Correction du BTS CGO session 2012

Correction du BTS CGO session 2012
Exercice 1 :
A. Probabilités conditionnelles
1) D’après l’énoncé, on a :
0,7
0,3
2)
a.
b. On a
3) On veut déterminer
,
0,05 et
0,7
0,3
.
,
0,1
0,05 0,035
0,1 0,03
0,035 0,03
0,065
0,4615
B. Loi binomiale
1) On effectue dix fois, de façon « assimilé » comme indépendante, l’expérience de
Bernouilli consistant à prélever un pneu dans le stock et dont le succès, le pneu possède
un défaut a une probabilité de 0,065.
La variable aléatoire X qui compte le nombre de pneus ayant un défaut parmi les dix tirés
suit donc une loi binomiale de paramètre 10; 0,065 .
0,065
1 # 0,065 "
0,935"
0,5106
2)
0
!"
La probabilité qu’aucun pneu ne possède de défaut est d’environ 0,5106.
3)
%2
0
1
2
"
"
"
0,935
!"
0,065
0,935' !"( 0,065( 0,935)
0,5106 0,355 0,1111
0,9767
C. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
1) Lorsqu’on approche une loi binomiale par une loi normale, les paramètres de la loi
normale sont exactement l’espérance et l’écart type de la loi binomiale approchée.
Or ici, on a : * +
400 0,2 80 et - +
√400 0,2 0,8 √64 8.
Les paramètres choisis pour la loi normale sont donc justifiés.
2)
/ % 92,5
12)
)
0
%
'(, 2)
)
3
4 % 1,56
3)
/ 7 99,5
0,9406
1 # / 8 99,5
1#
04 8
'', 2)
)
Avec 4
3
12)
)
Avec 4
~6 0; 1
12)
)
~6 0; 1
1 # 4 8 2,44
1 # 0,9927
0,0073
La probabilité que cette campagne promotionnelle ait amené au moins 100 clients est
donc d’environ 0,0073.
Exercice 2 :
A. Statistiques
1) A la calculatrice on trouve que le coefficient de corrélation linéaire est 9 #0,946
2)
a. Toujours à la calculatrice, on trouve que l’équation de la droite de régression
D de : en ; par la méthode des moindres carrés est : #0,1805; 4,8707.
b. Voir graphique à la fin B.
B. Etude d’une fonction
1) On a < ;
a. < E ;
b.
",=> ?@
4,65 # 0,024; # > ?@ A"
0 # 0,024 #
pour tout ; B C0; 12D
F(,)> ?@ F> ?@ A"
G2",=> ?@ (> ?@ G
?
> ?@ A"
(,)> H@ A(,) "
> ?@ 2(,)> H@
#0,024 #
?
> ?@ A"
==)
> ?@
#0,024 # > ?@ A"
?
==)
> ?@
L’expression > ?@ A"
? est clairement positive
puisque le numérateur est le
produit d’un nombre positif avec une fonction exponentielle et que le
dénominateur est un carré.
Lorsqu’on enlève un nombre positif à un nombre négatif, le résultat est
nécessairement négatif.
On en déduit donc que <’ ; 8 0 pour tout ; B C0; 12D et donc que la fonction <
est strictement décroissante sur cet intervalle.
(Je ne fais pas le tableau de variations que vous imaginez sans problème).
2)
a.
b.
;
< ;
0
4,65
2
4,60
4
4,53
5
4,36
6
3,80
7
3,25
8
3,08
10
3,01
12
2,96
3) La courbe C passe beaucoup plus près de chacun des points du nuage (a l’exception d’un
ou deux), c’est clairement le meilleur ajustement.
C. Calcul intégral et application
1)
est une primitive de < sur C0 ; 12Dsi et seulement si ’ ;
Or
E
;
4,65 # 0,012
2; # 0,7
4,65 # 0,024; #
Donc
",=> ?@
> ?@ A"
2J
"
> ?@ A"
(K
< ; pour tout ; B C0; 12D.
< ;
est bien une primitive de < sur C0; 12D.
2)
a.
LM
"(
"
N < ; O;
"(2
"
"
C ; D"(
F 12 # 0 G
"(
"(
"
4,65 12 # 0,012 12( # 0,7 ln
"(
"
54,072 # 0,7 ln J (= 160000
"(
"
"
"
054,072 0,7 ln 0> ?H A"
33
"(
R
"
"
4,506 "( ln 0> ?H A"
3
J(
"(
160000 # #0,7 ln 1
160000
0,7 ln 160001
b. On en déduit que LM 3,8
3) D’après la question précédente, la consommation moyenne de tabac d’une personne de
15 ans ou plus entre 1997 et 2009 a été de 3,8 grammes par jour.