FICHE METHODE sur les FONCTION CARREE I) A quoi sert la

FICHE METHODE sur les
FONCTION CARREE
I) A quoi sert la fonction carrée ?
a) Exemples :
. Son abscisse est égale à 0 mètres et il s’éloigne en accélérant de 5m.s-1 par seconde !
Comment varie son abscisse en fonction du nombre t de secondes ?
f(t) = 2,5t² .
. Il a lâché la pierre du haut du pont !
A quelle distance du point de départ la pierre sera t-elle dans t secondes ? f(t) = 5t² .
. Il s’est entraîné 1 minute aujourd’hui et s’entraîne chaque jour 1 minute de plus que le
précédent ! Combien se sera t-il ’entraîné au total dans x jours ? : f(x) = 0,5x² + 1,5x + 1 .
. Un carré a un coté de x mètres !
Que vaut son aire en fonction de x ? : f(x) = x² .
. Si le prix est de 100 euros, il en vend 0 et chaque fois qu’il baisse le prix de 1 euro, il en vend
1 de plus ! Quelle somme gagne t-il s’il baisse le prix de x euros ? R(x) = x(100 –x) = 100x – x² .
b) Remarques :
Le monde est en perpétuelle évolution et les fonctions numériques servent à rendre compte de
ces évolutions. Les évolutions que l’on constate dans la réalité ne sont pas toutes de même nature
( la vitesse de croissance d’un arbre, la position d’une pierre en chute libre,…), à une certaine
« façon » d’évoluer correspond un certain type de fonction, de la même façon que les fonctions
affines permettent de décrire une « sorte » d’évolution, certains phénomène peuvent-être décrits
grâce à la fonction carrée, fonction dont il faut connaître les propriétés principales !
II) Qu’est ce que la fonction carrée ?
Définition 1 : ( fonction carrée )
La fonction carrée associe à tous nombre réel x ∈ IR le carré de ce nombre : x² ( x² = x× x )
On note :
 IR
f: x

→
→

IR
x²
ou encore : f(x) = x² pour x ∈ IR .
Exemples :
.Le carré de 3 est : 3² = 9.
.Le carré de -3 est : (-3)² = 9.
.Le carré de
2 est : ( 2)² = 2.
III) Propriétés de la fonction carrée
La fonction carrée a des propriétés caractéristiques en rapport avec les phénomènes naturels
qu’elle permet de décrire.
Définition 2 : GRAPHIQUE DE LA FONCTION CARREE .
La courbe représentative de la fonction carrée est une parabole d’équation y = x² .
Voici un tableau de valeurs de la fonction carrée :
Valeurs de x –5 – 4,5 – 4 –3,5
–3
–2,5
Valeur de x² 25 20,25 16 12,25
9
6,25
Valeurs de x 0,5
Valeur de x² 0,25
1
1
1,5
2,25
2
4
2,5
3,25
3
9
–2
4
–1,5
2,25
–1
1
– 0,5
0,25
3,5
12,25
4
16
4,5
20,25
5
25
On place dans un repère les points de coordonnées (x ; y = f(x) ) et on obtient le graphique
partiel de la fonction carrée ci dessous. ( on joint les points par une courbe intuitive ) .
y
VALEURS de f(x) = x²
20
« La courbe est une parabole
qui passe par l’origine »
15
10
5
VALEURS de x
x
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Propriété 1 : PARITE DE LA FONCTION CARREE
La fonction carrée est telle que pour tout nombre réel x ∈ IR on a x² = (-x)²
( le carré d’un nombre est égal au carré de l’opposé de ce nombre )
On dit alors que la fonction carrée est « paire ».
Une conséquence est que la courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à (oy).
Preuve (-x)² = (-1× x)² = (-1)² × x² = 1×x² = x²
Exemples :
(-1) ² = 1² = 1
C.Q.F.D.
(-10) ² = 10² = 100
(- 2) ² = 2² = 2
Propriété 2 : SENS DE VARIATION DE LA FONCTION CAREE .
Pour la fonction carrée, on a le tableau de variations suivant :
Valeurs de x
-∞
∞
+∞
0
Variations de
x
x²
→

0
La fonction carrée est décroissante sur ]- ∞ ; 0 ].
( plus un nombre négatif est grand et plus son carré est petit )
La fonction carrée est croissante sur [ 0 ; + ∞ [.
( plus un nombre positif est grand et plus son carré est grand )
Preuve :
Démontrons que : si a < b < 0 alors a² > b² ( ce qui montrera la décroissance sur ]-∞ ; 0 ] )
Supposons que a < b < 0
l’inégalité a² > b² est équivalente à a² – b² > 0 mais aussi à (a – b)(a +b) > 0 ( en factorisant )
or ( a – b) est négatif car a < b et ( a + b) est négatif car a et b sont négatifs, donc par produit,
(a – b)(a +b) est positif donc (a – b)(a +b) > 0 donc a² > b²
finalement : si a < b < 0 alors a² > b² .
On démontre la croissance sur [0 ; + ∞ [ de la même façon :
Supposons que a > b > 0
Donc (a – b) est positif et (a + b) est positif donc (a – b)(a +b) > 0 donc a² > b²
finalement : si a > b > 0 alors a² > b² .
C.Q.F.D
Propriété 3 : INEGALITE ET FONCTION CAREE .
la propriété suivante sert à démontrer que certaines fonctions en rapport avec la fonction
carrée sont croissantes ou décroissantes elle est démontrée ci dessus.
Quels que soient les nombres réels a et b :
Pour a et b négatifs : Si a < b alors a² > b²
Si on élève au carré les membres d’une inégalité entre des nombres négatifs alors on obtient
une inégalité de sens inverse.
Pour a et b positifs : si a < b alors a² < b²
Si on élève au carré les membres d’une inégalité entre des nombres positifs alors on obtient
une inégalité du même sens que la première.
Exemples : -3 < -1 donc (-3)² > (-1)² donc 9 > 1.
2 < 5 donc
2² < 5² donc
4 < 25 .
Si x < -4 alors x² > 16
Si x > 3 alors x² > 9
Propriété 4 : SIGNE DE LA FONCTION CARREE.
Valeurs de x -∞
∞
Variations
de x
x²
→

Signe de x²
+∞
0
Exemple : (-2)² = 4 est positif
0
+
0
+
Quel que soit le nombre réel x ∈ IR , le carré x² de ce nombre est positif ou nul
Preuve : si x est négatif alors x × x = x² est positif et si x > 0 alors x × x = x² > 0.
Propriété 5 : MINIMUM DE LA FONCTION CARREE.
Le minimum de la fonction carrée vaut 0 et est atteint pour x = 0.
Preuve : Résulte immédiatement des variations de la fonction carrée.
Application : ( x – 4)² + 10 est minimum pour x – 4 = 0 soit x = 4 et le minimum vaut 10.
Propriété 6 : EQUATION ET FONCTION CARREE.
Soit l’ équation x² = a où a est un nombre réel donné et x un réel cherché.
On distingue trois cas selon les valeurs de « a ».
Pour a positif strict :
Pour a nul:
Si x² = a alors x = a ou x = - a
y=a
a>0
Si x² = 0 alors x = 0
Pour a négatif strict : x² = a est une inégalité fausse
Preuve :
- a
a
.Si a = 0 : x² = 0 ⇔ x×x = 0 ⇔ x = 0 ou x = 0 ⇔ x = 0
.Si a < 0 : x² = a ⇔ x² est négatif strict, ce qui est impossible car le carré d’un réel est positif.
Donc x² = a n’a pas de solution réelle.
.Si a > 0 : x² = a ⇔ x² = ( a)² ⇔ x² – ( a)² = 0 ⇔ (x – a)(x + a) = 0
⇔ x – a = 0 ou x + a = 0 ⇔ x = - a ou x = - a .
C.Q.F.D.
Application : x² = –7 n’a aucune solution dans IR et S = ∅.
x² = 7 a deux solutions x = 7 ou x = - 7 donc S = {- 7 , 7 }.
Propriété 7 : INEQUATION ET FONCTION CARREE.
(admis )
Soient les inéquations x² > a , x² < a où a est un nombre réel donné et x un réel cherché.
On distingue 3 cas selon les valeurs de « a ».
Pour a positif strict: Si x² > a alors x < a ou x > a c’est à dire x ∈]- ∞,- a [ ∪ ] a , + ∞[.
Si x² < a alors - a < x < a c’est à dire x ∈ ]- a , a[.
( voir la courbe de la propriété 6 ci dessus pour une illustration )
Pour a = 0 : Si x² > 0 alors x ∈ IR- {0}
x² < 0 est une inégalité fausse pour toute valeur de x ∈ IR
Pour a négatif strict : Si x² > a alors x ∈ IR
x² < a est une inégalité fausse pour tout x ∈ IR
Applications :
x² > –7
x² < –7
y=a
a<0
n’a aucune solution dans IR donc S = ∅.
S = IR. x² < 7
S = ]- 7 ; 7 [. x² > 7
S = ]- ∞ ; - 7 [ ∪ ] 7 ; + ∞ [.