Pendules

Travaux Pratiques de Physique
Expérience n°9
Expérience n°9 – PENDULES
Domaine: Mécanique
Lien avec le cours de Physique Générale:
Cette expérience est liée aux chapitres suivants du cours de Physique Générale (Physique I):
-
Physique I, Chapitre 11: Mouvement harmonique et résonance
Physique I, Chapitre 4: Newton. Dynamique : force et accélération
Physique I, Chapitre 9: Mouvement de rotation
Objectif général de l’expérience
L’objectif de cette expérience est d’étudier le mouvement oscillatoire de différents systèmes
composés de pendule(s).
Dans un premier temps, la mesure de la période d’oscillation en fonction de la longueur d’un
pendule physique sera utilisée pour déterminer l’accélération de la pesanteur g.
Dans un deuxième temps, les mouvements de deux pendules physiques reliés ("couplés") par un
ressort seront étudiés.
1
Introduction
1.1) Définition et historique
En physique, un pendule est un corps solide pouvant osciller autour d’un point ou d’un axe fixe et
qui, écarté de sa position d’équilibre, y retourne en oscillant sous l’effet d’une force, par exemple la
gravité. Le mot pendule donné par Huygens (1629-1695) vient du latin pendere, qui signifie "pendre".
Un pendule est animé d’un mouvement périodique caractérisé par son amplitude A (écartement
maximal par rapport à la position d’équilibre) et par sa période T (durée d’un cycle d’oscillation). La
fréquence d’oscillation ν correspond à l’inverse de la période (ν = 1/T). La fréquence angulaire ou
pulsation ω est donnée par ω = 2πν. Généralement, la période d’un pendule dépend de l’amplitude de
son mouvement. Lorsque la période d’oscillation est indépendante de l’amplitude, on parle
d’isochronisme.
Il existe de nombreux types de pendules différents, chacun ayant un intérêt particulier. Ils ont été ou
sont utilisés dans le cadre d’expériences ayant pour objectif de mettre en évidence un phénomène
physique (tel que l’isochronisme) ou encore à des fins métrologiques. Ainsi les pendules furent les
premiers gravimètres, c’est-à-dire, les premiers systèmes physiques capables de mesurer l’accélération
due à la pesanteur g (1659). Ils servirent aussi à la mesure du temps et furent à l’origine des premières
horloges modernes. Il existe aussi certains pendules célèbres comme le pendule de Foucault (1851),
qui permit de mettre en évidence la rotation quotidienne de la Terre.
Tous les pendules sont soumis aux lois de la mécanique. Il faut cependant distinguer le pendule
simple, qui est une représentation idéale du pendule le plus simple possible, et le pendule physique
qui est une représentation plus réelle. Un pendule simple est constitué d’une masse ponctuelle fixée
à l’extrémité d’un fil inextensible ou d’une tige rigide, tous deux de masse nulle. Au contraire, le
pendule physique tient compte de la répartition spatiale de la masse du corps suspendu. Pour cette
raison, les lois physiques utilisées pour la description de leur mouvement sont différentes, mais on
verra qu’elles mènent à des expressions très similaires.
1
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Expérience n°9
La nature ponctuelle du pendule simple permet de décrire son mouvement par la 2ème loi de Newton
de la dynamique. Cependant, un pendule réel tel qu’utilisé dans des expériences de laboratoire ne
peut que rarement être considéré comme un pendule simple. Pour le pendule physique, le volume fini
occupé par la masse, qui est caractérisé par le moment d’inertie du corps par rapport à son centre de
masse, nécessite de traiter le problème par l’intermédiaire du moment cinétique du système qui
décrit le mouvement de rotation d’un corps autour d’un axe.
Dans cette expérience, les mesures se feront sur deux pendules réels (ou pendules physiques). Dans
un premier temps, un pendule composé d’une sphère suspendue à un fil (dont on ne prendra pas en
compte la masse) sera utilisé pour déterminer l’accélération de la pesanteur g. Dans un deuxième
temps, on étudiera des pendules composés d’une tige métallique et d’un cylindre, en particulier les
différents types de mouvements qui se produisent lorsqu’on couple deux tels pendules par
l’intermédiaire d’un ressort. Dans les deux cas, on aura des pendules physiques et l’étude de leur
mouvement nécessite de calculer leur moment d’inertie, qui tient compte de la répartition de la masse
du pendule dans son mouvement de rotation.
2
Principe général de l’expérience
2.1) Equations du mouvement d’un pendule
Les équations du mouvement du pendule simple et du pendule physique ont la même forme, la seule
différence étant le moment d’inertie I0 par rapport au point de rotation O qui intervient dans le cas du
pendule physique. Un calcul détaillé pour obtenir l’équation du mouvement et l’expression de la
période d’oscillation d’un pendule simple, puis d’un pendule physique, est présenté dans l’Annexe 1.
Les équations du mouvement ne peuvent généralement pas être résolues de manière analytique et la
période des oscillations dépend de l’amplitude du mouvement. Cependant, une solution analytique
peut être trouvée dans le cas où l’amplitude des oscillations est petite (θ <<1, où θ représente l’angle
de déviation du pendule par rapport à sa position d’équilibre, voir Figure 1). Dans les expériences de
ce TP, nous nous placerons toujours dans cette approximation. Dans ce cas, on peut faire
l’approximation sinθ ≈ θ et les équations du mouvement deviennent:
g
l
(Eq. 1)
Mgl
θ =
0.
IO
(Eq. 2)
-
Pour le pendule simple :
θ + θ =
0;
-
pour le pendule physique :
θ +
Les équations (Eq. 1) et (Eq. 2) sont du même type (oscillateur harmonique) et leur solution générale
s’écrit:
(Eq. 3)
=
θ (t ) A sin (ωt + α ) .
A et α sont des constantes d’intégration qui dépendent des conditions initiales. Par exemple, si on
lâche le pendule sans vitesse initiale avec un angle de départ θ 0 , on obtient:
π
A=
θ 0 et α = ⇒ θ (t ) =
θ 0 cos (ωt ) .
2
(Eq. 4)
On obtient ainsi une oscillation harmonique sinusoïdale dont la période vaut T = 2π ω , soit:
-
Pour un pendule simple :
-
Pour un pendule physique :
2
ω=
=
ω2
g
2π
l
T = 2π
⇒ =
ω
g
l
;.
IO
Mgl
2π
L
⇒ =
T = 2π
= 2π
IO
ω
Mgl
g
2
(Eq. 5)
,
(Eq. 6)
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où L est appelé la longueur réduite du pendule physique (voir §2.1.1). On constate que la période des
oscillations est indépendante de l’amplitude du mouvement. On parle alors d’isochronisme. Ceci n’est
valable que dans l’approximation des petits angles ( θ << 1 ⇒ sinθ ≈ θ ) qui a été utilisée pour résoudre
l’équation du mouvement.
2.1.1 Longueur réduite du pendule physique
Les équations (Eq. 1) et (Eq. 2) sont de la même forme. On appelle longueur réduite du pendule
physique la longueur L du pendule simple donnant lieu à la même équation du mouvement et donc à
la même période:
IO
L
=
⇒
Mgl g
L=
I0
.
Ml
(Eq. 7)
2.2) Moment d’inertie des pendules physiques utilisés dans cette expérience
Des rappels détaillés de mécanique du solide sont donnés en annexe. Nous présentons ici les éléments
les plus importants pour le déroulement de ce TP.
2.2.1 Moment d’inertie et règle de Steiner
Les équations du mouvement du pendule physique font intervenir le moment d’inertie du pendule. Le
moment d’inertie d’un solide caractérise la résistance de l’objet à être mis en rotation : plus le
moment d’inertie d’un objet est important, plus la mise en rotation du solide va nécessiter
l’application d’un moment de force important.
Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe O est défini de la façon suivante:
I O = ∑ mi ri 2
i
(Eq. 8)
Dans le cas d’objets avec des géométries simples, le moment d’inertie peut être calculé de façon
relativement aisée par rapport à un axe de rotation passant par leur centre de gravité G (on note IG
ce moment d’inertie).
Dans cette expérience, nous nous intéressons au mouvement de rotation d’un solide (un pendule
physique) autour d’un point fixe O qui, en général, ne correspond pas au centre de gravité du
pendule : le moment d’inertie IO en question doit être évalué par rapport au centre de rotation du
mouvement auquel on s’intéresse. On peut alors calculer ce moment d’inertie à partir de IG en
appliquant la règle de Steiner :
I=
I G + ml 2 ,
O
(Eq. 9)
l étant la distance qui sépare l’axe de rotation du centre de gravité de l’objet.
2.2.2 Sphère suspendue à un fil (Pendule 1)
Considérons le cas d’un pendule physique composé d’une sphère de rayon R suspendue à un fil de
masse négligeable représenté sur la Figure 1 (correspond au pendule utilisé dans la première partie du
TP pour la détermination de g). Le moment d’inertie IG de la sphère par rapport à un axe passant par
son centre de gravité G est donné par:
IG =
2MR 2
.
5
(Eq. 10)
Le moment d’inertie IO par rapport à l’axe de rotation passant par le point O s’obtient par la règle de
Steiner à partir du moment d’inertie IG par rapport au centre de masse:
=
I O I G + Ml 2 .
3
(Eq. 11)
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A partir des expressions (Eq. 7), (Eq. 12) et (Eq. 11) , on déduit la longueur réduite du pendule solide:
 2MR 2
2R 2
2 1
L =
+
Ml
=
l
+
=
l +ε .


5l
 5
 Ml
(Eq. 12)
ère
Figure 1: Schéma de principe du pendule utilisé pour la détermination de g (1
partie du TP).
2.3) Pendules couplés
Figure 2: Schéma de deux pendules couplés par un ressort de constante k.
Lorsque deux pendules mécaniques sont reliés entre eux, par exemple par l’intermédiaire d’un ressort
comme représenté sur la Figure 2, de nouveaux mouvements particuliers apparaissent par rapport au
mouvement unique du pendule individuel. Parmi les différents mouvements possibles, trois cas sont
particulièrement intéressants à observer et seront décrits théoriquement dans la section 2.3.1:
Les deux pendules ont le même mouvement (ils oscillent en phase). On parle d’un mode de
vibration symétrique.
ii) Les deux pendules ont à l'origine des positions opposées et oscillent à la même fréquence en
opposition de phase. On parle d’un mode de vibration anti-symétrique.
i)
4
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iii) L'un des deux pendules est initialement au repos. L'autre pendule en
mouvement voit alors ses oscillations s'amortir, au profit du premier, jusqu'à son arrêt total, le
premier atteignant alors son maximum. Puis l'effet inverse se produit, et ainsi de suite,
l’énergie mécanique étant alternativement transférée d’un pendule à l’autre. On observe un
phénomène de battements.
Un mouvement quelconque des pendules peut être décrit comme une combinaison des deux
premiers cas, qu’on appelle les modes propres de vibration des pendules.
2.3.1 Equations du mouvement de deux pendules couplés
Les équations du mouvement pour chaque pendule dans le cas de pendules couplés peuvent être
résolues de façon relativement simple. Le calcul détaillé de ces équations est donné en annexe. Il peut
être démontré que les équations gouvernant les angles θ1 et θ2 de chaque pendule sont données par:
θ1 (t ) A1 cos(ω1t + δ1 ) + A2 cos(ω2t + δ 2 )
=
,

=
A1 cos(ω1t + δ1 ) − A2 cos(ω2t + δ 2 )
2 (t )
θ
(Eq. 13)
où ω1 et ω2 représentent les deux fréquences propres du systèmes correspondant aux deux modes de
vibrations particuliers qui seront décrits dans le §2.3.2 :
ω1 =
ω2 =
Mgl
IO
(Eq. 14)
,
Mgl + 2ka 2
IO
,
(Eq. 15)
et A1, A2, δ1, δ2 sont des constantes déterminées par les conditions initiales.
2.3.2 Types de mouvement particuliers
On distingue trois types de mouvements particuliers selon les conditions initiales:
• Oscillations symétriques
Cette situation correspond au cas où les deux pendules sont lâchés simultanément avec le même angle
de départ, sans vitesse initiale:
θ=
θ=
θ0
1 (0)
2 (0)
θ=
θ=
0
1
1
.
(Eq. 16)
Les solutions des équations du mouvement (Eq. 13) deviennent alors:
θ=
θ=
θ 0 cos(ω1t ) .
1 (t )
2 (t )
(Eq. 17)
Il s’agit d’une oscillation en phase des deux pendules (Figure 3a), à une fréquence identique à celle
d’un pendule unique. Dans ce cas particulier, le couplage ne joue aucun rôle, puisque le ressort reste
toujours dans le même état de tension. Il est alors naturel qu’on retrouve la période du pendule
individuel.
5
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• Oscillations anti-symétriques
Cette situation correspond au cas où les deux pendules sont lâchés simultanément avec un même
angle de départ, mais en direction opposée, et sans vitesse initiale:
θ1 (0) = θ 0
θ 2 (0) =
−θ1 (0) =
−θ 0 .
(Eq. 18)
0
θ=
θ=
1
2
Les solutions des équations du mouvement (Eq. 13) deviennent alors :
θ1 (t ) =
−θ 2 (t ) =
θ 0 cos(ω2t ) .
(Eq. 19)
Il s’agit encore une fois d’une oscillation à une fréquence identique pour les deux pendules, mais en
opposition de phase (Figure 3b). La période vaut dans ce cas-là=
: Tω 2 2=
π ω2 2π I O
( Mgl + 2ka ) .
2
Contrairement au cas précédent, le couplage joue ici un rôle, en diminuant la période d’oscillation (ou
augmentant la fréquence) par rapport au cas du pendule unique.
(a)
(b)
Figure 3: Modes propres de vibration de deux pendules couplés: a) oscillations
symétriques; b) oscillations anti-symétriques.
• Battements
Cette situation correspond au cas où un des pendules est lâché d’un angle donné sans vitesse initiale,
alors que le deuxième pendule est laissé à l’équilibre:
θ1 (0) = θ 0
θ 2 (0) = 0 .
(Eq. 20)
θ=
θ=
0
1
2
La solution des équations du mouvement (Eq. 13) devient alors:

 ω2 − ω1 
 ω2 + ω1 
=
 θ1 (t ) θ 0 cos  2 t  ⋅ cos  2 t 





.

 ω2 − ω1 
 ω2 + ω1 

θ (t ) θ 0 sin 
=
t  ⋅ sin 
t
 2
 2

 2

6
(Eq. 21)
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Le mouvement des deux pendules est caractérisé par deux fréquences caractéristiques (ω2 − ω1 ) 2 et
(ω2 + ω1 ) 2 . Nous remarquons que si le moment de force dû au ressort est faible par rapport à celui
dû au poids, alors, ω2 − ω1 << ω2 + ω1 ce qui implique qu’une des composantes du mouvement varie
lentement (celle de fréquence (ω2 − ω1 ) 2 ), alors que l’autre varie rapidement (celle de fréquence
(ω2 + ω1 ) 2 ) .
On observe alors que les pendules oscillent à la fréquence élevée (ω2 + ω1 ) 2 et que l’amplitude de
leurs oscillations est modulée à la faible fréquence (ω2 − ω1 ) 2 .
Le déphasage de π 2 entre le sinus et le cosinus dans les expressions (Eq. 21) traduit le phénomène de
battements entre les deux pendules: lorsqu’un pendule est à son amplitude maximale, l'autre est à
l’arrêt (Figure 4). L'énergie mécanique est progressivement transférée à chaque oscillation d'un
pendule à l'autre par l'intermédiaire du ressort de couplage. La période d'oscillation rapide vaut:
Tω Tω
2
=
τ 2=
π
2 1 2 ,
ω1 + ω2
Tω1 + Tω2
(Eq. 22)
et la période de battements vaut :
Tω Tω
2
=
Tb 2=
π
2 1 2 .
ω2 − ω1
Tω1 − Tω2
Figure 4: Mouvements des pendules en oscillations avec battements.
7
(Eq. 23)
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Marche à suivre
L’expérience se déroulera en deux parties distinctes. Les mesures des périodes d’oscillations se feront
à l’aide d’un chronomètre. Afin d’améliorer la précision des mesures, il est demandé de mesurer dans
chaque cas la durée de plusieurs cycles d’oscillation et d’en déduire la période. Les mesures se feront
aussi sans vitesse initiale. La position de la masse doit donc être correctement choisie en fonction de
l’angle souhaité et il suffira ensuite de lâcher celle-ci.
Expliquer pourquoi la mesure de la période sera plus précise ainsi (par rapport à la mesure d’une
seule période).
Tous les résultats des mesures sont à reporter sur la feuille Excel de l’expérience.
! Attention:
- Dans toutes les mesures, on veillera à prendre des amplitudes suffisamment faibles pour pouvoir
utiliser l’approximation des petits angles, sinθ ≈ θ.
- Pour ne pas endommager les paliers de suspension des pendules dans la deuxième partie de cette
experience, il faut éviter toute force en dehors du plan d’oscillation du pendule.
3.1) Détermination de g
Dans cette partie, l’objectif est de déterminer l’accélération de la pesanteur g. Les mesures se feront
avec le pendule constitué par la sphère suspendue au fil.
Déterminer la longueur réduite L du pendule en mesurant la longueur l = OB + R (voir Figure 1) et en
utilisant l’expression (Eq. 12) après avoir mesuré R avec un pied à coulisse.
On fait varier la longueur l du fil entre 70 cm et 120 cm et on mesure pour chaque longueur la période
T du pendule. On mesurera avec un chronomètre la durée de 20 oscillations et on répétera trois fois la
mesure pour chaque longueur.
Calcul d’erreur: estimer les incertitudes de mesures sur l et sur R et en déduire l’incertitude résultante
sur L. Déterminer l’erreur statistique sur la période T à partir des résultats des trois mesures et calculer
l’incertitude résultante sur T2.
Tracer le graphique T 2 = f (L) et effectuer une régression linéaire. Déterminer la valeur de g à partir de
la pente de la droite de régression.
Calcul d’erreur: déterminer l’incertitude sur g à partir de l’incertitude obtenue sur la pente du
graphique T2 = f(L).
Préalable: déterminer l’expression de l’incertitude sur g à partir de l’incertitude obtenue sur la pente
du graphique T2 = f(L).
Comparer le résultat avec la valeur g = 9.8065 m∙s-2, valeur valable pour Neuchâtel.
3.2) Etude des pendules couplés
3.2.1 Etude d’un pendule seul
Dans cette première partie, l’objectif est d’étudier le mouvement du pendule physique unique que l’on
comparera au cas des pendules couplés dans la partie suivante.
- Enlever le ressort entre les deux pendules en le décrochant sans enlever les bagues de fixation !
- Déterminer la période d’oscillation du pendule en mesurant la durée de 50 oscillations.
- Effectuer trois fois cette mesure et déterminer la période moyenne Texp et l’incertitude statistique
sur la moyenne. Reporter ces valeurs sur la feuille Excel de l’expérience.
8
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3.2.2 Etude des pendules couplés
Fixer le ressort de couplage à la même distance de l'axe de rotation sur les deux pendules (a = 20 cm).
Installez-le délicatement en prenant garde de maintenir les pendules dans le plan vertical.
a) Modes symétrique et antisymétrique
- Mesurer les périodes d’oscillations symétrique Tω1 et anti-symétrique Tω2 en prenant 3
mesures de 50 périodes.
- Calculer les valeurs moyennes correspondantes Tω1 et Tω2 et évaluer l’incertitude statistique
sur ces mesures.
b) Battements
- En utilisant les valeurs expérimentales mesurées pour les périodes symétriques et antisymétriques, calculer les deux périodes caractéristiques du mouvement de battement τ calc et
(voir formules (Eq. 22) et (Eq. 23)).
- Mesurer la période rapide τ en prenant 4 mesures de 6 périodes bien visibles entre deux
arrêts successifs du même pendule, puis calculer la période moyenne . Evaluer l’erreur
commise sur cette mesure.
- Mesurer la période de battement
Tb en prenant 4 mesures, puis calculer la période
moyenne Tb . Evaluer l’erreur commise sur cette mesure.
- Comparer les valeurs mesurées et calculées.
4
Préalable
Cette partie est à préparer en avance afin de gagner du temps lors de la séance de TP. Les points
concernant le calcul d’erreur ne sont à considérer qu’à partir de la 3ème séance de TP.
Partie
Descriptif
3.1)
Déterminer l’expression de l’incertitude sur L en tenant compte des incertitudes sur l et R.
3.1)
Déterminer l’expression de l’incertitude sur g à partir de l’incertitude obtenue sur la pente
du graphique T2 = f(L).
9
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5
Expérience n°9
Annexes
Annexe 1: Résolution des équations du mouvement des pendules simple et physique
5.1) Le pendule simple
5.1.1
Rappel de mécanique : 2ème loi de Newton
La deuxième loi de Newton permet d’exprimer l’accélération 𝑎𝑎⃗ produite par un ensemble de forces 𝐹𝐹⃗𝑖𝑖
sur un objet de masse m comme:
 1 
a = ∑ Fi .
(Eq. 24)
m i
L’accélération étant la dérivée de la vitesse par rapport au temps, elle-même dérivée temporelle du


   dv d 2 r 
vecteur déplacement r =
a =
 , l’équation du mouvement d’un corps est donnée par:
dt dt 2 

m


d 2r
= ∑ Fi .
2
i
dt
(Eq. 25)
Figure 5: Forces s’exerçant sur un pendule simple et mouvement du pendule.

Dans un pendule simple, la masse ponctuelle m est soumise à deux forces: son poids mg et la tension

FT du fil de longueur l (voir Figure 5). En décomposant ces forces en des composantes radiales et
tangentielles, la 2ème loi de Newton donne:
mg cos θ = FT
(Eq. 26)
mg sin θ = − mat
(Eq. 27)
2
où at est l’accélération tangentielle subie par la masse=
m: at l =
ddt
θ 2 lθ , et θ est son
accélération angulaire. L’équation du mouvement devient ainsi :
mg sin θ =
− mlθ ⇒
θ +
g
sin θ =
0 .
l
(Eq. 28)
On observe que cette équation est indépendante de la masse m du corps suspendu, de sorte que le
mouvement du pendule, en particulier sa période d’oscillation, ne dépend pas de sa masse mais
uniquement de sa longueur l. L’explication fut donnée par Galilée lorsqu’il découvrit cet effet en 1581:
10
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le fil ne fait que maintenir la masse sur une trajectoire circulaire, sinon elle tomberait en chute libre.
Comme tous les objets tombent à la même vitesse sous l’effet de la gravité, il est normal que deux
pendules de même longueur mais de masse différente oscillent à la même fréquence. Cette propriété
sera utilisée dans la première partie de ce TP pour déterminer l’accélération de la pesanteur g.
5.2) Le pendule physique
5.2.1
Rappel de mécanique: solide rigide en rotation

Pour un solide rigide possédant un point fixe O, on définit le moment τ O (par rapport au point O)


d’une force extérieure F appliquée en un point A comme étant le produit vectoriel de la force F et du

vecteur r = OA (aussi appelé le vecteur support) comme schématisé sur la Figure 6:
  
(Eq. 29)
τ0 = r x F .
Figure 6: (a) Moment de force appliqué par une main sur un tournevis. (b) Règle de la main droite pour
le produit vectoriel.
Le moment de force décrit la capacité à produire une rotation. Il constitue l’équivalent rotationnel de

la force. Le moment de force τ O engendre une rotation du corps et induit donc un changement de son



 
moment cinétique LO = r x p , où p = mv est la quantité de mouvement. Pour un corps solide en

rotation autour d’un axe passant par le point O, le moment cinétique LO s’écrit:


(Eq. 30)
LO = I O ω ,

où IO = ∑ mi ri 2 est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation et ω la vitesse
i
angulaire de rotation (voir Figure 7).
Comme pour le pendule simple (voir §5.1), seules deux forces agissent sur un pendule physique de


masse M: son poids Mg et la force de tension du fil FT . Seul le poids a un moment de force non nul.
Le moment de la force de tension du fil est nul, car cette force est toujours perpendiculaire au vecteur
déplacement.
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
Figure 7: Solide en rotation autour d’un axe passant par le point O. ω est la vitesse angulaire de

rotation du corps et LO son moment cinétique par rapport au point O.
Le théorème du moment cinétique montre que la variation du moment cinétique est égale à la somme
des moments des forces extérieures:


dLO
(Eq. 31)
= MO .
dt
Figure 8: Représentation schématique d’un pendule physique oscillant autour
d’un axe passant par le point O.
En appliquant le théorème du moment cinétique (Eq. 31) au cas du pendule physique (Figure 8) et en
tenant compte de l’expression (Eq. 30) et du fait que
=
ω d=
θ dt θ , l’équation du mouvement du
pendule physique est obtenue :
( )
dLO dd 
===
− Mgl sin θ ⇒
M0 =
( I Oω ) I O θ I Oθ =
dt
dt
dt
θ +
Mgl
sin θ =
0 .
I0
(Eq. 32)
On constate que les équations du mouvement du pendule simple (Eq. 28) et du pendule physique (Eq.
32) ont une forme semblable. Mais contrairement au pendule simple pour lequel l’équation du
mouvement est indépendante de la masse m, la masse M et sa répartition spatiale qui intervient dans
le moment d’inertie IO jouent un rôle dans le mouvement du pendule physique.
12
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Expérience n°9
Annexe 2: Résolution des équations de mouvement des pendules couplés
Considérons deux pendules qui sont couplés par un ressort horizontal de constante de rappel k situé à
une distance a de l'axe de rotation (Figure 2). La force de rappel d'un ressort est proportionnelle à
l'élongation ∆x du ressort par rapport à sa position d’équilibre:


(Eq. 33)
F =−k∆ x .
∆x est calculé par des considérations géométriques en se plaçant dans l’approximation des petits
angles (voir Figure 2) :

∆x = ∆x = a (sin θ1 − sin θ 2 ) ≈ a (θ1 − θ 2 ) .
(Eq. 34)
Les équations du mouvement s’obtiennent en appliquant le théorème du moment cinétique (Eq. 31).
Dans le cas du mouvement d’un pendule unique, le seul moment de force à considérer était dû au
poids du pendule. Le ressort entre les deux pendules ajoute un moment de force supplémentaire, dû à
la force de rappel du ressort, qui s’écrit pour le pendule 1:
  

(Eq. 35)
τ =×
a F=
− ka 2 (θ1 − θ 2 )ez .
Le théorème du moment cinétique permet de déterminer les équations du mouvement des deux
pendules:
- Pendule 1:
( )
dLO dd 
=( I Oω ) =
IO
θ1 =
I Oθ1 =
τ0 =
− Mgl sin θ1 − ka 2 (θ1 − θ 2 ) ⇒
dτdτdτ
θ1 +
Mgl
ka 2
sin θ1 +
(θ1 − θ 2 ) =
0 .
IO
IO
(Eq. 36)
- Pendule 2:
( )
dLO dd 
=( I Oω ) =
θ2 =
τO =
− Mgl sin θ 2 + ka 2 (θ1 − θ 2 ) ⇒
IO
I Oθ2 =
dτdτdτ
Mgl
ka 2
θ2 +
sin θ 2 −
(θ1 − θ 2 ) =
0 .
IO
IO
(Eq. 37)
Dans l’approximation des petits angles (θ1, θ2 <<1), les équations du mouvement suivantes sont
obtenues:
  Mgl
ka 2
θ1 +
(θ1 − θ 2 ) =
0
θ1 +
IO
IO

.

(Eq. 38)
2
θ + Mgl θ − ka (θ − θ ) =
0
2
1
2
 2
IO
IO

Ces équations sont dites couplées: le mouvement du pendule 1 a un effet sur le pendule 2 et viceversa. Il est possible de résoudre ce système d’équations en posant:
θ1 + θ 2
φ=
1
.

θ1 − θ 2
2
φ=
Le système d’équations devient alors:
13
(Eq. 39)
Travaux Pratiques de Physique
Expérience n°9
Mgl
 
φ1 = − I φ1

O
.

2
φ = − Mgl + 2ka φ
2
 2
IO
(Eq. 40)
dont les solutions sont donnés par :
=
φ1 (t ) A1 cos(ω1t + δ 1 )
.

=
φ2 (t ) A2 cos(ω2t + δ 1 )
(Eq. 41)
avec
ω1 =
ω2 =
Mgl
IO
(Eq. 42)
,
Mgl + 2ka 2
IO
,
(Eq. 43)
et A1, A2, δ1, δ2 sont des constantes déterminées par les conditions initiales. En revenant maintenant
aux variables initiales, les solutions de l’équation du mouvement sont:
θ1 (t ) A1 cos(ω1t + δ 1 ) + A2 cos(ω2t + δ 2 )
=
.

θ2 (t ) A1 cos(ω1t + δ 1 ) − A2 cos(ω2t + δ 2 )
=
(Eq. 44)
Vers. 7/11/2016, révision S. Schilt
14
Travaux Pratiques de Physique
Expérience N°9 : Pendules
3.1) Détermination de g
Rayon de la sphère:
R=
[cm]
Incertitude sur le rayon de la sphère:
Incertitude sur les longueurs mesurées:
Mesure 1
l [cm]
e [cm]
L [cm] DL [cm] 20∙T1[s]
T1 [s]
[cm]
[cm]
Mesure 2
20∙T2[s]
T2 [s]
Mesure 3
20∙T3[s]
2
T3 [s]
sT [s]
T [s]
2
Représentation graphique : T = T (L )
insérer graphique ici
Valeur de référence:
g =
Valeur expérimentale:
g =
version fichier: 29/9/2014 (cs&SSc)
1/2
2
[m/s ]
±
2
[m/s ]
T2 [s2]
DT2 [s2]
Travaux Pratiques de Physique
Expérience N°9: Pendules
3.2) Etude des pendules couplés
3.2.1) Période expérimentale du pendule unique:
Mesure 1
50∙T 1 [s]
T 1 [s]
Mesure 2
50∙T 2 [s]
T 2 [s]
Mesure 3
50∙T 3 [s]
T 3 [s]
T [s]
s T [s]
T w 1 [s]
s T w 1 [s]
T w 2 [s]
s T w 2 [s]
3.2.2) Période expérimentale des différents modes des pendules couplés
a) Mode symétrique:
Mesure 1
Mesure 2
Mesure 3
50∙T w 1,1 [s] T w 1,1 [s] 50∙T w 1,2 [s] T w 1,2 [s] 50∙T w 1,3 [s] T w 1,3 [s]
Mode anti-symétrique:
Mesure 1
Mesure 2
Mesure 3
50∙T w 2,1 [s] T w 2,1 [s] 50∙T w 2,2 [s] T w 2,2 [s] 50∙T w 2,3 [s] T w 2,3 [s]
b) Battements :
Périodes théoriques :
T b,calc [s] =
±
tcalc [s] =
±
Période de l'oscillation rapide:
Mesure 1
6∙t1 [s]
t1 [s]
Mesure 2
6∙t2 [s]
t2 [s]
Mesure 3
6∙t3 [s]
t3 [s]
Mesure 3
T b,3 [s]
Tb [s]
Période de battement:
Mesure 1
T b,1 [s]
Mesure 2
T b,2 [s]
version fichier: 29/9/2014 (cs&SSc)
2/2
Mesure 4
T b,4 [s]
 Tb [s]
Mesure 4
6∙t4 [s]
t4 [s]
t [s]
s t [s]