cours1

1
PARTIE 1
CHAMPS DE VECTEURS
2
Chapitre I
GB
INVARIANCES ET SYMÉTRIES
1/ Invariances
La recherche des invariances du système physique permet de déterminer
de quelles variables les effets produits (potentiels et champs) vont dépendre
a – Invariance par translation
Système physique invariant dans une translation parallèle à un axe Oz
⇒ Les effets ne dépendent pas de z symétrie cylindrique
b – Invariance par rotation autour d’un axe
Système invariant dans toute rotation autour d’un axe Oz
En coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) : effets indépendants de θ
⇒ ne dépendent que de ρ et z symétrie de révolution
c – Invariance par rotation et translation
Système physique invariant dans toute rotation autour d’un axe Oz
ainsi que dans toute translation suivant Oz
En coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) : effets indépendants de θ et de z
⇒ ne dépendent que de ρ
•/•
GB
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d – Invariance par rotation autour d’un point
z
Système invariant dans toute rotation autour d’un point O
P(r, θ, ϕ)
θ r
En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) : les effets ne dépendent que de r
symétrie sphérique
y
O
x
ϕ
P’
•/•
GB
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2/ Vecteurs polaires et axiaux
a – Vecteurs polaires
Sens : résulte de la définition même de la grandeur, sans convention particulière.
Sens absolu (indépendant du trièdre de référence choisi).
Exemples : Vitesse, Force
Notés P
Transformation du vecteur polaire par rapport à un plan de symétrie
⇒ image par un miroir plan confondu avec ce plan.
Conservation des composantes // au plan de symétrie
z
Pz
Inversion de la composante ⊥ au plan de symétrie
P
Py
M
Px
y
O
Πs
Πs
x
M’
P’y = Py
P’x = Px
P’z = -Pz
P'
•/•
GB
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b – Vecteurs axiaux (ou pseudo-vecteurs ou vecteurs anti-symétriques)
Sens : pas prédéterminé
⇒ Convention liant une translation à une rotation
Résultat d’un produit vectoriel de deux vecteurs polaires
Exemples : moment cinétique , vitesse de rotation instantanée
Notés A
Transformation du vecteur axial par rapport à un plan de symétrie
Conservation de la composante ⊥ au plan de symétrie
z
Az
Inversion des composantes // au plan de symétrie
A
M
Ay
Ax
y
A'
Πs
O
A’z = Az
A’x = -Ax
Πs
x
A’y = -Ay
M’
⇒Dénomination de vecteur antisymétrique :
transformé en l’opposé de son symétrique
•/•
GB
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c – Remarque : Plan d’antisymétrie
Anti -miroir
Transformation d’un vecteur polaire par rapport à un plan d’anti-symétrie
Inversion des composantes // au plan d’antisymétrie
Πa
Πa
Conservation de la composante ⊥ au plan d’antisymétrie
Transformation d’un vecteur axial par rapport à un plan d’anti-symétrie
Conservation des composantes // au plan d’antisymétrie
Πa
Πa
Inversion de la composante ⊥ au plan d’antisymétrie
•/•
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GB
3/ Symétries
a – Principe de Curie
‘Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes
doivent se retrouver dans les effets produits'
Si un système physique (source) admet une symétrie, les grandeurs (en particulier les
vecteurs) qui permettent d’analyser les effets produits par ce système, admettent aussi
cette symétrie
Le calcul de certaines grandeurs physiques est facilité si l’on tient compte des symétries
du système étudié
Vecteurs polaires et vecteurs axiaux que l’on peut rencontrer en physique n’ont pas les
mêmes propriétés devant les opérations de symétries
•/•
GB
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b – Système physique ‘source’ possédant un plan de symétrie
Plan de symétrie : Partage un système en deux parties, images exactes l’une de l’autre
(i) Cas des vecteurs polaires
Système physique
P(M )
M
•
P(M ) Trace de ΠS
créant P(M)
P' (M)
Πs : plan de symétrie du système et M ∈ Πs
Soit P(M ) caractérisant l’effet produit par ce système (exemple : champ électrostatique créé
par un système de charges)
P(M ) orienté a priori de façon quelconque par rapport à Πs
Symétrie •⁄ • Πs : P(M )
P' (M ) (Symétrique de P(M ) par rapport à Πs)
Opération de symétrie système physique reste inchangé P(M ) doit être aussi inchangé
P(M ) = P' (M ) ⇒ P(M ) ∈ Πs
Lorsqu’un système physique créant un champ P possède un plan de symétrie Πs
⇒ ∀ M ∈ Πs , nécessairement P(M) ∈ Πs
•/•
GB
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(ii) Cas des vecteurs axiaux
A(M )
A(M )
A' (M)
Système physique
M
•
Trace de ΠS
créant A(M)
Πs : plan de symétrie du système et M ∈ Πs
Soit A(M ) caractérisant l’effet produit par ce système (exemple : champ magnétostatique
créé par des courants)
A(M ) orienté a priori de façon quelconque par rapport à Πs
Symétrie •⁄ • Πs : A(M )
A' (M ) (Antisymétrique de A(M ) par rapport à Πs)
Opération de symétrie système physique reste inchangé A(M ) doit être aussi inchangé
A(M ) = A' (M ) ⇒ A(M ) ⊥ Πs
Lorsqu’un système physique créant un champ A possède un plan de symétrie Πs
⇒ ∀ M ∈ Πs , nécessairement A(M) ⊥ Πs
Recherche des plans de symétrie du système
⇒ Détermination de la direction des champs produits
•/•
GB
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c – Système physique ‘source’ possédant un plan d’antisymétrie
P(M )
(i) Cas des vecteurs polaires
P(M )
P' (M)
Système physique
•
M
Trace de Πa
créant P(M)
Πa : plan d’antisymétrie de la distribution D de charges du système et M ∈ Πa
Soit P(M ) caractérisant l’effet produit par ce système
Opération d’antisymétrie : Conjugaison d’une symétrie + inversion du signe des charges
⇒ Opération d’antisymétrie •⁄ • Πa D invariante
Symétrie •⁄ • Πa : P(M )
P(M ) invariante
P' (M ) (Symétrique de P(M ) •⁄ • Πa + inversion de sens)
P(M ) = P' (M ) ⇒ P(M ) ⊥ Πa
Lorsqu’un système physique créant un champ P possède un plan d’antisymétrie Πa
⇒ ∀ M ∈ Πa , nécessairement P(M) ⊥ Πa
•/•
GB
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(ii) Cas des vecteurs axiaux
A(M )
Système physique
M
•
A(M ) Trace de Πa
créant A(M)
A' (M)
Πa plan d’antisymétrie, M ∈ Πa et A(M ) caractérise l’effet produit par ce système
Opération d’antisymétrie •⁄ • Πa : (Antisymétrie de A(M ) par rapport à Πa
+ inversion de sens)
⇒ A(M )
A' (M )
A(M ) invariante par cette opération : A(M ) = A' (M ) ⇒ A(M ) ∈ Πs
Lorsqu’un système physique créant un champ A possède un plan d’antisymétrie Πa
⇒ ∀ M ∈ Πa , nécessairement A(M) ∈ Πa
RÉSUMÉ
⇒
Vecteurs polaires
M ∈ Πs ⇒ P (M )∈ Πs
M ∈ Πa ⇒ P (M )⊥ Πa
Vecteurs axiaux
M ∈ Πs ⇒ A(M ) ⊥ Πs
M ∈ Πa⇒ A(M ) ∈ Πa
•/•
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GB
Chapitre II
FLUX - CIRCULATION
1/ Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface
a – Expérience : Écoulement d’un liquide dans un tube de section So à une vitesse uniforme v
Grille disposée dans le tube (⊥ à l’axe)
Durant dt, tous les éléments de volume du liquide
ont parcouru dl = v dt
v
⇒ Volume de liquide qui traverse la grille durant dt :
dV = So dl = So v dt
So
S
n
dV
Par unité de temps : Φ =
= vSo
dt
θ
S
Φ : flux de la vitesse à travers So (= débit du liquide dans le tube - unité : ms-1 × m2 = m3s-1)
Si grille inclinée d’un angle θ dans le tube : Φ à travers la grille inchangé (débit inchangé).
So = S cosθ ⇒ Φ = S cosθ v
On pose S = S n ( n : vecteur unitaire normal à la surface S) ⇒ Φ = S • v
Φ : flux du champ de vitesse v à travers la surface S
•/•
GB
13
Flux élémentaire de tout champ de vecteurs W à travers une surface dS : dΦ = W • dS
Où dS = dS n ( n : vecteur unitaire normal à la surface dS)
Flux Φ à travers une surface S : Φ =
W(P) dS(P)
P
∫∫ W(P) dS(P)
•
S
S
b – Flux à travers une surface fermée
Convention pour ces surfaces :
En tout point de S : orientation vers l’extérieur
du vecteur élément de surface dS
W
Flux du champ de vecteurs W à travers S :
Φ=
∫∫
W (P) • dS(P)
dS
dS
S
dS
•/•
GB
14
2/ Théorème de Green – Ostrogradsky. Définition de l’opérateur ‘divergence’
On montre que : ΦS  W  = W • dS =
∫∫


S
⇒ dΦ = divW dτ
div W dτ
∫∫∫
V
∂Wy ∂Wz
+
Opérateur divergence (en coordonnées cartésiennes) : div W = ∂Wx +
∂x
∂y
∂z
3/ Circulation d’un vecteur le long d’une courbe
Champ de vecteurs W ( x , y, z) dépendant des coordonnées d’espace (coordonnées de P)
Quantité scalaire dC = W • dr : circulation élémentaire
du champ de vecteurs W lors du déplacement dr
W
P
A
dr
B
Intégrale
∫W
• dr
P
W
CP
dr B
dr
dr
W
W
r
(W) : circulation du vecteur W entre les points A et B
notée C
A
P
A→B
Le champ de vecteurs est conservatif lorsque la circulation ne dépend pas du trajet suivi
Il est dissipatif sinon
Pour une courbe fermée C : C  W  = ∫ W • dr
C

C
•/•
GB
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4/ Théorème de Stokes – Ampère. Définition de l’opérateur ‘rotationnel’
Pour toute surface quelconque S s’appuyant sur un contour fermé C, le champ de vecteurs
W(x, y, z) obéit à la relation :
∫C W dr = ∫∫S rot W
•
•
dS
⇒ dC = rot W • dS
W ( P)
dS
dS(P)
P
S
dr
dr
C
Sens de dS : convention rotation-translation
(règle du tire-bouchon ou de la main droite,…)
Opérateur rotationnel (en coordonnées cartésiennes) : rot W
∂


= ∂

∂

∂x   Wx 
 

∂y  ∧  Wy 
 



∂z   Wz 
•/•
GB
16
5/ Définition de l’opérateur ‘gradient’
Coordonnées cartésiennes
Déplacement infinitésimal de M(x, y, z) vers M’(x+dx, y+dy, z+dz) ⇒
dx

vecteur déplacement élémentaire dr = dy

 dz

⇒ Accroissement de la fonction f(x, y, z) : df = ∂f dx + ∂f dy + ∂f dz
∂x
∂y
∂z
 ∂f

 ∂x

⇒ df = grad f • dr
⇒ Opérateur ‘gradient’ de composantes grad f =  ∂f
∂
y

 ∂f

∀ le système de coordonnées
 ∂z
CONSÉQUENCES
1.
∫C grad f
•
dr = 0 *
2. ∫ gradf • dr = 0 =
C
3.




rot
 gradf  • dS ⇒ rot  gradf  = 0
∫∫

S







div
 rot A  dτ = rot A • dS = A • dr = 0 ⇒ div rot A  = 0 **
∫∫∫
∫∫
∫
V


S
C


•/•
17
∫
∫
C
C
GB
* Puisque df = grad f • dr , par définition on aura grad f • dr = df = f point final − f point initial
Or C est une courbe fermée, le point final et le point initial sont confondus, donc
∫
⇒∀ C fermée : grad f • dr = 0
C
•/•
18
∫∫∫divW dτ = ∫∫ W
** ∀ le champ de vecteurs W :
V
GB
•
dS (théorème de la divergence)
S
f
Sf : surface fermée qui délimite le volume V)
W : rotationnel d’un champ de vecteurs A ( W = rot A ) :⇒
∫∫∫div(rotA)dτ = ∫∫ rotA dS
V
Théorème du rotationnel : Pour tout champ de vecteur V :
(1)
•
∫∫ rotV
S
f
•
∫
dS = V • dr
S
C
(C : courbe fermée qui s’appuie sur une surface S quelconque non fermée, avec la
convention liant une translation avec une rotation entre dS et dr - règle du tire-bouchon -)
Or dans (1) : Sf est fermée
⇒ ∫∫ rot A
•
dS =
S
f
Si C délimite les surfaces S1 et S2 :
∫∫
rot A • dS1 +
S
∫∫ rot A
1
•
∫∫
dS
S
2
∫
dS1 = A • dr1
1
∫∫
∫
rot A • dS2 = A • dr2
C
C
⇒ ∫∫∫ div(rot A )dτ
V
S1
C
⇒ somme de deux circulations le long de C parcourues en sens inverse
∫
dr
dS1
2
∫
C
C
S
S
A • dr1 + A • dr2 = 0
S
rot A • dS2
=
∫∫
S
f
rot A • dS = 0
dr2
C
dr1
S2
( )
⇒ div rot A = 0 ∀ A
dS2
•/•
GB
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6/ Opérateurs ‘laplacien’ et ‘laplacien vectoriel’
a – Laplacien d’une fonction scalaire f
∆f = div gradf 


b – Laplacien vectoriel (d’une fonction vectorielle W en coordonnées cartésiennes)
∆Wx

∆ W = ∆Wy

 ∆Wz
•/•
GB
20
7/ Vecteurs position et vitesse de P
r = OP
Définition:
Expression de r dans les différents systèmes de coordonnées:
Cylindriques
Cartésiennes
r = x ux + y uy + z uz
Sphériques
r = r ur
r = OP = OP' + P' P = HP + P' P
⇒ r = ρ uρ + z u z
z
z
H (z)
z
P(ρ, θ, z)
uz
z
uθ
•
P(r, θ, ϕ)
uρ
• P(x, y, z)
θ r
ux
x
O
uy
y
y
O
θ
x
P’
uθ
O
ρ
x
P’
uϕ
•
uz
y
ur
ϕ
y
P’
x
Expression de dr dans les différents systèmes de coordonnées:
dt
dr dx
dy
dz
=
ux +
uy + uz
dt dt
dt
dt
dr dρ
du ρ dz
=
uρ + ρ
+ uz
dt dt
dt
dt
dρ
dθ
dz
=
uρ + ρ uθ + u z
dt
dt
dt
dr dr
du r
= ur + r
dt dt
dt
•/•
GB
21
z
P(r, θ, ϕ)
ur
uϕ
•
θ r
z
uθ
O
ϕ
x
dθ
dϕ

cos
θ
cos
ϕ
−
sin
θ
sin
ϕ

dt
dt

du r
dθ
dϕ
= cos θ sin ϕ + sin θ cos ϕ
dt 
dt
dt
 − sin θ dθ

dt
Dans Oxyz :
sin θ cos ϕ
u r =  sin θ sin ϕ
 cos θ
dr dr
du r
= ur + r
dt dt
dt
y
y
O
uϕ
ϕ
•
P’
P’
x
− sin ϕ
u ϕ =  cos ϕ
 0
 cos ϕ cos θ
u θ =  sin ϕ cos θ
− sin θ
Projection de u θ
⇒
et
du r dθ
dϕ
=
u θ + sin θ u ϕ
dt
dt
dt
dr dr
dθ
dϕ
= ur + r
u θ + r sin θ u ϕ
dt dt
dt
dt
•/•
22
GB
EXPRESSION DES PRINCIPAUX OPÉRATEURS DANS DIFFÉRENTS TYPES DE COORDONNÉES
Cartésiennes
dOM = dx u x + dy u y + dz u z
Champ scalaire Φ(x, y, z)
Champ vectoriel W (x, y, z) = Wx (x, y, z ) u x + Wy (x, y, z ) u y + Wz (x, y, z ) u z
∂2 Φ ∂2 Φ ∂ 2 Φ
∂ Wx ∂ Wy ∂ Wz
∂Φ
∂Φ
∂Φ
∆ Φ = div gradΦ = 2 + 2 + 2
grad Φ =
ux +
uy +
u z div W =
+
+
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
(
 ∂ Wz ∂ Wy
rot W = 
−
∂z
 ∂y

 ∂ Wy ∂ Wx
∂ Wx ∂ Wz 
 u x + 
−
−
 u y + 

∂x 
∂y
 ∂z

 ∂x
uz
ux
dτ = ρdρ dθ dz
z
dOM = dρ u ρ + ρdθ u θ + dz u z
1 ∂  ∂ Φ  1 ∂ 2Φ ∂ 2Φ
ρ
+
∆Φ =
+
ρ ∂ ρ  ∂ ρ  ρ 2 ∂ θ 2 ∂ z 2
div W =
ρ
M(ρ, θ, z)•
1 ∂
1 ∂ Wθ ∂ Wz
ρWρ +
+
ρ ∂ρ
ρ ∂θ
∂z
(
)
 1 ∂ Wz ∂ Wθ
rot W = 
−
∂z
ρ ∂θ
 ∂ Wρ ∂ W z

 u ρ + 
−
∂ρ

 ∂z
∂ Wρ

1 ∂
 uθ + 
(
)
ρ
W
−
θ

ρ  ∂ ρ
∂θ


 uz

 x
O
θ
dθ
ρdθ
)
dθ
1 ∂2
1
∂2 Φ
1
∂ 
∂Φ
∆Φ =
(
r Φ)+
+
 sin θ

2
2
2
2
r ∂ r2
∂
θ
∂θ 

r sin θ ∂ ϕ
r sin θ
(
)
dr
M(r,θ,ϕ)
rdθ •
θ r
∂ Wϕ
1 ∂ 2
1 ∂
∂Φ
1∂Φ
1 ∂Φ
( sin θ Wθ ) + 1
r Wr +
grad Φ =
ur +
uθ +
u ϕ div W = 2
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ ϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ ϕ
r ∂r
O

1  1 ∂ Wr
∂
 u r + 
−
r Wϕ
r  sin θ ∂ ϕ ∂ r

(
)
uρ
dτ = r2 sinθ dr dθ dϕ
Champ vectoriel W (r, θ , ϕ ) = Wr (r, θ , ϕ ) u r + Wθ (r, θ , ϕ ) u θ + Wϕ (r, θ , ϕ ) u ϕ
(
dρ
y
dOM = dr u r + rdθ u θ + r sin θdϕ u ϕ z
Champ scalaire Φ(r, θ, ϕ)
uθ
z
Sphériques
∂ Wθ
1  ∂

rot W =
sin θ Wϕ −
r sinθ  ∂θ
∂ϕ
uz
dz
Champ vectoriel W (ρ , θ, z) = Wρ (ρ , θ , z ) u ρ + Wθ (ρ , θ , z ) u θ + Wz (ρ , θ , z ) u z
∂Φ
1 ∂Φ
∂Φ
uρ +
uθ +
uz
ρ ∂θ
∂z
∂ρ
y
uy
Cylindriques
grad Φ =
dx
dy
O
x
Champ scalaire Φ(ρ, θ, z)
dz
•
M (x, y, z)
)

 uz


dτ = dx dy dz
z
∂W

1 ∂
 u θ + 
(r Wθ ) − r  u ϕ
r ∂r
∂θ 

x
ϕ
dϕ
ur
uϕ
uθ
y
r sinθdϕ