ISN S10: Les fonctions booléennes et portes logiques

ISN S10: Les fonctions booléennes et portes logiques
Objectif :
Découvrir les fonctions booléennes et les portes logiques
Nous utiliserons un logiciel gratuit LogicSim.jar à télécharger sur http://www.tetzl.de/java_logic_simulator.html#download
Démarrer le logiciel, puis dans setting choisir langage : français. Il faut fermer puis rouvrir le logiciel pour valider ce choix.
1. Portes logiques de bases:
a. L'opérateur OUI
Définition : L'état de la variable de sortie S de l'opérateur logique OUI est égal à l'état de la variable
d'entrée.
schéma électrique
table de vérité
symbole normalisé
Chronogramme
e1
1
0
e1
S
S
1
0
0
0
1
1
e1
S
1
e1
équation logique
S = e1
S
b. L'opérateur NON
Définition : L'état de la variable de sortie S de l'opérateur logique NON est le complément logique de
l'état de la variable d'entrée.
schéma électrique
table de vérité
symbole normalisé
Chronogramme
1
0
1
S
0
e1
e1
S
0
1
1
0
e1
1
S
e1
e1
S
1
équation logique
S
S = e1
I) A l'aide de l'application LogicSim.jar, câbler cet opérateur et compléter la table de vérité. (e1 sera un
bouton et S un voyant). Enregistrer sous Q1
c. L'opérateur OU
Définition : L'état de la variable de sortie S de l'opérateur logique OU est à l'état logique 1 si et seulement
si au moins une de ses variables d'entrée est à l'état logique 1.
Chronogramme
1
0
1
e2
0
1
S
0
e1
table de vérité
e1
e2
S
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
schéma électrique
symbole normalisé
e1
e2
1
équation logique
e1
e2
S
S
S = e1+ e2
II) A l'aide de l'application LogicSim.jar, câbler cet opérateur et compléter la table de vérité. (e1 et e2
seront des boutons et S un voyant). Enregistrer sous Q2
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d. L'opérateur ET
Définition : L'état de la variable de sortie S de l'opérateur logique ET est à l'état logique 1 si et seulement
si toutes ses variables d'entrée est à l'état logique 1.
table de vérité
Chronogramme
e1
1
e1
0
1
e2
0
1
S
0
e2
S
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
schéma électrique
symbole normalisé
e1
e2
e1

S
e2
équation logique
1
S
S = e1 . e2
1
III) A l'aide de l'application LogicSim.jar, câbler cet opérateur et compléter la table de vérité. (e1 et e2
seront des boutons et S un voyant). Enregistrer sous Q3
2. Le théorème de DE MORGAN
Le complément d'une somme
est égal au produit
de chaque terme complémenté
a+b =a . b
Le complément d'un produit
est égal à la somme
de chaque terme complémenté
a.b =a + b
3. Les opérateurs logiques dérivés :
a. L'opérateur OU EXCLUSIF
table de vérité
e1
e2
S
0
0
0
0
1
1
1
0
1
schéma électrique
symbole normalisé
e1
e2
S
=1
s1
s1
s2
s2
équation logique
S
S = s1. s2 + s1 . s2
1
1
0
IV) A l'aide de l'application LogicSim.jar, câbler cet opérateur et compléter la table de vérité. (e1 et e2
seront des boutons et S un voyant). Enregistrer sous Q4
b. L'opérateur NON OU ( NOR) : c'est la fonction OU complémentée
table de vérité
e1 e2 S
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
symbole normalisé
e1
S
1
e2
s1
schéma électrique
KA
s2
équation logique
S
S = s1 + s2
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ka
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V) A l'aide de l'application LogicSim.jar, câbler cet opérateur et compléter la table de vérité. (e1 et e2
seront des boutons et S un voyant). Enregistrer sous Q5
c. L'opérateur NON ET ( NAND) : c'est la fonction ET complémentée
table de vérité
e1 e2 S
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
schéma électrique
symbole normalisé
e1
S

e2
équation logique
s1
KA
s2
S
ka
S = s1 . s2
VI) A l'aide de l'application LogicSim.jar, câbler cet opérateur et compléter la table de vérité. (e1 et e2
seront des boutons et S un voyant). Enregistrer sous Q6
4. Les propriétés des opérateurs logiques de base
Ces propriétés sont démontrées en théorie des ensembles et en algèbre de Boole (George Boole (18151864) : mathématicien britannique, fut l'un des fondateurs de la logique mathématique moderne).
L' associativité
a . b . c = (a . b) . c = a . (b . c)
a + b + c = (a + b) + c = a + (b +c)
La commutativité
a.b=b.a
a +b = b + a
Propriétés particulières :
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La distributivité
a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
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5. Simplification des équations logiques
a. Simplifications algébriques
Exemple 1 : salle de cinéma
Les 3 haut-parleurs d’une salle de cinéma (a, b, c) sont branchés sur un amplificateur à deux sorties :
- une sortie d’impédance 4  (sortie S4)
- une sortie d’impédance 8  (sortie S8)
Un seul haut-parleur à la fois peut être relié à la sortie S8.
Deux haut-parleurs à la fois peuvent être reliés à la sortie S4.
Le fonctionnement simultané des trois haut-parleurs est interdit.
VII) Compléter la table de vérité, en déduire les équations de S4 et S8.
Exemple 2 : serrure de coffre
Quatre responsables ( A, B, C et D) d'une société peuvent avoir accès a un coffre. Ils possèdent chacun une clé différente
(a, b, c et d).
Mode de fonctionnement de l'ouverture du coffre:
 le responsable A ne peut ouvrir le coffre qu'en présence du responsable B ou du responsable C.
 les responsables B, C et D ne peuvent ouvrir le coffre qu'en présence d'au moins deux des autres responsables.
VIII) Rechercher l'équation logique de la serrure ( sortie S) en fonction des clés (entrées a, b, c et d) et la
simplifier.
Sur le logiciel, logicsim, câbler votre équation simplifiée et vérifier la table de vérité. Enregistrer sous
Q8.
b. Simplifications des équations logiques par la méthode de KARNAUGH
Définition
Un tableau de Karnaugh est un tableau à 2 n cases dans lequel une
fonction logique à n variables est représentée.
On le construit en divisant les variables en deux groupes
(colonnes+lignes). Le codage des colonnes et des lignes se fait suivant le
code Gray.
Exemple : voir ci-contre.
L’équation de la fonction est :
a.b.c.d a.b.c.d ......
Simplification graphique
On utilise les propriétés du code Gray pour effectuer les
simplifications. On fait des regroupements des cases
adjacentes de 1 les plus larges possibles par tranche de
2,4 ou 8 .
Une fois ces regroupements faits on cherche par
regroupements les variables dont la valeur ne change
pas.
L’équation simplifiée est : c.d.a + b.d + b.c
Exercices :
IX) Simplifier les équations logiques suivantes :
algébriquement
avec un tableau de Karnaugh
S = /a.b.c + a.b.c
S = /a./b +/a./b.c + /a.b.c
X) Simplifier les équations logiques suivantes un tableau de Karnaugh
S = /a.b./c + /a.b + a.b.c + a.b./c + a./b.c
S = /a./b./c./d + /a./b.c./d + a./b./c./d + a./b.c./d
S = /c. /d + a. /b.c + a.b.c + /a .b.c + /a. /b.c
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