Cours 25 Machines thermiques

Cours 25 Machines thermiques
Les moteurs des voitures qui nous transportent ainsi que le circuit primaire d’une centrale nucléaire qui convertit la
chaleur d’un cœur nucléaire en énergie mécanique disponible en sortie de turbine sont des dispositifs
thermodynamiques auxquels s’appliquent les premier et second principes.
Quelle que soit la technologie ; machine à vapeur, moteur à explosion , moteur Diesel, moteur Stirling, turbine à gaz,
un moteur fonctionne entre deux sources de chaleur, la chaude de température TC et la froide de température TF
<TC, le moteur exploite en général une chaleur de combustion et se refroidit au contact de l’atmosphère ou d’une
eau vive. Le second principe de la thermodynamique montre que le rendement du moteur est inférieur à 1-TF/TC.
On étudiera aussi dans cette leçon les machines réceptrices dont le but est de produire du froid, les machines
réfrigérantes ou du chaud, les pompes à chaleur.
I) Eléments d’histoire des sciences et techniques ; les machines thermiques
Moteur à explosion :
https://www.youtube.com/watch?v=NIgTwbbcUz4
https://www.youtube.com/watch?v=bm4tV2uvRGw
https://www.youtube.com/watch?v=pbKo4bPEvvA
Moteur Diesel
https://www.youtube.com/watch?v=zWV1OSzKkpk
Moteur Stirling Voir plus loin
Turbine à gaz
http://www.dailymotion.com/video/x1w1bex_gas-turbine-engine-animation_creation
Machine à vapeur :
Rappel machine de Newcommen : http://www.editionspetiteelisabeth.fr/fonctionnement_de_la_machine_de_newcomen_machine_a_vapeur.php
Amélioration de watt : le régulateur à boule et le condenseur séparé du cylindre
Animation condenseur https://www.edumedia-sciences.com/fr/a882-machine-a-vapeur
Le condenseur ne parvenant pas à liquéfier toute la vapeur on accepte d’en perdre une partie avec son énergie
thermique (panache blanc de la loco) quitte à recharger régulièrement en eau
La machine à vapeur est une réalité actuelle elle est en œuvre dans les centrales nucléaires et même dans les
centrales à flammes qui brulent des hydrocarbures pour vaporiser de l’eau et faire tourner une turbine qui entraine
un alternateur
Curiosity MMRTG :
Le rover Curiosity dispose d'une source d'énergie indépendante de l'éclairement. L'électricité est générée par un générateur thermoélectrique à radio-isotope (GTR)
de nouvelle génération, le MMRTG développé par Boeing, utilisant une charge de 4,8 kg de dioxyde de plutonium PuO2 enrichi en plutonium 238 générant une
puissance initiale d'environ 2 000 W thermiques convertis nominalement en 120 W électriques60 par des thermocouples à base de nouveaux matériaux
thermoélectriques, à savoir PbTe/TAGS61 au lieu des anciens composants silicium-germanium. Le rover dispose de 2,7 kWh/j au lieu de 0,6 à 1 kWh/j sur
Opportunity, dont la puissance résiduelle, le 12 mai 2009 (après 1884 sols) n'était plus que de 460 Wh/j. De surcroît, cette puissance sera indépendante de
l'intensité du rayonnement reçu du Soleil et n'imposera donc pas d'arrêter la mission pendant l'hiver martien, contrairement au cas de Spirit et d'Opportunity. MSL
dispose d'une autonomie nominale d'une année martienne, soit près de deux années terrestres, mais sa source d'énergie devrait encore fournir 100 W électriques
après 14 années terrestres de fonctionnement. L'électricité est stockée dans deux batteries rechargeables au lithium ion ayant chacune une capacité de 42 Ah. Un
système de radiateurs comportant près de cinquante mètres de tubes dans lesquels circule un fluide caloporteur permet de rejeter la chaleur excédentaireN
http://fr.wikipedia.org/wiki/Mars_Science_Laboratory
http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9n%C3%A9rateur_thermo%C3%A9lectrique_%C3%A0_radioisotope_multi-mission
Cette technologie présente l’avantage de ne pas présenter de pièces mobiles susceptibles de pannes, il ne s’agit pas d’un
moteur thermodynamique à proprement parler mais le rendement de Carnot ne pourra quand même pas être dépassé. Les
thermocouples sont d’ailleurs décrits dans une thermodynamique plus élaborée qui sera étudiée en école d’ingénieur.
Histoire de la thermodynamique
ème
Les premières machines à vapeur ont été inventées au 18 siècle, elles succèdent aux machines purement mécaniques qui
utilisent l’énergie des courants d’eau ou du vent grâce à des organes de transmission tels que les engrenages et crémaillères, les
poulies et les courroies, les leviers et les palans ou les systèmes bielles manivelles.
En 1690 Denis Papin invente la soupape puis il imagine le cylindre à piston qui se déplace sous l’action de la vapeur. En 1700
Savery et Newcommen construisent les premières machines à vapeur. De 1763 à 1775 Watt leur apporte un perfectionnement
notable en leur adjoignant un condenseur séparé. La fonction d’une machine à vapeur est de convertir une énergie thermique en
une énergie mécanique. Le texte fondateur de la thermodynamique ‘réflexion sur la puissance motrice du feu et sur les machines
propres à développer cette puissance ’ a été écrit par Carnot en 1824 mais ce dernier croyait en un principe de conservation de la
chaleur. C’est Joule en 1840 qui infirme cette idée et montre l’équivalence de la chaleur et du travail, deux formes de transfert
d’énergie. Clausius en 1850 et Kelvin en 1851 assemblent les concepts de Joule et de Carnot complétant la description des
phénomènes thermo-mécaniques et construisant ce que l’on appelle aujourd’hui la thermodynamique macroscopique.
La thermodynamique formalise une dissymétrie de la nature : si la conversion du travail en chaleur peut être réalisée à 100%, il
n’en est pas de même de la conversion inverse ; une seconde source de chaleur qui perçoit comme une sorte de taxe une partie
de l’énergie émise par la première source est nécessaire si l’on souhaite convertir de la chaleur en travail, c’est à dire si l’on
souhaite faire fonctionner un moteur.
Les machines thermodynamiques réceptrices de travail que sont les réfrigérateurs sont apparues après les machines à vapeur.
Même si les chinois avaient remarqué très tôt que l’évaporation de l’eau produit du froid et que William Cullen ait décrit ce t
effet en 1756, il faudra attendre 1856 et 1859 pour que Charles Tellier et Ferdinand Carré inventent les premières machines à
froid qui fonctionnent avec de l’ammoniac. En 1862 H.C. Kirk construit la première machine à froid à circuit fermé. En 1876
Linde lui adjoint un compresseur. En 1930 l’industrie du froid se développe avec l’utilisation des chloro-fluoro-carbones ou
CFC ou fréons; ces fluides frigorifiques très stables subissent des transitions de phases fluides à des températures voisines de
l’ambiante pour des pressions accessibles.
Toutefois leur fuite dans l’atmosphère pose problème car lorsque les CFC dépassent la couche d’ozone (10 kms d’altitude)
sous l’action des UV ils se dissocient. Les radicaux chlorés qui en résultent catalysent alors la décomposition de l’ozone
privant ainsi la terre de sa protection aux UV mutagènes. Les pays industrialisés ont donc remplacé les CFC par les hydrogénochloro-fluoro-carbone ou HCFC, il ne peut s’agir là que d’une solution temporaire car si la stabilité moindre de ces composés
fait qu’ils sont partiellement décomposés avant d’atteindre la haute atmosphère, ils détruisent encore la couche d’ozone.
L’utilisation des hydrogéno-fluoro-carbone ou HFC est envisageable, mais si il s’agit là d’un gaz qui ne détruit pas la couche
d’ozone, il contribue par contre notablement à l’effet de serre. Les solutions d’avenir sont sans doute liées à des gaz aussi
courants que l’ammoniac, l’isobutane, le propane, le dioxyde de carbone et la vapeur d’eau ; mais leur utilisation dans des
installations domestiques pose des problèmes techniques qui sont encore à résoudre.
Donnons enfin quelques dates :
1862 brevet du moteur à explosion par Beau de Rochas
1876 le moteur amélioré par Otto devient réellement fonctionnel
1882 Benz et Daimler fabriquent des moteurs
1893 brevet de Diesel 1897 un moteur fonctionnel voit le jour
L’utilisation des combustibles fossiles produisant un gaz à effet de serre CO2 (le méthane étant l’autre gaz à effet de serre) il est
urgent de limiter sa production. De plus le réchauffement climatique induit risque de s’aggraver ; en effet si la température du
globe s’élève, le CO2 piégé dans le permafrost et dans la mer sera libéré en masse, si les glaces fondent, l’albedo de la terre
diminuera, le rayonnement solaire sera moins réfléchi, la température moyenne de la terre augmentera selon une rétroaction
positive déstabilisatrice.
Ajoutons qu’au rythme actuel de consommation, la ressource en hydrocarbures restante est inférieure à 50 ans et ceci même en
accédant au pétrole le plus profond, utiliser les gaz de schistes pose des problèmes de pollution des nappes phréatiques. La
ressource en combustibles nucléaires fissiles n’est pas plus abondante elle aussi estimée à moins de 50 ans. Il faut donc espérer
que des projets comme ITER visant à contrôler la fusion nucléaire aboutiront rapidement et que les états consentent des efforts
financiers dans la recherche (l’histoire des sciences et technique montre que ce n’est pas forcément la ou l’on croit devoir
chercher que les solutions se révèlent, il faudrait financer abondamment l’ensemble de la recherche scientifique pas seulement
la recherche en énergétique)
II) Les machines thermiques monophasées
0) Inégalité de Clausius
Une machine correspondant à une transformation cyclique du fluide thermodynamique S=0
l'entropie ne varie que pendant les phases de contact avec les source,s pas pendant l'échange de travail avec l'extérieur
S=
contact froid
S+
contact chaud
S=0
pendant le contact avec la source froide
QF
TF
scréée froid
QC
TC
scréée chaud
contact froid
S=
QF
TF
0 comme scréée froid
scréée froid
scréée chaud
0
pendantlecontactavecasourcechaude
QC
TC
QF
TF
contact chaud
S=
QC
TC
scréée chaud
0
1) Machines possibles et utiles
Le système, c’est le gaz qui échange du travail avec un univers mécanique ou technique extérieur et avec
deux sources, une froide et une chaude. TC>TF définit la source chaude.
Les machines possibles doivent être compatibles avec les deux principes :
QF + QC + W = 0
et
QF
TF
QC
TC
0
Les 3 cas possibles sont
QF
QC
W
moteur
-
+
-
Réfrigérateur
ou
congélateur
+
-
+
W
QC
e
QF
W
1
Le rendement reversible
est d’autant plus grand
que l ‘écart entre les
sources est grand
TF
TC
QF
QF
QC
1
TC
1
TF
1
TF
x 1
TC TF
ou climatiseur
Pompe à
chaleur
+
-
+
e
QC
W
QC
QF QC
TC
TF
TC
TF
1
x
TC
x 1
TC TF
L’efficacité réversible est
d’autant plus grande que
l ‘écart entre les sources
est petit
L’efficacité réversible est
d’autant plus grande que
l’écart entre les sources
est petit
Remarque ; faire passer de la chaleur de la source chaude QC>0 à la source froide QF<0 en fournissant au fluide du travail W>0 doit être possible même si
l’intérêt est limité par le fait que ce transfert thermique se ferait spontanément.
Toutefois dans ce cas si on veut envisager le cas d’une machine réversible donc si on prend
QF
TF
Cela implique │QC│>QF donc W=-QC-QF <0 la réversibilité ne peut être atteinte sauf a avoir W=0
QC
TC
0
2) Les machines thermiques monophasées motrices.
Sens d’un cycle moteur : sens horaire
On peut étudier les cycles en diagramme P,V (Watt) ou T,S (la coutume en thermodynamique est
d’annoncer l’ordonnée avant l’abscisse)
Pour tous les cycles moteurs on prendra comme convention que le contact du gaz avec la source froide a
lieu entre 4 et 1 et que le contact avec la source chaude a lieu de 2 à 3.
Dans notre modèle, on considère qu’un gaz parfait décrit un cycle en étant en contact au cours du cycle avec une
source chaude et une source froide. Le gaz ainsi considéré constitue un système fermé. Dans la réalité des moteurs,
il en est autrement ; après une phase d’admission un mélange comburant carburant réagit chimiquement puis les
produits de la réaction s’échappent et sont refoulés et la phase 4 à 1 est fictive.
Toutefois le modèle fermé suffira à décrire la physique de ces engins thermodynamiques.
T
p
2
3
2
3
4
1
1
4
S
V
Pour un cycle moteur les deux diagrammes tournent dans le même sens le sens des aiguilles d’un montre
Montrons le sur un cycle de Carnot : un moteur doit fournir du travail, le travail reçu sur un cycle doit donc
être trouvé négatif :
2
W
PdV
cycle
3
PdV
1
4
PdV
2
1
PdV
3
PdV
p
4
2
Isotherme chaude
3
isentropique
1
1
2
PdV
4
PdV est positif car dV<0
1
4
v
lorsque l’on va de 4 à 1 ou de 1 à 2 et a pour valeur absolue l’aire sous la courbe 4.1.2
3
4
PdV
2
PdV
est négatif car dV>0 lorsque l’on va de 2 à 3 ou de 3 à 4 et a pour valeur l’aire sous la courbe 2.3.4
3
Le travail reçu au cours du cycle est donc négatif et a pour valeur absolue l’aire du cycle
TdS= Q représentant la chaleur reçue par le système il est normal que sur un cycle pour un moteur elle soit positive
Cycle moteurs de Carnot :
-
Le cycle de Carnot est limité par deux adiabatiques réversibles et deux isothermes, montrer que le
rendement de ce moteur est déterminé par la température de la source froide et la température de la
T
source chaude. Cycle idéal
p
2 Isotherme chaude
3
2
isentropique
1
1
4
3
4
s
V
v
Diagramme de Watt P, V : P en
fonction de V
Diagramme T,S
Ou Diagramme P, v (volume massique) ou
diagramme de Clapeyron Ces deux diagrammes sont
identiques pour un système fermé)
Isothermes : U23=0
Q23=-W23=nRTCLnV3/V2 Q41=-W41= nRTFLnV1/V4
loi de Laplace TV -1=cst
T1V1 -1= T2V2 -1 T3V3 -1= T4V4 -1
Premier principe W=-Q23+Q41
V3/V2=V4/V1
=-W/Q23=1-T1/T2=1-TF/TC= rendement de Carnot
isotherme P=nRT/V
PV
0 0
comme >1 l’isentropique est plus pentue que l’isotherme
V
isentropique P
retour sur le rendement de carnot : c’est le plus grand rendement possible quelque soit le type de moteur,
démonstration ;
lors du contact du système
S
S SC
C
0 soit S
avec la source chaude SC on a
QSC
TSC
C
0
soit S
QSC
soit S
TSC
C
QC
TSC
C
QC étant la chaleur reçue par le système lors de son contact avec la source chaude
de meme lors du contact avec la source froide
comme S
on a : 0
QF
TSF
QC
TSC
S
F
QC
QF
TSC
TSF
1
S
0 pour la machine
C
soit compte tenu de Q C
QF
QC
S
1
QF
F
TSF
sur un cycle car l'entropie est une fonction d'état
0
QF
0
QF
QC
QF
TSF
TSF
TSC
QC
TSC
TSF
TSC
le rendement de la machine =
-W
QC
le second principe donnant
1
QF
QC
QC
QF
QC
1
TSF
TSC
1
QF
puisque d'après le premier principe sur un cycle
QC
1
TSF
TSC
rev
U=0=W+QF
QC
Cycle moteurs de Stirling :
Le cycle de Stirling est déterminé par deux isothermes et deux isochores ; montrer que le rendement est
encore déterminé par les seules températures des sources froides et chaudes.
Il s’agit d’un cycle avec régénération, la compression et la détente isentropique du Carnot sont remplacées
par des évolutions isochores se déduisant l’une de l’autre par translation dans un diagramme entropique.
p
2
T
Isotherme chaude
Isotherme chaude
3
2
3
isochore
isochore
1
4
1
4
v
CV dT
dU
TdS
PdV
dT
sur une isochore
T
dS
CV
T
cst e
S
CV
S
de 1 à 2 on a accumulation de chaleur dans un réservoir de 3 à 4 on a restitution de cette chaleur
W
1à2
0
2à3
RT2 Ln(V3/V2)
3à4
0
4à1
RT1 Ln(V1/V4)
Q
U
-W
U
-W
U
R(T2-T1)
0
- R (T2-T1)
0
=1+QF/QC = 1 + [- RT1 Ln(V1/V4) ]/ [-RT2 Ln(V3/V2)] = 1 - [ RT1 Ln(V4/V1) ]/ [RT2 Ln(V3/V2)] = 1-T1/T4
Dans tous les cas on est amené à exploiter 4 relations constitutives des 4 transformations constituant le
cycle : V1=V2
T2=T3
V3=V4
T4=T1
stirling canette https://www.youtube.com/watch?v=RzW0--FMbVg
stirling déplaceur https://www.youtube.com/watch?v=5_50RuMcc28
calcul du rendement et régénérateur http://www.moteurstirling.com/comment.php
http://www.moteurstirling.com/regenerateur.php
- Cycle de Beau de Rochas ou d’Otto
: moteur à explosion classique 4 temps ou moteur à essence normale ; le cycle est limité par deux
isentropiques et par deux isochores.
Exprimer le rendement en fonction de
= V1/V2
L’allumage en 2 l’ouverture des soupapes en 4, fermeture des soupapes en 1 ca pousse pendant un seul
temps de 3 à 4. Les étapes d’admission et de refoulement se compensent
3
T
3
p
2
isentropique
4
4
1
2
S
1
v
isochore
W
Q23
1
T1V1
T2V2
(
1
Q23 Q41
Q23
1
T3
T2
)
1
a
a 1
(T3 T2 )
1
T3V3
1
Q41
Q23
1
1
T4V4
1
a
1
Cv (T1 T4 )
Cv (T3 T2 )
1
T1a
1
1
(T1 T4 )
(T3 T2 )
T2
T3
T4 a
1
cycle de Diesel
: moteur à essence Diesel (essence plus lourde, moins raffinée et moins chère) mais au pouvoir
calorifique plus important (plus de carbone) , allumage par compression sans bougies. Le carburant est
injecté sous pression dans la chambre de combustion contenant l’air préalablement comprimé et chaud au
contact duquel il s’enflamme spontanément. Le cycle est limité par deux isentropiques, une isochore et
une isobare, le contact avec la source froide se faisant le long de l’isochore . Injection en 2 ;
Dans un diesel il y a une portion isobare à la place de l’isochore du moteur à essence car le carburant est
injecté progressivement sous pression constante
Les moteurs à explosion ou les moteurs diesels peuvent être turbocompressés dans ce cas l’énergie
cinétique des gaz d’échappement est récupérée pour faire tourner une turbine qui comprime le comburant
air (on parle de suralimentation)
Exprimer le rendement en fonction de
2=
B
p
isobare
= V1/V2 et de
= V1/V3 qui caractérisent les isentropiques
3=C
3
T
isentropique
2
4=D
isochore
v
CP dT
CV dT
dH
dU
1=
A
S
TdS VdP
dT
sur une isobare
T
TdS
dT
sur une isochore
T
PdV
4
1
dS
CP
dS
CV
T
cst e
T
S
CP
cst e
S
CV
En fait une modélisation plus correcte des vrais moteurs diesel est celle du cycle mixte mais on n’en
tiendra pas compte:
p
2bis
isobare
3
isentropique
2
4
isochore
1
v
W
QC
TAVA
1
TA
1
PC
PB
QC
QF
QC
1
TBVB
TB
QF
QC
1
TCVC
car
=
TB
TC
QDA
QBC
1
1
VA
VB
TDVD
1
cV (TA TD )
cP (TC TB )
1
1 (TD
(TC
TA )
TB )
1
1
TC
TD
car
=
VA
VC
isobare
VB
VC
p
2
3
isentropique
trois températures en fonction de la dernière
= 1-
4
isochore
1
1
1
1
v
Le cycle est déterminé par P2 T2
Q
12
P4 (ou T4 )
W
0
23
H
U
H
U
nCV(T2-T1)
nCP(T2-T1)
H- U= (nRT)
nCV(T3-T2)
nCP(T3-T2)
nCV(T4-T3)
nCP(T4-T3)
nCV(T1-T4)
nCP(T1-T4)
= nR(T2-T1)
34
41
0
U
U
0
Comme on sait exprimer T3 T4 et T1 en fonction de T2
Essence rendement 25 à 30%, diesel voiture 30 à 35%, Diesel camion ou bateau 40%,(le rendement des
turbines est encore meilleur)
mais le diesel est moins puissant à masse égale de moteur et demande plus d’entretien, le moteur diesel
est d’autre part plus complexe. 1L de cylindrée donne 35ch en Diesel et 50ch en essence (1ch=736Watts)
Le Diesel tourne moins vite ce qui explique la moindre puissance et la longévité plus grande ; 1500 à 1800
tours /min pour un essence moyen à une vitesse de l’ordre 100kms/h sur du plat) le moteur est dans le
rouge à 7000tours/min, 1300 pour un Diesel dans les mêmes conditions, le moteur est dans le rouge à
5000tours/mn.
Taux de compression essence 9 , Diesel 20
Diesel 600°C 40bars
Essence 12 bars 350°C
Les cylindres d’un moteur diesel sont plus gros .
dans un diesel on travaille avec un excès d’air plus important 20/1 que dans un essence 10/1.
Les pièces mécaniques d’un véhicule automobile
Le moteur : culasse , bloc-cylindre carter, joint de culasse entre les deux,
Segments sur les pistons, Soupapes, culbuteurs ressorts, équipage mobile ( bielle manivelle), distribution
courroie ou chaîne, arbre à câme, graissage lubrification (pompe filtre à huile), refroidissement ( pompe et
ventilateur) ;
alimentation batterie et alternateur, allumage (bobine allumeur bougies),
filtre à air,
Carburation ou injection si essence, injection si Diesel ( pompe)
Diesel « bougies » de préchauffage
Essence bougies d’allumage
Le moteur ne fonctionne pas à basses vitesses, 2 conséquences :
Démarreur pour lancer le moteur
Dispositif Embrayage (prise progressive par frottements) et Boite de vitesse (démultiplication ce qui est
perdu en vitesse de rotation est gagné en couple) pour atteindre les petites vitesses P =
= cst
Remarque technologiquement il n’est pas possible de fabriquer des embrayages ou des boites de vitesses
dans le domaine des hautes puissances c’est pour cela que les locomotives Diesel entraînent des
alternateurs dont le courant est redressé puis lissé puis un moteur électrique à courant continu
Les moteurs à courant continu n’ont pas de problème de couple au démarrage
La mécanique automobile ne se limite pas au moteur puisque tout le véhicule est concerné :
Transmission, Direction, Suspension, Freins
Une amélioration possible des moteurs à essence ou Diesel la Turbocompression ; on utilise l’énergie
cinétique des gaz d’échappement pour faire tourner une turbine qui comprime l’air admis
- cycle de Brayton et Joule :
le cycle est limité par deux isentropiques et deux isobares
c’est le cycle des turbines à gaz et des moteurs à réaction. Dans le premier cas le travail fourni ne sert pas à
la propulsion mais à la mise en rotation d’une machine tournante par exemple d’un alternateur pour la
production d’électricité. C’est aussi le cas des statoréacteurs, des turboréacteurs et des turbopropulseurs.
Les statoréacteurs sont des turbines de section variable ou l’air réagit avec le carburant et se détend
(moteurs de fusée). Lorsqu’on munit un statoréacteur d’un compresseur auxiliaire entraîné par une turbine
on réalise un turboréacteur tel que les réacteurs d’avion. Lorsque la turbine entraîne une hélice on parle
de turbopropulseur
Exprimer le rendement en fonction du rapport de pression ou en fonction d’un rapport volumétrique bien
choisi.
Remarque : les cycles qui font intervenir des isothermes sont peu réalistes car la thermalisation n’a pas le
temps de se faire, les adiabatiques réversibles (même si le caractère quasistatique semble lui aussi
illusoire) ou tout du moins les allotropiques constituent une meilleure modélisation
Isobare
1
T4
T1
T3
T2
1
Chambre de combustion
1 a
p
2
3
cst
1
P1 T1
1
P2 T2
1
1
P3 T3
1
P4 T4
T4
T3 a
T1
T2 a
2
Isentropique
1
or P1 T
3
T
Isentropique turbine
compression
1
4
isobare
1
v
La température de fluage des métaux et alliages courants est de l’ordre de 1200 à 1400°C (chalumeau oxyacétylénique 3000°C)
turbine à gaz standard 500°C La température dans les turbines modernes est de l’ordre de 1500°C dans les machines
terrestres et 1750°C dans certains turboréacteurs. Très bons rendements, mais alliages très chers pour éviter le
fluage.
4
S
3)Les machines thermiques monophasées réceptrices.
On peut inverser le cycle de Stirling mais en pratique c’est le cycle de Brayton et Joule que l’on inverse
pour obtenir un réfrigérateur monophasé ; Le cycle tourne bien sur alors dans le sens trigonométrique
Le contact avec la source froide a lieu sur la même portion de courbe que dans le cas du moteur, mais en
sens inverse puisque le gaz reçoit maintenant de la chaleur de la part de la source froide. On numérote le
contact avec la source froide de 1 à 2.
Le rapport de la grandeur utile sur la grandeur dépensée peut être supérieur à 1, on parle d’efficacité
pompes à chaleur, climatiseurs ; cycle de Brayton et Joule inversé. Alors que pour un moteur le gaz se
réchauffe au contact de la source chaude ici le gaz se réchauffe au contact de la source froide
4 à 1 est fictif
4
p
isobare
3
isentropique
1
2
isobare
v
e
QC
W
QC
QC
1
1
QF
1
4
or T1 P
1
e
cP (T4 T3 )
cP (T4 T3 ) cP (T2
1
2
T4 P
T2 P
1
1 a
T1 )
1
3
T3 P
(T4
(T4 T3 )
T3 ) (T2 T1 )
1
e
(T4
T3 ) (T2 T1 )
(T4 T3 )
P3
P2
P
taux de compression a= 4
P1
1
(T1 T2 )
(T4 T3 )
1
T1
T4 a
1
T2
T3 a
1
e
1
1 a
T1 , T2 , P1 et a suffisent à caractériser le cycle. Les deux relations constitutives de Laplace permettent
d’exprimer T3 et T4 en fonction de ces données
Q
12
H
W
U
H
nCV(T2-T1)
nCP(T2-T1)
U
nCV(T3-T2)
nCP(T3-T2)
H- U= (nRT)
nCV(T4-T3)
nCP(T4-T3)
nCV(T1-T4)
nCP(T1-T4)
H- U= (nRT)
= nR(T2-T1)
23
0
34
H
= nR(T4-T3)
41
0
U
4) Les diagrammes
Il existe deux types de diagramme P, V
1) Un diagramme de Watt est un diagramme où l’on porte la pression en fonction du volume de l’enceinte
ouverte ( une des parois de l’enceinte est susceptible d’être temporairement absente).
2) Un diagramme de Clapeyron est un diagramme où l’on porte la pression en fonction du volume
massique
Pour les systèmes fermés diagramme de Watt et diagramme de Clapeyron sont donc identiques. Par
exemple pour le Moteur de Stirling.
On utilise les diagrammes de Watt dans l’industrie pour les systèmes dont l’enceinte peut être ouverte
temporairement, c’est à dire dont le volume peut varier en même temps que la quantité de matière : c’est
à dire les moteurs à essence et les moteurs Diesels ainsi que les compresseurs ; en effet pendant les phases
d’admission et de refoulement le système est ouvert et le volume de l’enceinte varie en même temps qu’il
y a entrée ou sortie de matière. Pendant les phases de compression ou de détente le système est fermé.
(pendant la phase d’échappement on a perte de matière sans variation du volume)
Le diagramme de Clapeyron est confondu avec le diagramme de Watt dans toutes les phases de
transformation du gaz ou le système est fermé (donc hors des phases d’admission d’échappement et de
refoulement). Dans ces machines une même quantité de gaz est concernée dans un même lieu, le volume
de l’enceinte, par diverses transformations successives.
Remarque : en fait dans la modélisation développée en prépa, on dit que tout se passe comme si une même
quantité de gaz subissait des transformations cycliques en échangeant de la chaleur avec deux thermostats et
du travail avec l’extérieur. On oublie le fait que la chaleur est apportée de façon interne par une combustion
et on oublie que les gaz changent de nature puisqu’il y a réaction chimique. Ainsi dans la modélisation prépa
ces systèmes apparaissent comme fermés.
On utilise le diagramme de Clapeyron pour les machines thermiques ou une même quantité de gaz décrit
un circuit qui la fait transiter par plusieurs organes (turbine ou réfrigérateur, pompe à chaleur) :
Concernant chaque organe de la machine thermique on considère un système ouvert il y a un flux entrant
et un flux sortant ; on se ramène à un système fermé de 1 kg de gaz qui transite dans l’organe par un
raisonnement similaire à celui de la détente de Joule Kelvin et on écrit h + Ec = wu + q le travail des
forces de pression du au fluide amont et au fluide aval étant pris en compte dans h , wu est le travail utile
par exemple le travail reçu par le kilogramme de fluide du compresseur si il y en a un , si l’organe est
calorifugé q =0.
Dans la pratique les diagrammes P,V ne sont réellement utilisés : En effet pour les systèmes qui
comportent une phase temporelle fermée (Beau de Rochas, Diesel et Stirling à fortiori) la pression est une
quantité qui est difficile à définir, elle est dans la réalité très hétérogène, on ne peut pas la définir et on ne
peut donc pas la représenter, dans ces conditions on peut tout de suite dire que la modélisation
transformation isobare qui intervient dans un beau de rochas ou dans un diesel est une première
approximation. De même les autres grandeurs thermodynamique T, sont aussi hétérogènes dans les
systèmes fermés et le cycle de Stirling apparaît lui aussi comme une première approximation. Pour les
systèmes fermés que sont les moteurs une transformation isotherme, isobare ce sont de premières
approximations. Les transformations adiabatiques sont une réalité mais elles ne sont certainement pas
isentropiques car on a des sources d’irréversibilité. Seules les transformations isochores peuvent avoir une
certaine réalité puisqu’elles modélisent un piston en bout de course.
La thermodynamique des systèmes fermés ou temporairement fermés (Beau de Rochas, Diesel et Stirling)
est ainsi beaucoup plus complexe que celle des systèmes à organes ouverts et les modèles que nous
développerons en prépa à leur sujet sont moins bons que ceux que nous développerons au sujet des
systèmes à organes ouverts (turbines, réfrigérateurs, pompe à chaleur)
Concernant les turbines ou les réfrigérateurs bien que pour ces machines le diagramme de Clapeyron ait
un sens ; les quantités physiques P et v sont mesurables puisque les variables thermodynamiques sont à
peu près homogènes dans chaque organe de la machine, il est peu utilisé. La raison en est que lorsqu’on
superpose à ce graphe les isentropiques ou les isenthalpiques ou les isotitres (informations nécessaires
pour la conception ou pour l’exploitation de la machine) on obtient un diagramme fouillis où les
différentes courbes sont difficiles à distinguer et où la lecture des quantités thermodynamiques n’est pas
précise.
-Les diagrammes utilisés dans la pratique sont
- le diagramme T,s qui met en évidence les causes d’irréversibilité
- le diagramme de Mollier h,s où les transferts énergétiques en système ouvert sont facilement mesurables
- le diagramme log P, h dit diagramme des frigoristes (réfrigérateur, pompe à chaleur). Son intérêt est
d’associer la contrainte mécanique essentielle P des compresseurs à la variable énergétique h.
Les sources d’irréversibilité sont les irréversibilités mécaniques dues à la viscosité, les irréversibilités par
hétérogénéité de température dans le système ou à ses frontières
si les irréversibilités mécaniques peuvent être minimisées en essayant de minimiser les frottements, les
irréversibilités par hétérogénéité de température sont elles incontournables. En effet pour que la chaleur
s’écoule d’un point à un autre il faut qu’il existe un gradient de température. les thermodynamiciens
qualifient de pincement la différence de température entre le fluide à son point le plus froid et la source
froide . Or une transformation réversible est une transformation quasistatique mécaniquement réversible
(égalité des pressions extérieure et intérieure) mais aussi thermiquement réversible (égalité des
températures intérieure et extérieure) donc à pincement nul. Un transfert thermique étant de la forme
PQ(watts) = K*pincement * surface d’échange on voit qu’un pincement nul implique une surface d’échange
infinie donc une machine thermique infiniment grande
On pourrait penser de prime abord que c’est au niveau du radiateur que le rendement du moteur en
prend un coup, on accepte mal de payer le litre d’essence 1 euro pour réchauffer les chats qui se posent
sur le capot quand on la gare, mais il ne faudrait pas croire qu’un meilleur moteur serait un moteur qui
échangerait moins d’énergie avec la source froide qu’est l’atmosphère ; en effet de par l’énoncé de Kelvin
du second principe on sait qu’un moteur doit nécessairement céder de la chaleur à la source froide et de
part l’énoncé de Carnot on sait que le meilleur rendement possible est 1 - TF / TC
Les thermodynamiciens utilisent l’exergie H-T0S qui couple variables ou fonction internes au système H et S
et paramètre extérieur T0 A cet égard les thermodynamiciens établissent des rendements exergétiques qui
quantifient l’efficacité du fonctionnement de chaque organe de la machine thermique et pas seulement l’efficacité
globale sur un cycle, on s’aperçoit alors que le rendement exergétique au niveau du radiateur d’un moteur est bon
et que l’on doit porter ses efforts d’optimisation sur les autres organes de la machine.
5) Amélioration d’une turbine à gaz , exercice utlisant le premier principe industriel
Dans une turbine à gaz , le gaz entre dans les conditions P1, T1 et en ressort à la pression P2 <P1. Elle fournit à
l’extérieur un travail Wu (par unité de masse de gaz s’écoulant dans la turbine), écoulement que l’on supposera
isentropique
Afin d’améliorer le travail massique récupéré , on réalise une détente en trois étapes selon le schéma de principe
suivant :
W’u
Les deux turbines TURB1 et TURB2 sont isentropiques. l’échangeur est isobare ; l’état initial du gaz est le même
(P1,T1) la pression finale est la même P2 ; les travaux Wui sont rapportés à l’unité de masse ainsi que l’énergie
thermique Q>0 absorbée par le gaz dans l’échangeur
On donne de plus l’allure dans le diagramme (s,h) des isobares et des isothermes
1)
2)
3)
Montrer qualitativement que le deuxième système est plus avantageux que le premier
Retrouver par le calcul le résultat précédent dans le cas du gaz parfait ( masse molaire M, =Cp/Cv = cte)
En déduire l’expression du rapport = (W’u-Wu)/Q représentant le gain d’énergie mécanique par unité
d’énergie thermique supplémentaire qu’il faut fournir
Application numérique : P1=4atm T1=800K P2 = 1 atm P’’ =3 atm T’2 = 600K
=1.4
M=29 10-3 kg.mol-1
R=8.31 JK-1mol-1
Calculer les quantités Wu , W’u , Q et
Correction dans le système à une seule turbine, on va de A1 à A2 directement.
Dans le premier cas le travail massique fourni à l’extérieur est donné par :
wu=-(h2-h1) =h(A1)-h(A2)
Pour la machine à deux turbines nous aurons
w’u=w’u1+w’u2
Avec w’u1=h(A1)-h(B’’1) et w’u2=h(B’’2)-h(A’2)
Soit w’u=h(B’’2)-h(A’2)+h(A1)-h(B’’1)
Ce système est plus avantageux que le premier si le travail récupéré est plus important. Il faut donc que w’ u>wu . Ce
qui s’écrit : h(B’’2)-h(A’2)+h(A1)-h(B’’1)>h(A1)-h(A2)
Soit encore h(A’2)-h(A2)<h(B’’2)-h(B’’1)
Or la fonction s h(s) correspondant à une isobare, croît plus vite pour une pression plus importante. Il en résulte
que l’inégalité est vérifiée. On a bien hA2A’2< hB’’1B’’2 ce que montre le dessin suivant :
Ce gain en travail a été réalisé au prix d’une augmentation de la température du gaz dans l’échangeur d’énergie
thermique isobare : Q = h(B’’2)-h(B’’1)>0 et T(B’’2)>T(B’’1)
On peut également remarquer que la température en sortie d’appareil est plus grande avec deux turbines qu’avec
une seule T(A’2)>T(A2)
En conclusion le travail récupérable est d’autant plus grand que l’on fractionne la détente. Mais cela exige autant
d’échangeurs thermiques que de fractionnement.
Considérons maintenant le cas du gaz parfait pour lequel est une constante. Dès lors les deux membres de
l’équation (1) s’écrivent
R
(T '2 T2 )
1M
R
h( B ''2 ) h( B ''1 ) cP (T ''2 T ''1)
(T ''2 T ''1 )
1M
l'inégalité doit se traduire alors par la relation T '2 -T2 <T''2 -T''1
h( A '2 ) h( A2 )
cP (T '2 T2 )
soit encore T ''2 T '2
T ''2 T '2
T ''1 T2
T ''1 T2
or les transformations A1
A2 et A1
1 (2) on a en effet T''1 >T2
B ''1 et B ''2
1
A1
B''1
1
1
P
T1
P''1 T '1
T1
T ''1
P1
P ''
1
A1
A2
1
P1 T1
1
P2 T2
T2
T1
P2
P1
1
B ''2
A'2
P''1 T2 ''
1
P2 T2 '
T2 '
T2 ''
P2
P ''
A '2 sont par définition isentropiques d'ou
1
T2
les deux premières relations impliquent également
T"1
T '2
)
T''2
T ''2
l'inégalité (2) devient alors
T2
T''1
(1
)
T ''1
(1
la condition
T ''2
T ''1
P2
P ''
1
T ''2
T ''1
1
T'
1 puisque d'après ce qui précède nous avons 2
T''2
1 est évidemment réalisée
R
(T "2 T "1 ) 0
1M
W' Wu
Déterminons maintenant le coefficient = u
Q
(T''
T ''12 T2 T '2 )
(T''2 T '2 T1 T ''1 ) (T1 T2 )
2
On a
=
T ''2 T ''1
T ''2 T ''1
Q>0 et h(B''2 ) h( B ''1 )
puisque T'2
T2 et T ''2
T ''1 ce coefficient est inférieur à l'unité
W'u -Wu <Q or d'après ce qui précède nous avons
1
T'2
T2
T ''2
T''
et 1
T ''1
T2
P ''
P2
T '2
1
1
T2 T2
T2
P2
d ' ou =11
=1T''1 T ''2
T ''1
P''
1
T ''1
application numérique : P1 =4atm P2 =1atm P''=3atm T1 =800K
1
On a T2
Wu
P
T1 2
P1
1
800
4
R
(T1 T2 )
1M
0.4
1.4
538 K
1.4 8.31
(800 538)
0.4 2910 3
1
T ''1
P ''
T1
P1
263kJ .kg
1
737 K
T ''2
T '2
P ''
P2
821K
1
1
(T '2 T2 )
T ''2 T ''1
T2
T "1
P2
P ''
III) Les machines thermiques diphasées:
1) les machines thermiques diphasés motrices
- Cycle de Carnot sous la courbe de saturation avec un compresseur
Machine à vapeur, centrale thermique ou nucléaire.
Le contact avec la source froide a lieu de 4 à 1
Le compresseur travaille sur un liquide on devrait l’appeler pompe
Parler de la stabilité intrinsèque des réacteurs nucléaires
- Cycle moteur de Rankine ou de Watt: machine à vapeur sans surchauffeur.
De 1 à 1’ compression isentropique dans le compresseur, ( 1 et 1’ sont très proches sur le diagramme entropique et
sont en fait presque indiscernables) de 1’ à 2 chauffage isobare dans la bouilloire
Ceci concernant le liquide
De 2 à 3 vaporisation totale dans la bouilloire
De 3 à 4 détente isentropique avec liquéfaction très partielle en entraînant la turbine
De 4 à 1 liquéfaction du reste, c’est à dire de la quasi-totalité restante dans le condenseur
T
P
bouilloire
1’
2
turbine
1
1’
4
1
compresseur
condenseur
3
2
3
V
4
S
De 4 à 1 réellement décrit par l’eau du secondaire d’une centrale nucléaire, hypothétique pour une locomotive à
vapeur
Rem ; du fait de l’absence de surchauffeur, la vapeur saturante se condense volontiers sur les hélices de la turbine,
de sorte qu’en pratique on préfère le cycle de Hirn suivant.
Cycle moteur de Hirn : machine à vapeur avec surchauffeur. l'amélioration est une surchauffe isobare
De 1 à 1’ compression isentropique, de 1’ à 2 chauffage isobare
De 2 à 3 vaporisation totale
De 3 à 3’ surchauffe de la vapeur saturée à pression constante par échange thermique avec un fluide extérieur
De 3’ à 4 détente isentropique avec liquéfaction nulle en entraînant la turbine
De 4 à 1 liquéfaction totale dans le condenseur
T
P
Surchauffe
isobare
1’
2
3’
3 3’
2
3
1’
1
4
4
1
S
V
- Dans la réalité 4 reste légèrement mixte et il y a des gouttelettes abrasives sur la turbine
Pour augmenter le titre en vapeur en fin de détente sans pour autant trop augmenter la température on peut
effectuer plusieurs surchauffes successives avec détentes intermédiaires (ceci a un coût technique puisqu’il faut
rajouter des organes à la machine)
- Dans le cycle de Hirn comme dans le cycle de Rankine 1 et 1’ sont en fait très proches l’un de l’autre comme ne le
montre pas la figure
- Le compresseur travaille sur un liquide on devrait le qualifier de pompe
stabilité du fonctionnement d’un réacteur nucléaire (neutrons lents)
2 ) Les machines thermiques diphasées réceptrices.
Le contact avec la source froide a lieu de 1 à 2
Le compresseur travaille sur de la vapeur
Les cycles de Rankine et de Hirn peuvent s’inverser ; la compression isentropique suivie du chauffage isobare sont
alors remplacées par une détente isenthalpique qui amène le fluide de l’état liquide saturé 4 à un mélange liquide
gaz 1
1 à 2 évaporateur 2 à 3 compresseur 3 à 4 condenseur 4 à 1 détendeur
Cycle récepteur de Rankine
De 2 à 3 on a une compression isentropique et de 4 à 1 une détente isenthalpique
T
P
condenseur
détendeur
3
4
1
3
4
compresseur
2
1
V
2
S
évaporateur
Cycle récepteur de Hirn L’amélioration consiste en un refroidissement isobare
De 2 à 3 on a une compression isentropique suivie d’un refroidissement isobare et de 4 à 1 on a une détente
isenthalpique
Refroidissement
isobare
P
T
2’
3
4
2’
4
1
3
2
1
2
V
De 1 à 2 c’est la production de froid (production historique jarre) comment revenir à 1 machine thermique fonctionnement S
cyclique
le compresseur travaille sur la vapeur, l'amélioration est un refroidissement isobare
de 1 à 2 c'est la production de froid historique (jarre) comment revenir au point de départ : machine cyclique
3)Chaleur latente de vaporisation massique relation de Clapeyron
En considérant les isothermes T et T+dT de
l’unité de masse dans un diagramme P , u où u
est le volume massique, montrer que
lv = T (uv - uL) (dP/dT) massique
Lv = T (Uv - UL) (dP/dT) molaire
A’
P+dP
B’
T+dT
lv=Lv / M
P
A1
A
où dP/dT représente la pente de la courbe de
vaporisation au point d’abscisse T (Remarque: on
fait ici référence au diagramme P,T , on ne parle
pas de la pente de la courbe de rosée ou de la
pente de la courbe d’ébullition du diagramme p,u
ci-contre).
uL
B1
T
B
uV
On utilisera la figure suivante ainsi que les notations qui y sont explicitées. On imaginera un cycle de
Carnot limité par les deux isothermes T et T+ dT et par deux isentropiques A’,A1 et B’,B1.
Comme dT est infinitésimal on pourra approximer l’aire du cycle B1A1A’B’ à la quantité AB.dP
Remarque on a aussi Lv = T (uv - uL) (dP/dT)
avec u volume molaire
Ce qui montre que v(J.g-1) M(g.mol-1) = LV(J.mol-1)
4) Réfrigérateur diphasé Détente de Joule Kelvin d’un Fréon dans une machine
frigorifique
Dans une machine frigorifique un Fréon suit un cycle de Hirn inversé soit :
- Une détente isenthalpique de Joule-Kelvin de l ’état A (liquide pur) à l’état B (diphasé). Cette détente est
irréversible et même non quasi-statique c’est pourquoi on l’a représentée en pointillé sur les digrammes P,V et S,T.
- puis une évaporation totale de B à C ;
On a TB = TC PB = PC
- puis une compression de C à C’. Cette compression est isentropique et amène à la température T C’
- puis un refroidissement isobare de la vapeur jusqu’à D.
- Puis une condensation de D à A ;
On a TA = T D et PC’ = PD = PA
On lit sur le diagramme entropique les données suivantes
xB = 25%
hA = 65 kJ.kg-1 hB = 65 65 kJ.kg-1
TA= 303K
PA= 7.4bar
TB= 263K
PB= 2.2bar
hC =183 65 kJ.kg-1
hC’ = 204 65 kJ.kg-1
TC= 263K(-10°C)
PC= 2.2bar
TC’=310K
PC’=7.4bar
hD = 200 65 kJ.kg-1
TD=303K(30°C)
PD=7.4bar
Dans tout l’exercice on considèrera 1kg de fréon
On néglige l’énergie cinétique des fluides car le débit est faible
La température de la chambre froide du congélateur est TFroide= 268 K (-5°C en fait les congélateurs alimentaires
doivent descendre plus bas)
La chambre froide est en contact thermique avec l’évaporateur dans lequel le fluide est à la température T B
La température de la cuisine est TChaude= 298 K . 25°C
La cuisine est en contact thermique avec le condenseur dans lequel le fluide est à la température TA
Chaleur latente massique de vaporisation à 263 K L263 = 155 kJ.kg-1
Chaleur latente massique de vaporisation à 303 K L303 = 135 kJ.kg-1 = hD-hA
1) En appliquant les premier et second principes exprimer l’efficacité maximum de cette machine thermique en
fonction de TFroide et de TChaude
268/(298-268)=8.9
Calculer l’efficacité si on prend 303 et 263 pour températures
263/(303-263)= 6.6
2) En écrivant que la détente AB est isenthalpique et connaissant le titre massique en vapeur en B xB = 25% en
déduire la capacité calorifique du fréon liquide cL.
On envisagera une transformation fictive qui passe par le point I intersection du palier bas avec la courbe
d’ébullition.
On rappelle que pour une phase condensée dH = cLPdT est voisin de dU = cLV dT
Réponse : cL (263-303)+xB(159)=0 On trouve cL = 1J.g-1= 1 kJ.kg-1 K-1
3)La transformation C’D est isobare en déduire de dH = cP dT + (h +V)dP = cP dT la cP du gaz considéré comme
parfait (TdS=cPdT+hdP=CvdT+ldV et h=-V et l=P pour un GP)
démonstration : - 4 = cP(303 - 310) donc cP ( de 303 à 310 K) = 0.6J.g-1K-1
4)a)En considérant la compression CC’ sur laquelle on peut écrire en supposant la transformation réversible (ce qui
est très douteux) dH = dU+PdV+VdP= Q-PdV +PdV+VdP = Q+VdP= VdP compte tenu du caractère adiabatique
montrer que l’ordre de grandeur du volume moyen de la phase vapeur est de 40 Litres par kg
dém : 21 103 = V * 5.2 105 soit V = 42L.kg-1
b) pour la transformation CC’ en supposant le gaz parfait h C’-hC = cp(TC’-TC) calculer cP
21 103 = cP (310-263)
cP (de 263 à 310K) =0.447 cP un peu différent car ce n’est pas la même température
remarque :Wu travail fourni par le compresseur c’est aussi l’aire du cycle dans le diagramme P,V; c’est aussi H C’-HC ;
Remarque : WCC’ travail total reçu par le fluide de C à C’ est différente de Wu.
Il faut aussi tenir compte du travail des forces de pression du au fluide amont et du travail des forces de pression
fourni au fluide aval
d) en supposant la loi de Laplace vérifiée pour la transformation CC’, calculer le coefficient moyen ad hoc on
trouve = 1.16
e) en déduire la capacité calorifique molaire moyenne à pression constante du fréon gazeux
on trouve cp = R/( -1) = 60 J.mol-1
f) de la capacité molaire et de la capacité massique en déduire la masse molaire
On trouve M de l’ordre de 106g.mol-1
On compare à la masse molaire réelle :CCl2F2 : 12 + 2*35.5 + 2*19= 120 g.mol-1
5) Appliquer le premier principe industriel au kilogramme de fluide entre B et C (est-il judicieux d’employer l’énergie
interne ou l’enthalpie ?) et en déduire la chaleur reçue par le fluide de la source froide.
(1-xB)L263=0.75*155=116 ce résultat est voisin de hC-hB
6) Appliquer le premier principe entre C’ et A en en déduire la chaleur fournie à la source chaude=139
7) Calculer l’efficacité réelle de la machine thermique 5.6
8) Calculer la variation d’entropie SB -SA pour le kilogramme de fréon et vérifier que la détente de Joule Kelvin est
bien irréversible. On envisagera un trajet fictif qui passe par le point I.
Confirmer le résultat par la lecture du diagramme entropique
Quelle est l’autre source d’irréversibilité dans les cycles réels
9) Si on ouvre la porte du réfrigérateur la cuisine se refroidit-elle ?
Non au contraire le réfrigérateur fonctionne plus donc il réchauffe encore plus la cuisine
P
A
7.4 bar
D
C’
303K
2.2 bar
I
B
C
263K
V
cuisine à Tchaude =298K
A
Condenseur 303K
C’
Détendeur
Compresseur
W électrique
Evaporateur 263K
B
C
Chambre froide à TFroide=268K
A
B
D
C
C’
5) DM Tour de refroidissement, exercice utlisant le premier principe industriel
Une tour de refroidissement sert à refroidir de l’eau venant d’un échangeur thermique par exemple le condenseur
d’une centrale électrique.
Cette eau chaude est pulvérisée à une certaine hauteur dans la tour et tombe en pluie dans un bassin à la base de
celle-ci . Elle se refroidit au contact de l’air atmosphérique qui circule de bas en haut en se réchauffant et en se
chargeant en humidité.
On considère le fonctionnement en régime permanent avec les conditions suivantes
En 1 l’eau arrive à la température t1=35°C sous la pression P0 =1 bar avec un débit massique w1
En 2 l’eau ressort à la température t2=15°C sous la pression P0 avec un débit massique w2<w1 une partie de l’eau
s’est vaporisée
L’air atmosphérique pénètre en 3 à la base de la tour à la température t3=12°C il est légèrement humide c’est à dire
que la pression partielle de la vapeur d’eau est PH2O=rPS3 avec r taux d’humidité =0.4 et PS3 pression de vapeur
saturant de l’eau à la température t3 La pression totale de cet air humide est P0
Cet air ressort en 4 à la température t4=25°C avec un taux d’humidité r’=0.9 P’H2O=r’PS4 sous la pression P0
Ce courant d’air humide est caractérisé par un débit d’air sec noté q 0
On négligera les variations d’énergie cinétique dans les écoulements
Données Ps3=1382Pa PS4=3124Pa
hL(t1)=146.53kJ.kg-1
hV(t1)=2564.9kJ.kg-1
hL(t2)=62.93kJ.kg-1
hV(t2)=2528.6.kg-1
hV(t3)=2523.0.kg-1 hV(t4)=2546.8.kg-1
L’air est considéré comme un gaz parfait de masse molaire M=29g.mol -1. La vapeur d’eau sera si nécessaire assimilée
à un gaz parfait
Exprimer en fonction de q0 et des données les débits massiques w3 et w4 de la vapeur d’eau dans l’air à la base et au
sommet de la tour
En déduire une relation entre w1,w2 et q0
Exprimer l’énergie thermique dQ/dt transmise par seconde du circuit d’eau à refroidir à l’atmosphère en fonction de
w1 et w2 puis en fonction de q0 et des données
On donne dQ/dt=2 109 W, calculer numériquement q0, w1 et w2
Correction tour de refroidissement
Si le mélange air + vapeur d’eau peut être considéré comme un mélange idéal de gaz parfaits on a addition des
pressions partielles soit ici pour un taux d’humidité r
Pair + Peau = P0
Peau=r Ps
Pair = P0 - rPs
Les pressions partielles étant proportionnelles aux nombre de moles, il vient
Pair
nair
Peau
neau
P0
rPS
M air
q0
rPS M eau
w
ou en introduisant la densité d=
P0
rPS
q0
0.62
drPS
P0 rPS
drPS 3
P0 rPS 3
et w3
q0
w4
dr ' PS 4
P0 rPS 4
q0
M eau
18
de la vapur d'eau d=
M air
29
q
3 0
q
4 0
avec
avec
3.4510
3
18.010
4
3
3
le régime étant permanent , la conservation de la masse d'eau circulant dans la tour implique
w1 +w 3 -w 2 -w 4 =0soit w1 -w 2 =w 4 -w 3 =( 4 - 3 )q 0
2)la conservation de l'énergie donne ( premier principe appliqué aux écoulements stationnaires)
en négligeant les varaitions d'énergie cinétique et en notatnt h a ( ) l'enthalpie massique de l'air
w1 hl ( 1 ) w2 hl ( 2 ) q0 ha ( 3 ) w3 hv ( 1 ) q0 ha ( 4 ) w4 hv ( 4 )
0
or les deux premiers termes représentent les enthalpies transformées par l'écoulement d'eau liquide à l'entrée et à lasortie.
La pression étant constante
Q=q 0 (ha ( 4 ) ha ( 3 )
h ( 4)
4 v
h ( 3)
3 v
3)pour calculer q 0 ,il faut déterminer la fonction h a ( )enthalpie masique de l'air considéré comme un gaz parfait diatomique
dh a
d
1
Cp
M air
1 7
R 1.003lJ .kg .K
M air 2
1
dha
( 4
13.038kJ .kg 1
3)
d
q0 (13.0138 18.0 * 2.5468 3.45 * 2.523]103
d ' ou ha ( 4 ) ha ( 3 )
et Q
Q
39.9103 kg.s 1soit près de 40 tonnes par seconde
50.176103
ce qui explique la très grane dimension de ces tours de centrale nucléaire
q0
L'ordred de grandeur Q correspond à l'énergie à évacuer pour une tranche nucléaire de 900MW électrique
D'autre part d'après le 1 w1 -w 2
4
3
q0
soit numériquement w 1 -w 2 =(18.0-3.45)39.86=580kg.s -1
cette quantté correpond à w4
w3 c'est à dire la quantité 'eau vaporisée dans l'atmosphère par seconde
Enfin pour calculer w1 reprenons l'expression de Q
Q=w1 hl ( 1 ) w2 hl ( 2 )
w1
Q-( w1 w2 )hl ( 2 )
hl ( 1 ) hl ( 2 )
débit considérable
w1 hl ( 1 ) ( w1
23.9103 kg.s
( w1
1
w2 )) hl ( 2 )
w 1 hl ( 1 ) hl ( 2 )
( w1
w2 ) hl ( 2 )
Réfrigérateur à absorption
Les machines frigorifiques à absorption sont basées sur la variation avec la température de la solubilité
des gaz ( souvent de l’ammoniac ) dans les liquides et fonctionnent schématiquement avec 3 sources de
chaleur dont les températures vérifient T1 < T2 < T3.
Dans les machines diphasées, le compresseur fournit un travail d’autant plus important que le titre en
vapeur est plus élevé puisque du fait de sa faible compressibilité, le travail de compression que l’on fournit
à un liquide est négligeable. Dans les machines triphasées le gaz est absorbé par un fluide dans une
chambre d’absorption avant que l’ensemble fluide et gaz dissous ne soit comprimé. Une fois la
compression effectuée, on sépare le gaz du liquide dans une chambre de séparation et on l’envoie dans le
condenseur. On arrive au même résultat que dans les machines dithermes mais le travail de compression
est alors négligeable au point que le plus souvent, la convection naturelle du fluide suffit. Il n’y a donc
aucune pièce mécanique mobile. Cependant un apport de chaleur reste bien sur nécessaire au niveau de la
chambre de séparation dont la température est T 3. L’ammoniac après avoir été liquéfié dans le condenseur
et détendu dans le détendeur est ensuite envoyé dans l’évaporateur à la température T1 où il se vaporise
en enlevant de la chaleur à la source froide. Les vapeurs vont ensuite se dissoudre dans l’eau au niveau de
l’absorbeur à la température ambiante T2 en restituant de la chaleur au milieu extérieur. ( Une partie de la
chaleur sera aussi restituée au niveau du condenseur lui aussi en contact avec la température ambiante)
- En supposant le fonctionnement idéal, exprimer le coefficient d’efficacité
en fonction de T1, T2, T3
- Quelle serait l’efficacité d’une machine à compresseur n’utilisant que les sources T1 et T2. Comparer.
AN :
T1 = 265K
T2 = 293K
T3 = 373K
Condenseur en
contact avec
l’extérieur à
T2
Q’’2<0
Détendeur
Q3
Radiateur
W électrique
Chambre
de séparation
Q3 chaleur
reçue >0
Compresseur
T3 Chambre
Evaporateur en
contact avec la
d’absorption
chambre froide T1
en contact avec l’extérieur
Q1 chaleur reçue >0
Q’2
chaleur reçue <0
Montrer que Si > Qi/Ti où Si est la variation d’entropie de
T2 la machine lors de son contact avec la ième
source de chaleur
En déduire que
i
Qi
Ti
0 On supposera ensuite que les transformations sont réversibles
Quel rapport de transferts thermique permet de définir l’efficacité de la machine ?
Correction machine tritherme.
Premier principe Q1+Q2+Q3 = 0 en notant Q2=Q’2+ Q’’2
Second principe Q1/T1+ Q2/T2+ Q3/T3=0 dans le cas d’un fonctionnement quasistatique mécaniquement
réversible.
L’efficacité est définie comme e= Q1/Q3 On trouve T1(T3-T2)/(T3(T2-T1)
Pour une machine ditherme on aurait e =T1/(T2-T1)=9.5
Rendement du moteur de Carnot . Application au rayonnement thermique :
1) Un cycle réversible parcouru par un gaz parfait est limité par deux isothermes (dont T A et TC sont les
températures) et par deux adiabatiques les volumes extrêmes sont V A et VC avec VA > VC . Dans quel sens ce
cycle doit-il être parcouru pour qu’il représente le fonctionnement d’un moteur. Calculer les transferts
thermiques et les travaux reçus par le gaz. Commenter le signe des quantités calculées.
Calculer le rendement de ce moteur.
2) Retrouver ce résultat en appliquant le second principe de la thermodynamique.
3) Que devient le cycle de Carnot dans le cas où les 2 thermostats ont des températures infiniment voisines
T-dT et T? Faire le lien avec l’énoncé de Kelvin du second principe de la thermodynamique.
4) Application : le cylindre renferme un rayonnement thermique constitué par un gaz de photons de
volume V à la température T et à la pression P
On admet que la pression du gaz de photon est de la forme P=U/(3V) =u/3 où U est l’énergie interne du gaz
et u la densité d’énergie interne . On admet aussi que u ne dépend que de la température.
a) Calculer - ² W = dPdV = d(u/3)dVle travail fourni par le gaz de photon au cours d’un cycle
b) Calculer Q CD la chaleur reçue par le gaz de photon au cours de son contact avec la source chaude
dUCD= Q CD + W CD
d(u.V)= Q CD + W CD or de C à D isotherme et u ne dépend que de T
ud(V)= Q CD -PdV or P = u/3
Q CD= 4/3 udV
c) Calculer le rendement de ce moteur à gaz de photon = du / (4u)
d) En identifiant les résultats de la question 3 et de la question 4-c) montrer que u =
constante dite constante de Stéfan
T4 ,
On assimilera le cycle infinitésimal à un parallélogramme à base horizontale
P
P
C
isotherme T
D
C
D
B
B
A
A
V
V
isotherme T-dT
étant une