟
√
√
√
√
√
√
est nul donc les vecteurs sont colinéaires.
17
Soit un triangle
Niveau : moyen
et soient les points
définis respectivement par ⃗⃗⃗⃗⃗
et
⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
1- Démontrer que les points , et sont alignés.
2- En déduire une construction du point .
Rappel : Alignement de points et colinéarité
sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires. Remarque : On
peut aussi montrer que les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires ou que les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.
Trois points ,
et
1- Pour montrer que les points
colinéaires.
D’après l’énoncé, ⃗⃗⃗⃗⃗
Or, ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⏟
⃗⃗⃗⃗⃗
⏟ ⏟ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
sont alignés, montrons que les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont
et
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗
⏟
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
,
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⏟
⏟⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗
⏟
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ donc les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires. Par conséquent, les points ,
et
sont alignés.
⃗⃗⃗⃗⃗ , on peut déduire que
2- De l’égalité vectorielle ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
et que
. Ainsi, pour tracer
le point , il suffit de tracer un arc de cercle de centre et de rayon
sur la demi-droite
. est
alors le point d’intersection de la demi-droite
et de l’arc de cercle.
18
Soient les points
sont-elles parallèles ?
Niveau : moyen
,
,
et
dans un repère
. Les droites
et
Rappel : Parallélisme de droites et colinéarité
sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.
Remarque : Les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont des vecteurs directeurs respectifs des droites
et
.
Deux droites
et
Soient les points
,
,
et
dans un repère
. Les droites
et
sont parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.
Calculons dès lors les coordonnées des vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ .

⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées :
(

)
(
)
(
)
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées :
(
)
(
)
(
)
Calculons désormais le déterminant des vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ .
(⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
parallèles.
|
|
donc les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires. Il en résulte que les droites
Remarque : On pouvait également montrer la colinéarité en observant que ⃗⃗⃗⃗⃗
En effet, ⃗⃗⃗⃗⃗
et
sont
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗
19

Vecteurs - Exercices corrigés Seconde

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