AP TS Séance 3 Définition Soit p un réel de l
Transcription
AP TS Séance 3 Définition Soit p un réel de l
AP TS Séance 3 Définition Soit p un réel de l'intervalle [0;1] et n un entier naturel. On considère l'expérience aléatoire qui consiste à répéter dans des conditions identiques une épreuve de Bernoulli de paramètre p avec au maximum n répétitions et arrêt du processus au premier succès. On appelle loi géométrique tronquée de paramètres n et p la loi de la variable aléatoire X définie par : • X = 0 si aucun succès n'a été obtenu • pour 1 ≤ k ≤ n , X = k si le premier succès est obtenu à l'étape k a) Représenter par un arbre cette expérience dans le cas n = 4 b) En déduire la loi de probabilité de X dans ce cas (n = 4) c) Compléter alors le cas général : Théorème : Loi géométrique tronquée Soit X une variable aléatoire suivant la loi géométrique tronquée de paramètres n ∈ ℕ* et p ∈ [0;1]. • P( X = 0 ) = • pour 1 ≤ k ≤ n P( X = k ) = d) Cette loi géométrique tronquée ressemble à une autre loi rencontrée en première S . Laquelle ? En rappeler le principe . Application Exercice 1 : Partie 1 On lance un dé équilibré jusqu'à quatre fois de suite, l'expérience s'arrêtant dès que l'on obtient 6. On souhaite réaliser un algorithme qui simule l'expérience et renvoie le rang du premier 6 ou 0 si l'on n'a pas réussi à faire 6 après 4 tentatives. Variables : R : rang du lancer D : nombre entier Traitement (à compléter) R prend la valeur 1 D prend une valeur entière aléatoire entre 1 et 6 Tant que D≠6 OU R ≤ 4 R prend la valeur R+1 D prend une valeur entière aléatoire entre 1 et 6 Fin du Tant Que Si D > 5 Alors Afficher R Sinon Afficher 0 Fin Si Partie 2 On propose le jeu suivant : la mise est de 10 euros. Vous lancez un dé. Si vous faites 6 au premier lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 8 €. Le jeu s'arrête. Si vous faites 6 au deuxième lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 7 €. Le jeu s'arrête. Si vous faites 6 au troisième lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 6 €. Le jeu s'arrête. Si vous faites 6 au quatrième lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 5 €. Le jeu s'arrête. Si vous n'avez toujours pas fait de 6 après quatre lancers, le jeu s'arrête et vous perdez votre mise. 1) a) On note G le gain algébrique du joueur. Déterminer la loi de probabilité de G G peut prendre comme valeur 18 , 17 , 16 , 15 , –10. On est en présence d'une loi géométrique tronquée de paramètres 4 et 1/6. En utilisant les résultats du début, on obtient : gi 18 17 16 P (G= g i ) 1 6 5 1 5 × 6 6 = 36 5 1 25 ( 6 ) × 6 = 216 2 15 3 () 5 1 125 6 × 6 = 1296 –10 4 () 5 625 6 = 1296 b) Que peut-on espérer gagner à ce jeu si on y joue un grand nombre de fois ? 1 5 25 125 625 20273 Il faut calculer E(G) = 18× 6 +17× 36 +16× 216 +15× 1296 −10× 1296 = 1296 2) a) Trouver une relation simple entre le rang du premier 6 et le gain positif du joueur. b) Ecrire un algorithme qui simule 100 parties et renvoie le rang du premier 6 et le gain algébrique du joueur. Exercice 2 : Le tir à l'arc Un tireur à l'arc atteint sa cible 9 fois sur dix. Ce tireur participe à un concours primé. Il tire cinq flèches sur la cible. S'il atteint la cible il gagne 10 € sinon il perd 20 € . On suppose que les tirs sont indépendants. 1) On appelle X le nombre de flèches ayant atteint la cible à l'issue des cinq tirs. a) Quelle est la loi suivi par X ? Le lancer d'un flèche peut être assimiler à une épruve de Bernoulli avec pour proba du succès 9/10 Comme on lance cinq flèches indépendamment les unes des autres, X suit une loi binomiale de paramètres 0,9 et 5 b) Déterminer la loi de probabilité de X D'après le cours : pour tout entier k ∈ [0;5], P(X=k) = (k5 ) 0,9 k 0,1 5−k 2) On appelle Y la variable aléatoire égale au gain du joueur à l'issue des cinq tirs. Quel est le gain moyen du tireur s'il participe un grand nombre de fois à ce concours ? Est-ce intéressant pour lui ? On justifiera correctement la réponse Y peut prendre comme valeur : 5×10 € = 50 ; 4×10−20 =20€ ; 3×10−2×20 =–10 ; 2×10−3×20 =–40€ ; 1×10−4×20 =–70€ ; – 5×20=– 100 € yi 50 P ( Y= y i ) 5 P (X=5)=0,9 20 –10 –40 –70 –100 P(X=4) = 5×0 , 94 ×0,1 P(X=3) = 10×0,93 ×0,1 2 P(X=2) = 10×0,9 2 ×0,13 P(X=1) = 5×0,9×0,14 P(X=0) = 0,15 Il faut ensuite calculer l'espérance mathématique de Y qui représente le gain moyen du joueur : E(Y) = ∑ y i P( X= x i ) = 50×0,95 +20×5×0,94 ×0 , 1+…−100×0 , 15 = 35 Donc si on joue souvent à ce jeu, on gagne en moyenne 35 € donc il est intéressant d'y jouer