Sur quelques méthodes numériques appliquées à l`étude de la

Habilitation à Diriger des Recherches
Université de Savoie
Spécialité : Sciences de la Terre
Sur quelques méthodes numériques
appliquées à l’étude de la déformation des
systèmes géologiques
présentée par
Riad HASSANI
soutenue le 19 novembre 2007 devant le jury composé de
Rapporteurs :
Evgenii BUROV
Institut des Sciences de la Terre de Paris, Université P. et M. Curie
Félix DARVE
Laboratoire Sols, Solides, Structures - Institut National Polytechnique de Grenoble
Joseph MARTINOD
Laboratoire des Mécanismes de Transfert en Géologie, Université de Toulouse
Examinateurs :
Laurent BAILLET
Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Université de Grenoble
Claudio FACCENNA
Dipartimento di Scienze Geologiche, Universitá Roma TRE
Ioan IONESCU
Laboratoire de Mathématiques, Université de Savoie
——————————
Université de Savoie
Remerciements
Je voudrais d’abord vivement remercier Evgenii Burov, Félix Darve et Joseph Martinod, les trois rapporteurs, qui ont bien voulu juger ce travail. Merci à Laurent Baillet d’avoir accepté d’être membre du
jury ainsi qu’à Claudio Faccenna d’en avoir fait autant malgré le peu de géologie que contient ce travail.
Il y a neuf ans j’ai été recruté à l’Université de Savoie et affecté au laboratoire qui s’appelait à l’époque
le LIG (Laboratoire d’Instrumentation en Géophysique) et qui depuis a été rattaché au Laboratoire de
Géophysique Interne et Tectonophysique. Ce laboratoire comprenait alors quatre membres : trois maîtres
de conférences et un ITA (le noyau historique !). Il en compte maintenant neuf soit un bel accroissement
de 125 %. Je voudrais ici remercier tous mes collègues pour leur gentillesse et le cadre de sérénité qu’ils
ont su donner (et conserver... c’est vrai que ce n’était pas très difficile au début !) à cette petite communauté. Un merci à Jean Vandemeulebrouck que les responsabilités administratives et collectives ne font
pas peur et qui les assume avec intelligence. Merci aussi à Jean-Luc Got et David Marsan d’avoir pris
la relève à la tête du groupe chambérien. Je n’oublie pas notre sympathique “force vive” formée par nos
quatre doctorants toujours de bonne humeur. Merci aussi à mes collègues géologues du LGCA et plus
particulièrement à l’effervescent François Jouanne ; oui François j’espère que l’on aura encore l’occasion
d’encadrer d’autres thésards et, oui, je veux bien que tu m’amènes sur le terrain quelque part en Asie ou
en Amérique (pas plus de deux semaines tout de même !).
Je remercie Antoine Berger et Marie-Aude Bonnardot, les deux étudiants en thèse que j’ai pu coencadrer. Ils ont su garder toute la patience qu’il fallait avoir pour travailler avec un code imparfait et
en perpétuels travaux. Merci également à mon collègue de Nice Emmanuel Tric avec qui une nouvelle
aventure sur la subduction commence.
Il y va du milieu de la recherche comme de celui de la vie de tous les jours, les gens se partagent
en deux catégories : les optimistes et les moins optimistes. J’ai souvent eu la chance de travailler avec
de dignes représentants de la première catégorie (ou peut-être est-ce moi qui suis trop ancré dans la
seconde). Le premier d’entre eux que j’ai connu et que je voudrais remercier, toujours passionné et plein
d’idées nouvelles, est Jean Chéry qui, durant ma thèse, m’a initié à la modélisation en géodynamique
et continu à m’apprendre beaucoup de choses là-dessus. Dommage que l’éloignement et le manque de
temps fait que l’on ne travaille plus assez ensemble. Le second, tout autant enthousiaste et boîte à idées
inépuisable (“elle est sexy mon idée !, non ?”) est Ioan Ionescu. Merci Ioan pour m’avoir écarté un peu
de ma route et me faire découvrir des problèmes mathématiques et mécaniques auxquels je ne me serais
surement pas intéressé. J’espère que de Paris on pourra continuer cette collaboration. Je n’oublie pas les
autres mathématiciens avec qui nous avons passé de bons moments sur des problèmes difficiles : Patrick
Hild et Édouard Oudet. Une pensée à Thomas Lachand-Robert que je n’aurais pas assez connu.
Enfin merci à mon épouse Corinne et à mes deux filles Morgan et Camille pour leur soutien quotidien
et qui me rappellent qu’il y a aussi autre chose dans la vie que la modélisation.
Introduction
Dans la première partie de ce mémoire d’habilitation à diriger des recherches je présente une synthèse
de mes activités de recherche menées depuis ma nomination au poste de maître de conférences au Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonique de l’Université de Savoie. Cette partie comprend un rapide
résumé de mes principaux travaux, la liste de mes publications et celle de mes encadrements d’étudiants
de troisième cycle.
Dans la seconde partie, plutôt que de faire un passage en revue de mes publications sur les différentes
thématiques développées (ce qui donnerait un ensemble assez hétérogène et certainement peu digeste),
j’ai préféré opter pour une présentation plus construite dans laquelle je développe avec suffisamment de
détails les trois thèmes de recherche qui m’ont le plus occupé ces dernières années et dont deux sont
d’ailleurs toujours en cours. Ils ont pour point commun d’être des projets de recherche à long terme où
une part importante du temps est consacrée au développement méthodologique et à la mise en œuvre
d’outils particuliers.
Le premier de ces travaux, présenté au chapitre 4 concerne la modélisation du fonctionnement d’une
zone de subduction. C’est un sujet auquel je m’étais déjà interressé lors de mon stage postdoctoral à
l’Université de Liège et que j’ai repris quelques années plus tard. Il avait donné lieu à l’époque à un
premier modèle très simplifié où la viscosité du manteau supérieur est négligée dans le processus de
subduction. Malgré cette approximation, il permet d’expliciter, au moins au premier ordre, les relations
mécaniques qu’il y a entre la topographie, le couplage frictionnel entre les plaques et la tectonique. Relancé
par les discussions passionnées de S. Lallemand, J. Chéry et Emmanuel Tric, ce sujet de recherche s’est
alors prolongé par la thèse de M.-A. Bonnardot et par l’extension du modèle initial au 3D, d’une part et
au couplage visqueux lithosphère/asthénosphère en 2D, d’autre part. La thèse de G. Gibert qui débutera
cette année, devrait aboutir au couplage visqueux en 3D et à l’introduction des aspects thermiques.
Le chapitre 5 est lui aussi consacré à un sujet qui est toujours d’actualité et qui n’en est d’ailleurs
qu’à ses débuts, les applications à des cas géologiques étant encore loin de pouvoir se faire. Il s’agit d’un
travail qui vise à développer des méthodes originales s’appuyant sur les théories du calcul à la rupture
ou des charges limites pour l’estimation des risques gravitaires. Une publication sur un cas simplifié a
montré la faisabilité de ce type d’approche.
Le chapitre 6 présente un bilan de recherches entreprises peu après mon arrivée à l’Université de
Savoie et qui, contrairement à mes autres travaux, n’ont pas de rapport direct avec les géosciences mais
portent sur des aspects mathématiques liés au modèle du frottement de Coulomb dans des problèmes
d’élasticité. Ma formation initiale, ma spécialisation en modélisation par éléments finis et la proximité
(vingt marches d’escalier !) de nos deux laboratoires ont fait que des liens naturels se sont noués avec
deux mathématiciens “appliqués” travaillant sur des problèmes de mécanique, Ioan Ionescu et Patrick
Hild puis un peu plus tard avec Thomas Lachand-Robert et Édouard Oudet, grands optimiseurs devant
l’Éternel. C’est d’ailleurs suite à cette collaboration qu’a été lancé le projet de travailler ensemble sur
les glissements gravitaires. Couvrant une période assez longue (sept années) et ayant donné des résultats
significatifs dans leur domaine je ne pouvais pas ne pas donner dans ce mémoire la place méritée par ces
travaux, malgré le titre (puisqu’il faut un titre à une HDR) porté par celui-ci.
Enfin, dans les annexes sont présentées mes activités en matière d’enseignement – second (ou premier ?)
métier d’un enseignant-chercheur – ainsi que les quelques responsabilités que j’assume ou que j’ai assumé
et mon curriculum vitæ.
v
Table des matières
Remerciements
i
Introduction
iii
I
1
Résumé de l’activité de recherche
1 Résumé des principaux travaux
1.1 Développement du code ADELI . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La déformation aux limites des plaques : la subduction . . . .
1.3 La déformation intracontinentale : le rifting . . . . . . . . . .
1.4 Transport en milieu poreux et diagénèse . . . . . . . . . . . .
1.5 Les glissements gravitaires - Méthode par calcul à la rupture
1.6 Problèmes de contact avec frottement . . . . . . . . . . . . .
1.7 Participation à des projets de recherche . . . . . . . . . . . .
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2 Publications
3
3
4
4
6
7
7
8
9
3 Encadrement de stages et de thèses
11
II
13
Présentation de trois thèmes de recherche
4 La subduction océanique
4.1 Les questions posées . . . . . . . . . . . .
4.2 Les ingrédients . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Les équations . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Le traitement numérique . . . . . . . . . .
4.5 Les résultats . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Un premier modèle bidimensionnel
4.5.2 Le rôle du manteau . . . . . . . . .
4.5.3 Les effets tridimensionnels . . . . .
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5 Théorie du calcul à la rupture appliquée aux glissements
5.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 La régularisation Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Un cas académique : le cas antiplan . . . . . . . . . . . . .
5.4 La déformation plane - Utilisation d’un potentiel vecteur . .
5.4.1 Emploi de la méthode du gradient . . . . . . . . . .
5.4.2 Discrétisation par éléments finis . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Une autre piste pour le futur - Formulation par point selle .
5.6 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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43
gravitaires
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vi
6 Sur quelques problèmes d’élasticité en présence
6.1 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Non-unicité des solutions . . . . . . . . .
6.1.2 Existence de configurations “coincées” . .
6.1.3 Instabilité de l’équilibre . . . . . . . . . .
6.2 Une méthode d’éléments finis mixte . . . . . . .
6.3 Calcul des solutions coincées . . . . . . . . . . . .
Table des matières
de
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frottement
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7 Perspectives
113
A Activités pédagogiques
117
B Responsabilités diverses
119
C Curriculum Vitæ
121
Bibliographie générale
123
Première partie
Résumé de l’activité de recherche
Chapitre 1
Résumé des principaux travaux
Ma principale activité de recherche porte sur la modélisation numérique de la déformation des systèmes
géologiques. Elle a pour but d’identifier les facteurs fondamentaux qui influent sur la déformation des
grands objets géologiques comme les zones de subduction ou le rifting continental. Pour cela, je développe
et j’utilise des codes de calcul par éléments finis.
Je m’intéresse également à des problèmes de modélisation appliquée à des structures plus superficiels
tels que les problèmes d’instabilités gravitaires où l’objectif n’est pas de simuler le mouvement gravitaire
mais plutôt d’essayer d’en évaluer les risques et la gravité en mettant au point des nouvelles techniques
numériques basées sur des calculs à la rupture.
Par ailleurs, j’ai aussi travaillé, en collaboration avec le laboratoire de Mathématqiues de l’Université
de Savoie sur des sujets à la frontière entre la mécanique théorique et les mathématiques et portant sur
la non-unicité des solutions et les perturbations instables dans les problèmes de contact unilatéral avec
frottement.
Dans les lignes qui suivent je résume les travaux de recherche que j’ai pu aborder depuis une dizaine
d’années en me limitant toutefois aux principaux d’entre eux. Trois de ces sujets font l’objet de chapitres
du présent rapport, je ne les résume donc ici que très succintement.
1.1
Développement du code ADELI
Je continue, depuis ma thèse, à développer et à maintenir avec Jean Chéry (Laboratoire Géosciences de
Montpellier) le code ADELI, code par éléments finis consacré à l’étude du comportement thermomécanique de la croûte et de la lithosphère. Cet outil a été utilisé dans de nombreux projets de recherches
et est impliqué dans plusieurs articles, thèses et DEA. Il est à la base d’une partie importante de mes
travaux en géodynamique.
Les principales caractéristiques des versions de base de ce code sont les suivantes :
• La modélisation peut être effectuée en 2D ou en 3D. En géométrie 3D, deux versions existent :
l’une avec un mailleur intégré procédant par extrusion d’une surface maillée, l’autre important un
maillage construit par le mailleur libre Gmsh (Geuzaine & Remacle, 2004).
• Un formalisme de grandes déformations est utilisé. Les lois de comportement sont écrites sous forme
incrémentales en utilisant une dérivée objective (Jaumman ou Green-Naghdi).
• Les rhéologies actuellement disponibles sont l’élasticité, la viscoélasticité linéaire (modèle de Maxwell) ou non-linéaire (loi puissance), l’élastoplasticité avec critère de Von Mises ou Drucker-Prager.
• L’équation de la chaleur en régime transitoire ou permanent peut être résolue seule ou couplée au
problème mécanique.
• Le contact entre corps déformables peut être modélisé. Le frottement suit la loi de Coulomb.
4
1. Résumé des principaux travaux
• Une loi de diffusion est utilisée pour modéliser le transport par érosion (en 2D uniquement).
• La discrétisation temporelle de l’équation du mouvement utilise un schéma par différences finies
explicite associé à une méthode de régularisation dynamique. Quant à l’intégration temporelle des
lois de comportement et d’interface elle utilise des méthodes implicites.
Nombre de mes publications en géodynamique utilisant ADELI : dix et quatre soumises.
1.2
La déformation aux limites des plaques : la subduction
De nombreuses études ont porté sur la modélisation du fonctionnement d’une zone de subduction tant
par le biais de la simulation analogique (e.g. Shemenda (1993); Faccenna (2000)) que par celui de la
simulation numérique (e.g. Buiter et al. (2002); Hassani et al. (1997); Morra & Regenauer-Lieb (2006)).
Il a été par exemple reconnu que le comportement mécanique de la lithosphère et le couplage interplaque
ont un rôle fondamental sur le régime tectonique de la plaque supérieure et sur le pendage du slab.
Les études sur la convection mantellique sont encore plus nombreuses et ont permit de réaliser d’importantes avancées dans la compréhension à grandes échelles des mouvements mantelliques, de la formation
des points chauds et de l’initiation des zones de subductions (e.g. Zhong & Gurnis (1994); Solomatov
(2004)). Par contre, l’interaction entre manteau supérieur et lithosphère en subduction est encore très
peu étudiée bien qu’on lui reconnaisse depuis longtemps (e.g. Uyeda & Kanamori (1979)) un rôle important à jouer. La difficulté tant théorique que technique vient de la nécessité de coupler un modèle de
solide déformable (la lithosphère) à un modèle de fluide visqueux (le manteau). À l’exception du modèle
numérique de Morra & Regenauer-Lieb (2006), couplant la plaque plongeante au manteau mais ne prenant pas en compte l’interaction de celle-ci avec la plaque chevauchante, seules les approches analogiques
(e.g. Funiciello et al. (2003b); Regard et al. (2003)) permettent de prendre en compte de façon cohérente
ce couplage ainsi que le caractère essentiellement tridimensionnel d’une zone de subduction.
Afin de mieux rendre compte des phénomènes naturels et en comprendre les mécanismes physiques dominants il m’a paru donc important d’étendre nos modèles antérieurs (Hassani et al., 1997) en prenant
en compte, d’une part, la troisième dimension et en introduisant, d’autre part, un manteau visqueux
interagissant avec la plaque lithosphérique et dont le mouvement peut éventuellement être forcé aux limites. Cette étude s’est inscrite, dans ses grandes lignes, dans le programme DyETI de l’INSU intitulé
“Dynamique de la subduction” auquel j’ai participé. Il rejoint aussi les problématiques qu’a abordé MarieAude Bonnardot dans sa thèse (Bonnardot, 2006) et dans laquelle elle étudie, notamment, l’influence de
la géométrie de la marge sur les déformations de la plaque supérieure. Elle montre ainsi qu’une marge
convexe (convexité dirigée vers l’océan) induit une topographie positive dans la zone centrale de l’avant
arc, alors qu’une concavité de la marge, induit plutôt une subsidence de cette zone. Quant aux modélisations bidimensionnelles du couplage lithosphère - asthénosphère, elles montrent une influence assez forte
de la viscosité du manteau sur le pendage du panneau plongeant (et donc aussi sur la topographie de
la plaque chevauchante), influence qui s’explique par les forces de succion hydrodynamique induite par
l’écoulement dans le coin mantellique et qui peut supporter une partie du poids du slab. Toutefois, nos
expériences montrent aussi qu’en dessous de 1019 Pa.s, la viscosité n’a pratiquement plus d’influence et
que les résultats sont similaires à ceux obtenus avec une viscosité nulle, ceci bien sûr pour les vitesses de
plaques considérées et pour un manteau “passif” dont le mouvement est induit seulement par celui des
plaques.
Les aspects techniques ainsi que les résultats des modélisations sont présentés en détail au chapitre 4.
Nombre de publications sur le thème “subduction océanique” : deux et deux soumises
Autres publications sur le thème général “convergence” : trois articles
1.3
La déformation intracontinentale : le rifting
Le rifting, phénomène de localisation de la déformation lors d’une extension crustale, est par nature
tridimensionnel. Les expériences numériques réalisées sur un matériau élastoplastique montrent que la
5
1.3. La déformation intracontinentale : le rifting
configuration de la zone de localisation, qui aboutit rapidement à la striction (necking), dépend de façon
très forte des conditions aux limites imposées sur les bords latéraux. Ainsi, si l’on se place dans des
conditions de déformations planes, en fixant le déplacement normal sur les bords latéraux, on rejoint les
résultats 2D, à savoir le développement de “failles” normales aboutissant à une striction orthogonale à la
direction d’extension. Au contraire, et comme l’ont montré Chemenda et al. (2002), si l’on se place dans
des conditions d’extension uniaxial en laissant libres ces bords latéraux, la zone de striction est inclinée
par rapport à la direction d’extension (figure 1.1) et peut souvent présenter deux branches.
(a)
(b)
(c)
Figure 1.1 –
Traction uniaxiale d’une plaque rectangulaire obéissant au critère de Von Mises. (a) stade juste après
le début de la localisation qui montre que celle-ci s’initie de façon symétrique. (b) À un stade plus avancé (échelle des
couleurs différente de la précédente), la symétrie est brisée est plus qu’une seule zone de localisation est active, les autres
s’étant “éteintes” trés rapidement (les couleurs représentent l’intensité de la déformation plastique cumulée). Cette zone
est le lieu où se produit un fort cisaillement mais aussi une striction importante. (c) Vue du contour de la face avant
(en trait noir) et de la face arrière (en trait discontinu rouge) montrant l’amincissement subit par la plaque.
D’autres expériences menées dans des conditions de traction bi-axiale montrent que cette inclinaison
dépend de façon continue de la contrainte appliquée sur les bords latéraux. L’hypothèse 2D d’un rift
orthogonal apparaît donc comme un cas particulier, résultat de conditions aux limites bien déterminées.
Des études à l’aide de modèles tri-couche comportant une croûte supérieure cassante, une croûte inférieure
visqueuse et un manteau ductile ont été réalisées. Elles illustrent d’une part, l’effet antagoniste de la
viscosité de la croûte inférieure et de l’adoucissement de la croûte supérieure sur le développement des
zones de localisation et montrent d’autre part, comment s’effectue, au travers de ce couplage visqueux,
la localisation dans la croûte supérieure et dans le manteau (figure 1.2).
ηinf = 1020 Pa.s
Figure 1.2 –
ηinf = 1021 Pa.s
Effet de la viscosité de la croûte inférieure sur la localisation dans la croûte cassante et le manteau
ductile.
Nombre de publications sur ce thème : une en prépration.
Autres publications sur le thème général “extension crustale” : deux et une soumise
6
1. Résumé des principaux travaux
1.4
Transport en milieu poreux et diagénèse
De nombreux travaux issus principalement de la recherche pétrolière ont montré le rôle important joué
par les réactions de dissolution - précipitation sur l’évolution de la porosité et, par conséquent, sur la
perméabilité des réservoirs sédimentaires. Ainsi, une évolution de quelques pourcents de porosité consécutive à plusieurs millions d’années de diagénèse hydrothermale peut être la cause de transformations de
plusieurs ordres de grandeur de la perméabilité (North, 1985; McBride et al., 1996). Les réactions eau roche et les transferts géochimiques qui transforment la topologie du milieu poreux sont principalement
contrôlés par les caractéristiques des champs de vitesses du fluide, de températures et de salinité. Les
processus diagénétiques sont donc particulièrement importants dans les zones où de forts gradients de
ces paramètres existent, telles que par exemple, les failles qui mettent en relations plusieurs aquifères de
propriétés différentes.
Dans ce travail, réalisé dans le cadre du GDR ”transfert dans les bassins sédimentaires“, j’ai mis au point,
avec Dominique Bernard (à l’époque au laboratoire Énergétique et Phénomènes de Transfert de l’ENSAM
de Talence) et Philippe Gouze (laboratoire Géosciences de Montpellier), un modèle numérique permettant
de simuler l’évolution d’un champ de porosité d’un réservoir sous l’effet des dissolutions et précipitations
engendrées par la mise en circulation dans un champ de température hétérogène d’un fluide en équilibre
avec les minéraux constituant le milieu poreux. Le fluide est mis en mouvement soit par thermo-convection
(voir Fig. 1.3 pour un exemple simple) soit sous l’effet de la gravité. Le modèle, 2D ou 3D, repose sur
un couplage simplifié entre les équations régissant (1) l’écoulement du fluide (problème de Darcy), (2) la
température du milieu (modèle à une seule température), (3) l’évolution des concentrations de chaque
espèce en solution et de la porosité. Si de plus la salinité doit être pris en compte (Na et Cl n’interagissent
pas directement avec la roche mais influent sur la concentration des autres espèces réactives) un problème
de transport se couple aux trois premiers.
Ce modèle a été utilisé dans une application visant à simuler l’évolution de la porosité et de la perméabilité induite par les apports d’eau saline du Trias dans le réservoir du Dogger du bassin de Paris dans la
zone de la faille de Braie.
Nombre de publications sur ce thème : un article
Figure 1.3 – Un exemple de calcul 2D couplant convection naturelle et diagénèse. Le champ de vitesse ainsi que la porosité de la couche inclinée qui est initialement homogène (25% de porosité) évolue sous l’effet des dissolution/precipitation
induites (représentation de l’état initial et après 5 Ma de la porosité effective et du champ de vitesse). Cinq minéraux
sont présents : la kaolinite, la chlorite, la silice, la dolomite et la calcite. L’équation de la chaleur est résolue sur un
domaine beaucoup plus grand (non représenté) supposé imperméable.
1.5. Les glissements gravitaires - Méthode par calcul à la rupture
1.5
7
Les glissements gravitaires - Méthode par calcul à la rupture
Ce travail vise à développer une nouvelle méthode permettant d’estimer la géométrie des zones de rupture potentielle d’un massif donné et un coefficient de sécurité mesurant la probabilité de cette occurence.
Cette méthode est basée sur la théorie du calcul à la rupture dont l’intérêt est de ne nécessiter que peu
d’informations : un critère de résistance dans le massif et le chargement auquel il est soumis, contrairement aux méthodes utilisant des calculs de déformation en élastoplasticité où la loi de comportement, les
précontraintes et l’histoire du chargement doivent de plus être données.
Le principe du calcul à la rupture (Salençon, 2002) consiste à déterminer la charge extrème que peut
supporter le massif par optimisation du champ de contrainte (ou de vitesse). L’originalité de l’approche
que nous proposons réside dans la reformulation de ce calcul sous la forme d’un problème d’optimisation
d’une fonctionnelle suprémale. Des techniques par éléments finis sont proposées et étudiées pour résoudre
le problème ainsi posé. Ce travail qui est toujours en cours, est le fruit d’une collaboration avec trois
membres de l’équipe “Équations aux Dérivées partielles” du laboratoire de Mathématiques de l’Université
de Savoie : Ioan Ionescu, Thomas Lachand-Robert et Édouard Oudet.
Pour plus de détails sur ce sujet de recherche on pourra se reporter au chapitre 5 qui lui est consacré.
Nombre de publications sur le thème : un article
1.6
Problèmes de contact avec frottement
J’ai travaillé avec P. Hild, I. Ionescu et É. Oudet, trois mathématiciens du laboratoire de Mathématiques
de l’Université de Savoie, sur les trois sujets suivants qui concernent le contact frottant entre un solide
élastique et un corps rigide :
• Existence de solutions multiples :
Il s’agit là d’un problème relativement ancient en mécanique portant sur l’unicité des solutions
dans les problèmes d’élasticité en présence de contact avec frottement de Coulomb. En effet, les
premiers résultats d’existence ont été établis dans les années 1980 mais uniquement dans le cas où
le coefficient de frottement est “faible”. L’unicité quant à elle n’a jamais pu être établis dans le cas
général.
Dans ce travail, nous nous sommes penchés sur l’établissement d’une condition suffisante de nonunicité. Cette condition fait intervenir un problème aux valeurs propres qui a été ensuite résolu
numériquement à l’aide d’une méthode d’éléments finis mixte appropriée. Nous avons pu donner
des exemples concrets dans lesquels l’unicité n’est plus garantie si le coefficient de frottement prend
une valeur déterminée. Ce n’était cependant pas une preuve de l’existence de tels cas puisque nous
n’avions pas de solutions analytiques mais uniquement des solutions approchées. Par la suite P.
Hild (maintenant à l’Université de Franche-Comté), a trouvé des cas de non-unicité pour lesquels
il a pu calculer la solution exacte, ce qui lui a permit de confirmer l’approche théorique ainsi que
sa résolution numérique.
• Existence de solutions coincées :
On s’est intéressé ici aux solutions (autres que la solution triviale) qui peuvent exister lorsque les
sollicitations extérieures sont supprimées. Le solide élastique reste coincé contre le corps rigide par
les seules forces de frottement qui l’empêchent de se décharger complètement. La solution est alors
dite solution coincée (“wedged solution”). La recherche d’une telle solution est effectuée par la formulation d’un problème de minimisation d’une fonctionnelle suprémale.
• Stabilité de l’équilibre :
L’étude de la stabilité d’une position d’équilibre d’un corps élastique en contact frottant avec une
fondation rigide est un probème assez difficile. En effet, les conditions unilatérales imposées par le
8
1. Résumé des principaux travaux
contact frottant ne permettent pas d’utiliser les méthodes classiques des petites perturbations, car
ces perturbations vérifient alors un problème dynamique non-différentiable. Comme pour l’étude
portant sur la non-unicité des solutions nous introduisons un problème spectral, mais cette fois-ci
non-linéaire, dont la perturbation est solution. Une technique numérique est développée pour résoudre ce problème.
La chapitre 6 reprend et développe les deux premiers probèmes.
Cette collaboration qui s’est étalée sur une période allant de 1999 à 2006 a été un vrai travail d’équipe
dans lequel chacun des participants a apporté ses propres compétences afin d’aboutir à établir des résultats significatifs sur des questions difficiles. Il va de soi que les théorèmes et propositions énoncés dans ces
différents travaux ainsi que les démonstrations associées, sont l’œuvre de mes éminents collègues mathématiciens, ma contribution personnelle dans cette collaboration étant plus modeste est se situe au niveau
des méthodes numériques et de leurs mises en œuvre.
Nombre de publications sur le thème : quatre articles
1.7
Participation à des projets de recherche
Sont listés ci-dessous les projets et programmes dans le cadre desquels se sont déroulés ou se déroule une
partie des mes travaux de recherche.
Projets passés :
Titre
Transfert dans les bassins sédimentaires
Financement
GDR
Période
1997-1998
Modélisation des Instabilités en Géophysique
Transfert des contraintes
BQR
ACI CatNat
1999-2000
2002-2004
Modélisation Mathématiques de la Vulnérabilité
des ouvrages
Région et BQR
2004-2006
Dynamique de la subduction
DyETI
2004-2006
Projets en cours :
Titre
Déformation active du Nord Pakistan
Active faults, seisemogenic zone & seismic
risk at the junction between southern Ryuku
subduction zone & Taiwan arc-continent collision
Financement
ANR CatTel
ANR CatTel
Période
20062005-
Chapitre 2
Publications
Revues internationales avec comité de lecture
• Hassani, R. and J. Chéry, 1996, Anelasticity explains topography associated with Basin and Range
normal faulting, Geology, 24, no. 12, 1095-1098.
• Hassani, R., D. Jongmans and J. Chéry, 1997, Study of plate deformation and stress in subduction
processes using two-dimensional numerical models, J. Geophys. Research, 102, No. B8, 1795117965.
• Ravaut, P., R. Bayer, R. Hassani, D. Rousset and A. Al Yahya’ey, 1997, Structure and evolution
of the northern Oman margin : gravity and seismic constraints over the Zagros-Makran-Oman
collision zone, Tectonophysics, 279, 253-280.
• Huc, M., R. Hassani and J. Chéry, 1998, Large earthquake nucleation associated with stress exchange between middle crust and upper crust, Geophysical Research Letters, 25, No. 4, 551-554.
• Vanbrabant, Y., D. Jongmans, R. Hassani and D. Bellino, 1999, An application of two-dimensional
finite-element modelling for studying the deformation of the Variscan fold-and-thrust belt (Belgium), Tectonophysics, 309, 141-159.
• Lesne, O., E. Calais, J. Déverchère, J. Chéry and R. Hassani, 2000, Dynamics of intracontinental
extension in the Northern Baïkal region from two-dimensional numerical deformation modeling, J.
Geophys. Research, 105, 21727-21744.
• Chéry, J., M.D. Zoback and R. Hassani, 2001, An integrated mechanical model of the San Andreas
fault in central and northern California, J. Geophys. Research, 106, No. B10, p. 22,051.
• Tang, J.-C., A.I. Chemenda, J. Chéry, S. Lallemand and R. Hassani, 2002, Compressional Subduction Regime and Arc-continent Collision : Numerical modeling, Geol. Soc. Am. Bull. Spec. Pub.,
358, 177-186.
• Voisin, C., I.R. Ionescu, M. Campillo, R. Hassani and Q.L. Nguyen, 2002, Spectral analysis of the
initiation process on a bounded fault zone, Geophys. J. Int., 148(1), 120-131.
• Hassani, R., P. Hild, and I. Ionescu1 , 2002, Analysis of eigenvalue problems modelling friction: sufficient conditions of non-uniqueness for the elastic equilibrum, Contact Mechanics, J.A.C. Martins,
M.D.P.M. Marques (Eds.), Kluwer Acad. Pub., 133-140.
• Hassani, R., P. Hild, I. Ionescu and N.-D. Sakki1 , 2003, A mixed finite element method and solution
multiplicity for Coulomb frictional contact, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg., 192, 4517-4531.
1 Ordre
alphabétique
10
2. Publications
• Provost, A.-S., J. Chéry and R. Hassani, 3D Mechanical Modelling of the GPS Velocity Field Along
the North Anatolian Fault, 2003, Earth Planet. Sci. Lett., 209/3-4, 361-377.
• Hassani, R., P. Hild and I. Ionescu1 , 2004, Sufficient conditions of non-uniqueness for the Coulomb
friction problem, Math. Meth. Appl. Sci., 27, 47-67.
• Berger, A., F. Jouanne, R. Hassani and J.-L. Mugnier, 2004, Modelling the spatial distribution
of present day deformation in Nepal. How cylindrical is the Main Himalayan Thrust in Nepal?
Geophys. J. Int., 156, Issue 1.
• Gratier, J.P., L. Muquet, R. Hassani, F. Renard, 2005, Experimental microstylolites in quartz and
modelling of natural stylolitic structures, J. Struct. Geology, 27, 89-100.
• Hassani, R., I. Ionescu and T. Lachand-Robert1, 2005, Shape Optimization and Supremal Minization Approaches in Landslides Modeling, Appl. Math. & Optim., 52, 349-364.
• Hassani, R., I. Ionescu and N.-D. Sakki1 , 2007, Unstable perturbation of the equilibrium under
Coulomb friction. Nonlinear eigenvalue analysis, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. (sous presse).
• Hassani, R., I. Ionescu and É. Oudet1 , Critical friction for wedged configurations. Int. J. Solids
Struct. (sous presse)
Revue nationale avec comité de lecture
• Gouze, Ph., R. Hassani, D. Bernard and A. Coudrain-Ribstein, 2001, Calcul de l’évolution de la
perméabilité des réservoirs sédimentaires contenant des argiles : application à la zone de faille de
Braie (Bassin de Paris), Bull. Soc. Géol. de France, 172, no 4, pp.427-436.
Articles soumis
• Bonnardot M.-A., R. Hassani, E. Tric, E. Ruellan and M. Regnier, 3D Mechanical Modelling of
Margin Geometry in Subduction Zones, soumis à Geophys. J. Int.
• Bonnardot M.-A., R. Hassani and E. Tric, Numerical Modelling of Lithosphere-Asthenosphere interaction in a Subduction Zone, soumis à Earth Planet. Sci. Lett..
• Berger, A., F. Jouanne, Th. Villemin and R. Hassani, Steady-state plate divergence and volcanotectonic crisis in Northern Iceland : a numerical approach of the accomodation properties of the
lithosphere, soumis à Geophys. J. Int.
• Got, J.-L., V. Monteiller, J. Monteux, R. Hassani and P. Okubo, Deformation and rupture of the
oceanic crust may control growth of Hawaiian volcanoes, soumis à Science.
Rapports de recherche
• Hassani, R., D. Jongmans, J. Krings and A. Montjoie, 1995, Modélisation des processus de formation
des Apennins, Rapport interne FINA Research, FINA/952, Liège.
• Hassani, R., D. Bellino, D. Jongmans and A. Montjoie, 1996, Modelling of the southern Apennines
formation at upper crustal scale, Rapport interne FINA Research, FINA/963, Liège.
• Hassani, R., D. Bellino, D. Jongmans and A. Montjoie, 1997, Numerical modelling of the southern
Apennines formation, Rapport interne FINA Research, FINA/971, Liège.
1 Ordre
alphabétique
Chapitre 3
Encadrement de stages et de thèses
Encadrements de stages
• Stage de DEA d’Antoine Berger : “Étude de la déformation de l’Himalaya du Népal en période
intersismique : apport de la modélisation par éléments finis”. DEA Dynamique de la Lithosphère.
Soutenu en juin 2001. Co-encadrement avec François Jouanne.
• Stage de DEA de Marie-Aude Bonnardot : “Modélisation de la genèse des Andes d’Équateur :
des accrétions océaniques à la déformation continentale (80 Ma-0 Ma)”. DEA Dynamique de la
Lithosphère. Soutenu en juin 2003. Co-encadrement avec Étienne Jaillard.
• Stage de Master de Julien Monteux : “Modélisation mécanique de la déformation crustale sous l’action d’un volcan”. Master des Sciences de la Terre de Lyon 1. Soutenu en Juin 2005. Co-encadrement
avec Jean-Luc Got.
• Stage de Master de Gaëlle Gibert : “Modélisation 3D de la flexure d’une plaque lithosphérique dans
une zone de convergence oblique et implication sur la remontée des roches métamorphiques de ultra
haute pression”. Soutenu en juin 2007. Co-encadrement avec Christophe Basile et Stéphane Guillot.
J’ai aussi participé, lors de mon séjours postdoctoral à l’Université de Liège, à l’encadrement de deux
stages d’élèves ingénieurs et d’un stage de licencié en géologie (équivalent d’un DEA) sous la direction de
Denis Jongmans. J’encadre aussi régulièrement des projets de Master-2P en Ingénierie Mathématique.
Encadrement de Thèses
• Antoine Berger (thèse de l’Université de Savoie) : “Propagation de la rupture crustale de l’axe d’un
point chaud à la ride océanique : exemple du nord de l’Islande”. (Soutenue le 21 juin 2004). Coencadrement avec François Jouanne et Thierry Villemin.
Antoine est actuellement photographe indépendant. Son travail de DEA et de thèse et a donné lieu
à une publication et une autre est en soumission.
• Marie-Aude Bonnardot (thèse de l’Université de Nice-Sophia-Antipolis) : “Étude géodynamique de
la zone de subduction Tonga-Kermadec par une approche de modélisation numérique 3D et de
sismotectonique”. (Soutienue le 20 novembre 2006). Co-encadrement avec Marc Regnier, Étienne
Ruellan et Emmanuel Tric.
Marie-Aude est actuellement ATER à l’Université de Nice. Son travail de thèse a donné lieu à une
publication et deux autres sont en soumission.
12
3. Encadrement de stages et de thèses
• Gaëlle Gibert (thèse de l’Université de Nice-Sophia-Antipolis) : “Origine des zones de subduction
horizontales : application à la zone du Chili Central - Ouest de l’Argentine à partir de données de
terrain et de modélisations numériques ”. Thèse commencée en automne 2007. Co-encadrement avec
Emmanuel Tric et Tony Monfret.
Deuxième partie
Présentation de trois thèmes de
recherche
Chapitre 4
La subduction océanique
Le passage d’une plaque sous une autre et son enfoncement dans le manteau terrestre est un phénomène
faisant intervenir des processus physiques complexes, non encore tous bien connus, couplés entre eux et
d’origines diverses : mécaniques, thermiques, hydrauliques, chimiques. Par ailleurs, notre connaissance
de la structure interne de la Terre reste très limitée et les observables directes sont essentiellement des
observables de surface. Aussi, la compréhension du fonctionnement des zones de subduction et leur lien
avec le mouvement des plaques est un sujet d’étude difficile qui fait l’objet de beaucoup de travaux comme
l’attestent les nombreuses publications des trente dernières années portant aussi bien sur l’observation
que sur la modélisation.
Je m’intéresse depuis déjà plusieurs années aux développements de modèles numériques pouvant
expliquer certains aspects mécaniques liés à ce problème. Je me suis essentiellement consacré à l’étude
des déformations et des contraintes engendrées dans les plaques vues comme des corps solides, ce qui
est une approche complémentaire de celle utilisée, à plus grande échelle, dans les modèles de convection
mantellique et une approche voisine de celle utilisée en laboratoire sur des modèles réduits.
Dans ce qui suit sont présentés trois travaux basés sur des modèles mécaniques simples (voire simplistes). Cette simplicité est en partie imposée par des limitations techniques et en partie voulue : travailler
avec un modèle suffisamment simple permet d’y voir plus clair. Ils sont présentés dans l’ordre chronologique dans lequel ils ont été menés ce qui reflète la démarche, somme toute assez courante, qui procède du
plus simple au plus compliqué et permet de mieux analyser l’influence des divers mécanismes intervenant
dans un système complexe.
Sommaire
4.1 Les question posées
4.2 Les ingrédients
4.3 Les équations
4.4 Le traitement numérique
4.5 Les résultats
16
4. La subduction océanique
4.1
Les questions posées
Un système en subduction est composé de deux plaques déformables soumises à tout un ensemble d’actions
extérieures, schématisées à la figure 4.1, que l’on peut classiquement ranger en "forces motrices" et en
"forces résistantes" et que l’on peut rapidement énumérées :
( a ')
( c ')
(d )
( d ')
(b )
(b )
(a )
(b )
(c )
(a )
(a )
(b )
(a )
(b )
Figure 4.1 – Représentation schématique des différentes forces extérieures agissant sur les deux
plaques. (a) et (a’) poids volumique, (b) action surfacique de l’asthénosphère (pression lithostatique, pression et frottement dus à l’écoulement visqueux induit par le mouvement des plaques)
à laquelle peut se superposer l’action due à un écoulement propre (flux mantellique), (c) et (c’)
contrainte associée à la poussée à la ride et réaction correspondante, (d) et (d’) actions de contact
d’une plaque sur l’autre.
• Le poids du panneau plongeant, force qui, si la masse volumique moyenne ne diminue pas, augmente
à mesure que la longueur du panneau plongeant s’accroît. C’est bien sûr l’une des forces motrices
de la subduction.
• La poussée à la dorsale, force motrice elle aussi d’origine gravitaire, induite par la différence d’élévation entre dorsales et fosses.
• La poussée d’Archimède. Elle peut être mise dans le groupe des forces résistantes dans la mesure
où elle s’oppose au poids du slab.
• Les forces de contact entre les deux plaques. Le contact entre les deux plaques se traduit de deux
façons : une résistance par frottement au glissement des plaques l’une sur l’autre, résistance d’autant
plus forte que les plaques sont pressées l’une contre l’autre ; une résistance à la séparation de ces deux
plaques et dont l’origine est simplement gravitaire (réaction d’appuis de deux corps pesants l’un
contre l’autre). L’effet de cette résistance, appelée succion hydrostatique par Shemenda (Shemenda,
1994), est illustré sur la figure 4.2 à partir d’un résultat d’une simulation numérique où l’on tente
de séparer deux plaques simplement en appuis l’une contre l’autre.
• Les forces de contact entre les plaques et le manteau. Ces actions peuvent être classées dans l’un ou
l’autre de ces deux groupes. En effet, les plaques qui se meuvent sur ou dans le manteau subissent
bien sûr un frottement visqueux de la part de celui-ci. En ce sens ces forces sont des forces qui
résistent au fonctionnement de la subduction. Mais la dynamique du manteau, propre ou induite par
le mouvement des plaques elles-mêmes, peut engendrer des efforts bien plus importants qui peuvent
accélérer la subduction et donc devenir moteurs, comme on peut l’imaginer dans le cas d’un flux
mantellique dirigé vers le panneau plongeant, ou au contraire s’opposer au poids du slab (et donc
à un des moteurs de la subduction). Cette dernière action est essentiellement due à l’écoulement
dans le coin mantellique qui engendre des forces de pression dont la résultante (qualifiée de succion
visqueuse ou de force de lifting) est dirigée vers le haut (Tovish et al., 1978; Turcotte & Schubert,
1982; Dvorkin et al., 1993) et dont le moment résultant permettrait de soutenir le slab (Fig. 4.3).
4.2. Les ingrédients
17
Figure 4.2 –
Simulation numérique reproduisant l’expérience analogique de Shemenda
(Shemenda, 1994) et illustrant l’effet de la succion hydrostatique : deux plaques élastoplastiques
(ici critère de Von Mises) reposent sur un fluide non visqueux (fondation de Winkler) et sont,
sous l’effet de leur poids, en appuis non collant et non frottant l’une contre l’autre et contre des
bords verticaux rigides (conditions aux limites). La configuration initiale est celle représenté en
trait discontinu rouge. Si l’on tire aux limites du système, l’extension n’est pas accommodée par
la séparation franche des deux plaques mais par une ouverture à profondeur quasi-constante au
cours du temps et par de la déformation interne sous forme de bandes de cisaillement. Tout se
passe comme si une force de cohésion retenait les deux plaques collées l’une à l’autre. L’explication
en est la suivante : le chargement par les forces de volume crée des réactions d’appuis entre les
deux plaques, la contrainte normale à l’interface étant initialement ∼ ρgz. Pour que les plaques
puissent se séparer il faut que cette contrainte s’annule, c’est-à-dire qu’il faut rajouter à l’état de
contrainte initiale une contrainte extensive. Mais l’intensité des contraintes étant limitée par le
seuil de plasticité il s’ensuit que la séparation ne peut se faire qu’au-dessus d’une profondeur donnée par ∼ σY /ρg où σY est le seuil en traction-compression. Cette expérience explique comment,
dans une zone de subduction, les contraintes vont pouvoir être transmises d’une plaque à l’autre
même dans le cas d’un retrait. Il est donc important de prendre en compte la résistance de la
plaque supérieure même si l’on ne s’intéresse qu’au devenir de la plaque plongeante, car comme
le démontre cette expérience, celle-ci n’est pas entièrement libre de se mouvoir.
Les modélisations mécaniques présentées dans les pages qui suivent ont pour ambition d’apporter des
éléments de réponses aux questions suivantes :
• Quelles sont les forces prédominantes dans un système en subduction ? Quels sont leurs effets sur
la déformation des plaques, la topographie, le régime tectonique ?
• Comment intervient le manteau dans le bilan de ces forces ?
• Quelle influence a la géométrie de la limite des plaques sur les déformations de la plaque chevauchante ?
4.2
Les ingrédients
Par définition et à cause de leurs états thermiques, les plaques lithosphériques forment la partie la plus
rigide de la Terre. On leur reconnait, au moins dans leurs premiers kilomètres, un comportement plutôt
du type solide, cassant en surface, plus ductile en profondeur et ayant une certaine élasticité. Bien sûr
le concept de solidité est assez flou (“tout solide est un fluide qui s’ignore” selon la belle formule de
Lemaître & Chaboche (1985) mais cela sous entend ici que l’on s’intéresse à une échelle de temps pas
trop grande vis-à-vis d’un temps caractéristique (temps de relaxation) du milieu et pour laquelle ce milieu
est capable de développer des contraintes déviatoriques importantes. Toutefois, dans le contexte d’une
subduction, la plaque qui plonge est amenée à des profondeurs où règnent des pressions et des températures importantes et auxquelles se produisent des changements de phase. La plaque plongeante doit alors,
progressivement, perdre son caractère solide et se faire assimiler au manteau environnant (néanmoins,
certaines zones “froides” à la base du manteau inférieur (Ricard et al., 1993) sont interprétées comme les
résidus d’anciennes plaques subduites). On peut cependant admettre que ces effets seront négligeables si
l’on se restreint aux subductions suffisamment jeunes et pas trop lentes. C’est ce que nous faisons dans ce
18
4. La subduction océanique
Figure 4.3 –
Modéle semi-infini d’écoulement visqueux autour d’un slab rigide. Figure tirée de
Tovish et al. (1978) montrant, à gauche, les lignes de courant, à droite, en trait plein, la pression
d’écoulement, en trait discontinu, la contrainte cisaillante. Ce calcul montre en particulier que
l’écoulement provoque une aspiration du slab vers la plaque chevauchante (la réaction normale sur
la face supérieure et inférieure du slab a une composante verticale positive) et que la contrainte
cisaillante est maximale au toit du slab et sous la région d’avant-arc.
travail en nous limitant à des vitesses de subduction comprises entre 3 et 5 cm/an et à une durée de moins
de 20 Ma à partir de l’initiation de la subduction. Cette limitation est aussi inhérente au fait que nous ne
nous sommes pas intéressés au problème du devenir du panneau plongeant arrivé à la discontinuité des
670 km (celui-ci pénètre-t-il le manteau inférieur ou stagne-t-il à l’interface ?).
Le modèle de base que nous adoptons (Fig. 4.4) est donc composé de deux plaques vues comme des corps
solides reposant sur un manteau fluide. Ces deux plaques initialement horizontales, poussées l’une contre
l’autre, glissent l’une sur l’autre avec ou sans frottement. Le manteau sous-jacent est, dans deux des
travaux présentés plus bas, supposé être un fluide parfait puis, modélisé par un fluide newtonien. Dans
tous les cas il est considéré être passif, c’est-à-dire qu’il n’a pas de mouvement propre, le déplacement de
ses particules étant le résultat du mouvement des plaques. Cette hypothèse nous permet dans le premier
cas de réduire son action sur les plaques à la seule pression lithostatique. Pour le second cas (fluide newtonien) elle n’est nullement nécessaire mais nous permet de simplifier l’étude.
V
s
n
=
- p a(z )
o
c o n ta c t u n ila té r a l a v e c fr o tte m e n t
( m a s s e v o l u m i q u e r l)
p la q u e s lith o s p h é r iq u e s
V
s
m a n te a u a s th é n o s p h é r iq u e
(m a s s e v o lu m iq u e r a)
v
x
=
v
y
=
0
Figure 4.4 – Configuration initiale et conditions aux limites utilisées. Lorsque le manteau n’est
pas visqueux il n’est pas explicitement modélisé (voir le §4.5.3 pour le 3D).
Bien que l’on puisse a priori utiliser des lois de comportement sophistiquées pour modéliser la stratification rhéologique des deux plaques lithosphériques, nous avons préféré au contraire opter pour un
modèle monocouche à comportement élastique ou élastoplastique dont l’épaisseur, entre 30 km et 50 km,
correspond à l’épaisseur élastique équivalente d’une lithosphère océanique (Mc Nutt & Menard, 1982).
La principale raison est qu’un tel modèle est suffisant compte tenu des échelles d’espace et de temps
auxquelles nous nous intéressons et des questions que nous voulons aborder (relations entre pendage du
slab, régime tectonique et topographie). Un modèle plus réaliste d’un point de vue rhéologique, mais qui
n’apporterait rien de plus au vue des questions posées, aurait nécessité une plaque d’une centaine de
19
4.3. Les équations
kilomètres, constituée d’une croûte océanique élastique ou élastoplastique, de 5 à 10 km d’épaisseur, et
d’un manteau lithosphérique à comportement du type viscoélastique.
4.3
Les équations
Les plaques solides
Les deux plaques lithosphériques occupent à l’instant t un domaine Ωl = Ωs ∪ Ωo où l’indice s
(subducting) est relatif à la plaque plongeante et o (overriding) à la plaque supérieure (Fig. 4.4. Elles sont
soumises à des conditions aux limites sur les frontières lointaines Γo et Γs , à des conditions de couplage
entre elles par contact et frottement sur leur interface commune Γso = ∂Ωs ∩ ∂Ωo et à des conditions de
couplage avec le manteau sur Γla . Les forces d’inertie étant négligeables, l’équation du mouvement se
réduit à l’équation d’équilibre quasi-statique. Le problème à résoudre, écrit sur la configuration actuelle
est donc le suivant :
divσ + ρl g = 0
u̇n = Vo
σn = ta
sur Γo ,
sur Γla
dans Ωl
u̇n = Vs
(4.1)
sur Γs
δ u̇n ≤ 0,
σn ≤ 0,
δ u̇n σn = 0
δ u̇t = 0 ⇒ |σ t | ≤ −µσn sur Γos
δ u̇t 6= 0 ⇒ σ t = µσn δ u̇t /|δ u̇t |
sur Γos
sur Γos
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
σ désigne le tenseur des contraintes de Cauchy, u̇ le vecteur vitesse, g le vecteur accélération de la pesanteur, ρ la masse volumique, Vo et Vs les vitesses horizontales imposées aux limites, n le vecteur normale
unitaire sortant, u̇n la vitesse normale, σn et σ t les contraintes normale et tangentielle. Le vecteur ta est
le vecteur traction qui s’exerce sur l’interface plaque/manteau et dépend des contraintes dans le fluide
mantellique. Enfin, les relations (4.4)-(4.6) traduisent les relations de contact (non-pénétration) et de
frottement (loi de Coulomb) entre les deux plaques. δ u̇n et δ u̇t représentent les composantes normale et
tangentielle de la vitesse relative des points d’une plaque par rapport à l’autre et inversement. µ est le
coefficient de frottement de la loi de Coulomb supposé constant et interprété comme un coefficient effectif.
Le comportement des deux plaques lithosphériques est modélisé par des lois (élastique ou élastoplastique pour les résultats présentés dans ce chapitre) écrites , à chaque instant, sur la configuration déformée
sous forme incrémentale :
Dσ
= M(σ, d)
Dt
(4.7)
où M désigne une fonction isotrope de ses arguments, d est le tenseur des vitesses de déformation
eulérienne, partie symétrique du gradient des vitesses :
d=
1
(Ḟ F −1 + (Ḟ F −1 )T )
2
(4.8)
F est le gradient de la transformation entre la configuration de référence et la configuration actuelle. La
dérivée temporelle intervenant dans (4.7) est une dérivée objective. Dans le code utilisé pour ce travail
(Hassani, 1994) sont adoptées des dérivées objectives en rotation, s’écrivant :
∂σ
Dσ
=
− W σ + σW
Dt
∂t
(4.9)
où W est un taux de rotation qui peut être soit celui du référentiel propre, c’est-à-dire celui dont la
rotation R est donnée par la décomposition polaire de F (W = Ω =: ṘRT ) et l’on a alors la dérivée
connue sous le nom de dérivée de Green-Naghdi (cf par exemple Johnson & Bammann (1984)), soit celui
du référentiel corotationnel, c’est-à-dire celui donné par la partie antisymétrique du gradient de vitesse
(W = ω =: (Ḟ F −1 − (Ḟ F −1 )T )/2) et l’on a alors la dérivée de Jaumann. L’avantage d’utiliser une
20
4. La subduction océanique
dérivée en rotation est de pouvoir écrire plus simplement la loi de comportement dans le référentiel
tournant choisi. Si Q désigne cette rotation, (4.7) se réécrit
(4.10)
Σ̇ = M(Σ, D)
avec Σ = QT σQ et D = QT dQ. Autrement dit l’écriture de la loi est similaire à celle utilisée en petites déformations. Les non linéarités géométriques dues aux grandes déformations et les éventuelles non
linéarités matérielles liées à la loi de comportement sont ainsi découplées. Ceci a son importance pour le
traitement numérique : les méthodes d’intégration des lois de comportement développées dans le cadre
des déformations infinitésimales peuvent être utilisées pour intégrer la loi dans le référentiel tournant.
Le manteau fluide
Dans une première approximation on a considéré le manteau comme un fluide parfait et dont le
mouvement n’a pas d’influence significative sur celui des plaques. La seule action qu’il impose alors à
tout élément de frontière de plaque en contact avec lui est un terme de pression lithostatique. Si l’on
suppose que le manteau a le même module de compressibilité, β, que les plaques, constant quelle que soit
la profondeur, on peut calculer cette pression à une profondeur z quelconque :
1
p̄a (z) = − log(1 − βρ0a (z − zh )|g|)
β
(4.11)
où zh est la profondeur du niveau hydrostatique et ρ0a est la masse volumique du manteau à z = zh . On
peut bien sûr faire tendre β vers 0 (incompressibilité du manteau) pour obtenir
p̄a (z) = ρ0a (z − zh )|g|
(4.12)
mais dans ce cas le contraste de densité entre slab et manteau augmente très (trop) rapidement.
Si l’on veut tenir compte de l’interaction entre le mouvement des plaques et celui du manteau il faut,
comme pour les plaques, se donner une loi de comportement pour le manteau et résoudre les équations
du mouvement. On supposera ici que ce comportement est celui d’un fluide newtonien incompressible de
viscosité ηa . Si σ a est le tenseur des contraintes dans le fluide, on a σ a = τ − pa I, où pa est la pression
et τ est la contrainte déviatorique donnée par
τ = ηa (∇v + ∇T v)
(4.13)
v désignant la vitesse des particules.
En négligeant là aussi les forces d’inertie, le mouvement des particules du fluide qui occupent à l’instant
t le domaine spatial Ωta est donc régi par :
divσ a + ρa g = 0
dans Ωta
(4.14)
divv = 0
dans Ωta
sur Γ0a
sur Γ1a
(4.15)
v = v0
σa n = t
v=Vl
sur Γla
(4.16)
(4.17)
(4.18)
avec Γ0a et Γ1a les parties des frontières où sont imposées des vitesses et des contraintes, respectivement.
Dans les applications présentées ci-dessous, Γ0a représente la base du manteau supérieur et Γ1a représente
les bords verticaux du domaine spatial Ωta , les contraintes sur ces derniers étant prises égales à la pression
lithostatique. La dernière relation (4.18), où V l correspond à la vitesse des plaques, traduit l’adhérence
entre le manteau et les plaques sur l’interface commune. Notons qu’en décomposant la pression pa en
pression lithostatique (donnée par (4.11) ou (4.12)) et en pression non-lithostatique p, on peut réécrire
l’équation du mouvement sous la forme
divτ − ∇p = 0
(4.19)
21
4.3. Les équations
La condition en contrainte sur Γ1a s’exprime alors par (τ − pI)n = t + p̄a n et devient, si on impose que
les bords verticaux Γ1a soient simplement soumis à la pression lithostatique :
(4.20)
(τ − pI)n = 0
c’est-à-dire une condition de bords libres pour le problème associé aux contraintes visqueuses τ − pI.
En utilisant la loi de comportement (4.13), on obtient finalement le problème à résoudre pour le
manteau fluide (qui n’est rien d’autre que le problème classique de Stokes sans forces volumiques) :
ηa ∆v − ∇p = 0
divv = 0
v = v0
(τ − pI)n = 0
v=Vl
dans Ωta
(4.21)
dans Ωta
sur Γ0a
sur Γ1a
(4.22)
sur Γla
(4.25)
(4.23)
(4.24)
Notons que la réponse du fluide ainsi modélisée est instantanée : étant donnés un domaine Ωta et
des vitesses aux frontières v 0 et V l , on calcule par (4.21)-(4.25) le champ de vitesse v, la pression p et
les contraintes déviatoriques τ (par (4.13)) sans dépendance directe avec l’histoire du chargement. Ainsi
pour chaque nouvel instant t on doit résoudre un nouveau problème de Stokes indépendamment de l’état
aux instants précédents.
Les conditions de couplage
Il faut encore exprimer explicitement les conditions d’interaction entre les plaques et le manteau.
Celles-ci, sous entendues dans l’écriture de (4.3) et (4.25), se traduisent par la continuité du vecteur
contrainte (principe de l’action et de la réaction) et de l’égalité des vecteurs vitesses (continuité de la
composante normale et condition d’adhérence) sur l’interface commune Γla . Autrement dit, il faut faire
(n étant la normale sortante aux plaques) ta = (τ − pa I)n dans (4.3) et V l = u̇ dans (4.25) :
(
v = u̇
sur Γla
(4.26)
(τ − pa I)n = σn
sur Γla
Le problème à résoudre est donc constitué des systèmes d’équations (4.1)-(4.6), (4.21)-(4.25) et (4.26).
À l’heure actuelle, nous n’avons réalisé ce couplage que dans le cadre bidimensionnel. Dans le cas où l’on
néglige l’effet du mouvement du manteau sur les plaques, le problème se réduit simplement à (4.1)-(4.6)
avec ta = −p̄a n sur la frontière des plaques immergées dans le manteau.
22
4. La subduction océanique
4.4
Le traitement numérique
La solution approchée du système (4.1)-(4.6) correspondant au problème de la déformation des plaques
lithosphériques est calculée par le code ADELI (Hassani, 1994). Ce code utilise une méthode de régularisation dynamique (Cundall & Board, 1988; Underwood, 1983) qui consiste à approcher la solution
d’un problème quasi-statique par la solution amortie d’un problème dynamique annexe (un terme inertiel
ρü est ajouté au second membre de l’équation du mouvement (4.1)). Réécris sous forme variationnel en
utilisant une formulation lagrangienne réactualisée, ce problème donne :
trouver u̇ ∈ U adm vérifiant
Z
Z
′
−
σ(u, u̇) : d(ṽ)det(F tt ) +
Ωt′
Ωt′
ρl g · ṽ +
Z
′
Γtla
ta · ṽ +
Z
′
Γtos
tc (u, u̇) · ṽ =
Z
Ωt′
ρü · ṽ
(4.27)
pour tout ṽ ∈ U 0adm
′
où Ωt est une configuration connue, que l’on espère suffisamment voisine de la configuration actuelle Ωt
′
inconnue occupée par le domaine solide Ω à l’instant t. F tt est le gradient de la transformation entre ces
deux configurations et tc représente les forces surfaciques de contact. L’ensemble U adm est l’ensemble
des vitesses cinématiquement admissibles et U 0adm l’ensemble de celles qui s’annulent sur Γo et Γs . Cette
équation est ensuite discrétisée spatialement par une méthode d’éléments finis pour aboutir à un ensemble
d’équations différentielles temporelles non-linéaires que l’on peut écrire sous forme matricielle par :
M Ü = F int (U , U̇ ) + F ext (U , U̇ ) + F c (U , U̇ )
(4.28)
M est la matrice de masse associée à la masse volumique ρ, F int , F ext , F c sont les vecteurs forces
intérieures, extérieures et de contact, respectivement et U est le vecteur déplacement aux nœuds du
maillage éléments finis. Une méthode de différences finies explicite est ensuite utilisée pour intégrer ce
système d’équations différentielles. Cette méthode étant conditionnellement stable, la masse volumique ρ
(et donc la matrice de masse M ) est choisie de telle façon que le critère de stabilité qui limite la taille du
pas de temps utilisable soit vérifié, au moins dans le cas élastique. Le calcul des forces intérieures et des
forces de contact dans (4.28) nécessite à chaque pas de temps l’intégration des lois de comportement dans
le volume et sur l’interface de contact. À cette fin, des schémas implicites de type prédiction-correction
sont utilisés (Pinsky et al., 1983; Jean & Touzot, 1988).
Le calcul par éléments finis de la solution approchée du problème de Stokes (4.21)-(4.25) est très
classique. Rappelons-en les grandes lignes de façon à fixer les notations pour la suite. La formulation du
problème est équivalente à la formulation variationnelle :
trouver v ∈ V adm et p ∈ Q vérifiant :
 Z
Z


ηa ∇v : ∇w −
pdivw = 0


Ωta
Ωta
Z



−
qdivv = 0

Ωta
∀w ∈ V 0adm
(4.29)
∀q ∈ Q
V adm étant l’ensemble des vitesses admissibles, Q celui des pressions et V 0adm l’ensemble des vitesses
admissibles s’annulant sur Γla ∪ Γ0a .
La contrainte d’incompressibilité nécessite de respecter une condition de compatibilité entre l’interpolation du champ de vitesses v et celle du champ de pressions p. On trouve dans la littérature différents éléments finis et différentes techniques. Nous avons choisit une technique de stabilisation (Quarteroni & Valli,
1997) car elle permet d’utiliser la même interpolation pour p et v. Elle consiste, une fois le problème (4.29)
discrétisé, à modifier la deuxième équation comme suit (stabilisation par le laplacien de la pression) :
Z
X Z
qh divv h + α
h2k
∇ph · ∇qh = 0
(4.30)
Ωta
k
Tk
4.4. Le traitement numérique
23
v h , ph , qh sont les versions discrètes de v, p, q, respectivement, α est un paramètre numérique et
hk est la taille de l’élément Tk du maillage. L’avantage est que l’on peut alors choisir le même type
d’éléments finis que celui utilisé pour résoudre le problème (4.1)-(4.6), ce qui rend direct le calcul des
termes d’interaction (ta et V l ) entre les deux problèmes et trivial si les maillages des plaques solides et
du manteau fluide sont coïncidents.
Lorsqu’elle est invoquée, l’interaction entre les deux codes d’éléments finis est réalisée par une méthode illustrée sur la figure 4.5. À chaque instant de couplage, le calcul de la solution dans la partie
mantellique nécessite la redéfinition du domaine fluide et donc de son maillage. Les deux codes échangent
des informations de surface au niveau de leur interface commune et la procédure de couplage proprement
dite consiste en une procédure totalement explicite (voir sa description dans le projet d’article reproduit
ci-dessous). Cette procédure facile à implémenter (c’est la plus simple des méthodes de couplage) s’est
montrée très instable pour les forts couplages, c’est-à-dire lorsque la viscosité ηa est forte ou lorsque la
vitesse des plaques est grande. Des techniques de couplage plus évoluées (Felippa et al., 2001) mais plus
complexes seraient à utiliser pour aller plus loin. Toutefois, comme il est discuté plus bas, les valeurs
de la viscosité que nous avons pu utiliser dans cette étude sont suffisamment grandes pour le manteau
asthénosphérique.
Figure 4.5 – Principe du couplage lithosphère-asthénosphère. Le domaine fluide est régulièrement remaillé afin de
suivre le contour imposé par les plaques..
Une autre méthode, très prometteuse, connue sous le nom de méthode des domaines fictifs (Glowinski
et al., 1996 ; Maury, 2001), a été testée. L’avantage majeure de cette méthode est d’éviter le remaillage
du domaine fluide, ce qui est d’un grand intérêt surtout dans la perspective d’une extension au 3D. Dans
cette méthode, un domaine fictif, C, dans lequel les équations du fluide sont résolues est constitué par
la réunion du domaine solide et du domaine fluide : C = Ω ∪ Ωta , autrement dit, la solution fluide est
prolongée à l’intérieur du solide. Les maillages de C et de Ω sont indépendants et ils n’ont pas besoin
de coïncider à la frontière solide/fluide ; il faut seulement connaître, à chaque instant, l’intersection du
contour du maillage solide avec les éléments du maillage de C. Ce dernier peut être choisi quelconque
(on choisit une grille pour faciliter la recherche des intersections) et il est fixé une fois pour toute. Les
termes de couplage (4.26) entre les deux milieux sont pris en compte, de façon faible, par l’introduction
de multiplicateurs de Lagrange. Le problème (4.29) écrit sur C devient :
24
4. La subduction océanique
trouver (v, p, λ) ∈ V adm × Q × Λ vérifiant
Z
Z
 Z


λ·w =0
pdivw
−
η
∇v
:
∇w
−

a


Γla
C
 C

Z

−
qdivv = 0

C


Z




µ · (v − V l ) = 0
−

Γla
∀w ∈ V 0adm
∀q ∈ Q
(4.31)
∀µ ∈ Λ
où Λ désigne l’ensemble des multiplicateurs. La dernière équation “force” les vitesses des particules fluides
à être égales à celles des particules solides sur la frontière immergée Γla du solide et le multiplicateur λ
a une signification directe ici : c’est la densité surfacique de force qu’il faut imposer sur Γla pour qu’il en
soit ainsi. C’est donc aussi la réaction du fluide ressentie par le solide : λ donne directement le vecteur
contrainte ta qu’il faut prendre en compte dans le problème solide (4.1)-(4.6).
En guise d’illustration et de validation, nous donnons à la figure 4.6, les résultats obtenus avec ces
deux méthodes (méthode par remaillage et méthode par domaines fictifs) pour le test du cylindre lâché
sans vitesse initiale dans un liquide visqueux contenu dans un récipient de largeur finie.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 4.6 – Test de la chute d’un cylindre dans un liquide visqueux résolu avec les deux
méthodes. Le cylindre est lâché sans vitesse initiale dans un récipient de largeur finie contenant
le liquide visqueux. (a) Représentation à un instant donné du maillage du domaine fluide (zoom
autour du cylindre) utilisé par la méthode avec remaillage. Le cylindre se déplaçant, le maillage
doit être redéfini à chaque pas de temps. (b) Maillage utilisé par la méthode des domaines fictifs
(zoom autour du cylindre). Celui-ci est fixé une fois pour toutes mais à chaque pas de temps les
intersections du contour du cylindre (en rouge) avec le maillage du domaine fluide doivent être
déterminées. (c) et (d) Intensité des contraintes déviatoriques et champ des vitesses au voisinage
du cylindre pour chacune des deux méthodes.
25
4.5. Les résultats
4.5
Les résultats
Nous rappelons dans un premier temps et succinctement les principaux résultats que nous avions obtenus
avec un modèle 2D sans manteau visqueux (Hassani et al., 1997) puis nous reproduisons deux projets
d’articles soumis, représentants tout les deux un prolongement de ce premier modèle, l’un au couplage
avec le manteau mais toujours dans le cas bidimensionnel, le second aux effets tridimensionnels mais sans
couplage mantellique.
4.5.1
Un premier modèle bidimensionnel
Cette étude a été initialement inspirée par celle présentée dans Shemenda (1993) à partir de résultats
obtenus par une approche analogique. Hormis le fait que les deux études donnent des résultats en très
bonne concordance, ce qui en soit est important car cela valide deux approches indépendantes et très
différentes, il a été intéressant de pouvoir étudier et quantifier l’effet du couplage frictionnel entre les
deux plaques. Le modèle de base est celui de la figure 4.4 mais où le manteau asthénosphérique, dont la
viscosité est supposée négligeable, n’est pas directement modélisé et dont la seule action sur les plaques
correspond à la pression donnée en (4.11). On s’est intéressé dans cette étude à l’importance relative
du poids du slab par rapport à la force de frottement sur la déformation de la plaque chevauchante et
en particulier aux conditions suffisantes à la production d’extension et d’ouverture arrière-arc. Les deux
paramètres de contrôle dans cette étude sont le contraste de densité, ∆ρ = ρl − ρa , et le coefficient de
frottement effectif sur le plan de subduction, µ.
Topographie induite - état de contrainte - Pendage du slab
La figure 4.7 présente la géométrie prise par les plaques, au voisinage de la fosse, après 460 km de
convergence pour trois expériences où seul le contraste de densité diffère, le frottement étant fixé à zéro.
L’influence évidente de ce paramètre sur le pendage du slab est clairement illustrée sur cette figure mais
ce résultat doit être toutefois modéré par l’hypothèse forte faite sur le comportement de l’asthénosphère
(viscosité nulle). Les topographies associées (Fig. 4.7b) présentent des caractéristiques remarquables : la
zone d’avant-arc est en surrection dans le cas d’un slab moins dense que l’asthénosphère et en dépression
dans le cas contraire.
∆ρ =-50 kg.m-3
∆ρ =+50 kg.m-3
0.0
1.5
0.0
2.5
0
5
∆ρ = 0 kg.m-3
5
(km)
0
∆ρ =-50 kg.m-3
∆ρ = 0 kg.m-3
∆ρ =+50 kg.m-3
-5
-10
200
400
600
800
1000
1200
(km)
Figure 4.7 – Effet du contraste de densité sur la géométrie et la topographie des plaques (les
couleurs représentent l’intensité des contraintes déviatoriques en GPa).
26
4. La subduction océanique
On a donc dans ce dernier cas un dédoublement du minimum topographique ce qui est en général
observé dans les zones de subduction associées à de l’extension arrière-arc. La formation de ce bassin
résulte du pivotement du slab au fur et à mesure que sa longueur augmente, ce qui a pour effet d’entrainer
vers le bas le point inférieur de contact des deux plaques, le fond du bassin se trouvant alors à la verticale
de ce point.
∆ρ =-50 kg.m-3
50 MPa
∆ρ = 0 kg.m-3
10 MPa
∆ρ = 50 kg.m-3
200 MPa
Figure 4.8 –
Croix des contraintes déviatoriques dans la plaque supérieure, loin de la fosse,
pour trois contrastes de densité différents et pour un frottement interplaque nul. Plus le panneau
plongeant est dense plus les contraintes transmises à la plaque chevauchante sont extensives (les
échelles des croix sont différentes pour chacun des cas).
Les contraintes dans la plaque chevauchante (Fig. 4.8) sont, dans le cas d’un contraste de densité positif, d’autant plus extensives que ce contraste est grand. L’origine de ces contraintes extensives est là aussi
due au mouvement du slab qui, sous l’action de son poids, a tendance à s’écarter de la plaque supérieure.
La transmission de cet état de contrainte est possible grâce à la force de succion hydrostatique existant
entre les deux plaques et qui les maintient en contact (voir Fig. 4.2). En réaction, la plaque chevauchante,
par sa rigidité propre, s’oppose donc en partie au recul du slab.
Ouverture arrière-arc - Rollback
Dans le cas d’une plaque élastique peu déformable, comme c’est le
cas dans la simulation précédente, l’étirement de la plaque chevauchante est très faible et le slab est efficacement soutenu par le biais
de la succion hydrostatique ; le recul de la fosse (ou rollback) est donc
sur cet exemple négligeable. Au contraire, si la plaque supérieure est
peu (ou localement peu) résistante, les contraintes provoquent son
étirement ce qui induit un mouvement rétrograde de la fosse et du
slab. Cette situation est illustrée (Fig. 4.9) à l’aide d’une nouvelle
expérience numérique où la plaque supérieure est initialement et lo- Figure 4.9 –
calement affaiblie par la présence d’une zone à moindre résistance blesse
mécanique.
J2(ε)
0.0
0.1
Modèle avec zone de fai-
27
4.5. Les résultats
Frottement interplaque
On reprend l’expérience avec deux plaques élastiques et avec contraste de densité positif. Sans frottement sur l’interface de subduction, on a vu que des contraintes extensives prennent naissance dans
la plaque supérieure et ceci à partir des tous premiers stades de la subduction. Un frottement non nul
peut changer radicalement ce résultat. En effet, la résultante des forces de frottement sur l’interface de
subduction a une composante horizontale qui comprime la plaque supérieure engendrant des contraintes
compressives qui se superposent donc aux contraintes extensives dues au poids du slab. Même pour des
coefficients de frottement relativement faibles le régime de contraintes peut devenir compressif, comme
le montre la figure 4.10. Précisons que ce coefficient de frottement est bien sûr un coefficient effectif à
l’échelle des plaques et non à l’échelle d’un échantillon de roche, ce qui explique les faibles valeurs que
l’on doit utiliser sur des failles lithosphériques.
µ = 0.1
300 MPa
µ = 0.2
300 MPa
µ = 0.3
300 MPa
Figure 4.10 – Croix des contraintes déviatoriques dans la plaque supérieure, loin de la fosse,
pour trois coefficients de frottement différents et pour un slab plus dense que le manteau. Plus le
frottement interplaque est important plus les contraintes transmises à la plaque chevauchante sont
compressives.
Premières conclusions
Ce modèle très simple montre que la plaque supérieure joue un rôle important par sa résistance
mécanique car elle s’oppose au recul ou à l’avancée de la fosse. L’absence de cette plaque induirait un
comportement très différent. Il montre aussi que les contraintes transmises à la plaque supérieure sont
conditionnées par le poids du slab mais aussi par le frottement sur l’interface de subduction, ces deux
effets étant antagonistes. Un contraste de densité positif (ρl > ρa ) produira un régime de contrainte
extensif dans la plaque chevauchante que si le frottement effectif sur l’interface de subduction est suffisamment faible. à l’inverse, un frottement relativement fort produira un régime compressif d’autant plus
facilement que le contraste de densité est faible.
28
4. La subduction océanique
Mise en défaut de ce modèle ?
Ce modèle associe toujours un régime extensif dans la plaque supérieure à un fort pendage du slab
(mais pas l’inverse, bien sûr : un fort pendage n’induit pas systématiquement de l’extension dans la
plaque supérieure car il y a aussi un contrôle par le frottement comme on l’a vu) ce qui est en accord
avec les études statistiques (Fig. 4.11) menées par Heuret & Lallemand (2005) et Lallemand et al. (2005).
Cependant, ces mêmes études montrent que les ouvertures d’arrière-arc ne sont pas toujours associées à
des slabs âgés (l’âge considéré étant celui du slab à la fosse) donc denses, or dans notre modèle seule une
forte densité permet d’obtenir un fort pendage. Comme le suggère Heuret (2005) dans sa thèse on peut
imaginer qu’un pendage important du slab pourrait être causé non pas uniquement par le poids du slab
mais aussi par un flux de matière mantellique.
Figure 4.11 –
Mise en relation entre le régime de déformation de la plaque chevauchante et les pendages superficiel et
profond du slab pour plusieurs zones de subductions (tirée de Heuret, 2005). Le régime de déformation est classé de E3 :
extension associée à de l’ouverture, à C3 : compression accompagnée de rétrochevauchements.
29
4.5. Les résultats
4.5.2
Le rôle du manteau
On aborde maintenant, dans l’article soumis reproduit ci-dessous, le probléme du couplage des plaques
avec le manteau asthénosphérique vu comme un corps fluide de viscosité donnée. Bien que l’on puisse
considérer, sans réelle difficulté, que la viscosité varie spacialement nous l’avons gardée uniforme par
souci de simplicité. Une difficulté plus importante sera de coupler la rhéologie du manteau à un modèle
thermique.
Numerical Modelling of Lithosphere-Asthenosphere
interaction in a Subduction Zone
Marie-Aude Bonnardot1 , Riad Hassani2 , Emmanuel Tric1
1 Laboratoire
2 Laboratoire
Géosciences Azur, Université de Nice-Sophia-Antipolis / CNRS UMR 6526,
06560 Valbonne, France.
de Géophysique Interne et Tectonophysique, Université de Savoie / CNRS UMR 5559,
73376 Le Bourget du Lac, France.
SUMMARY
We developed a new 2-D numerical approach for solid-fluid coupling applied to subduction zone. The
lithosphere is characterised by an elastic or elastoplastic behaviour and the asthenosphere by a homogeneous isoviscous fluid. The temperature effects are ignored and viscosity and density are constant in
time. The solid and the fluid problem are discretised by the FEM. The same solid code used in Hassani et
al. (1997, J. Geophys. Res., 102) has been used to compute the solution of the solid problem. The Stokes
problem is solved by a direct solver with a stabilization procedure. We used a very simple staggered
coupling method where the fluid domain is regularly re-meshing. We observed numerical instabilities
when time step is not sufficiently small, especially when strong coupling between the solid and the fluid
occurs. We have tested different configurations where the lithosphere is elastic or elastoplastic and show
how the slab geometry, the topography and the stress regime in the plates are affected by the viscous
resistance of the mantle. We observed well that the asthenosphere viscosity is a fundamental parameter
in the subduction process. Thus, for a subduction with an extensional regime in the upper plate, we
observe a linear decrease of the extensional stress as a function of the asthenospheric viscosity.
Introduction
Subduction systems result from important feedbacks between a rigid overriding plate, a rigid subducting
plate and a viscous convecting mantle. The main difficulty when attempting to model the whole subduction process was arisen by Han & Gurnis (1999) and can be summarised by the following fundamental
question: how to take into account in subduction models, the lithosphere and the asthenosphere as two
individual mechanical entities, that are thermally linked and interact totally due to their belonging to
the same convective system? Even if the lithosphere is an integrating part of the mantle convection, the
large viscosity contrast between the lithosphere and the upper mantle associated to the thermal effects
induces a mechanical decoupling between these two entities. At geological times scale, the lithosphere
behaves as a solid body while the upper mantle behaves like a viscous fluid. Thus, the modelling of the
asthenosphere-lithosphere system in subduction zone is a complex fluid-structure interaction problem.
Many studies have been devoted to this problem during these last decades. None of them has proposed a global method (see Hager & O’Connell (1981); Lux et al. (1979); Schmeling & Jacoby (1981);
Davies (1986, 1988); Gurnis & Davies (1986); Tao & O’Connell (1993); Christensen & Hofmann (1994);
Zhong & Gurnis (1995); Christensen (1996); Schott et al. (2000)), excepted one in 2006 which proposed
30
4. La subduction océanique
a new approach Morra & Regenauer-Lieb (2006). Excepted this paper, two fundamentally different approaches exist.
In one approach, the lithosphere is modelled as a solid medium, where the material behaviour is governed
by elastoviscoplastic laws, overlying an inviscid asthenospheric fluid (Poliakov et al., 1993; Giunchi et al.,
1994; Hassani et al., 1997; Toth & Gurnis, 1998; Branlund et al., 2001). The asthenosphere acts on the
lithosphere through a hydrostatic pressure which means that the viscous interaction between the subducted plate and the surrounding mantle is neglected. With this approach, we can test different rheological behaviours of the slab and evaluate their effects on the plate deformation and stress during the
whole subduction process. Thus, it has been shown that a significant part of the deformation observed
in subduction process was governed by elasticity instead of viscosity only, and that a full viscoelasticity
rheology was required to comprehensively model slab dynamics (Funiciello et al., 2003b,a). However, a
clear limitation of their approach is that their subduction model has been developed without contribution
of mantle flux.
In the second approach, the lithosphere is viewed as a viscous fluid governed by the Navier-Stokes
equation. In this case, general features such as temperature field, dip angle of the slab, can be computed,
but topography, strain and stress fields of the subducted and overriding plates cannot be directly derived
from such analysis. In this approach, full viscous coupling between the plates and the upper mantle
occurs, allowing for the computation of the mantle flow in response to the subducting plate behaviour.
However, this method generally permits only a limited choice of rheology to simulate processes within
slabs and does not identify precisely the mechanical behaviour of the lithosphere. Many studies have
been published with different techniques to introduce mobile plates into models of mantle convection.
In one technique, called kinematic plate models, plate velocity is imposed as a surface boundary condition (Lux et al., 1979; Davies, 1986; Gurnis & Davies, 1986; Zhong & Gurnis, 1995; Turcotte & Oxburgh,
1967; Parmentier & Turcotte, 1978; Christensen, 1992; Davies, 1995; Insergueix et al., 1997, 1999). Thus,
Hager & O’Connell (1981) and Davies & Richards (1992) have demonstrated respectively that the surface imposed velocity was proportional to η −1/4 and η 2/3 , where η is the mantle viscosity. A critical
velocity of the plate exists above which the mantle convection is organised in a single cell as large as
the surface boundary. This velocity corresponds to the dynamic balance between forces exerted on
the plate and on the fluid mantle. The second technique, called dynamic plate models, consists to
use a temperature-dependent viscosity and either lithospheric weak zones or non-Newtonian viscosity
with free-slip boundary conditions at the top surface (Schmeling & Jacoby, 1981; Kincaid & Sacks, 1997;
Schott et al., 2000; Christensen, 1983; Gurnis & Hager, 1988; King & Hager, 1990, 1994; King et al.,
2003; Schmeling & Schott, 1994; Zhong et al., 1998; Buck & Poliakov, 1998; Moresi & Solomatov, 1998;
Trompert & Hansen, 1998; Schmeling et al., 1999).
Whatever the technique used, the comparison between fully dynamic and kinematic plate formulation showed that temperature structures and slab evolutionary histories are similar when the effective
viscosity and surface velocity are nearly identical (Han & Gurnis, 1999). However, if we know today
the importance of plates rheology (Karato et al., 2001; Funiciello et al., 2003b) and interplate properties
(Shemenda, 1994; Hassani et al., 1997) on the slab geometry and strain deformation of the surrounding
plate (Heuret & Lallemand, 2005; Lallemand et al., 2005), we do not know very well the behaviour of
the slab inferred by the coupling between the lithosphere and the asthenosphere. The 2-D corner flow
model proposed by Tovish et al. (1978) shows that the slab dip and the viscous coupling between the
slab and the convecting mantle would be strongly correlated. The mantle flow within the corner located
between the overriding plate and the down-going slab induces dynamic pressures that tend to uplift the
slab. These authors also showed that the slab encompasses less frictional resistance when descending
into a non-Newtonian mantle than in a Newtonian one. Arcay et al. (2005b, 2006) modelled the thermal
structure of a subduction zone with a viscous mantle including dehydration reactions and a rheology
that depends on pressure, temperature, strain rate and water content. They found that non-Newtonian
rheology leads to a warmer slab surface temperature and a greater thermal erosion at the base of the
overlying plate than in isoviscous corner flow models. The localisation of the eroded region depends on
the subducting plate thermal state, and its width increases with high convergence rates and low subduction dip angles.
Using seismic wave anomalies and attenuations several authors (Karato & Spetzler, 1990; Karato, 2003;
Billen & Gurnis, 2001; Billen et al., 2003) argued also that the viscosity in the mantle wedge can be up
4.5. Les résultats
31
to 1000 times lower than in the surrounding asthenosphere. This decreasing should be mainly associated
to the slab dehydration inducing the partial melting of the mantle and could have strong dynamical
consequences on the interaction between the lithosphere and the asthenosphere (Hirth & Kohlstedt,
1996; Braun et al., 2000; Ulmer, 2001; Schmidt & Poli, 1998; Iwamori, 1998; Billen & Gurnis, 2001;
Billen et al., 2003; Van Keken, 2003; Arcay et al., 2005b, 2006; Richard et al., 2006). In the same way,
Čadek & Fleitout (2003) have shown that lateral viscosity variations in the top of the upper mantle can have important effect on the geoid and dynamic topography. These lateral viscosity variations would control the mechanical coupling between the lithospheric plates and the underlying mantle
(Ravine & Morgan, 1993; Karpychev & Fleitout, 2000). In the vicinity of the subduction we have a comparable effect (Royden & Husson, 2006; Husson, 2006b).
Even if these contributions with others (Van Keken et al., 2002; Conder, 2005; Kelemen et al., 2003;
Manea et al., 2005; Peacock et al., 2005) have led, through the study of the wedge rheology or the link
between mantle convection and subduction, to new insights regarding the temperature conditions and
evolution of subduction zone, the fluid-solid coupling between the overriding plate, the subducting plate
and the upper mantle remains poorly constraint and not well considered.
To our knowledge, only one model exists which takes account the “solid” behaviour of the lithosphere
and the “fluid” behaviour of the asthenosphere applied to subduction zone. It is that of Morra and
Regnerauer-Lieb (2006). They present an interesting and new dynamic approach for solid-fluid coupling
applied to subduction zone. However, in their approach only the slab is modelled and the overriding
plate is neglected. Moreover, the BEM approach that is used requires only the boundary of the domain
to be meshed and like wrote these authors in their conclusion “Furthermore improvements should involve
solid-fluid boundary re-meshing”. This constitutes precisely the goal of our contribution.
Thus, the present study aims at improving our quantitative knowledge of the convecting mantlelithosphere coupling in subduction zone by modelling a 2D fluid-structure interaction. We explore the
effects of this interaction on the subduction system and we focus on the slab behaviour as well as on
the deformation within the overriding plate. We present first the numerical approach that we have used
to describe the evolution of the system considering a homogeneous upper-mantle viscosity and a purely
elastic or elastoplastic behaviour for the plate. At least, we present our results and compare them to
previous works.
Method and modelling set-up
Assumptions and limitations
At the time-scale we are interested for (≥ 10 Ma) and owing to viscosity contrasts between the lithosphere
and the upper mantle, the slab and the overriding plate behave as a solid body while the upper mantle
behaves like a viscous fluid. Thus, modelling the evolution of a subduction zone requires the solution of
a fluid-structure interaction problem.
We make the following assumptions:
1. The temperature effects are ignored. Viscosity and density are then constant in time.
2. For the sake of simplicity we use an elastic or an elastoplastic one-layer oceanic plates and the
mantle rheology is simplified using an isoviscous Newtonian fluid.
3. Frictional unilateral contact between the overriding and subducting plates occurs on the subduction
plane.
4. Only the two-dimensional case is considered. This means, among other, that toroidal flow of the
mantle is ruled out.
Accordingly, this study is limited (1) to relatively fast subductions (compared to thermal time-scale)
and (2) to wide slab for which the lateral flow of the mantle around the slab can be neglected. The
effects of this toroidal flow can change some of the results presented below, especially in case of slab
retreat (Royden & Husson, 2006; Morra & Regenauer-Lieb, 2006; Dvorkin et al., 1993; Funiciello et al.,
2004). Moreover, Newtonian viscosity mantle can lead to an overestimated hydrodynamic stresses in the
wedge-corner flow as showed by Tovish et al. (1978) and Billen & Hirth (2005).
32
4. La subduction océanique
Governing equations
Let Ωo and Ωs be the physical domains occupied by the overriding plate and the subducting plate,
respectively. The governing equations of the quasi-static evolution of the lithospheric plates in the solid
domain Ωl = Ωo ∪ Ωs are given by
(
divσ + ρl g = 0
Dσ
Dt
= M(σ, d)
in Ωl
(4.32)
in Ωl
where σ is the Cauchy stress tensor, g is the acceleration vector due to gravity, ρl is the lithosphere
D
density, d = 12 (∇u̇ + ∇u̇T ) is the Eulerian strain rate tensor and u̇ is the velocity vector. Dt
stands for an
objective time derivative and M for the constitutive law. In addition, the two plates are pushed against
each other by use of kinematics boundary conditions on their vertical edges (see Fig 1) and Signorini
contact constraints with Coulomb friction law are used on the contact boundary ∂Ωo ∩ ∂Ωs :
δ u̇n ≤ 0,
σn ≤ 0,
δ u̇n σn = 0,
|σt | ≤ −µσn
where δ u̇n is the normal component (outward unit normal n is considered) of the relative velocity between
a point of one plate and its projection onto the other plate, µ is the Coulomb friction coefficient (assumed
constant throughout the contact interface) and σn and σt are the normal and tangential stresses, respectively.
The stationary Stokes problem:
(
ηa ∆v − ∇p + ρa g = 0
in Ωta
divv = 0
in Ωta
(4.33)
is used to compute, at a given time t, the viscous stress τ = ηa (∇v + ∇v T ), the pressure p and the
velocity field v in the fluid domain Ωta , knowing the viscosity ηa , the density ρa and a set of boundary
conditions (see Fig. 4.12). The superscript t in the notation Ωta of the fluid domain, is used to point out
that the solution of a new Stokes problem is needed at each given time station t.
The continuity of the vector traction is required (action-reaction principle), on the interface Γla
separating the solid (lithosphere) and the fluid (asthenosphere). Because of the viscosity, the fluid and
the solid are perfectly stuck to each other, which also implies the continuity of the velocity field on Γla :
(
v = u̇
on Γla
(τ − pI)n = σn
on Γla
(4.34)
where n is the unit normal on Γla pointing outward the solid domain.
Numerical method
The set of equations (4.32)-(4.33), complemented by the continuity conditions (4.34), completely describes
the evolution of the system. To tackle such a coupled problem, several strategies exist (e.g. Felippa et al.
(2001)). Among them, staggered methods (also called partitioned or weakly coupled methods) are the
most commonly used because of their flexibility. In these methods the two sub-problems (4.32) and
(4.33) are solved separately during one discrete time step (rather than solving the total system (4.32)(4.33)-(4.34)) and a coupling procedure (generally an iterative scheme) is used by enforcing the continuity
conditions (4.34). The method used in this work consists of a staggered method with an explicit procedure
which can be summarised by the following flowcharts:
33
4.5. Les résultats
1. Get the initial solid state (u̇0 , σ 0 ) and the initial fluid state (v 0 , τ 0 , p0 ) = (0, 0, 0)
2. New time step: tn+1 = tn + ∆t
3. Estimate the traction vector on Γla using the last known fluid stress: f = (τ n − pn I) · n
4. Find (u̇n+1 , σ n+1 ) by solving the solid problem with the traction boundary condition: σ n+1 · n = f
on Γla
n+1
5. Define the fluid domain Ωta
according to the new position of the interface Γla
n+1
6. Find (v n+1 , τ n+1 , pn+1 ) by solving the fluid problem in Ωta
(un+1 − un )/∆t on Γla
with the boundary condition: v n+1 =
7. Go to (2)
A 2D-solid FEM code (Hassani et al., 1997) is used to compute the solution of the solid problem. This
code is based on an explicit dynamic regularisation method (Underwood, 1983; Cundall & Board, 1988)
which needs very small time steps δt. The Stokes problem is also discretised by the FEM and solved by
a direct solver with a stabilization procedure allowing the use of linear element for both the pressure and
the velocity field (Quarteroni & Valli, 1997). At each time station tn = n∆t (∆t ≫ δt, n = 1, 2, ..., N ), a
n
global re-meshing of the fluid domain Ωta is performed (step 5) and the Stokes problem is solved (step 6).
This re-meshing is done by the automatic mesh generator BAMG (Hecht, 1998). As a validation of this
coupling procedure we present in the Appendix A the test of the sinking cylinder into a viscous liquid.
Although this very simple coupling procedure is easy to implement, it is not without drawbacks.
Indeed, it suffers from numerical instabilities if the time step is not sufficiently small, especially when
strong coupling between the solid and the fluid occurs (high asthenospheric viscosity or, equivalently, high
subduction velocity). This procedure can be slightly improved by a fixed point algorithm consisting of a
sub-cycling iterations (see Appendix B). However, more complex implicit/semi-implicit schemes or fully
coupled methods (e.g. de Hart (2002); Fernández et al. (in press); Deparis et al. (2006)) must be used
for strong coupling. In the results presented below, the time step was chosen such that the maximum
viscosity that can be used is great enough for our purpose (ηa ≤ 2.1020 Pa.s).
Set-up modelling
The Figure 4.12 displays the initial configuration of the model used for all the simulations. An old
oceanic plate of length L = 1700 km, thickness H = 50 km and density ρl = 3250 kg.m−3 is considered.
A fault, initially plane, cut the entire lithosphere at an angle θ = 15◦ . Purely elastic or elastoplastic with
a Druker-Prager yield criterion is assumed for the plate. The vertical edges are constrained to normal
constant velocities: vs = −3 cm.yr−1 for the subducting plate and vo = 0 cm.yr−1 for the overriding one.
Elastic parameters are fixed to 1011 Pa for the Young modulus and 0.25 for the Poisson ratio. A cohesion
of 107 Pa and a friction angle of 30◦ are used in the case of elastoplastic plates.
Figure 4.12: Schematic representation of the model at the initial time (not to scale) showing the boundary
conditions.
34
4. La subduction océanique
The upper-mantle domain is limited, vertically, by its bottom boundary at 700 km depth and the
base of the lithosphere and, horizontally, by two vertical edges, sufficiently far (500 km) from the plate
boundaries to avoid boundary effects. Although general boundary conditions can be used, we limit this
work to the case of a passive mantle i.e. the mantle flow is only induced by the plates motion). The
mantle can then flow inside or outside the domain through the vertical edges where only the normal
stress is constrained to be equal to the lithostatic pressure, whereas a zero mantle velocity is imposed on
the bottom boundary. For the sake of simplicity, only a homogeneous upper-mantle viscosity equal to
the asthenosphere one, ηa , is considered (excepted for one of the simulations where a low viscosity zone
is added in the subduction wedge). This asthenosphere viscosity is the main parameter of this study
but it is necessary to keep in mind that an increasing in the viscosity induces, globally, the same result
than an increasing in the subduction velocity. In what follows we explore the viscosity ηa in the range
1018 − 2 × 1020 Pa.s which is, according to different works (e.g. Fjeldskaar (2000); Kaufmann & Wolf
(1996); Hirth & Kohlstedt (1996); Čadek & Fleitout (2003)), a plausible value bracket for the mantle
viscosity below the oceans. The asthenosphere density is fixed to 3200 kg.m−3; the density contrast
between lithosphere and asthenosphere is then ∆ρ = ρl − ρa = 50 kg.m−3.
In each numerical experiment a total time of 20 Ma is considered (600 km of convergence) and about
N = 50 coupling time steps ∆t are used. Thus, the fluid domain is re-meshed and the Stokes problem is
solved whenever the down-going plate has moved from 12 km, which is approximately the element size
of the solid mesh. During the numerical computation the total number of elements varies approximately
between 9500 and 10700. As an example, the finite elements mesh obtained after 600 km of convergence
and for ηa = 5 × 1019 Pa.s is shown on figure 4.13. The time step used for solving the solid problem is
δt = 2.5 yr.
Figure 4.13: Schematic representation of the model at the initial time (not to scale) showing the boundary
conditions (a) and solid mesh (blue) and the computed fluid mesh (red) afeter 600 km of convergence.
Results and discussions
In the following first two subsections the results obtained with elastic plates are presented and discussed.
We show how the slab geometry, the topography and the stress regime in the plates are particularly
affected by the viscous resistance of the mantle. The third subsection aims at exhibiting the effect of an
elastoplastic rheology on the plates deformation.
Slab dip angle
A first set of numerical experiments is conducted with a uniform viscosity distribution in the whole
upper-mantle. The figure 4.14 displays the time evolution of the velocity field and the logarithm of the
viscous stress intensity (second invariant of τ ) in the upper-mantle for a viscosity of ηa = 5 × 1019 Pa.s.
As expected, the shear stress is maximum at the base of the overriding plate and on the upper surface
of the slab, increasing rapidly in the corner. We note also how the flow changes as the slab progresses
into the mantle: at the first stages (figure 4.14a and 4.14b) the mantle flows round the slab and leaves
the spatial domain Ωta by the left edge. As the slab gets closer to the bottom of the upper-mantle
domain, a backward flow gradually takes place below the subducting plate (figure 4.14c and 4.14d) in an
4.5. Les résultats
35
approximately 300 km thick low-stress channel, while the eddy in the arc corner becomes more vigorous
preventing the mantle to go outside by the left edge (figure 4.14d)
Figure 4.14: Viscous stress intensity and velocity field for a viscosity of 5 × 1019 Pa.s at different time steps. The
simulation was performed with elastic plates. ∆u: amount of convergence.
Except the use of a refined mesh in the vicinity of the corner, we didn’t make any attempt to take
into account the singular aspect of the solution in the corner. However, the computed non lithostatic
pressure in the arc corner (figure 4.15b), when the slab reaches the bottom of the upper-mantle, is likely
correlated with an 1/r variation (where r is the distance to the trench) obtained with an analytical model
assuming a fixed rigid straight slab crossing the whole upper-mantle (Turcotte & Schubert, 1982).
The hydrodynamic forces (often called suction forces) induced by the corner flow (figure 4.15a) works
against the slab pull force. The figure 4.16a compares the geometry of the lower surface of the slab for
different values of the viscosity. The deep dip angle of the slab varies from ca 57◦ for the inviscid case to
ca 40◦ for ηa = 2 × 1020 Pa.s (figure 4.16b). Thus, the lesser the asthenosphere viscosity is, the greater
36
4. La subduction océanique
Figure 4.15: (a) The velocity field and the non lithostatic pressure in the corner flow after 500 km of convergence.
(b) The non lithostatic pressure acting on the upper part of the slab when it reaches the upper-mantle bottom. The
numerical solution (circles) is close to a theoretical profile in 1/r (solid line) obtained with a rigid straight slab.
the dip angle of the slab is.
For a higher viscosity and for a sufficient slab length, the lifting torque produced on the slab by the
suction force exceeds the torque produced by the slab pull force resulting in an up-going motion of the
slab until it flattens under the overriding plate. When this occurrence arises and as the solid and fluid
subsystems are considered individually during one time step in the simple staggered algorithm described
above, the out-of-balanced torque lead to a very large predicted slab velocities. This produces, in turn,
very high viscous stress in the mantle which force the slab to move in the opposite direction, and so on.
Therefore, this method doesn’t work for such case, since it produces numerical instabilities, and a fully
coupled method is necessary if one wants to study high viscosity effect and flat subductions.
The mechanism of the suction force has been proposed (among several others mechanisms) by van
Hunen et al. (2004) to explain flat subduction. Using a purely fluid model they showed that the slab
becomes flat for a viscosity of 6.5 × 1020 Pa.s. We didn’t try to find the exact lowest viscosity value that
produces flat subduction in our model, however, numerical instabilities occur for a value barely greater
than 2 × 1020 Pa.s. These values are close enough despite the differences between these two approaches.
This suction mechanism might also be invoked to explain the observed difference, in term of slab
dip, between ocean-ocean subductions and ocean-continent ones. Indeed, in a statistical analysis, Lallemand et al. (2005) show that slabs dip more steeply (by about 20◦ on average) beneath oceanic overriding plate than beneath continental ones. Moreover, mean mantle viscosity profiles inferred from geoid
and free-air gravity (Čadek & Fleitout, 2003) or from interpretation of the post-glacial land emergence
(Kaufmann & Wolf, 1996) or from global circulation models (Becker, 2006) show that the sub-oceanic
viscosity is in the range 1018 − 1020 Pa.s, one order less than the subcontinental one. We can then expect
a net hydrodynamic force of less magnitude in a sub-oceanic mantle wedge than in a subcontinental one.
We also note on figure 4.16 that the solutions are very close to each other and to the inviscid case
if the viscosity is less than 1019 Pa.s. This means that for relatively weak mantle, as expected beneath
oceans (e.g. Čadek & Fleitout (2003); Becker (2006)) and in this kind of model for which the mantle
plays only a passive role, the viscous stress acting on lithospheric plates can be neglected, as done by
Shemenda (1993) in laboratory modelling or by Hassani et al. (1997) in numerical modelling.
37
4.5. Les résultats
0
(a)
ηa (Pa.s)
0 - 1018
1019
5.1019
1020
2.1020
z (km)
-200
θ (o)
0
10 20 30 40 50 60
0
z (km)
-200
-400
-400
(b)
-600
-600
200
400
600
800
1000
x (km)
z (km)
5
(c)
0
-5
-10
400
600
800
1000
1200
1400
x (km)
Figure 4.16: Results for an elastic slab. (a) Geometry of the underside of the slab after 600 km of
convergence and for different values of the viscosity ηa . Corresponding dip angles (b) and topographies
(c)
Topography, stress regime and back-arc opening
As depicted on figure 4.16c, the surface topography of the overriding plate is directly affected by the mantle
viscosity: the amplitude of the depression in the fore-arc region decreases when the mantle viscosity is
increased. This depression is a direct consequence of the negative buoyancy force of the slab (∆ρ > 0).
Indeed, no depression is obtained with a zero density contrast, while a negative one induce a positive
topography (Shemenda, 1993; Hassani et al., 1997). The formation of this basin is then interpreted as the
result of the wheeling motion of the subducting slab during its length increase, which forces the overriding
plate to deflect. Owing to the viscous suction this wheeling motion is less large when the viscosity is high
resulting in a shallower basin. We note however that the bottom of this basin can reaches unrealistic
depths. This is of course a drawback of our model we choose to keep sufficiently simple and in which
the slab pull force is time-increasing (as the density contrast is constant) while the mantle viscosity is
depth-independent.
Although this depression is also observed on the dynamic topography obtained with purely viscous
models (Zhong & Gurnis, 1995; Billen & Gurnis, 2001), our results and interpretations disagree with ones
presented by Billen & Gurnis (2001). They showed that the presence of a low viscosity wedge (with a
viscosity ten times smaller than the asthenosphere) leads to a basin of a lesser amplitude in comparison
with the case without low viscosity wedge and that a uniform reduction of the asthenosphere viscosity
does not induce the same result. In their model, the negative topography of the surface is created by the
hydrodynamic pressure above the slab (suction) which acts to pull the overriding plate down. The basin
is then deeper when the viscosity (and then the suction) is high. It is just the opposite of our results.
The main difference between their model and ours is, of course, the elastic strength of elastoplastic plates
taken into account in the present work. The hydrodynamic pressure in the wedge can sustain the slab
38
4. La subduction océanique
but is not able to significantly down-warp the overriding plate. An other difference is the presence of
the low viscosity zone in the model of Billen & Gurnis (2001) which extends also within the overriding
plate. We have tested the effect of a such zone in the mantle wedge and we have not noticed a marked
difference with the case of a uniform reduction of the asthenosphere viscosity: the corresponding solution
associated with a wedge viscosity of 1019 Pa.s, 10 times smaller than the rest of the asthenosphere, is,
in term of slab geometry and fore-arc basin depth, comprised between the solutions given by a uniform
viscosity of 1019 Pa.s and 1020 Pa.s (Fig. 4.17). Moreover, it is safe to assume that if we also extend the
low viscosity zone to the overriding plate by inserting a viscous material within it, the result should be
featured by a more pronounced basin since the plate is weakened.
Figure 4.17: Surface topography obtained with a viscosity wedge (ηw ) 10 times smaller than the surrounding
asthenosphere (dashed line) and comparison with the ones obtained with an uniform asthenosphere. The low
viscous zone (shaded area on the cartoon) extend to 200 km under the bottom of the overriding lithosphere.
Notwithstanding the presence of this fore-arc basin, the slab pull force doesn’t always induce an extensional regime in the overriding plate. It depends on the frictional coupling between the two plates
which produces a compressional horizontal stress that can overcome the traction induced by the slab
RH
pull force. Figure 4.18 shows the averaged value (hsxx i = H1 0 sxx ) of the horizontal deviatoric stress
sxx = (2σxx − σyy − σzz )/3 computed far from the subduction zone and after 600 km of convergence,
as a function of the asthenospheric viscosity and friction coefficient. For a zero Coulomb friction coefficient, hsxx i is positive whatever is the viscosity (in the range [0, 2 × 1020 Pa.s]), denoting an extensional
stress in the overriding plate. Note, however, the (linear) decrease of the extensional stress with ηa .
Consequently, if a weakness zone (or a localisation mechanism) exists in the overriding plate enabling a
back-arc basin to open (Hassani et al., 1997; Buiter et al., 2002), the opening would be lesser in case of
a strong viscous asthenosphere, indeed inhibited if there is a frictional resistance (even low) between the
two plates. According to these results, we can then conclude that a positive density contrast ∆ρ, a low
friction coefficient µ and a low asthenospheric viscosity ηa are factors that promote extensional back-arc
regime.
Elastoplastic rheology
As in Hassani et al. (1997) we mimic the non linear and pressure-dependent behaviour of the lithosphere
by using an elastoplastic rheology with a Drucker-Prager criterion assuming a cohesion c = 10 MPa and
a friction angle ϕ = 30◦ for the two plates:
f (σ) = J2 (σ) + α(ϕ)(I1 (σ) − p0 ) ≤ 0
q
3
where I1 (σ) = 13 trace(σ), J2 (σ) =
2 kσ − I1 (σ)Ik, α = 6 sin ϕ/(3 − sin ϕ) and p0 = c/ tan ϕ. All
others rheological and geometrical parameters are as in the first experiment.
The figure 4.19 shows the dramatic difference between the result obtained with elastoplastic plates
and that obtained with elastic ones. For an inviscid asthenosphere (ηa = 0) and for elastoplastic plates,
the maximum amount of convergence we can achieve (without re-meshing the plates domain) is slightly
greater than 400 km. Indeed, due to plastic dissipation the down-going plate does not unbend like in
39
4.5. Les résultats
Figure 4.18: Averaged horizontal deviatoric stress (hsxx i =
1
H
RH
sxx ) within the overriding plate, computed far
0
from the subduction zone and after 600 km of convergence, versus asthenosphere viscosity ηa and for three values
of the friction coefficient µ. Positive values of hsxx i hold for extension. The set of symbols corresponds to the
different experiments and dotted lines are linear fits. Extensional stress decreases with both ηa and µ. For µ = 0.1,
for example, the stress regime becomes compressional from a viscosity of 5 × 1019 Pa.s, while for this viscosity an
extensional stress greater than 80 MPa is obtained for µ = 0.05.
the purely elastic case and it results in a higher slab dip and then a more deformed overriding plate.
Moreover, the strain pattern (Fig. 4.19) show a highly localised strain in the fore-arc zone and in the
top slab region which can be viewed as the zones where the two plates may break off. The unrealistic
topography (see also Fig. 4.20c) we obtain with a low asthenosphere viscosity indicates that one of the
two plates should probably break off before the overriding plate reaches this exaggerated topography.
0
(a)
z (km)
-100
-200
-300
J2(e) (%)
-400
z (km)
0
0
6
12
18
24
30
4
5
(b)
-100
J2(e) (%)
-200
0
1
2
3
-300
400
600
800
1000
1200
1400
x (km)
Rt
Figure 4.19: Second invariant of the total deviatoric strain e(t) = 0 d(τ )dτ obtained after 400 km of
convergence (t = 13.3 Ma) with an inviscid asthenosphere and for elastoplastic plates (a) and elastic ones
(b).
We again conduct a set of five experiments by changing the asthenosphere viscosity ηa in the range
[0 − 2 × 1020 ] Pa.s. The results are displayed on the figure 4.20. The deep slab dip angle is close to 70◦
for ηa = 0 Pa.s while for ηa = 2 × 1020 Pa.s is 40◦ , approximately. However, the dip angle variations with
depth (4.20b) are not as smooth as they were with an elastic slab (4.16b)
40
4. La subduction océanique
0
z (km)
-200
(a)
ηa (Pa.s)
0 - 1018
1019
5.1019
1020
2.1020
θ (o)
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
z (km)
-200
-400
-400
(b)
-600
-600
400
600
800
1000
x (km)
z (km)
5
(c)
0
-5
-10
400
600
800
1000
1200
1400
x (km)
Figure 4.20: Results for an elastoplastic slab. As in figure 5, slab geometry (a), dip angle (b) and surface
topography (c) are displayed for five values of the asthenospheric viscosity ηa
Conclusions
We have proposed a new numerical approach for solid-fluid mechanical coupling applied to subduction
zone. The lithosphere is clearly characterised by an elastic or elastoplastic behaviour, and the mantle by
a homogeneous isoviscous fluid. The thermal approach is not taken into account. The method used in
this work consists of a staggered method with an explicit procedure between the "solid" solver and "fluid"
solver. A re-meshing of the domains is done by the automatic mesh generator BAMG. This approach
needs small time steps especially when a strong coupling between the solid and the fluid occurs, which
may unlikely favour numerical instabilities. The procedure has been slightly improved by a fixed point
algorithm consisting of a sub-cycling iteration. However, a more robust coupling method (but not so easy
to implement) should be used if one wants to study faster subduction or slab interaction with a more
viscous material (interaction with the lower mantle for example).
Thanks to this numerical tool, we have tested feedbacks between rigid overriding and subducting
plates and the asthenosphere as a function of the viscosity mantle and/or the rheological behaviour of
the lithosphere. Whatever the rheological behaviour of the lithosphere, we observed that the lesser the
asthenosphere viscosity is, the greater the dip angle of the slab is. These results are associated with a
more or less important variations of the topographic surface with a strong localisation of the strain in the
fore-arc zone and in the top slab region for an elastoplastic behaviour. A significant result of our study
concerns the stress regime in the overriding plate. We observe that the extensional stress in the overriding
plate is a linear decreasing function of the asthenospheric viscosity for a given friction coefficient. These
results confirm that the overriding plate deformation, the slab deformation and the slab geometry are
mainly linked to the asthenospheric viscosity that constitutes the main parameter of the coupling between
the slab and the overriding plate. The final conclusion of this study is that we now have an approach that
has the capacity for modelling the full mechanical feedback between the lithosphere and the mantle. We
41
4.5. Les résultats
are well aware that an isoviscous fluid is not representative of a realistic mantle, but it is a first step in the
development of a most complete numerical code in which the thermal effects and a non-Newtonian fluid
will be improved. In its current version, our model also makes it possible to carry out real comparisons
with laboratory models like those developed by A. Chemenda, C. Faccenna, F. Funiciello, J. Martinod,
V. Regard, and col. (Shemenda, 1993; Faccenna et al., 1996; Funiciello et al., 2003b; Schellart, 2005b;
Regard et al., 2006; Heuret et al., 2007), which will constitute a next contribution.
Appendix
A
The sinking cylinder
As a simple validation test we use the example of the falling cylinder in a viscous fluid channel. Let R
be the radius of the cylinder, ρc its density, 2L the channel width, ρf the density of the fluid and η its
viscosity. According to Wang & Liu (2004), if the cylinder is rigid and the fluid channel infinitely long,
the terminal velocity reached by the cylinder is given by :
Vlim =
(ρc − ρf )gR2
(1.7244ξ 2 − 1.7302ξ 4 − ln ξ − 0.9157)
4η
with ξ = R/L, while, of course, the total drag force (per unit span) tends to the effective weight of the
2
cylinder : Flim = (ρc − ρf )gπR
The test is performed with the following parameters : ρc = 3000 kg.m−3,
√
−3
ρf = 1000 kg.m , R = 2 mm, L = 4R and η = 1 Pa.s. We can solve the dynamical problem by
adding to the right hand side of the equation of motion in (4.32) the inertial volume force ρc ü. As in
Wang & Liu (2004) we examine two cases : the case of a rigid cylinder and the case of a very soft one.
To simulate a rigid behaviour all nodes of the solid mesh are forced to have the same trajectories, i.e.
we simply solve the equation of motion for only one degree of freedom. The very deformable cylinder is
simulated by taking a very low Young modulus : E = 1 kPa. In this former case and in our knowledge,
no exact solution exist. The only thing that we know is that the terminal velocity should be greater than
the terminal velocity of the rigid cylinder. The figure 4.21a shows that the computed velocity compares
well with the theoretical terminal velocity in the rigid case while, as expected for the deformable case,
the velocity is increased by the flexibility of the cylinder. The velocity field and the distribution of the
deviatoric viscous stress intensity at a given time and in the vicinity of the deformable cylinder is depicted
on the figure 4.21b.
(a)
(b)
0.07
0.06
-vy (m/s)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
time (s)
0
2
4
6
8
10
Figure 4.21: (a) Time evolution of the cylinder velocity for the rigid case (continuous line) and for the deformable
case (dotted line). The red-dashed line corresponds to the theoretical terminal velocity for the case of a rigid
cylinder in infinitely long channel. (b) Distribution of the viscous stress intensity (in Pa) near the cylinder and
the corresponding velocity field at a given time and for a deformable cylinder.
42
B
4. La subduction océanique
Numerical instabilities example
We have mentioned that, unfortunately, in some cases the explicit coupling procedure suffers from numerical instabilities. The procedure can be slightly improved by using a fixed point algorithm consisting
of a sub-cycling iterations, repeating instructions (3)-(6) until no changes hold. The new algorithm can
be summarised as following:
(1’) Get the initial solid state (u̇0 , σ 0 ) and the initial fluid state (v 0 , τ 0 , p0 ) = (0, 0, 0)
(2’) New time step: tn+1 = tn + ∆t. Set k = 0 and (τ n+1,0 , pn+1,0 ) = (τ n , pn )
(3’) Estimate the traction vector on Γla using the last known fluid stress: f = (τ n+1,k − pn+1,k I) · n
(4’) Find (u̇n+1,k+1 , σ n+1,k+1 ) by solving the solid problem with the traction boundary condition:
σ n+1,k+1 · n = f on Γla
n+1,k+1
(5’) Define the fluid domain Ωat
according to the new position of the interface Γla
n+1,k+1
(6’) Find (v n+1,k+1 , τ n+1,k+1 , pn+1,k+1 ) by solving the fluid problem in Ωat
with the boundary
condition: v n+1,k+1 = (un+1,k+1 − un )/∆t on Γla . Set k := k + 1 and go to (3’) if necessary
In a less time consuming variant, the fluid domain is defined only once a time step by taking it to be
n+1,0
Ωta
during the sub-cycling iterations on the time step. This avoids the re-meshing of this domain at
each iteration and the computation/factorization of the corresponding finite element matrix.
We present an example where numerical instabilities take place and showing the improvement made
by the fixed point algorithm. The numerical experiment consists of an elastic plate of length l = 3 m and
thickness h = 0.2 m immersed in a fluid channel of width L = 6 m. The fluid, of viscosity η = 105 Pa.s,
flows into the channel with a prescribed horizontal velocity which increases linearly from 0 to 60 m/s
between 0 and 0.5 s and then remains constant. Consequently, the plate is increasingly bent until the
fluid velocity reaches its maximal value. The fluid pressure and the velocity field at the end of the
simulation is displayed on the figure 4.22a.
R
The two components of the total drag force (per unit length) F = Γ σndS exerted by the fluid flow
on the surface plate Γ are shown on figure 4.22b for the two procedures. With the initial procedure
and as the plate is supposed to reach a stationary state beyond t = 0.5 s numerical instabilities develop,
inducing an oscillating motion of the plate. In this example the modified procedure is able to overcome
this problem, however it does not seems to be a robust method since increasing the viscosity or the inflow
velocity will produce again numerical instabilities.
(a)
(b)
(x107N)
2
Fy
0
-2
Fx
-4
(MPa)
-6
0
-12
5
(s)
1
Figure 4.22: A simulation used to exhibit numerical instabilities. An elastic plate embedded at its top end and
immersed in a viscous fluid is bent by the flow where the inflow velocity is gradually increased until a value of
60m/s is reached. (a) Fluid pressure and velocity field at the end of the simulation. (b) Time evolution of the
total viscous force that acts on the plate computed with the fully explicit procedure (red-solid line) and with the
modified procedure (dashed line).
43
4.5. Les résultats
4.5.3
Les effets tridimensionnels
Les simulations tridimensionnelles réalisées dans ce travail, présentées sous forme de projet d’article
(soumis au Geophysical Journal International ), ne prennent pas en compte l’effet visqueux du manteau
asthénosphérique comme cela était le cas au paragraphe précédent. Pour cause, les développements
numériques nécessités par le couplage lithosphère-asthénosphère non pas encore été abordés et demanderont encore beaucoup de temps et d’effort. À l’aide du code solide Adeli3D, nous retrouvons les résultats
obtenus en 2D présentés au paragraphe 4.5.1 dans le cas d’une symètrie cylindrique. On examine alors
l’effet que peut avoir la géométrie de la limite des plaques sur la distribution des déformations dans la
plaque supérieure.
Effect of margin curvature on plate deformation
in 3-D numerical model of subduction zones
M.-A. Bonnardot1 , R. Hassani2 , E. Tric1 , E. Ruellan1 and M. Régnier1
1 Laboratoire
2 Laboratoire
Géosciences Azur, Université de Nice-Sophia-Antipolis / CNRS UMR 6526,
06560 Valbonne, France.
de Géophysique Interne et Tectonophysique, Université de Savoie / CNRS UMR 5559,
73376 Le Bourget du Lac, France.
SUMMARY
The large amount of data acquired along most of the subduction zones underlines the importance of the three
directions in the subduction mechanism. In this work we use a fully tridimensional mechanical numerical
modelling to analyse the impact of the plate boundary geometry on the deformation of the upper plate. The
model consists of two initially horizontal independent plates overlying an inviscid fluid and continuously
pushed toward each other. According to the initial geometry of the contact zone between the two plates,
specific stress regime and strains are obtained in the upper plate. The linear boundary plate case in
orthogonal convergence is first considered and used as a reference model. Thanks to this simple model, the
effects of some important parameters, i.e. the interplate friction and the lithosphere-asthenosphere density
contrast, are recalled. Finally, curved plate boundaries case are considered and the results put forward
the importance of the dip direction of the interplate plane for the upper plate strain pattern. Indeed, an
oceanward convexity accumulates the subducted material beneath the upper plate and induces an important
uplift of the convex area. On the contrary, the material escapes from an oceanward concavity and provokes
a subsidence in the forearc zone. Such a behaviour induces preferential zones of weakeness in the overriding
plate and may allow for explaining some local stress regime variations along convergent margins.
Introduction
The oceanic subduction is a complex geodynamical process, responsible for most of the large lithospheric
deformation observed at the surface of the Earth. These deformations result from various interactions
between the two involved lithospheric plates and between the subducting plate and the asthenospheric
mantle flow. The similarities observed in different subduction zones lead Uyeda & Kanamori (1979) to
propose two major types of subduction: the Marianas- and the Chile-types, respectively defined by an
extensional and a compressive tectonic regime within the overriding plate. A larger amount of surveyed
data allowed Jarrard (1986) and more recently Heuret & Lallemand (2005); Lallemand et al. (2005) and
Sdrolias & Muller (2006) to refine this classification and to statistically identify the main parameters
controlling the tectonic regime within the overriding plate.
44
4. La subduction océanique
In addition to the field data, the understanding of the subduction process greatly evolved through
the laboratory and numerical modellings. Various rheological laws based on a fluid dynamics or solid
mechanics approach are currently used with success to better resolved the complex interactions between
the asthenospheric mantle and the slab behavior (e.g. Van Hunen et al. (2000); Billen et al. (2003);
Funiciello et al. (2003a); Arcay et al. (2005a); Schellart (2005a); Piromallo et al. (2006); Stegman et al.
(2006); Morra & Regenauer-Lieb (2006)) and/or the overriding plate deformations (e.g. Shemenda (1993,
1994); Hassani et al. (1997); Buiter (2000); Gardi et al. (2003); Sobolev & Babeyko (2005), Govers &
Wortel (2005)). Although some parameters, such as the plates velocity, the plate nature/density, the interplate coupling or the subducting plate density are recurrent to general observations made on the slab
dip or the tectonic regime in the upper plate (Scholz & Campos, 1995; Hassani et al., 1997; Conrad et al.,
2004; Lallemand et al., 2005; Faccenna et al., 2007; Sdrolias & Muller, 2006), several segments of subduction zones remain out of the adopted classification. For instance, how to explain the anomalously high
Altiplano in the Bolivian Orocline, the along-strike variations of the dip angle of the Pacific subducting
plate or some local variations of the tectonic regime observed in most of the upper plates?
These lacks may come from the fact that most of the subduction models were established in 2-D,
neglecting some lateral variations. Many recent improvements of the simulation techniques allow now
to re-assess some of the unresolved geodynamical questions, since they allow for taking into account the
third dimension, which appears to be a key issue in the global understanding of the subduction process.
Up to now, the studies considering a 3-D geometry are mainly devoted to the feedbacks between the
mantle flow and the slab in order to better understand the slab dip variations, the trench retreat and
the resulting dynamic topography (Funiciello et al., 2003a; Piromallo et al., 2006; Stegman et al., 2006;
Husson, 2006a; Morra & Regenauer-Lieb, 2006; Morra et al., 2006; Royden & Husson, 2006). However,
they used either a viscous fluid approach or they neglect the overriding plate. Thus, the brittle behaviour
of the overriding lithosphere or the mechanical coupling between the both lithospheric plates involved in
the surface deformation processes are not consider in their approach.
A 3-D solid mechanical approach implying some interactions between the both lithospheric plates was
proposed by Govers & Wortel (2005) to study the propagation of the lithosphere tearing. But in their
simulations they consider a model with a fixed geometry through time and their method can only provide
an instantaneous response of the system to the body forces and boundary conditions.
In this contribution, we focus on the lithosphere-lithosphere coupling to study the upper plate deformation more precisely we focuss on the effects of the margin curvature. We did not attempt to explain
the origin of the arc curvature that may results from various phenomena and was already discussed by
many authors (Frank, 1968; Vogt, 1973; Vogt et al., 1976; Hager & O’Connell, 1978; Tovish & Schubert,
1978; Hager & O’Connell, 1979; Yamaoka et al., 1986; Mantovani et al., 2001; Schellart & Lister, 2004;
Morra et al., 2006), but instead we aim at resolving the effects of some along-strike variations of the
margin geometry on the upper plate tectonic regime, which remains a fundamental question if we aim at
explaining some specific subduction zones. Thus, the existing ADELI 2-D numerical code (Hassani et al.,
1997) was expanded in 3-D to address this question.
Mechanical and Numerical Modeling
The 3D model consists of two lithospheric plates of density ρl separated by a predefined fault and overlying
an asthenospheric mantle of density ρa . This modelling only focuss on the first stages of the subduction
process (< 7 Ma), from the beginning of the downgoing motion to the moment when the slab reaches
the upper mantle bottom. At this time scale temperature effect can be neglected and owing to the high
viscosity contrast between lithosphere and asthenosphere, the plates behave like a solid medium while the
upper mantle can be seen as a fluid material. Moreover, as in Shemenda (1993) or Hassani et al. (1997)
we make the strong assumption that this fluid is inviscid. Since solid-fluid coupling problems are difficult to address and require special developpments (see Morra & Regenauer-Lieb (2006); Bonnardot et al.
(2007a)), this assumption is a substantial simplification of the problem. However, the asthenosphere is
characterized by a low value of viscosity below the oceans (∼ 1019 Pa.s) (Čadek & Fleitout, 2003) and
45
4.5. Les résultats
some recent simulations defining the slab behavior in respect to the mantle viscosity (Bonnardot et al.,
2007a) have shown that for asthenosphere viscosity values ≤ 1019 Pa.s, no significant variations of the
slab dip and of the stresses transmitted to the upper plate were observed between an inviscid and a low
viscous asthenosphere. Thus, we consider that these results may support our strong assumption.
Governing equations
Because the inertial effects are negligible the time evolution of the model is governed by a quasi-static
problem which consists in finding the vector field v : Ωt → R3 and the symetric tensor field σ : Ωt → S 3×3
satisfying
(
divσ + ρl g = 0
Dσ
Dt
= M(σ, d)
in Ω
(4.35)
in Ω
where Ω ⊂ R3 is the physical domain occupied by the plates, σ is the Cauchy stress tensor, v is the velocity
vector, g is the acceleration vector due to gravity, ρl is the lithosphere density and d = 21 (∇v + ∇v T ) is
D
the Eulerian strain rate tensor. Dt
is an objective time derivative introduced in the context of large strain
and/or large displacement to ensure material invariance through rigid body motion. The functional M
stands for a general constitutive law.
In addition, unilateral constraints must be taken into account on the contact area Γ (subduction plan)
between the two plates. These constraints, given by the Signorini relation (no interpenetration condition)
and the Coulomb friction law, read:
δvn ≤ 0,
σn ≤ 0,
δvn σn = 0,
|σ t | ≤ −µσn
(4.36)
where δvn is the normal component of the relative velocity between a point of one plate and its projection onto the other plate, µ is the effective Coulomb friction coefficient (assumed constant throughout
the contact interface) and σn and σ t are the normal and tangential stresses, respectively.
Geometry, boundary conditions and constitutive laws
The two plates are initially horizontal and they are separated by a dipping fault plane, α = 30◦ (fig.
4.23). The horizontal dimensions of the whole mechanical model are 1000 km long and 500 km wide.
The problem (4.35)-(4.36) is solved with the following boundary conditions (see also Fig. 4.23): (1) An
hydrostatic pressure Pa is acting on each part of the lithosphere in contact with the asthenospheric fluid;
(2) a zero normal velocity is applied on all vertical edges excepted on that of the downgoing plate where
a normal velocity of 6 cm/yr is prescribed.
Because the plates are compressible the density contrast ρl − ρa between an element of the slab and
an element of the incompressible surrounding mantle would increase in an unrealistic way as the element
goes down. A compressibility modulus β is then introduced for the upper mantle and the state equation
are integrated to give the density and the pressure distribution in the asthenosphere:
(
ρa (z) = ρ0a /(1 − βρ0a gz)
(4.37)
Pa (z) = − β1 ln(1 − βρ0a gz)
where g =k g k and ρ0a is the value of the asthenospheric density at the base of the lithosphere.
Many constitutive laws can be tested to model the behaviour of the plates. For the sake of simplicity
elastic and elastoplastic rheologies were used in this work but the results presented therein concern only
the case of elastoplastic plates. The use of such a rheology is supported by the fact that we neglected the
lower part of the lithosphere assuming that its mechanical resistance is too low to transmit any significant
tectonic stresses. Thus the thickness of the plate used in this model represents the equivalent mechanical
thickness of the lithosphere limited in depth by the 600◦C isotherm (Turcotte & Schubert, 1982) and it
is not its actual thickness. Therefore the thickness is fixed to 40 km which approximately corresponds to
a 80 Ma oceanic plate (e.g. Kirby (1983)).
46
4. La subduction océanique
Figure 4.23: Initial and boundary conditions of the model. The lithosphere is underlying by an inviscid asthenospheric fluid and they are both characterized by specific densities (ρL and ρA respectively). The whole model is
loaded by body force. The model is 1000 km long, 500 km wide and 40 km thick.
In the elastic domain the constitutive law is simply given by
(4.38)
M(σ, d) = 2Gd + λtr(d) I
where λ and G are the Lamé parameters, I is the identity tensor and tr the trace operator. Typical
values for the lithosphere are chosen for associated Young’s modulus (1011 Pa) and for Poisson’s ratio
(0.25).
In order to mimic a pressure dependent yield strength we use the elastoplastic Drucker-Prager model
(Desai & Siriwardane, 1984) for which the yield function is given by
F (σ) = J2 (σ) + αI1 (σ) − αP0 ≤ 0
(4.39)
p p
where J2 (σ) = 3/2 (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 is the second invariant of the deviatoric
part of the stress tensor, I1 (σ) = (σ1 +σ2 +σ3 )/3 its isotropic part, α = sin ϕ/(3−sin ϕ) and P0 = c/ tan ϕ
with c the cohesion and ϕ the friction angle. The materials parameters used in this study are listed in
table 4.1.
Parameters
Young Modulus, E
Poisson Ratio, ν
Cohesion, c
Friction angle, ϕ
Lithosphere density, ρl
Asthenosphere density, ρa
Effective friction coefficient, µ
Values
1011 Pa
0.25
10 MPa
15◦
3100-3300 kg/m3
3200 kg/m3
0-0.2
Table 4.1: Mechanical parameters used for the simulations
Numerical aspects
An approximated solution of the problem (4.35)-(4.36) is computed by the numerical code ADELI which
has been used in many geodynamical applications either in 2D context or in 3D ones. This code use
the finite elements method for the spatial discretization and an explicit finite difference scheme for the
time discretization based on the dynamic relaxation method (e.g. Underwood (1983); Cundall & Board
(1988)). More details about previous versions of this code can be found in Hassani et al. (1997) and in
47
4.5. Les résultats
Chéry et al. (2001). The current version uses an external tetrahedral mesh generator, the GMSH tool
(Geuzaine & Remacle, 2004), which allows us to mesh any given body. The surface boundaries are then
constituted with triangular facets and a special processing in the computation of surface forces is needed
at each time step for those facets which progressively go into the asthenosphere. Indeed, the contribution
of an entirely immersed facet, T , to the equivalent nodal forces at node i of T is classically given by
Z
Pa ϕi ndS
(4.40)
Fi = −
T
where ϕi (x) is the finite element basis function attached to the node iP
and n is the outward unit normal.
Using the finite element approximation on the triangular facet Pa ≈ j Paj ϕj where Paj is the pressure
at the node j of the facet, the integral in (4.40) can be explicitely computed for 3-noded linear triangle.
Now, if the facet is partially immersed in the asthenosphere, the integral is taken only over the immersed
area Tim ⊆ T for which the geometry must be first determined. For this purpose we proceed as follow:
the polygonal line L corresponding to the lower contact between the overriding plate and the slab is first
determined and the intersection between the facet T and L is checked. If T ∩ L is a segment, Tim is a
triangular or a quadrangular area. In the first case, the computation of the nodal forces F i follows the
same way as in the immersed
R caseRwhileR in the second case we define Tem as the complementary triangular
area and use the formula Tim = T − Tem to bring back all integral over triangular zones. If l = T ∩ L
is a polygonal line we approximate it by simply joining the two points of l that are on the boundary of
T.
Several tests were performed to check the numerical accuracy of the results and a mesh resolution of
95000 elements with a elemental size of 11 km and 12 km, was finally used for the simulations.
3-D orthogonal convergence
The first set of 3-D experiments corresponds to the reference geometry, in which the margin is linear and is subjected to an orthogonal convergence (fig. 4.23). Trough the presented results we
remind the major effects of the two fundamental parameters, i.e.
the density contrast between the lithosphere and the asthenosphere
(∆ρ = ρl − ρa ) and the interplate friction coefficient, on the shallow slab geometry, the topography and the stress in the plate, as
Hassani et al. (1997) already did in 2-D. The total amount of shortening is 400 km at the end of the simulations.
The figure 4.24 presents the time evolution of the deformation intensity in the reference case, which is characterized by ∆ρ = 0 and
µ = 0. The figure shows that for an elastoplastic slab, a great part of
the bending deformation acquired during the subduction initiation
is permanent and remains within the upper part of the subducting
plate, inducing the rolling up of the slab. Instead, an elastic rheology
makes the slab to subduct regularly with the initial dip of 30◦ .
7,5E-1
5,625E-1
3,75E-1
1,875E-1
Effects of the density contrast
The lateral variations of the age seafloor and/or to the nature of the
subducting plate (oceanic asperities like seamounts, plateaus, island
arcs...) modify the slab pull force and influence the slab behavior.
As previously observed by Shemenda (1993, 1994), variations of the
density contrast enhance significant changes in the slab geometry
and in the deformation pattern within the upper plate.
0
J2 (e)
Figure 4.24:
For a negative density contrast (the slab is lighter than the asthenosphere) (fig. 4.25a), the slab
subducts and when a sufficient length is engaged, the resulting bending moment which increases with
48
4. La subduction océanique
the slab length, leads to the underplating of the slab beneath the overriding plate. On the contrary, a
positive density contrast (the slab is denser than the asthenosphere) (fig. 4.25b) induces the sinking of
the slab which tends to become vertical. Specific topographies of the upper plate are dependent to the
variations of the slab geometry, that is of the density contrast, since they reflect the interplate pressure
applied on the subduction plane. We observe that whatever the density contrast between the lithosphere
and the asthenosphere, there is no strain propagation landward but it is always restricted to the arc area.
Indeed, the strain is directly linked to the topography evolution.
Topography profile
Topography profile
Figure 4.25: Effects of the density contrast on the slab behaviour and the upper plate deformation for T = 6.3 Ma.
An elastoplastic rheology is used for both models. (a) ∆ρ = −100 kg/m3 and µ = 0; (b) ∆ρ = 100 kg/m3 and
µ = 0.
Effects of the interplate friction
The interplate friction is also a fundamental parameter in the evolution of a subduction zone, since it
controls the plate coupling and induces an increase of the compressive component in the overriding plate.
In nature, a strong interplate coupling is likely associated to a tectonic erosion enhanced for instance,
by topographic irregularities at the top of the subducting plate. On the contrary, a low coupling is
preferentially associated to a sedimentary accretion along the margin. However, recent studies showed
that the interplate coupling may vary drastically due to the structure of the subduction channel, which
may locally induce a strong fluid overpressure along the interplate contact and favor the subduction
erosion process (Sage et al., 2006).
The figure 4.26 displays the topography profiles from elastoplastic models with a ∆ρ = 0 and interplate
friction µ ranging from 0 to 0.3. The fact that many processes, such as the erosion, the thermal effect
into the lithosphere or the lithosphere-asthenosphere coupling are not accounted for in our modellings,
may explain the unrealistic topography of the upper plate.
First, we see that if no interplate friction is applied along the subduction plane, the resulting margin
topography is quite smooth and it results in a highly deformed area mainly localised within the margin.
On the contrary, with higher frictions, the margin exhibits a very steep slope and the deformation is not
restricted to the margin but appears to be pervasive into the upper plate. In the nature, subduction zones
with a high plate-slab coupling revealed with the high magnitude earthquakes are mainly recorded all
along the Andean margin. The upper plate is then subjected to a large compressional regime underlined
by the fold-and-thrust belt and the margin topography presents steep slopes. On the opposite, subduction
zones with a very low interplate coupling (lower magnitude seismicity) in the SW Pacific ocean are mainly
characterised by an extensional regime in the upper plate (Pacheco et al., 1993; Scholz & Campos, 1995;
Conrad et al., 2004). For very high values of the friction coefficient (µ = 0.3), our modellings show
49
Topography (km)
4.5. Les résultats
m=0
m = 0.1
m = 0.2
m = 0.3
Distance (km)
Figure 4.26: Effects of the friction coefficient on the upper plate topography for T = 6.3 Ma. These simulations
were performed with an elastoplastic model using ∆ρ = 0 and friction coefficients range from µ = 0 to µ = 0.3.
that the slab encounters huge difficulties to subduct and we observe that all the compression is first
accommodated by the buckling of the slab and then by the transmission of this compression to the
upper plate (fig. 4.27). A similar phenomenon is known in the Indian Ocean, which shows a large wave
length ondulation of the sea floor due to the locking of the Himalayan collision (Neprochnov et al., 1988;
Krishna et al., 1998). Therefore, the evolution of the upper plate topography in the presented models let
us to appreciate the qualitative intensity of the compressive component transmitted from the slab to the
overriding plate, since a steep topography reveals a strong compressive stress transmitted to the upper
plate, while a smooth topography is modelled in an extensional regime. Such observations in the nature
could be a good indicator to determine the intensity of the interplate coupling.
1,875E-1
0
(a)
m=0
5,625E-1
3,75E-1
7,5E-1
(b)
J2 (e)
m=0.3
Figure 4.27: Effect of a strong friction coefficient (µ = 0.3) on the plates deformation for T = 6.3 Ma. An
increase of the interplate friction leads to an increase of the internal deformation of the subducting plate up to the
buckling of the slab (b). This result can be compared to the reference model in figure 4.24a performed with µ = 0.
Complex/Curved margin geometries
In comparison to the reference case, we performed some simulations with convex and concave margins
to analyse the stress regime induced by such geometries. The initial model is displayed in figure 4.28.
A linear segment on each part of the boundary discontinuity is required in order to space out the 3-D
elements within the convex area from the model boundaries conditions and ensure their free evolution.
We present the results for ∆ρ = 0 and µ = 0 in both geometries. A range of density contrasts (∆ρ = ±100
kg/m3 ), interplate friction coefficients (µ = 0 − 0.3) and values of margin curvature (r = 160, 283 and
400 km) were tested to determine their respective effect on the upper plate deformation. The curvature
50
4. La subduction océanique
values were defined at the Earth’s surface, since most of the arcs and/or trenchs can be fit by the arc
of a circle (see fig. 4.28 for more details). In our examples, the radius values r = 160, 283 and 400 km
could be compared to the Marianas, the Aleutian and the Ryukyu subduction zones, respectively. As
noted by Jarrard (1986), these determinations are subjective, since some regions like Kurile-Kamchatka
or Aleutian-Alaska may be defined by a single long arc or by several portions of smaller arcs. Moreover,
these curvature values are viewed in a cartesian geometry and would be consequently reduced but not
entirely balanced in considering the Earth sphericity. In the computations, the convergence is orthogonal
to the linear boundaries.
Figure 4.28: Initial geometry for a convex model. In the model, the arcuate arc shape is amplified through a
decrease of the radius value. The boundary conditions are similar to those used in the reference model.
Effects of the curvature
The figure 4.29 shows the results obtained for ∆ρ = 0, µ = 0 and r = 283 km. Compared to the reference
case (r = ∞), a geometric discontinuity in the margin induces an irregular strain pattern within the
upper plate (fig. 4.29a and d). In the convex margin model (fig. 4.29a-c), the highest strain is mainly
localised in the convex area, which is characterized by the highest topography. On the contrary, the
front of the concave zone (fig. 4.29d-f) is represented by a subsident region surrounded by two uplifted
zones, due to their approximated convex shape. These specific topography patterns are related to the dip
direction of the interplate contact, since in the presented results the interplate pressure is always parallel
to the trench normal component. Thus a convex boundary will imply convergent stresses in the upper
plate, while divergent stresses will be induced for a concave boundary. The effect of such a mechanism on
the topography can be significant, since the figure 4.30 shows that for the smallest convex curvature we
modeled (r = 283 km), the topography in the convex area can be twice as high as in the reference linear
case. The figure 4.30 also show that whatever the curvature value, a convexity always induces an uplift
of the margin, that is a compressive regime, whereas a concavity is related to a subsident margin, that
is an extensional stress regime. This upper plate behavior is likely related to the slab dip at the plate
interface 4.30, which is shallower along a convex margin than along a linear margin and steeper along a
concave margin.
Effects of the density
For the linear reference case, we observed that a positive density contrast (∆ρ = 100kg/m3, and µ = 0)
induces the formation of a forearc basin due to the hydrostatic suction along the interplate contact
51
4.5. Les résultats
1,875E-1
5,625E-1
0
3,75E-1
7,5E-1
J2 (e)
A
A
B
C
C
B
D
D
a
d
B
100
0
-100
C
-200
D
10
5
0
-5
-10
-15
100
0
-100
b
B
A
Topography (km)
Topography (km)
A
10
5
0
-5
-10
-15
-200
10
5
0
-5
-10
-15
100
0
-100
-200
D
C
10
5
0
-5
-10
-15
100
0
-100
-200
e
Interplate
pressure
UPLIFT
SUBSIDENCE
Interplate pressure
Slab compression
Slab extension
Convergence
Convergence
c
f
Figure 4.29: (a) and (d) Strain pattern for convex and concave geometry using ∆ρ = 0 and µ = 0. The convexe
area is defined by the highest topography, while the concave area is subjected to a strong subsidence. (b) and (e)
Comparison between the topography profiles obtained for a convex and a concave model; (c) and (f ) Schematic
representation of the mechanism responsible for this deformation pattern (modified from Boutelier (2004)). These
models were perform with r = 283 km. T = 6.3 Ma.
(Hassani et al., 1997) (fig. 4.25b). With a convex geometry, this strong forearc subsidence is only
observed on each side of the convex area, corresponding to the linear boundaries (fig. 4.28), where the
lateral forearc basins reach up to 10km in depth. An extensional stress regime prevail in the upper plate
behind the two linear margins (fig. 4.29). However, with such a positive density contrast, the convex
arc zone is still characterised by an important uplift (4.3 km high) (fig. 4.31a) and induces compressional
stresses. Furthermore we note that this convex zone is preserved of any internal deformation for µ = 0.
On the contrary, with a concave model and the same positive density contrast, the initial forearc basin
localised in front of the concavity and induced by the margin geometry is amplified and reaches up to 12
km in depth (fig. 4.31b). It induces a strong extensional regime landward, while the two lateral areas
similar to convex margins record an uplift. The amplitude of the forearc basin is reduced in using a
negative density contrast (∆ρ =100 kg/m3 ) but it is still significant.
52
4. La subduction océanique
CONVEX MARGIN
r = 400
(km)
{r =
r = 283
Trench
8
LINEAR
MARGIN
CONCAVE
MARGIN
{
r = 400
r = 283
(km)
Figure 4.30: Topography profiles obtained for different values (r = 283 km, 400 km and ∞) and types of curvature
(concave to convex shape).
We conclude that a curved margin (r = 283 km) is less sensitive than a linear margin to the variation of
∆ρ (figs. 4.25 and 4.31). For the range of values we simulated, the curvature parameter seems to prevail
on the density contrast to define the stress regime within the upper plate.
Depth (km)
(A) convex margin
0
-20
-40
-60
-200
-100
Distance (km)
0
100
Depth (km)
(B) concave margin
0
-20
-40
-60
-200
-100
0
100
Distance (km)
Initial geometry
3
Dr = 0 kg/m
3
Dr = 100 Kg/m
Figure 4.31: The cross-sections are built at the end of the computation in the middle of the models (see crosssection A-B in fig. 4.29). The difference between the initial and the final geometries attest of the stress regime in
the upper plate and the topography patterns get in the presented models.
Effects of the interplate friction
As observed in the linear reference case, an interplate friction coefficient makes the strain more pervasive
into the overriding plate and reduces the margin convexity due to the higher compressive stress transmitted to the upper plate (fig. 4.32). The deformation is mainly located within the curved area (fig. 4.32b)
and it may be considered as preferential zones for initiation of strike-slip faults McCaffrey & Nabelek
(1998), since this area is subjected to an extensional stress field in the y-axis direction (fig. 4.33b).
An increase of the interplate friction produces also some important variations of the stress regime within
53
4.5. Les résultats
the shallow slab (fig. 4.33). High interplate friction coefficient leads to a stronger flexure of the slab,
which tends to bend around the convex margin. This bending is underlined by a compressive regime
localised along the convex margin in surface and parallel to the interplate plane downward (cross-section
in fig. 4.33b). However, an extensional area in the y-axis direction is clearly identified between this
compressive area and the interplate plane. This observation indicates that a lateral escape of the upper
part of the slab is induced by the convexity and a strong interplate coupling. This behaviour is amplified
with an increase of the margin curvature. These results are in good agreement with those obtained by
Boutelier (2004), who suggested that this extensional phase could support the rock exhumation along
convex margins.
J2 (e)
a) m=0
0
1,875E-1
3,75E-1
5,625E-1
7,5E-1
b) m=0.2
Figure 4.32: Comparison in cross-section of convex models obtained for ∆ρ = 0. a) µ = 0 and b) µ = 0.2. Note
that the strong penetrative deformation is mainly localised into the convex area. These results are obtained at the
end of the simulation.
Discussion
With the numerical setup used in this study, the results show that for a linear margin, extensional or
compressional tectonic regime within the upper plate was obtained depending on the density and the
interplate friction coefficient parameters. The introduction of a margin curvature appears to mainly
control the tectonic regime, since an oceanward convex shape induces a margin uplift related to the
compression regime. On the opposite, the margin in front of an oceanward concave margin undergoes a
subsidence and induces an extensional regime in the upper plate. Moreover, this convex/compression and
concave/extension association is observed whatever the importance of the respective margin curvature.
These results are similar to those obtained by Boutelier (2004) in numerical modelling, despite their
different setup. Thus, a slight change in the margin geometry from convex to linear or even concave
geometry would induce a variation of the stress regime within the upper plate.
However, the comparison between our results with field observations cannot be attempted directly, since
we didn’t take into account the important mantle flow effects on the lithosphere evolution. For instance,
the results display high and unrealistic values of topography that may be explained by the absence of a
full lithosphere-asthenosphere-lithosphere coupling. Indeed, a significant fraction of the topography was
shown to be dynamically controlled by the lithosphere-asthenosphere interactions (Billen et al., 2001;
Husson, 2006), despite these conclusions were proposed without taking into account a realistic elastovisco-plastic rheology for the lithosphere.
In conclusion, some important results arise from this study and they require a particular attention in
comparison to the field observations.
54
4. La subduction océanique
a) m = 0
x
s xx
s yy
s xx
s yy
y
b) m = 0.2
x
y
Deviatoric stress s (Pa)
-5e7
-2.5e7
Compression
0
2.5e7
5e7
Extension
Figure 4.33: Comparison of the horizontal deviatoric stress σxx and σyy for a convex margin geometry (∆ρ = 0
and r = 283 km): (a) interplate friction coefficient µ = 0; (b) interplate friction coefficient µ = 0.2. See the text
for discussion.
The best example of an oceanward concave margin is definitely the Bolivian Orocline in South America. Nevertheless, the comparison of this natural analogue with our results is also a bit ambiguous,
because one of the largest mountain range is lying in a predicted extensional area. Several works based
on compiled data suggest that crustal shortening can not only account for the whole thickening of the
region (Allmendinger et al., 1997; Rochat et al., 1999; Gregory-Wodzicki, 2000). The Altiplano is indeed
made of an anomalously large amount of magmatic intrusions that would contribute for a large fraction of
the crustal thickening. The analysis of the slab dip evolution through time and the variations of the convergence rates suggest that the extented magmatic episod would be likely related to extensional tectonic
episods in the fore-arc and arc areas in the initial stage of the Central Andes build-up (Jordan et al.,
4.5. Les résultats
55
2001) (T. Sempere, personnal communication). The numerical results presented therein give new insights
about this interpretation, since they show that the concave shape of the andean margin can trigger such
an extensional regime.
Oceanward convex margins are the most common geometries, as it is clearly illustrated by the Marianas subduction zone. Contrary to our results that predict a compression within a convex upper plate,
a well-established back-arc basin is observed behind the Marianas volcanic arc. Husson (2006a) showed
that the resulting dynamic topography was likely explained by the subduction-induced stresses of the
underlying viscous mantle, supporting the fact that a back-arc basin is mainly controlled by the global
mantle flow dynamic (Sdrolias & Muller, 2006). However, Stern & Smoot (1998) noted a regional uplift
in the arc and forearc zones localised in the southern convex part of the Marianas that is subjected to
an orthogonal convergence. This local feature is not predicted by the dynamic topography models, but
instead is in good agreement with our results. Thus, like in the Central Andes region, this correlation
would likely reflect the importance of modelling the third direction to explain some punctual variations
of the tectonic regime.
Finally, we can also attempt to compare the results to the initial stages of the back-arc basin opening.
The location of an arc rupture can vary in subduction zones (Hawkins et al., 1984). For example the
mostly linear Palau-Kyushu ridge splitted on its backarc side (Okino et al., 1998, 1999), while the Mariana
arc rifted on its forearc side, isolating most of the initial arc in the current remnant ridge (Bloomer et al.,
1989). A similar phenomenon occured in the Tonga subduction zone, since the old Tonga volcanic arc
from 15◦ S to 18◦ 30′ S forms part of the Lau remnant ridge separated from the current active Tofua
volcanic arc. This observation suggests that the Lau back-arc basin initiated also in the fore-arc domain
(Hawkins et al., 1984; Bonnardot et al., 2007b). The Marianas and Tonga subduction zones have a
common point related to the subduction of a significant bathymetric feature, the Osagawa plateau and
the Louisville Seamount Chain, respectively. The collision between a seamount and the margin generates
an indentation into the margin, that is an oceanward concave margin, that results in a forearc basin
(Collot & Fischer, 1989). We show in this study that a slight change in the margin geometry might
modify the stress regime within the upper plate. Thus, together with the landward migration of the
overriding plate (Sdrolias & Muller, 2006), the geometrical consequences induced by a ridge subduction
could act as a precursor to preferentially split the volcanic arc in the forearc side. Once the back-arc
extension is established, the global mantle flow dynamic would control the evolution of the regional
system.
Conclusion
In conclusion, the 3-D ADELI numerical code is an appropriate tool for studying the effects of the plateplate coupling on the lithospheric deformation in subduction zone and does allow to resolve some local
strain pattern variations unexplained by global mantle dynamics processes.
We showed in this work that an oceanward convex margin induces a compressive stress regime in the upper
plate, which is uplifted. On the contrary, an oceanward concave margin is subjected to an extensional
stress regime resulting in the formation of a forearc basin. For the range of parameters we used, such
a behavior was independent to the contrast of density between the lithosphere and the asthenosphere
and to the interplate friction coefficient. Thus, this study supports the fact that the third dimension
is fundamental when dealing with lithospheric deformations. Future work might attempt to quantify
the strain partitioning in case of oblique convergence and oceanic asperities subduction, since various
3-D geometries for both the overriding and subducting plates can now be taken into account with this
numerical code.
References
(toutes les références bibliographiques ont été rassemblées à la fin du document)
Chapitre 5
Théorie du calcul à la rupture
appliquée aux glissements gravitaires
Pour estimer la stabilité d’un massif pesant, déterminer le volume de la masse potentiellement instable
et calculer un coefficient de sécurité quantifiant la probabilité d’occurence d’une rupture, les géotechniciens et géophysiciens utilisent différentes approches relevant du calcul à la rupture ou de l’écoulement
plastique. La méthode des tranches est sans doute la plus ancienne et la plus connue des méthodes qui
se rangent parmi celles de la première catégorie. Elle présuppose que la résistance au mouvement est
due au frottement sur une surface de glissement potentielle (qui peut être prédéfinie ou déterminée par
optimisation). Les codes de calcul par éléments finis étant devenus très accessibles, les méthodes basées
sur des calculs élastoplastiques sont, quant à elles, de plus en plus répandues. Elles consistent à se donner
le comportement constitutif du matériau composant le massif, les conditions initiales et les conditions
aux limites puis à calculer les déformations en augmentant progressivement la charge jusqu’à ce que les
zones plastiques ne puissent plus être contenues par les parties restées élastiques (analyse limite).
Dans ce projet de recherche qui n’en est encore qu’à ses débuts, nous nous proposons, Ioan Ionescu,
Édouard Oudet et moi même, d’exprimer le problème du calcul des zones de rupture potentielles et du
coefficient de sécurité correspondant comme un problème d’optimisation en utilisant une formulation
originale basée sur la théorie du calcul à la rupture (ou de la théorie des charges limites). L’attrait
d’une telle approche par rapport à l’approche élastoplastique est qu’elle se dispense de la connaissance
de toute loi de comportement ou de l’histoire du chargement. Seul un critère de rupture ou de plasticité
est nécessaire.
Dans les lignes qui suivent sont présentées la formulation du problème d’optimisation en contraintes, les
pistes que nous avons déjà pu examiner pour le résoudre et celles que nous envisageons d’explorer dans
les mois qui viennent.
Sommaire
5.1 Position du problème
5.2 La régularisation Lp
5.3 Un cas académique : le cas antiplan
5.4 La déformation plane - Utilisation d’un potentiel vectoriel
5.5 Une autre piste pour le futur - Formulation par point selle
5.6 Annexe
58
5.1
5. Théorie du calcul à la rupture appliquée aux glissements gravitaires
Position du problème
Considérons un massif pesant occupant le domaine D de R3 . On notera f les forces de volume et F
d’eventuelles forces surfaciques s’appliquant sur une partie Γs de la frontière ∂D. On se donne en chaque
point x du massif supposé rigide son domaine de résistance (critère de rupture ou de plasticité, selon le
cas) sous la forme :
F (x, σ(x)) ≤ κ(x)
∀x ∈ D
(5.1)
où σ(x) ∈ S désigne le tenseur des contraintes de Cauchy au point x (S est l’ensemble des tenseurs
symétriques du deuxième ordre), κ est le seuil et F est supposée être convexe. La conditions nécessaire
pour qu’un chargement (f , F ) soit supportable par le massif est que l’on puisse toujours trouver au moins
un champ de contrainte σ : D → S vérifiant, d’une part, les équations d’équilibre et les conditions aux
limites (champ statiquement admissible) :
div σ + f = 0 dans D,
σn = F sur Γs
(5.2)
et, d’autre part, la condition de résistance (5.1).
S’il en est ainsi, on dira, en utilisant le vocabulaire introduit par Salençon (voir Salençon (2002)), que
ce chargement est “potentiellement supportable”.1 .
L’approche dite statique de la théorie du calcul à la rupture consiste alors à construire des champs de
contrainte en cherchant la plus grande charge potentiellement supportable par le système. Pour cela, on
introduit habituellement un paramètre adimensionnel (le facteur de charge), t > 0, que l’on fait croître
jusqu’à une limite λ au delà de laquelle le chargement (tf , tF ) ne peut plus être supporté. Cette valeur
λ est le facteur de sécurité ou facteur de chargement extrème du système. Formalisons un peu cela.
Désignons par Σt l’ensemble des contraintes statiquement admissibles permettant d’équilibrer les charges
(tf , tF ) :
Σt =: {τ : D → S ; div τ + tf = 0 dans D, τ n = tF sur Γs }
(5.3)
λ = max{t ∈ R ; ∃σ ∈ Σt ; F (x, σ(x)) ≤ κ(x) dans D}
(5.4)
et par λ le chargement extrème qui est donc, par définition
Calculer λ est le principal enjeu de la théorie du calcul à la rupture (ou de la théorie de l’analyse
limite si le comportement est élastique parfaitement plastique ; voir par exemple, Christiansen (1996);
Andersen et al. (1998); Salençon (1983, 2002)) et l’approche statique correspond à une optimisation du
champ de contrainte pour maximiser le facteur de charge t. La difficulté majeure est que pour calculer λ
par (5.4) il faut savoir construire l’ensemble des contraintes potentiellement supportables ce qui n’est, en
général, absolument pas évident.
Nous proposons ici de reformuler le problème décrit par (5.4) comme un problème de minimisation
d’une fonctionnelle suprémale de la façon suivante : selon la définition précédente, un champ de contrainte
τ statiquement admissible sera potentiellement supportable si F (x, τ (x))/κ(x) ≤ 1 et cela pour tout
x ∈ D. Il suffit donc d’étudier la plus grande valeur dans D de ce rapport :
J(τ ) = sup
x∈D
F (x, τ (x))
κ(x)
(5.5)
et d’optimiser le champ de contrainte pour trouver la plus petite valeur m(t) prise par J sur l’ensemble
Σt des tenseurs statiquement admissibles :
m(t) = min J(τ )
τ ∈ Σt
(5.6)
1 Le terme de chargement potentiellement supportable est utilisé pour bien rappeler que la vérification des équations
d’équilibre et du critère de résistance n’est qu’une condition nécessaire de stabilité. Un tel chargement peut donc ne pas être
effectivement supporté et pour le savoir il faudrait, comme le note Salençon, connaître la loi de comportement du matériau,
les contraintes initiales et l’histoire du chargement. Mais s’affranchir de ces données, souvent mal connues ou complexes (et
c’est d’autant vrai pour les matériaux géologiques), est justement un des intérêts de cette théorie.
5.2. La régularisation Lp
59
Alors, si m(t) > 1 le chargement (tf , tF ) ne pourra pas, à coup sûr, être supporté par le système (puisqu’alors ∀τ ∈ Σt , J(τ ) ≥ m(t) > 1). De plus, par définition, le chargement extrème correspondra au
nombre λ tel que m(λ) = 1. Le tenseur des contraintes σ λ associé (c’est-à-dire, celui réalisant le minimum
de J : J(σ λ ) = minτ ∈Σλ J(τ )) fournira, au travers de la distribution de F (x, σ(x))/κ(x), une information intérressante et essentielle (estimation du volume des parties instables par exemple) concernant les
zones de rupture (ou de plastification) de D.
Remarques :
1. Si la fonction F est telle que F (x, tτ ) = tF (x, τ ) pour tout t > 0 (fonction homogène de degré un),
ce qui est le cas par exemple des critères de Von Mises ou de Drucker-Prager, alors J(tτ ) = tJ(τ )
et m(t) = tµ où
µ = min J(τ )
τ ∈ Σ1
(5.7)
avec Σ1 =: Σt=1 .
Comme m(λ) = 1, on a donc simplement, dans le cas de ces critère, λ = 1/µ.
2. La simplicité de la présentation ne doit pas pour autant masquer que l’approche proposée introduit
deux difficultés importantes. D’abord, la fonctionnelle à minimiser, J, n’est pas différentiable ;
ce point est traité dans le paragraphe qui suit. Ensuite, cette minimisation doit encore se faire
relativement à un sous-ensemble de S, ici Σt , composé des contraintes statiquement admissibles.
On a donc affaire à une minimisation sous contrainte différentielle.
La faisabilité de cette approche a d’abord été étudiée sur le cas simple et académique du problème
antiplan (voir le §5.3 pour la description de ce cas et l’annexe au §5.6 pour les détails des calculs)
pour lequel il est relativement aisé de construire, par le biais d’un potentiel scalaire, des contraintes
statiquement admissibles. Le cas de la déformation plane a ensuite été considéré en mettant au
point une méthode, exposée au §5.4, basée, là aussi, sur l’existence de potentiel des contraintes.
Cette méthode, qui a donné des résultats encourageants dans certains cas, s’est toutefois révelée
inutilisable dans d’autres et semble malheureusement dépendre du type de maillage éléments finis
utilisé. Une autre méthode (§5.5) utilisant une formulation par multiplicateur de Lagrange pour
forcer la condition τ ∈ Σt est actuellement à l’étude.
3. La condition de stabilité exprime comme on l’a vu que l’intensité des efforts ne peut dépasser, en
aucun point de D, la résistance que le matériau est capable de supporter (J(σ) < 1). On peut aussi
aborder le problème du point de vue énergétique en utilisant le principe des puissances virtuelles.
On aboutit à l’approche duale de l’approche statique, connue sous le nom de méthode cinématique.
Elle revient à poser le problème non plus en contrainte mais en vitesse et exprime que la puissance
des efforts extérieurs ne peut dépasser celle que la structure est capable de supporter (Salençon,
2002). Cette approche n’est pas détaillée ici ; elle a été utilisée par I. Ionescu, Th. Lachand-Robert et
É. Oudet qui à partir de techniques d’optimisation de forme en ont fait une méthode performante
et tout à fait intéressante. Dans les exemples que nous présentons plus bas, nous comparons les
résultats obtenus avec ces deux approches complémentaires.
5.2
La régularisation Lp
N’étant pas différentiable, la fonctionnelle J est régularisée par une suite de fonctionnelles Jp qui approche
J quand p → ∞. On utilise pour cela la propriété suivante
p1
Z
1
p
|Φ(x)| dx
,
sup |Φ(x)| = lim
p→+∞ volume(D) D
x∈D
vraie pour toute fonction Φ : D → R bornée et mesurable. La fonctionnelle (5.5) est donc remplacée par
la suite de fonctionnelles
p1
Z
F p (x, τ (x))
1
,
(5.8)
dx
Jp (τ ) =:
volume(D) D
κp (x)
60
5. Théorie du calcul à la rupture appliquée aux glissements gravitaires
que l’on minimise sur Σt :
(5.9)
mp (t) =: Jp (σ tp ) = minτ ∈Σt Jp (τ )
ce qui permet de définir une approximation λp de la charge limite λ par résolution de l’équation scalaire
(5.10)
mp (λp ) = 1.
Remarque : dans le cadre de la méthode des éléments finis et pour ne pas que les évaluations numériques
des intégrales des fonctionnelles Jp et de leurs dérivées posent problème (p est destiné à prendre des
valeurs importantes : 10, 20, 50, 100,...), on s’est attaché à approximer les contraintes par des champs
constants sur chaque élément (dans les applications, les fonctions κ(.) et F (., τ ) sont aussi supposées
constantes par morceaux).
5.3
Un cas académique : le cas antiplan
On a logiquement commencé par étudier ce cas (voir Hassani et al. (2005) reproduit en annexe de ce
chapitre) car bien plus simple que le cas général. Il est certes peu réaliste pour les applications envisagées
pour les glissements gravitaires mais on peut le voir comme un exercice permettant de tester la faisabilité
de l’approche proposée. Admettons donc que :
• le domaine est infini dans une direction, disons Ox3 : D = Ω × R, avec Ω domaine borné de R2 ,
• lorsque l’écoulement a lieu il ne peut se faire que selon cette direction. Les vitesses sont donc de la
forme (0, 0, v)
et supposons, en outre, que
• cet écoulement est incompressible,
• la résistance du matériau constitutif
obéit au critère de Von Mises : F (x, τ ) = |τ ′ | ≤ κ(x) où τ ′ est
√
le déviateur de τ et κ(x) = 2τ0 (x), τ0 désignant le seuil dans un essai en cisaillement simple,
• les forces surfaciques sont nulles sur Γs = Γ1 × R, les vitesses s’annulent sur Γv = Γ0 × R et que la
composante des forces de volume f selon Ox3 est f .
Il en résulte que v est indépendant de x3 et que le tenseur des contraintes σ − pI est tel que les seules
composantes non nulles de σ sont σ13 et σ23 et qu’elles ne dépendent que de x1 et x2 . En désignant par
s : Ω → R2 le champ de vecteurs (σ13 , σ23 ), l’admissibilité statique σ − pI ∈ Σ1 s’exprime par s ∈ Af
avec
Af = r : Ω → R2 ; div r + f = 0 dans Ω, r · n = 0 sur Γ1
Le problème de minimisation (5.7) consiste donc à trouver le champ vectoriel s minimisant sur Af la
fonctionnelle
|r(x)|
S(r) = sup
x∈Ω τ0 (x)
Si l’on connaît un champ de contrainte particulier s∗ = (s∗1 , s∗2 ) ∈ Af alors tout champ de r ∈ Af
s’écrit r = s∗ + r0 avec r0 ∈ A0 champ vectoriel à divergence nulle. On introduit alors le potentiel scalaire
ϕ : Ω → R (la fonction courant) tel que r0 = r0 (ϕ) = (∂2 ϕ, −∂1 ϕ) et qui s’annule sur Γ1 . Le champ
r(ϕ) = s∗ + r0 (ϕ) est donc, par construction, statiquement admissible. Le problème d’optimisation sous
contrainte (r ∈ Af ) se transforme donc ici en un problème d’optimisation sans contrainte consistant à
chercher la fonction scalaire ψ minimisant la fonctionnelle
P (ϕ) = sup
x∈Ω
|∇ϕ(x) + τ ∗ (x)|
τ0 (x)
où l’on a posé τ =
Le facteur de sécurité est alors λ = 1/P (ψ) et les contraintes associées sont
s(ψ) = s∗ + r0 (ψ).
Le calcul pratique de la solution est mené par régularisation Lp de P (ϕ). Les détails ainsi que des
exemples sont donnés au §5.6.
∗
(−s∗2 , s∗1 ).
61
5.4. La déformation plane - Utilisation d’un potentiel vecteur
5.4
La déformation plane - Utilisation d’un potentiel vecteur
Suivons la même démarche que celle utilisée dans le cas antiplan pour ramener d’abord notre problème
de minimisation sur Σt (5.9) à un problème de minimisation sur Σ0 . Pour cela supposons connue une
solution particulière σ ∗ ∈ Σ1 équilibrant les forces extérieures (f , F ). Tous champ σ dans Σt pourra
s’écrire comme la somme de la solution particulière tσ ∗ et d’un champ, τ , solution des équations homogènes : σ = τ + tσ ∗ . On a donc : mp (t) = minτ ∈Σ0 Jp (τ + tσ ∗ ).
Plaçons-nous ensuite en déformation plane, ce qui implique pour les contraintes :
σ 13 = σ 23 = 0
et
σ 33 = H(σ 11 , σ 22 )
où H est déterminée en écrivant que la composante ε33 = 0 (on a, par exemple, σ 33 = 12 (σ 11 + σ 22 )
dans le cas du crière de Von Mises en supposant que F est aussi potentiel plastique). Introduisons alors
le potentiel des contraintes ϕ : D → R2 tel que τ = Π(ϕ), à savoir
τ 11 =
∂ϕ1
,
∂x2
τ 22 = −
∂ϕ2
,
∂x1
τ 12 = −
∂ϕ1
,
∂x1
τ 21 =
∂ϕ2
∂x2
(5.11)
la composante τ 33 étant une combinaison de ∂ϕ1 /∂x2 et ∂ϕ2 /∂x1 .
Pour que Π(ϕ) + tσ ∗ soit dans Σt il faut que Π(ϕ) soit symétrique, que div Π(ϕ) = 0 et que
Π(ϕ)n = 0 sur Γs . La première condition nécessite que div ϕ = 0 dans D, la deuxième est, par construction, vérifiée et la troisième impose que ϕ1 = ϕ2 = 0 sur Γs .
Ainsi par ce biais, la recherche d’un champ de contrainte τ à divergence nulle minimisant la fonctionnelle τ → Jp (τ + tσ ∗ ) est remplacée par la recherche d’un champ vectoriel ϕ à divergence nulle
minimisant la fonctionnielle
(5.12)
Gtp (ϕ) =: Jp (Π(ϕ) + tσ ∗ ).
On y a gagné un ordre tensoriel, mais malheureusement, on a toujours une contrainte différentielle à
satisfaire (div ϕ = 0) ce qui n’était pas le cas en antiplan.
5.4.1
Emploi de la méthode du gradient
Pour minimiser numériquement la fonctionnelle Gtp donnée par (5.12), nous avons utilisé la méthode du
gradient à pas fixe dont l’itération courante, n, consiste à
trouver δϕn = ϕn+1 − ϕn solution de
Z
I(∇δϕn ) · ∇ψ = −ρDGtp (ϕn )(ψ),
D
∀ψ ∈ Wp
(5.13)
puis calculer ∇ϕn+1 = ∇ϕn + ∇δϕn .
Wp désigne l’espace vectoriel des fonctions à divergence nulle s’annulant sur Γs et DGp est la dérivée
première de cette fonctionnelle donnée par :
Z p 1 ∂F e
1 ∂F
F
1−p
e
e : Π(ψ) ,
σ
(5.14)
trΠ(ψ) +
DGp (ϕ)(ψ) = [Gp (ϕ)]
κ
F ∂s
r ∂r
D
où l’on a noté
q
e 211 + σ
e 212 + σ
e 221 + σ
e 222 ,
e 11 + σ
e 22
σ
s(ϕ) = tr(e
σ) = σ
∗
∗
σ
σ12
∂2 ϕ1 −∂1 ϕ1
e
e
e (ϕ) = te
e ∗ = 11
σ
σ ∗ + Π(ϕ),
σ
,
Π(ϕ)
=
.
∗
∗
σ12
σ22
∂2 ϕ2 −∂1 ϕ2
r(ϕ) = |e
σ| =
(5.15)
(5.16)
62
5. Théorie du calcul à la rupture appliquée aux glissements gravitaires
et I est un opérateur choisi tel que
R
Ω
I(∇ϕ) · ∇ϕ = kϕk2Lp , i.e.
p−2
I(∇ϕ) = k∇ϕk2−p
· ∇ϕ
Lp · |∇ϕ|
(5.17)
On peut remarquer que le probème variationnel (5.13) peut se réécrire comme un problème de Stokes
généralisé en introduisant la “pression” q et en posant ∇δun =: I(∇δϕn ),
trouver (δun , q) ∈ Vp × Qp solution de
Z
 Z

∇v · ∇δun −
q div v = −ρDGp (ϕn )(v),

Z
D
D


qe div δun = 0,
−
D
∀v ∈ Vp
(5.18)
∀e
q ∈ Qp
où Vp est l’ensemble des fonctions s’annulant sur Γs et Qp l’ensemble des multiplicateurs de Lagrange.
Une fois δun calculé par (5.18), la nouvelle estimation, ∇ϕn+1 , du gradient du potentiel (seul utile pour
calculer les contraintes) est obtenue par résolution de I(∇δϕn ) = ∇δun , ce qui donne :
∇ϕ
5.4.2
n+1
n
= ∇ϕ +
Z
n
D
|∇δu |
p
p−1
p−2
p
2−p
|∇δun | p−1 ∇δun
Discrétisation par éléments finis
On note ϕh l’approximation par éléments finis de ϕ et φi les fonctions de base :
X
ϕi φi (x),
ϕi ∈ R2
ϕh (x) =
i
P
La dérivée de Gp s’écrit sous la forme : DGp (ϕh )(ψ h ) = i ψ i · bi (ϕh ) avec
Z p F
1 ∂F
1 ∂F
∂2 φi
1−p
eh ·
bi (ϕh ) = [Gp (ϕh )]
σ
I+
− ∂1 φi
κ
F ∂s
r ∂r
D
Comme noté plus haut, on voit que l’on a tout intérêt à utiliser une approximation pour laquelle l’intégrant est constant sur chaque élément fini (l’élément triangulaire à trois nœuds). Ceci étant, le problème
de Stokes (5.18) nécessite alors un traitement particulier. Nous employons pour cela la même technique
de stabilisation que celle utilisée au chapitre 4 (voir par exemple Quarteroni & Valli (1997)) et qui donne
ici
trouver (δunh , qh ) ∈ Vh × Qh solution de
 Z
Z

n
n


 D ∇v h · ∇δuh − D qh div v h = −ρDGp (ϕh )(v h ),
Z
Z
X

n
2

q
e
div
δu
+
α
−
h
∇e
qh · (∇qh − f h ) = 0,

h
h
T

D
T
T
∀v h ∈ Vh
(5.19)
∀e
qh ∈ Qh
α est un paramètre numérique, T désigne un élément du maillage et f h est determiné par résolution de
Z
f h · v h = −ρDGp (ϕnh )(v h ),
∀v h ∈ Vh
D
5.4. La déformation plane - Utilisation d’un potentiel vecteur
5.4.3
63
Exemples
Talus pesant avec critère de Cam-Clay. On utilise ici le critère de Cam-Clay donné sous la forme
r
q 2 (x)
+ (p(x) + pc (x))2 ,
κ(x) = pc (x)
F (x, σ(x)) =
M2
q
3
1
′
où q =
2 |σ | est le second invariant du déviateur des contraintes et p = 3 trσ désigne la pression
moyenne. M et pc sont données. La relation σ33 = H(σ11 , σ22 ) imposée par l’hypothèse de déformation
plane s’écrit
H(σ11 , σ22 ) = − (3βpc + (β − 1)(σ11 + σ22 )) /(β + 2),
avec β = 2M 2 /9.
Une coupe du talus dans le plan Ox1 x3 ainsi que les conditions aux limites utilisées sont representées
sur la figure 5.1 pour le cas étudié.
G
2
s
s n = 0
r g
4 5 °
u = 0
1
G
1
v
3
Figure 5.1 – Géométrie et conditions aux limites de l’exemples étudié. Le chargement est
dû aux seules forces de volume.
Notons ρg le poids volumique et x3 = h(x1 ) la courbe représentant le toit du talus. Nous avons utilisé
comme solution statiquement admissible particulière (c’est-à-dire équilibrant les forces de volume −ρge3
et vérifiant les conditions aux limites sur Γ1 ), la solution σ ∗ , définie en tout point (x1 , x3 ) du talus, par :
∗
∗
∗
σ11
= σ22
= σ12
= 0,
∗
σ33
(x1 , x3 ) = −ρg(h(x1 ) − x3 )
Les paramètres utilisées dans ces deux exemples sont les suivants :
M = 1,25,
pc = 5 × 104 Pa,
ρg = 104 N.m−3
On minimise alors le problème (5.12) pour un facteur de charge t donné jusqu’à en trouver un pour
lequel minϕ Gtp (ϕ) ≈ 1. Ce facteur sera alors le facteur de charge limite λ recherché. En fait, nous
n’avons pas vraiment procédé par tâtonnement mais nous avons utilisé les calculs d’Édouard Oudet et
Ioan Ionescu réalisés à l’aide d’une méthode basée sur l’approche cinématique (cette méthode utilise une
optimisation de forme pour déterminer la géométrie du sous-domaine de D pouvant se “décrocher” par
mouvement rigide et minimisant le rapport entre les puissances, fournies dans ce mouvement, par les
efforts résistants et les efforts extérieurs). Ce calcul cinématique nous donne λ ≈ 8,9. En prenant pour
t cette valeur et avec p = ∞, on devrait obtenir par le calcul statique minϕ Gtp (ϕ) = mp (t) ≈ 1. On
obtient en prenant p = 100 : mp (λ) ≈ 0,96), ce qui n’est pas si mal. Les distributions de F (x, σ(x))/κ(x)
correspondantes sont représentées sur la figure 5.2. On y voit, par resserrement de la palette de couleurs
autour du sup de cette grandeur, la zone qui est à la limite de l’écoulement, résultat tout à fait comparable
64
5. Théorie du calcul à la rupture appliquée aux glissements gravitaires
0.945
0.955
Figure 5.2 – Isovaleurs du rapport F (x, σ(x))/κ(x) obtenu pour la charge limite pour
le cas étudié. On a superposé en blanc le résultat obtenu par É. Oudet par la méthode en
vitesse.
à celui obtenu par l’approche cinématique (lignes blanches superposées sur la figure). On note toutefois
que la zone {x ∈ D ; F (x, σ(x)) ≈ κ(x)} est forcément plus diffuse avec l’approche statique.
Échantillon entaillé avec critère de Von Mises. Étonnamment, les résultats obtenus sur des
exemples utilisant ce critère plus simple que le précédent n’ont pas été convaincants. Une difficulté à
converger et une forte dépendance au maillage ont été observés. Voici un exemple classique en analyse
limite (Fig. 5.3) : un échantillon présentant deux entailles est soumis à une traction perpendiculairement
à ces entailles. La charge limite, d’après un calcul de Christiansen & Andersen (1999), correspondant
au cas de la figure est λ ≈ 1,4 et λ ≈ 1,17 d’après un calcul de Tin-Loi & Ngo (2003). Nous avons vu
(cf. Remarque 1) que dans le cas du critère de Von Mises, la charge limite se calcule simplement par
λ = 1/µ où µ = minϕ Gt=1
p (ϕ). L’inverse du sup de F /κ, représenté sur la figure 5.4a, nous donne donc
λ ≈ 1/0,89 ≈ 1,12. Ce calcul a été effectué sur un maillage composé de carrés découpés en quatre triangles
2
2
1
Figure 5.3 – Échantillon présentant deux entailles et soumis à une contrainte de traction.
65
5.5. Une autre piste pour le futur - Formulation par point selle
(maillage croisillons). Par ailleurs, la valeur trouvée par Édouard Oudet avec l’approche cinématique est
approximativement de 1,14, comme celle trouvée par Christiansen & Andersen (1999).
Les zones de “rupture” obtenues avec ces deux approches sont comparables (Fig. 5.4b) mais bien sûr le
résultat est toujours plus diffus avec l’approche statique. Si maintenant nous refaisons le calcul mais à
l’aide d’un maillage triangulaire quelconque (maillage de type Delaunay), la solution obtenue se dégrade
et se caractérise par une répartition des contraintes en “damier”, laissant penser qu’une condition de
compatibilité est à respecter, ce qui compte tenu des éléments finis imposés par cette méthode laisse peu
d’espoir de trouver une amélioration à cette formulation par potentiels vectoriels.
0.890
1.0
0.886
0.5
0.882
0.0
0.878
-0.5
0.874
-1.0
0.870
0.0
0.5
1.0
Figure 5.4 – Isovaleurs du rapport F (x, σ(x))/κ(x) obtenu pour la charge limite. Par
symétrie, le calcul n’a été mené que sur une moitié (ici droite) de l’échantillon. En blanc le
résultat du calcul par l’approche cinématique.
5.5
Une autre piste pour le futur - Formulation par point selle
Une nouvelle piste est à l’étude pour tenter de contourner les problèmes rencontrés avec la méthode précédente. On abandonne la recherche d’un potentiel des contraintes pour chercher directement le tenseur
des contraintes comme solution d’un problème d’optimisation sans contrainte associé au problème (5.9)
Notons V = u : D → R2 ; u = 0 sur Γv l’ensemble des vitesses cinématiquement admissibles (avec
Γs ∪ Γv = ∂D). Soit τ un champ de contrainte statiquement admissible équilibrant les forces extérieures
(tf , tF ). Une écriture variationnelle de l’équilibre pouvant être
Z
Z
Z
t
d(u) : τ dx + t
F · u ds = 0,
∀u ∈ V,
(5.20)
A (τ , u) =: −
f · u dx +
D
D
Γs
où d(u) = (∇u + ∇ u)/2 est le taux de déformation correspondant au champ de vitesse u, le problème
d’optimisation sous contrainte différentielle
(
trouver σ ∈ Σt ⊂ S tel que
(5.21)
Jp (σ) ≤ Jp (τ ), ∀τ ∈ Σt ,
T
est remplacé par le problème de point selle
(
trouver (σ, v) ∈ S × V tel que
Ltp (σ, u) ≤ Ltp (σ, v) ≤ Ltp (τ , v),
avec comme lagrangien
Ltp (τ , u) = Jp (τ ) − At (τ , u).
∀τ ∈ S et ∀u ∈ V,
(5.22)
(5.23)
66
5. Théorie du calcul à la rupture appliquée aux glissements gravitaires
On peut ensuite, pour résoudre effectivement le problème (5.22), employer la méthode d’Uzawa dont
la procédure à l’itération n + 1 s’écrit :
1. Calculer σ n+1 solution de Ltp (σ n+1 , v n ) = min Ltp (τ , v n ).
τ ∈S
Ce problème pourra être résolu par la méthode de Newton :
(a) initialiser : σ n+1,0 = σ n , k = 0,
(b) résoudre : D2 Jp (σ n+1,k )(δσ k+1 , τ ) = −DJp (σ n+1,k )(τ ) −
(c) mettre à jour : σ
n+1,k+1
=σ
n+1,k
+ δσ
k+1
,
R
D
τ : d(v n ) dx,
∀τ ∈ S,
(d) faire k ← k + 1 et retourner en (b) jusqu’à satisfaction d’un critère de convergence.
2. Calculer v n+1 solution de Ltp (σ n+1 , v n+1 ) = max Ltp (σ n+1 , u).
u∈V
Ceci
se fait en résolvant
Z
Z le problème :
n+1
d(v
) : d(u) =
d(v n ) : d(u) + ρAt (σ n+1 , u),
D
D
où ρ est un paramètre numérique.
∀u ∈ V.
67
5.6. Annexe
5.6
Annexe
On reproduit ci-dessous un article consacré au cas antiplan et qui est paru en 2005 dans la revue Applied
Mathematics & Optimization.
Shape optimization and supremal minimization approaches
in landslides modelling
Riad Hassani1 , Ioan R. Ionescu2 and Thomas Lachand-Robert2
1 Laboratoire
de Géophysique Interne et Tectonophysique, Université de Savoie & CNRS,
73376 Le Bourget du Lac, France
[email protected]
2 Laboratoire
de Mathématiques, Université de Savoie & CNRS,
73376 Le Bourget-du-Lac Cedex, France
{ioan.ionescu,thomas.lachand-robert}@univ-savoie.fr
Abstract
The steady state unidirectional (anti-plane) flow for a Bingham fluid is considered. We take into account
the inhomogeneous yield limit of the fluid, which is well adjusted to the description of landslides. The
blocking property is analyzed and we introduce the safety factor which is connected to two optimization
problems in terms of velocities and stresses.
Concerning the velocity analysis the minimum problem in BV (Ω) is equivalent to a shape optimization
problem. The optimal set is the part of the land which slides whenever the loading parameter becomes
greater than the safety factor. This is proved in the one dimensional case and conjectured for the two
dimensional flow. For the stress optimization problem we give a stream function formulation in order
to deduce a minimum problem in W 1,∞ (Ω) and we prove the existence of an minimizer. The Lp (Ω)
approximation technique is used to get a sequence of minimum problems for smooth functionals.
We propose two numerical approaches following the two analysis presented before. First, we describe
a numerical method to compute the safety factor through the equivalence with the shape optimization
problem. The finite element approach and a Newton method is used to obtain a numerical scheme for the
stress formulation. Some numerical results are given in order to compare the two methods. The shape
optimization method is sharp in detecting the sliding zones but the convergence is very sensitive to the
choice of the parameters. The stress optimization method is more robust, gives precise safety factors but
the results cannot be easily compiled to obtain the sliding zone.
Introduction
Recently the inhomogeneous (or density-dependent) Bingham fluid was considered in landslides modelling
(Cristescu, 2000; Cazacu & Cristescu, 2000; Cristescu et al., 2002; Hild et al., 2002). This rigid viscoplastic model is very simple exhibiting only two constitutive constants: viscosity and yield stress. Another
important advantage of using this model is the fact that the initial distribution of the stress in the soil is
not required.
Although the Bingham model deals with fluids, it was also seen as a solid, called the “Bingham solid”
(see for instance Oldroyd (1947)) and investigated to describe the deformation and displacement of many
solid bodies. The inhomogeneous yield limit is a key point in describing landslides phenomenon. Indeed,
due to their own weight, the geomaterials are compacted so that the mechanical properties also vary with
depth. Therefore the yield limit g and the viscosity coefficient η cannot be supposed homogeneous. In
contrasts to the previous works dealing only with homogeneous Bingham fluids (Duvaut & Lions, 1972;
Ionescu & Sofonea, 1986, 1993; Mosolov & Miasnikov, 1965), we are interested here in a fluid whose yield
limit is inhomogeneous (see Hild et al. (2002) for the mathematical modeling).
68
5. Théorie du calcul à la rupture appliquée aux glissements gravitaires
A particularity of the Bingham model lies in the presence of rigid zones located in the interior of the
flow of the Bingham solid/fluid. As the yield limit g increases, these rigid zones become larger and may
completely block the flow. When modelling landslides, the solid is blocked in its natural configuration
and the beginning of a flow can be seen as a “disaster”.
In this paper we consider the “safety factor” in order to obtain a qualitative and quantitative evaluation
of the blocking phenomenon. More precisely, through the safety factor we study the link between the
yield limit distribution and the external forces distribution (or the mass density distribution) for which
the flow of the Bingham fluid is blocked. The safety factor can also be related to the limit load of a rigid
perfectly plastic solid (see Christiansen (1996) for a complete description of the limit analysis of collapse
states). Different linear programming methods (see Christiansen (1996) and the references given there)
and, more recently, a Newton barrier method (Christiansen, 1996; Andersen et al., 1998) were considered
to solve this problem. Neither of these two methods will be used here.
Let us give the outline of the paper. The evolution equations describing the flow of an inhomogeneous
Bingham fluid are recalled in section A. The steady state unidirectional (anti-plane) flow is considered
in section B, where the variational formulations in terms of velocities and stresses are recalled from
Hild et al. (2002). In section C the blocking property is analyzed and we introduce the safety factor
which is connected to two optimization problems (velocity and stress formulations). The analysis in
terms of velocities is given in section D. Here, we recall from Ionescu & Lachand-Robert (2004) the
equivalence between the minimum problem in BV (Ω) and a shape optimization problem. The optimal
set is the part of the land which slides whenever the loading parameter becomes greater than the safety
factor. This is proved in the one dimensional case and conjectured for the two dimensional flow. In section
E we study the stress optimization problem. We give a stream function formulation in order to deduce
a minimum problem in W 1,∞ (Ω) and we prove the existence of a minimizer. The Lp (Ω) approximation
technique is used to get a sequence of minimum problems for smooth functionals. Finally, we propose two
numerical approaches following the two analysis presented before. First, we describe a numerical method
to compute the safety factor through the equivalence with the shape optimization problem. After that
we use a finite element discretization and a Newton method to obtain a numerical scheme for the safety
factor through the stress analysis. We compare and we analyze the two approaches through two numerical
examples. The shape optimization method is sharp in detecting the sliding zones but the convergence is
very sensitive to the choice of the parameters. The finite element method is more robust, giving more
precise safety factor but the results cannot be easily compiled to obtain the sliding zone.
A
The mechanical model
We recall here from Hild et al. (2002) the evolution equations in the time interval (0, T ), T > 0 describing
the flow of an inhomogeneous Bingham fluid in a domain D ⊂ R3 with a smooth boundary ∂D. The
notation u stands for the velocity field, τ denotes the Cauchy stress tensor field, p = − trace(τ )/3
represents the pressure and τ ′ = τ + pI is the deviatoric part of the stress tensor. The momentum
balance law in the Eulerian coordinates reads
∂u
+ (u · ∇)u − div τ ′ + ∇p = ρf in D × (0, T ),
(5.24)
ρ
∂t
where ρ = ρ(t, x) > 0 is the mass density distribution and f denotes the body forces. Since we deal with
an incompressible fluid, we get
div u = 0
in D × (0, T ).
The conservation of mass becomes
∂ρ
+ u · ∇ρ = 0 in D × (0, T ).
∂t
(5.25)
(5.26)
If we denote by D(u) = (∇u + ∇T u)/2 the rate deformation tensor, the constitutive equation of the
Bingham fluid can be written as follows:
D(u)
τ ′ = 2ηD(u) + κ
if |D(u)| =
6 0,
(5.27)
|D(u)|
|τ ′ | ≤ κ
if |D(u)| = 0,
(5.28)
69
5.6. Annexe
where η ≥ 0 is the viscosity distribution and κ ≥ 0 is a nonnegative continuous function which stands
for the yield limit distribution in D. The type of behavior described by equations (5.27–5.28) can be
observed in the case of some oils or sediments used in the process of oil drilling. The Bingham model,
also denominated “Bingham solid” (see for instance Oldroyd (1947)) was considered in order to describe
the deformation of many solid bodies (see Cristescu (1975) for metal-forming processes).
Recently, the inhomogeneous (or density-dependent) Bingham fluid was chosen in landslides modeling
(Cristescu, 2000; Cazacu & Cristescu, 2000; Cristescu et al., 2002; Hild et al., 2002). This rigid viscoplastic model is very simple exhibiting only two constitutive constants: viscosity and yield stress. Another
important advantage of using this model is the fact that the initial distribution of the stress in the soil is
not required.
When considering a density-dependent model, the viscosity coefficient η and the yield limit κ depend
on the density ρ through two constitutive functions, i.e.,
η = η(ρ(t, x)),
B
(5.29)
κ = κ(ρ(t, x)).
The steady state unidirectional flow
We consider in this paper the particular case of the steady state unidirectional flow (stationary anti-plane
flow). Therefore, D = Ω × R where Ω is a bounded domain in R2 with a smooth boundary ∂Ω. We
are looking for a flow in the Ox3 direction (see Figure 5.5), i.e. u = (0, 0, u), which does not depend
on x3 and t so that ρ = ρ(x1 , x2 ) and u = u(x1 , x2 ). Note that under these assumptions the equations
(5.25–5.26) are satisfied, hence the density ρ represents now a parameter of the inhomogeneous problem
and we cannot talk about a density dependent model anymore. Indeed the density is implied only in the
spatial distribution of inhomogeneous parameters κ, η and the body forces f are defined as follows
η(x1 , x2 ) = η(ρ(x1 , x2 )), κ(x1 , x2 ) = κ(ρ(x1 , x2 )),
f (x1 , x2 ) = ρ(x1 , x2 )f3 (x1 , x2 ),
where f3 denotes the component of the forces in the Ox3 direction.
The non-vanishing components of the rate deformation tensor D are D13 = D31 = ∂x1 u/2, D23 =
D32 = ∂x2 u/2 and through (5.27) we get that the non-vanishing shear stress components are σ31 =
σ13 (x1 , x2 ), σ32 = σ23 (x1 , x2 ), denoted in the following by σ = (σ13 , σ23 ). Finally, the constitutive
x2
Γ1
u=
x1
(0,
0
, u)
Ω
Γ0
Figure 5.5: The anti-plane flow geometry.
x3
70
5. Théorie du calcul à la rupture appliquée aux glissements gravitaires
equation of the Bingham fluid (5.27-5.28) can be written in terms of shear stress σ and ∇u as follows
σ = η∇u + g
∇u
|∇u|
if |∇u| =
6 0,
(5.30)
if |∇u| = 0,
(5.31)
√
where g(x1 , x2 ) =: κ(x1 , x2 )/ 2 will be called in the following the (anti-plane) yield limit. The momentum
balance law (5.24) reads
|σ| ≤ g
in Ω,
div σ + f = 0
(5.32)
In order to complete equations (5.30–5.32) with some boundary conditions we assume that the boundary of Ω is divided into two parts Γ = Γ0 ∪ Γ1 . On Γ0 we suppose an adherence condition and Γ1 will be
considered as a rigid roof surface (called also “stress free”). More precisely we have
u = 0 on Γ0 ,
σ · n = 0 on Γ1 ,
(5.33)
where n stands for the outward unit normal on ∂Ω.
We suppose in the following that
f, g, η ∈ L∞ (Ω),
g(x) ≥ g1 > 0,
η(x) ≥ η0 > 0, a.e. x ∈ Ω.
If we define
V = {v ∈ H 1 (Ω);
v=0
on Γ0 }
then the variational formulation for the unidirectional (anti-plane flow) is
Z
Z
u ∈ V,
η(x)∇u(x) · ∇(v(x) − u(x)) dx +
g(x)|∇v(x)| dx
Ω
Ω
Z
Z
f (x)(v(x) − u(x)) dx,
∀v ∈ V.
g(x)|∇u(x)| dx ≥
−
(5.34)
Ω
Ω
The above problem
is a standard variational inequality. If meas(Γ0 ) > 0 then it has a unique solution u.
R
If Γ0 = ∅ and Ω f (x) dx = 0 then a solution exists and it is unique up to an additive constant. In the
following we will always assume that the former case holds; the other one can be deduced with obvious
minor changes.
In order to give a variational formulation in terms of stresses for (5.34) we define
Af = {τ ∈ (L2 (Ω))2 ;
div τ = −f
in Ω,
τ ·n=0
on Γ1 },
(5.35)
1
where τ · n is considered in H − 2 (Γ). Let T : L2 (Ω)2 → R be defined by
Z
1
[|τ (x)| − g(x)]2+ dx,
T (τ ) =
Ω 2η(x)
(5.36)
where [ ]+ is the positive part. We recall from Hild et al. (2002) the following result
Theorem B.1
i) There exists at least a σ ∈ Af minimizing T on Af , i.e. T (σ) ≤ T (τ ), for all τ ∈ Af , which is
characterized by
Z
[|σ(x)| − g(x)]+
σ ∈ Af and
σ(x) · τ (x) dx = 0, ∀ τ ∈ A0 ,
(5.37)
η(x)|σ(x)|
Ω
(where A0 is Af with f = 0).
ii) Let u be the solution of (5.34). Then we have
∇u(x) =
[|σ(x)| − g(x)]+
σ(x),
η(x)|σ(x)|
a.e. x ∈ Ω.
(5.38)
71
5.6. Annexe
When considering a viscoplastic model of Bingham type, one can observe rigid zones (i.e. zones where
∇u = 0) in the interior of the flow of the solid/fluid. The above theorem gives the opportunity to describe
the rigid zones Ωr and the shearing zones Ωs defined by
Ωr = {x ∈ Ω;
|∇u(x)| = 0},
Ωs = {x ∈ Ω;
|∇u(x)| > 0}.
From (5.38) we deduce |σ(x)| = g(x) + η(x)|∇u(x)| in Ωs and that the solution σ of (5.37) is unique in
Ωs , (i.e. if σ 1 , σ 2 are two solutions of (5.37) then σ 1 (x) = σ 2 (x) a.e. x ∈ Ωs ). For any σ solution of
(5.37) we have
Ωr = {x ∈ Ω;
C
|σ(x)| ≤ g(x)},
Ωs = {x ∈ Ω;
|σ(x)| > g(x)}.
(5.39)
The blocking property and the safety factor
The previous description of the rigid zones can be used to study the blocking property, i.e. when the
whole Ω is a rigid zone (Ω = Ωr ). When g increases, the rigid zones are growing and if g becomes
sufficiently large, the fluid stops flowing (Glowinski et al., ions). Commonly called the blocking property,
such a behavior can lead to unfortunate consequences in oil transport in pipelines, in the process of oil
drilling or in the case of metal forming. In contrast, in landslides modelling, it is precisely the blocking
phenomenon which ensures stability of the soil.
Proposition C.1 The following three statements are equivalent:
i) The Bingham fluid is blocked i.e. u ≡ 0 is the solution of (5.34).
ii) The blocking inequality holds:
Z
Z
g(x)|∇v(x)| dx ≥
f (x)v(x) dx,
Ω
Ω
∀v ∈ V.
(5.40)
iii) There exists σ ∈ Af such that |σ(x)| ≤ g(x) a.e. x ∈ Ω.
Proof. The equivalence of i) with ii) follows from (5.34). Indeed if u = 0 is a solution of (5.34) then
(5.40) holds. Conversely if (5.40) holds then u = 0 is the unique solution of (5.34). Let us prove now
that i) is equivalent with iii). If the fluid is blocked then Ω = Ωr and from (5.39) we get iii). If iii) holds
then T (σ) = 0 ≤ T (τ ) i.e. σ is a solution of (5.37) and from (5.39) we have Ω = Ωr , hence u = 0 is the
solution of (5.34).
In order to give another characterization of the blocking property we define
Z
g(x)|∇v(x)| dx
Ω
,
B(v) := Z
s := inf B(v),
v∈V
f (x)v(x) dx
(5.41)
Ω
S(τ ) := ess sup
x∈Ω
|τ (x)|
,
g(x)
µ := inf S(τ ).
τ ∈Af
(5.42)
Then we have the following result.
Proposition C.2 The following equality holds :
s=
1
.
µ
Moreover the Bingham fluid is blocked if and only if s = 1/µ ≥ 1.
(5.43)
72
5. Théorie du calcul à la rupture appliquée aux glissements gravitaires
In the case of landslides modelling s = 1/µ appears here as a safety factor. To see this one can consider
a loading parameter t, i.e. we put tf in (5.32) instead of f and a family of variational inequalities where
f is replaced by tf and ut ∈ V is the family of solutions:
Z
Z
g(x)|∇v(x)| dx
η(x)∇ut (x) · ∇(v(x) − ut (x)) dx +
ut ∈ V,
Ω
Ω
Z
Z
(5.44)
f (x)(v(x) − ut (x)) dx,
∀v ∈ V.
g(x)|∇ut (x)| dx ≥ t
−
Ω
Ω
We obtain the existence of a critical loading tcr = s which characterize the blocking phenomenon: the
blocking occurs (i.e. ut ≡ 0) if and only if t ≤ tcr .
Proof. For a fixed f let s(f ) = inf v∈V B(v) and µ(f ) = inf τ ∈Af S(τ ). We remark that s(tf ) = s(f )/t
and µ(tf ) = µ(f )t for all t ∈ R∗+ . Let ut be the solution of (5.44). From the equivalence between i) and
ii) of Proposition C.1 we get that ut = 0 if and only if t ∈ (0, s(f )]. Using now the equivalence between
i) and iii) we obtain that ut = 0 if and only if t ∈ (0, 1/µ(f )], hence 1/µ(f ) = s(f ).
The last assertion is a direct consequence of the previous proposition.
Remark 1. We note here that the safety factor, defined before, can be related to the limit load of
a rigid perfectly plastic solid. The limit analysis (see Christiansen (1996) for a complete description)
models the collapse of material subject to a static load distribution. In this context one can formulate
two minimization problems, which are similar to (5.42) and (5.41), called the "static" and "kinematic"
principles respectively. As in the above proposition, there exists a duality between these two principles
which reduces them to a saddle point problem. For the static principle the yield condition was linearized
and different linear programming methods were used (see Christiansen (1996) and the references given
there). A Newton barrier method for a sum of norms was considered in Andersen et al. (1998) to solve
the kinematic principle. Neither of these two methods will be used here.
D
Velocity analysis
Let us suppose, all over this section, that g and f are continuous functions on Ω. Since the trace map is
not lower semi-continuous with respect to the weak* topology of BV (Ω) we have to relax the boundary
condition v = 0 on Γ0 . Indeed, if we denote by
W := {v ∈ BV (R2 ) : v = 0 a.e. in RN \ Ω},
then for all v ∈ W there exist ϕn ∈ Cc∞ (R2 ) ∩ V such that
Z
Z
f (x)v(x) dx,
f (x)ϕn (x) dx →
Z
ZΩ
Z Ω
g(x)|v(x)| dS,
g(x) d|∇v|(x) +
g(x)|∇ϕn (x)| dx →
Ω
Ω
(5.45)
(5.46)
Γ0
where |∇v| is the variation measure of v and |v| on Γ0 have to be understood in the sense of the trace
map on BV (Ω). That means that we have to introduce the boundary condition into the functional B,
i.e. to extend B for all v ∈ W as follows
Z
g(x) d|∇v|(x)
Z 0
B(v) = Ω∪Γ
.
(5.47)
f (x)v(x) dx
Ω
Note that Γ0 may be non-negligible with respect to the variation measure |∇v|. Let us also remark that
if v ∈ BV (Ω) then
Z
Z
Z
g(x)|v(x)| dS,
(5.48)
g(x) d|∇v̄|(x) =
g(x) d|∇v|(x) +
Ω∪Γ0
Ω
Γ0
73
5.6. Annexe
where v̄ : R2 → R is the function v extended by 0 outside Ω (i.e. v̄(x) = v(x) for x ∈ Ω and v̄(x) = 0, for
x ∈ R2 \ Ω).
From the above equality it is clear now that B has an extension on W, i.e. B(v̄) given by (5.47)
coincides with B(v) given by (5.41) for all v ∈ V . Then we have (Ionescu & Lachand-Robert, 2004):
Theorem D.1 There exists v ∗ ∈ W such that
s = B(v ∗ ) = min B(v).
v∈W
(5.49)
Remark 2. In the special case f ≡ 1 ≡ g and Γ1 = ∅ the minimum in (5.49) is the first eigenvalue of
the so-called 1-laplacian operator (Demengel, 2002b,a; Kawohl & Fridman, to appear). The latter is the
limit, as p → 1, of the p-laplacian operator whose first eigenvalue λp (Ω) can be estimated from below by
the Cheeger constant h(Ω) = inf ω⊂Ω |∂ω|/|ω| with λp (Ω) ≥ (h(Ω)/p)p , see Matei (2000). For p = 2, this
is the well-known Cheeger’s inequality (Cheeger, 1970), which was the initial motivation for the study of
the Cheeger’s problem.
We consider now the functional J defined for open sets ω ⊂ Ω with regular boundary by:
R
∂ω\Γ1 g(x) dS
R
J (ω) =
.
f (x) dx
ω
(5.50)
Let ω ⊂ Ω be given and 1ω be its characteristic function. Then one can check that 1ω ∈ W and since
∂ω ∩ (Ω ∪ Γ0 ) = ∂ω \ Γ1 we have J (ω) = B(1ω ). The integrals in (5.50) can be considered for any set
ω with finite perimeter (that is, such that its characteristic function 1ω belongs to BV (RN )). Hence
we may extend the definition of J (ω) for these sets. In this case ∂ω has to be replaced
by the reduced
R
boundary ∂ ∗ ω of ω, (see Evans & Gariepy (1992, section 5.7)) and we can write ∂ ∗ ω\Γ1 g(x) dS, instead
R
of Ω∪Γ0 g d |∇1ω |. Even if the set ω does not have finite perimeter, then the integral on the boundary ∂ ∗ ω
R
can be considered infinite and we will define J (ω) = +∞ regardless of the value of ω f (x) dx. Since we
shall investigate a minimization problem for J , such a set ω is not relevant, because it is not a minimizer.
Finally we have
J (ω) = B(1ω ), ∀ω ∈ O,
where O is the set of open subsets of Ω with finite perimeter. We denote in the following by O1 ⊂ O, the
set of simply connected open subsets of Ω.
We recall from Ionescu & Lachand-Robert (2004) the link between the blocking inequality (5.40) and
a shape optimization problem (i.e. a minimum problem for J ), and some existence and regularity results:
Theorem D.2 We have
s = inf J (ω).
ω∈O
(5.51)
Moreover if Ω is simply connected then the infimum in (5.51) is attained by some simply connected open
set X, i.e.
s = J (X) = min J (ω).
ω∈O1
(5.52)
Additionally, if g ∈ C 1 (Ω), then any minimizerSX of J has a boundary of class C 2 in Ω and C 1 in any
point x0 ∈ Γ0 where the tangent cone K(x0 ) = λ>0 λ(Ω − x0 ) is a convex set. If ∂X crosses Γ1 at some
point x0 ∈ Γ1 where Γ1 is C 1 , then ∂X has a tangent line orthogonal to Γ1 at x0 .
A weaker result was obtained many years ago in Mosolov & Miasnikov (1965). For the homogeneous
case (f ≡ 1 ≡ g and Γ1 = ∅) they proved the existence of minimum s of J on set of open subsets of Ω
with a smooth boundary.
74
5. Théorie du calcul à la rupture appliquée aux glissements gravitaires
We shall investigate now the physical interpretation of the optimal subset X. For this we consider ut
the family of solutions of (5.44) and let
Ω0t := {x ∈ Ω; ut (x) = 0},
0
Ωsl
t := {x ∈ Ω; ut (x) 6= 0} = Ω \ Ωt
(5.53)
be the family of subsets of Ω where the fluid is at rest or sliding, respectively. As it follows from the
previous section we have Ω0t = Ω, Ωsl
t = ∅ for all t ∈ (0, s].
Conjecture D.1 The optimal subset X is the part of the fluid (land) which slides whenever the loading
parameter t becomes greater than s. More precisely, there exists lim Ωsl
t and
t→s+
0
X = lim Ωsl
t = Ω \ lim Ωt
t→s+
t→s+
is a solution of the shape optimization problem (5.52).
As it will be proved below, the conjecture is true for the one dimensional flow (Ω ⊂ R) between an
infinite plane (x = 0) and a rigid roof (x = ℓ) which models landslides on a natural slope (see Cristescu
(2000)). In this case the body forces f are positive and are given by f (x) = γρ(x) sin θ > 0, where θ is the
angle of the slope, ρ(x) > 0 is the mass density distribution and γ is the vertical gravitational acceleration.
Proposition D.1 Let Ω = (0, ℓ) ⊂ R, Γ0 = {0} and Γ1 = {ℓ} and let us suppose that f (x) > 0 in Ω.
Then for all t ≥ s there exists αt ∈ [0, ℓ), such that
Ω0t
=
(
Ω if t ≤ s,
(0, αt ] if t > s,
Ωsl
t
=
(
∅ if t ≤ s,
(αt , ℓ) if t > s,
(5.54)
and there exists X = lim Ωsl
t = (αs , ℓ) which is a solution of the shape optimization problem (5.52).
t→s+
Proof. The set Af is reduced to a single function g ∗ (the inhomogeneous critical yield limit) that is
Rℓ
g ∗ (x) = x f (y) dy, Af = {g ∗ }, hence we can easily compute µ = 1/s = supy∈(0,ℓ) g ∗ (y)/g(y) through
(5.42). In order to define αt we denote by G(x) := g(x)/g ∗ (x), H(x) := inf y∈(0,x) G(y) and we remark
that H(ℓ) = s = 1/µ and G(x) ≥ s for all x ∈ Ω. Since H is continuous and non increasing on (0, ℓ) for
all t ≤ H(0+) = G(0) there exists αt ∈ [0, ℓ] such that (0, αt ) = H −1 ((t, +∞)). If t < s we remark that
αt = ℓ and for t > H(0+) we put αt = 0.
We claim that G(αs ) = s. To prove this let us suppose that G(αs ) > s. Since s ≥ H(αs ) we
deduce that inf y∈(0,αs ) G(y) ≤ s and from G(αs ) > s we deduce that there exists β < αs with H(β) =
inf y∈(0,β) G(y) = s which contradicts the fact that (0, αs ) = H −1 ((s, +∞)).
Let us analyze now the optimization problem (5.52). Bearing in mind that O1 is the set of open
intervals O1 = {(a, b); 0 ≤ a < b ≤ ℓ} and J ((a, b)) = (g(a) + g(b))
/(g ∗ (a)−g ∗ (b)) ≥ G(a) = g(a)/g ∗ (a) = J ((a, ℓ)) if b < ℓ, we can restrict the shape minimization problem
to the set of intervals {(a, ℓ); a ∈ (0, ℓ)}. Let X = (αs , ℓ). We have J (X) = G(αs ) = s ≤ G(a) = J ((a, ℓ))
for all a ∈ (0, ℓ) which means that X = (αs , ℓ) is an optimal set.
Let us recall from Hild et al. (2002) the analytical expression of the family of solutions:
ut (x) =
Z
0
x
1 ∗
tg (y) − g(y) + dy.
η(y)
We deduce that ut is non decreasing, hence Ω0t and Ωsl
t are intervals of type (0, α] and (α, ℓ) respectively.
Bearing in mind that (0, αt ) = H −1 ((t, +∞)) from the above expression of ut we get α = αt , therefore
(5.54) holds. Since H is continuous and non increasing the map t → αt is right continuous. Therefore
lim (αt , ℓ) = (αs , ℓ).
t→s+
75
5.6. Annexe
E
Stress analysis
We suppose in this section that Γ1 is simply connected and |Γ1 | > 0. From Proposition C.2 we have that
the problem of the safety factor s = 1/µ in terms of stresses reduces to
µ =
inf S(τ ).
τ ∈Af
(5.55)
f
f
∞
2
∞
We suppose in the following that A∞
f := Af ∩(L (Ω)) is not empty and let τ f = (τ1 , τ2 ) ∈ Af . Then we
∞
∞
∞
∞
∞
have Af = A0 +τ f , where A0 is Af with f = 0. For all τ = (τ1 , τ2 ) ∈ A0 the condition ∂x1 τ1 +∂x2 τ2 =
0 implies that there exists a function ϕ (the stream function) such that ∂x1 ϕ = −τ2 , ∂x2 ϕ = τ1 in Ω.
The condition τ · n = 0 on Γ1 means that the tangential derivative of ϕ on Γ1 is vanishing. This means
that ϕ is constant on Γ1 and since ϕ is only defined up to an additive constant, we can assume ϕ = 0
on Γ1 .
In order to give a formulation of (5.55) in terms of stream functions we define
W∞ := {ϕ ∈ W 1,∞ (Ω) | ϕ = 0 on Γ1 },
|∇ϕ(x) + σ f (x)|
P (ϕ) := ess supx∈Ω
,
g(x)
where σ f = (−τ2f , τ1f ) ∈ L∞ .
Since for all ϕ ∈ W∞ we have τ = (∂x2 ϕ, −∂x1 ϕ) ∈ A∞
0 and S(τ + τ f ) = P (ϕ) we can replace (5.55)
with a minimization problem for P on the space of the stream functions.
Since the integrand x → |A + σ f (x)|/g(x) is not regular enough we cannot directly apply a result of Barron et al. (2001) to deduce the lower semicontinuity of P with respect to the weak-∗ topology in W 1,∞ (Ω). This property follows from the uniform coercivity property of the integrand (see
Champion et al. (2004)). More precisely we have the following result:
Proposition E.1 There exists a ψ ∈ W∞ solution of
µ = P (ψ) = min P (ϕ).
ϕ∈W∞
(5.56)
Proof. Let (ϕn ) be a minimizing sequence for P . It follows from the expression of P that k∇ϕn kL∞ (Ω) ≤
C kgkL∞ (Ω) + kσ f kL∞ (Ω) ; hence ∇ϕn is bounded in L∞ (Ω). From the boundary condition ϕn = 0 on
Γ1 we get that (ϕn ) is bounded in W 1,∞ (Ω). Therefore, there exists ψ ∈ W 1,∞ (Ω) with ψ = 0 on Γ1
∗
so that ϕn ⇀ ψ in W 1,∞ (Ω). Since the function (x, τ ) → |τ + σ f (x)|g(x)−1 is uniformly coercive in τ ,
the function P is lower semicontinuous (Champion et al., 2004, Theorem 3.3) with respect to the weak-∗
convergence in W 1,∞ (Ω). From this result we get that P (ψ) ≤ lim inf P (ϕn ) = µ and (5.56) yields.
In order to use the Lp approximation method we introduce the following sequence of spaces and
functionals for p > 1
Wp = {ϕ ∈ W 1,p (Ω) | ϕ = 0 on Γ1 }
Z
1
|∇ϕ(x) + σ f (x)|p
dx, Pp (ϕ) = Qp (ϕ)1/p .
Qp (ϕ) =
|Ω| Ω
g(x)p
Theorem E.1 For all p > 1 there exists an unique solution ψp of the optimization problem for Pp
µp := Pp (ψp ) = min Pp (ϕ).
ϕ∈Wp
(5.57)
The minimum µp converges to µ as p goes to ∞. Moreover there exist a subsequence of (ψp )p>1 , again
denoted by (ψp )p>1 and ψ ∈ W∞ a solution of (5.56) such that ψp ⇀ ψ in Wq for all q > 1.
The proof below does not make use of the Γ-convergence method introduced in de Giorgi & Franzoni
(1975) (see Dal Maso (1993) for more details). Since the integrand does not satisfy the linear growth
condition given in (Champion et al., 2004, Theorem 3.1) we need to give here a direct proof.
76
5. Théorie du calcul à la rupture appliquée aux glissements gravitaires
Proof. It is a classical result that the existence of a minimizer in (5.57) follows the strict convexity and
coercivity of Qp .
In order to prove that µp → µ, we notice first that if p ∈ (q, +∞] then Wp ⊂ Wq and, using
Hölder inequality, Pq (ϕ) ≤ Pp (ϕ) for all ϕ ∈ Wp . This implies that µp ≤ µ for all p > 1, hence
lim supp→∞ µp ≤ µ.
Let p > q. Having in mind that
µ ≥ µp = Pp (ψp ) ≥ Pq (ψp ) ≥
k∇ψp kLq (Ω)
kgkL∞ (Ω)
|σ f | −
g q
L (Ω)
we deduce that (ψp )p>q is bounded in Wq .
Therefore there exists ψ ∈ W2 and a subsequence of (ψp )p>2 , again denoted by (ψp )p>2 , such that
ψp ⇀ ψ in W2 as p → ∞. Since (ψp )p>q is bounded in Wq we deduce that ψ ∈ Wq and ψp ⇀ ψ in Wq ,
with q > 2, as p → ∞. Hence (∇ψp + σ f )/g ⇀ (∇ψ + σ f )/g in Lq (Ω) and we have
µ ≥ lim inf µp = lim inf Pp (ψp ) ≥ lim inf Pq (ψp ) ≥ Pq (ψ).
p→∞
p→∞
p→∞
(5.58)
T
From (5.58) we have (∇ψ + σ f )/g ∈ q>2 Lq (Ω) and k(∇ψ + σ f )/gkLq (Ω) is bounded with respect to q.
Using now a classical argument we deduce that (∇ψ + σ f )/g is essentially bounded, so we have ψ ∈ W∞ .
Passing to the limit q → ∞ in (5.58) and using limq→∞ Pq (ψ) = P (ψ), we get
µ ≥ lim sup µp ≥ lim inf µp = lim inf Pp (ψp ) ≥ P (ψ) ≥ µ.
p→∞
p→∞
p→∞
This proves that ψ is a solution of (5.56) and limp→∞ µp = µ.
F
Numerical illustration
In this section we present some numerical results obtained for the two approaches described in sections D
and E in order to compare them. It is not our intention to give here a numerical analysis (convergence,
optimal parameters,. . . ) for the numerical methods described below. We just want to compare velocity
and stress analysis through some numerical experiments in order to get some general features of these
two approaches.
In order to discretize the shape optimization problem (5.51) for n = 200 we have considered γn a
piecewise affine Jordan curve with n edges [xi , xi+1 ], 1 ≤ i ≤ n (where xn+1 = x1 ). We denote by ωn
the interior of γn , i.e. γn = ∂ωn . Then we define Jn : Ωn → R as Jn (x1 , ..., xn ) := J (ωn ). Since it is not
the goal of this paper to discuss the more appropriate method for the resulted non-convex optimization
problem (i.e. for Jn ), we have chosen a basic one: the gradient method. As expected, we have remarked
that a large number of iterations are needed but the method is quite precise. On the other hand, in some
cases the method is converging to a local minima different from the global minimum. Even with a choice
of an initial shape close to the optimal shape, the step has to be very small to ensure the convergence to
the global minimum.
For the stress analysis (described in section E) a finite element approximation of the problem (5.57)
with an uniform mesh of 100 × 100 finite elements of degree one was used. In order to solve the resulted
finite dimensional optimization problem we have used a classical Newton iterative method. The parameter
p was chosen up to 200 and a rapid convergence of the Newton method was remarked. As a matter of
fact we have changed p at each iteration to ensure the convergence with respect to these two parameters
in the same time. Due to the Lp approximation, in some cases, the distribution of |∇ψp + σ f |/g in Ω is
not sharp enough to distinguish the sliding and rigid zones.
The domain was chosen to be Ω = {(x, y); −1 < y < h(x), x ∈ (−1, 1)} with h(x) = 1 if |x| > 0.5 and
h(x) = 2 + cos(2πx) for |x| < 0.5. The free surface (rigid roof) was Γ1 = {y = h(x); x ∈ (−1, 1)}.
Firstly we have considered f = g = 1, i.e. the homogeneous case. For the safety factor (µ = 1/s =
1.093180 and µ = 1/s = 1.09959) and the sliding domain (see Figure 5.6) the results are close. It
was difficult to get the global minimum X with the shape optimization method. Indeed, even with an
77
5.6. Annexe
f=g=1
3.0
3
2.8
2.6
2.5
2.4
2.2
2.0
2
1.8
1.6
1.5
1.4
1.2
1.0
1
0.8
0.6
0.5
0.4
0.2
0.0
0
-0.2
-0.4
-0.5
-0.6
-0.8
-1.0
-1.0
-0.8
-0.6
1.0850
-0.4
1.0878
-0.2
0.0
1.0906
0.2
1.0934
0.4
0.6
1.0962
0.8
1.0
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.0990
Figure 5.6: The domain Ω = {(x, y); −1 < y < h(x), x ∈ (−1, 1)} (light grey) with the (stress) free
surface Γ1 = {y = h(x); x ∈ (−1, 1)} for the homogeneous case f = g = 1. Left: the computed
distribution of |∇ψp + σ f |/g solution of the stream optimization problem (5.57) with µ = 1/s = 1.09959.
Right: the computed domain X (dark grey) solution of the shape optimization problem (5.52) with
µ = 1/s = 1.093180.
appropriate choice of the initial shape, the method converged to a domain (probably a local minimum).
Only with a very small step in the gradient method, the convergence towards the optimal set was ensured.
In the second example we have considered the nonhomogeneous case with functions which depend on
the vertical variable y. The distribution is linear with respect to the depth for the body forces f (y) =
3+2(1−y) and quadratic for the yield stress g(y) = 2+2(1−y)2 as proposed in Cazacu & Cristescu (2000).
The computed safety factor was µ = 1/s = 0.94104 for the stress formulation and µ = 1/s = 0.93781 for
the shape optimization method. We remark that the sliding domain is smaller than in the homogeneous
case (see Figure 5.7). The distribution of |∇ψp + σ f |/g in Ω is not sharp hence the stress analysis cannot
give in this case the sliding domain. Since the shape functional has almost the same value for all interior
boundaries included in a large band the method had a slow convergence.
3.0
3
2.8
2.6
2.5
2.4
2.2
2.0
2
1.8
1.6
1.5
1.4
1.2
1.0
1
0.8
0.6
0.5
0.4
0.2
0.0
0
-0.2
-0.4
-0.5
-0.6
-0.8
-1.0
-1.0
-0.8
0.9280
-0.6
-0.4
0.9304
-0.2
0.9328
0.0
0.2
0.9352
0.4
0.6
0.9376
0.8
1.0
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.9400
Figure 5.7: The domain Ω = {(x, y); −1 < y < h(x), x ∈ (−1, 1)} (light grey) with the (stress) free surface
Γ1 = {y = h(x); x ∈ (−1, 1)} with non-homogeneous body force and yield limit f = f (y) = 3+2(h(x)−y)
and g = 2 + 2(h(x) − y)2 . Left: the computed distribution of |∇ψp + σ f |/g solution of the stream
optimization problem (5.57) with µ = 1/s = 0.94104. Right: the computed domain X (dark grey)
solution of the shape optimization problem (5.52) with µ = 1/s = 0.93781.
78
5. Théorie du calcul à la rupture appliquée aux glissements gravitaires
If we compare the two approaches the conclusions are:
1. The shape optimization method is sharp in detecting the zones in sliding but the convergence to a
global minimum, which is very sensitive to the choice of the parameters, is not ensured.
2. The stress optimization method is more robust, gives precise safety factors but the results cannot
be easily compiled to obtain the sliding zone.
As a corollary of this conclusion one can choose to proceed in two steps : first to use the stream
function method to approach the safety factor s and to use this information to get an convenable initial
guess for the shape optimization problem and adjust the step size to really get the global minimum.
References
(toutes les références bibliographiques ont été rassemblées à la fin du document)
Chapitre 6
Sur quelques problèmes d’élasticité en
présence de frottement
Le frottement est un phénomène qui intervient dans beaucoup de situations quotidiennes et qui intéresse
bon nombre d’applications tant dans le domaine des Sciences de l’Ingénieur que dans celui des sciences
fondamentales (maintient de pièces en contact, robotique, lubrification, initiation de séismes, glissements
de terrain, etc). La communauté scientifique qui se consacre à l’étude de ce phénomène est ainsi très large,
elle va des physiciens expérimentateurs qui établissent en laboratoire des lois de contact (tribologie) sur
différents matériaux, aux mécaniciens et aux mathématiciens qui s’intéressent au caractère non régulier
de la plupart de ces lois et qui rend les problèmes à résoudre particulièrement difficiles, en passant
par les ingénieurs qui développent des méthodes de résolution et des codes de calcul. On s’intéresse
ici au modèle le plus connu, celui du frottement de Coulomb en élasticité linéaire et qui malgré la
simplicité de sa formulation présente d’importantes difficultés mathématiques qui n’en ont pas permis
une complète compréhension. Ce chapitre résume un travail de collaboration entrepris entre 1999 et 2006
avec Ioan Ionescu, Patrick Hild et É. Oudet de l’équipe “équations aux dérivées partielles” du laboratoire
de Mathématiques de l’Université de Savoie. Bien que l’idée initiale fut de s’intéresser aux instabilités
liées au frottement des corps élastiques pour comprendre l’initiation des séismes (sujet des thèses de Q.
L. Nguyen, C. Voisin et S. Wolf encadrées par I. Ionescu) le centre d’intérêt de cette collaboration s’est
rapidement déplacé vers des questions plus en amont portant en particulier sur la recherche de conditions
suffisantes de non-unicité, sur l’instabilité de certaines positions d’équilibre et sur l’existence de solutions
dites coincées. Ces travaux ont été présentés dans quatre publications parues dans des journaux de
Mathématiques, de Mécanique et de Sciences de l’Ingénieur. Après une brève présentation de l’idée de
base de chaque sujet nous reproduisons deux de ces quatre articles.
Sommaire
6.1 Présentation générale
6.1.1 Non-unicité des solutions
6.1.2 Existence de solutions “coincées”
6.1.3 Instabilité de l’équilibre
6.2 Une méthode d’élélements finis mixte
6.3 Calcul des solutions coincées
80
6.1
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
Présentation générale
On se place en déformations planes infinitésimales et on considère un corps déformable dont la section
droite occupe le domaine Ω de R2 . Il est soumis (fig. 6.1) à différentes actions extérieures : des forces de
volume, notées f , des forces surfaciques, F , s’exerçant sur la partie ΓN de sa frontière ∂Ω, des liaisons
cinématiques sur la partie ΓD ⊂ ∂Ω et des actions de contact sur la partie ΓC ⊂ ∂Ω.
F
G
Figure 6.1 –
D
f
G
W
G
N
C
Définition du chargement qui s’applique dans et sur le corps déformable.
En supposant que les déformations restent infiniment petites et que le milieu obéit à la loi d’élasticité
linéaire de Hooke, le problème dynamique (ou quasi-statique si ü = 0), consiste à trouver le déplacement
u : [0, T ] × Ω → R2 vérifiant :

div σ(u(t)) + f = ρü(t) dans Ω,





 σ(u(t)) = C ε(u(t)) dans Ω,

u(t) = U(t) sur ΓD ,




 σ(u(t))n = F (t) sur Γ .
N
(6.1)
où ε = (∇u + ∇T u)/2 et C désigne l’opérateur de la loi de Hooke. Cet ensemble d’équations doit être
complété par les conditions de contact avec la fondation rigide. Celles-ci sont, d’une part, les conditions
de non pénétration (conditions unilatérales de Signorini) et, d’autre part, la loi de frottement de Coulomb
qui stipule que, localement, le glissement ne peut avoir lieu que si la contrainte tangentielle a atteint un
seuil dont la valeur est proportionnelle à la contrainte normale, seuil qui, dans la version la plus simple
de la loi, est conservé lors du glissement :

u ≤ 0, σn (u) ≤ 0,


 n
σt (u) = µσn sign(u̇t )



|σt (u)| ≤ −µσn (u)
un σn (u) = 0,
si u̇t 6= 0,
(6.2)
sinon.
avec un , σn le déplacement normal et la contrainte normale (le vecteur normal à Γ est sortant), u̇t la
vitesse tangentielle, σt la contrainte tangentielle et µ le coefficient de frottement, supposé ici constant.
Une position d’équilibre est une solution du problème (6.1)-(6.2) pour laquelle l’accélération et la
vitesse sont identiquement nulles. Les conditions de frottement (6.2) se limitent dans ce cas à l’inéquation
|σt (u)| ≤ −µσn (u) en tous les points de ΓC .
81
6.1. Présentation générale
Quant au cas statique, il consiste à chercher le déplacement u : Ω → R2 vérifiant :

div σ(u) + f = 0 dans Ω,





 σ(u) = C ε(u) dans Ω,

u = U sur ΓD ,




 σ(u)n = F sur Γ .
N
(6.3)
et les conditions de contact (6.2) mais où u̇t est simplement remplacé par ut :

u ≤ 0, σn (u) ≤ 0,


 n
σt (u) = µσn sign(ut )



|σt (u)| ≤ −µσn (u)
un σn (u) = 0,
si ut 6= 0,
(6.4)
sinon.
Notons enfin que, dans sa formulation incrémentale, un problème quasi-statique peut être vu comme
une suite de problèmes statiques (indicée par le temps cinématique). Pour chacun de ces problèmes, le
déplacement tangentiel intervenant dans les relations 6.4 s’interprète alors comme le déplacement par
rapport à la configuration d’équilibre précédente.
6.1.1
Non-unicité des solutions
Dans le cas statique, la toute première formulation variationnelle a été écrite par Duvaut & Lions (1972)
et les premiers résultats d’existence furent obtenus par Nečas et al. (1980) puis par Jarušek (1988) et Kato
(1987). Dans ces travaux, l’existence est établie seulement dans le cas de coefficients de frottements “suffisamment petits” et rien n’est dit sur l’unicité de la solution. Une condition suffisante d’unicité portant
aussi sur la petitesse du coefficient de frottement a pu être donnée pour des modèles de contact différents
(modèle de contact non local ou modèle à compliance normale) par, entre autres, Demkovicz & Oden
(1982); Kikuchi & Oden (1988); Klarbring et al. (1989). Cependant, cette condition suffisante d’unicité
n’a jamais été complétée (et a fortiori dans le cas général) par une condition suffisante de non unicité.
Nous avons étudié cette question pour le cas statique (ou quasi-statique), c’est-à-dire que nous essayons
de répondre, au moins dans certains cas, à la question :
les efforts extérieurs, la géométrie et les propriétés matérielles du milieu étant connus, peut-on établir
des conditions suffisantes pour lesquelles plusieurs solutions au problème statique (ou quasi-statique)
existent ?
Cette question est abordée par une approche originale menant à un problème spectral sur le bord
obtenu de la manière suivante (on se limite au cas statique mais le cas quasi-statique se traite de façon
semblable) : on désigne par u0 une solution du problème (6.3)-(6.4) et on cherche les conditions pour
lesquelles une autre solution u1 différente peut exister. On cherche donc à déterminer le problème que
doit satisfaire la différence u1 − u0 et si ce problème intermédiaire admet des solutions autres que la
solution nulle. Comme u1 est supposée vérifier le problème (6.3)-(6.4), l’idée est bien entendu d’obtenir
ce problème en injectant dans (6.3)-(6.4) l’expression de u1 , que l’on pourra toujours écrire sous la forme
u1 = u0 + δΦ (avec δ ∈ R). Cela se fait trivialement pour l’ensemble des équations linéaires (6.3) mais
demande un peu plus d’attention pour les relations (6.4).
On commence pour cela par partitionner l’interface de contact ΓC en la séparant en trois zones. La
première est composée par les points où le contact n’est pas établi (zone libre). Cette partie forme donc
une surface libre que l’on adjoint à ΓN pour former Γ0N . La seconde zone est formée des points de ΓC
pour lesquels le contact est avéré mais le glissement nul (zone d’adhérence). On connait donc le déplacement (nul) sur cette partie de la frontière ; elle est donc adjointe à ΓD pour former Γ0D . Enfin la partie
restante, notée Γ0C , est formée par tous les points pour lesquels le contact est avéré et qui sont candidats
82
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
au glissement (zone de glissement).
On se restreint ensuite, pour simplifier, au cas où la contrainte tangentielle σt (u0 ) garde le même signe
sur Γ0C et l’on suppose que la solution u1 , si elle existe, n’est “pas trop éloignée” de u0 dans le sens où les
statuts de contact des points de ΓC sont les mêmes pour les deux solutions. Dans ce cas, et si σt (u0 ) ≥ 0
sur Γ0C (si σt (u0 ) ≤ 0 il suffit de changer µ en −µ dans la dernière équation de (6.5)), Φ : Ω → R2 doit
satisfaire le problème

div σ(Φ) = 0 dans Ω,





σ(Φ) = C ε(Φ) dans Ω,



Φ = 0 sur Γ0D ,




σ(Φ)n = 0 sur Γ0N ,




Φn = 0 et σt (Φ) = µσn (Φ)
(6.5)
sur Γ0C .
qui montre que Φ est la fonction propre du problème (6.5) associée à la valeur propre µ. Ainsi donc, le
problème (6.3)-(6.4) admettra une infinité de solutions si le problème spectral (6.5) admet au moins une
valeur propre réelle égale (au signe près) au coefficient de frottement. Cette valeur est donc un coefficient
de frottement critique pour lequel survient la perte d’unicité.
Remarquons que c’est parce que l’on suppose que tous les points de Γ0C ont un glissement non nul
que l’on aboutit à un problème spectral (6.5) linéaire. Relaxer cette hypothèse (et donc permettre un
déchargement) conduit à un problème spectral non linéaire et donc plus délicat à traiter (on n’a plus des
contraintes sous forme d’égalités sur Γ0C mais sous forme d’inégalités). C’est ce qui a cependant été fait
dans Ionescu & Wolf (2005) et utilisé dans l’étude sur la stabilité des positions d’équilibre résumée au
sous paragraphe 6.1.3 ci-dessous.
En résumé, pour une géométrie donnée, pour des propriétés matérielles données (ici le coefficient de
Poisson) et pour une distribution donnée des différentes frontières, on est en mesure de préciser s’il existe
un coefficient de frottement critique pour lequel le problème statique (6.3)-(6.4) possède, sous certaines
conditions, plusieurs solutions. De plus, ces solutions se déduiront les unes des autres par un terme additif
près égal à δΦ où Φ est la fonction propre associée au coefficient de frottement critique et δ un nombre
réel “pas trop grand”.
La discrétisation du problème spectral (6.5) a été réalisée par une méthode d’éléments finis mixte où
le multiplicateur correspond au vecteur contrainte sur la zone de contact. La librairie ARPACK a été
utilisée pour calculer les valeurs propres et les fonctions propres du problème discrétisé. Tous les détails
sur ces aspects ainsi que des exemples numériques sont donnés dans l’article
Hassani, R., P. Hild, I. R. Ionescu, N.-D. Sakki, A mixed finite element method and solution multiplicity for Coulomb friction contact. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering (2003)
et que nous reproduisons au paragraphe 6.2.
Les aspects plus mathématiques du problème continus sont quant à eux développés dans l’article
Hassani, R., P. Hild, I. R. Ionescu, Sufficient conditions of non-uniqueness for the Coulomb friction
problem. Mathematical Methods in the Applied Sciences (2004).
83
6.1. Présentation générale
6.1.2
Existence de configurations “coincées”
Supposons que le corps élastique occupe la configuration naturelle déchargée Ω et imaginons qu’on le force, par un jeu d’actions extérieures,
à venir en contact avec la fondation rigide puis qu’on relâche ces actions (figure 6.2). Sans chercher à décrire la phase de déchargement
(ce qui nécessiterait d’étudier un problème d’évolution dynamique ou
quasi-statique), peut-on dire si la configuration d’équilibre sera alors la
configuration initiale Ω (solution triviale) ou s’il peut exister un état
d’équilibre autre, maintenu par les seules forces de contact avec la fondation rigide ?
Un tel état d’équilibre, s’il existe, obtenu après suppression complète
des forces extérieures est appelé configuration coincée (wedged configuration).
Figure 6.2 –
Pour une géométrie fixée, pour une surface de contact candidate et pour des propriétés élastiques
connues, la question est donc de savoir si l’on peut trouver un coefficient de frottement µ pour lequel une
telle configuration pourra exister. Il va de soit que si cette configuration existe elle le sera alors a fortiori
pour tout coefficient de frottement supérieur à µ. On cherchera donc à déterminer le plus petit coefficient
de frottement µw permettant d’obtenir une solution coincée.
Supposons donc qu’il existe une configuration coincée, appelons 0 6= Φ : Ω → R2 le champ de
déplacements correspondant à cet équilibre et µ le coefficient de frottement de Coulomb sur l’interface
de contact (ou plus exactement la zone candidate au contact) ΓC et négligeons pour simplifier les forces
de volume. Φ doit être solution du problème d’équilibre avec second membres nuls (puisqu’il n’y a plus
aucune force extérieure) :

div σ(Φ) = 0, σ(Φ) = C ε(Φ) dans Ω,



Φ = 0 sur ΓD , σ(Φ)n = 0 sur ΓN ,



Φn ≤ 0, σn (Φ) ≤ 0, Φn σn = 0, |σt (Φ)| ≤ −µσn (Φ)
(6.6)
sur ΓC .
Remarquons que si l’on connait la zone où le contact a lieu (Φn = 0 et σn < 0) et où le seuil de
glissement est atteint (|σt | = −µσn ) et si de plus le signe de la contrainte tangentielle est connu, alors le
problème (6.6) se ramène à un problème spectral linéaire du type (6.5) correspondant à la perte d’unicité.
Cela signifie que pour un coefficient de frottement égal à la plus petite valeur propre de ce problème spectral, le problème admet au moins deux solutions (dont l’une correspond au retour à la position initiale
(Φ = 0)).
Dans le cas général, on ne sait malheureusement pas résoudre directement ce problème non-linéaire
et on ne peut pas tester toutes les combinaisons (zones de contact “glissant”, signe de la contrainte tangentielle) possibles pour se ramener à un problème linéaire. L’idée est alors la suivante : considérons
la solution U d’un problème intermédiaire élastostatique dans lequel on impose sur ΓC un déplacement
normal un et une contrainte tangentielle σt et construisons à partir de cette solution la contrainte normale
σn (on s’intéresse donc à la relation linéaire L : (σt , un ) 7→ σn ). En ne choisissant que des couples (σt , un )
admissibles, c’est-à-dire ceux qui permettent aux conditions unilatérales de Signorini d’être respectées, les
solutions U seront solutions de (6.6) à condition que la loi de Coulomb soit vérifiée : µ ≥ |σt (x)|/σn (x)
pour tout x ∈ ΓC dès que σn (x) < 0. Pour qu’il en soit ainsi il faut donc que µ soit plus grand que
la plus grande valeur, notée J, atteinte par ce rapport sur l’interface de contact. Il s’ensuit que si µ est
strictement plus petit que la plus petite valeur, µw , atteinte par J sur l’ensemble des couples admissibles,
la loi de Coulomb ne peut pas être respectée et le problème ne peut pas admettre de solution coincée. À
l’inverse, si µ est strictement plus grand que µw , on montre que le problème (6.6) admet au moins une
solution.
84
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
D’un point de vue pratique le calcul numérique de (µw , Φ) passe tout d’abord par le calcul de la matrice de l’opérateur linéaire L. Nous employons pour cela une discrétisation par une méthode d’éléments
finis mixte comme au §6.1.1. Une méthode d’optimisation globale utilisant un algorithme génétique développé par É. Oudet permet ensuite de calculer µw par minimisation d’une fonctionnelle suprémale (la
borne supérieure J du rapport |σt (x)|/L(σt , un )(x)) ainsi que le couple qui réalise cet infimum. Connaissant ce couple on calcule alors U (qui, par construction, ne sera autre que Φ) par résolution du problème
intermédiaire.
Le détail de ces calculs ainsi que des exemples concrets sont donnés dans l’article
Hassani, R., I. Ionescu, É. Oudet, Critical friction for wedged configurations. International Journal of
Solids and Structures (sous presse)
reproduit au §6.3.
6.1.3
Instabilité de l’équilibre
Une configuration d’équilibre, c’est-à-dire une solution du problème (6.1)-(6.2) telle que u̇ ≡ 0, peut ne pas
être physiquement stable dans le sens où toute perturbation initiale de cette position, aussi petite que l’on
veut, se mettra à croître indéfiniment reflétant ainsi le fait que cette solution est irréalisable en pratique.
L’idée ici est d’utiliser une approche assez similaire à celle résumée au §6.1.1 pour étudier les conditions
sous lesquelles de telles positions d’équilibre peuvent être instables. On désigne par ueq : Ω → R2 la
solution à analyser, solution du problème (6.1)-(6.2), et par ū : [0, T ] × Ω → R2 une perturbation
˙
suffisamment régulière de celle-ci et initialement petite (|ū(0)| = ǫ0 , |ū(0)
= ǫ1 ). Le problème que doit
eq
satisfaire cette perturbation ū s’obtient en écrivant que u(t) = u + ū(t) est solution du problème
dynamique (6.1)-(6.2), mais celui-ci ne peut pas être linéarisé de façon classique (méthode des petites
perturbations) à cause des conditions de contact qui le rendent non-différentiable. Les difficultés sont en
effet liées aux changements de statut de contact qui peuvent avoir lieu en certains points de ΓC . Les
points qui, dans la configuration d’équilibre, appartiennent à la partie libre de ΓC (partie décollée) où
à la partie collée ne posent pas de difficulté car on peut supposer, la perturbation étant petite et lisse,
qu’il n’y aura pas de changements pour des temps suffisamment petits. Par contre, un point se trouvant
au seuil de glissement (|σt (u)| = −µσn (u)) peut être amené soit à glisser soit à rester immobile et subir
éventuellement une décharge (|σt (u)| < −µσn (u)).
Établissons les conditions unilatérales que doit satisfaire ū. Notons, comme au §6.1.1, Γ0C la partie de ΓC
formée par les points qui sont, dans la configuration d’équilibre, au seuil du glissement :
Γ0C = {x ∈ ΓC ;
eq
ueq
n (x) = 0, µ − r(u )(x) = 0}
où r(u) désigne, sur Γ0C , le rapport frictionnel |σt (u)|/|σn (u)| = χσt (u)/σn (u) avec χ le signe inverse
de la contrainte tangentielle. Les parties restantes de ΓC sont jointes aux bords ΓD et ΓN pour former
Γ0D et Γ0N et l’on suppose que le contact avéré (ueq
n = 0) mais libre (σn = σt = 0) se produit sur une
partie de mesure nulle. Soit donc x un point de Γ0C que la perturbation amène à glisser. On alors χū˙ t ≥ 0
(car x glisse dans le sens inverse de la contrainte tangentielle) et µ − r(ū) = 0. Si au contraire x reste
immobile on a ū˙ t = 0 et il peut y avoir une décharge du rapport frictionnel : µ − r(ū) ≥ 0. Finalement,
les conditions de frottement pour la perturbation s’écrivent, pour tout x ∈ Γ0C
χū˙ t ≥ 0,
µ − r(ū) ≥ 0,
(µ − r(ū))ū˙ t = 0.
La perturbation vérifie donc un problème aux limites homogènes constitué par l’équation de la dyna¨ , la loi de comportement σ(ū) = Cε(ū), les conditions aux limites homogènes sur
mique div σ(ū) = ρū
Γ0D et Γ0N , et les conditions unilatérales ci-dessus sur Γ0C . Le problème spectral qui lui est associé consiste
à trouver un nombre λ2 et un déplacement non nul Φ : Ω → R2 vérifiant
85
6.1. Présentation générale

div σ(Φ) = λ2 ρΦ, σ(Φ) = C ε(Φ) dans Ω,



Φ = 0 sur Γ0D , σ(Φ)n = 0 sur Γ0N ,



Φn = 0, χΦt ≥ 0, µ − r(Φ) ≥ 0, (µ − r(Φ))Φt = 0
(6.7)
sur Γ0C .
On montre alors que la perturbation s’écrit ū = α(t)Φ avec
α(t) =
(
ǫ0 cosh(λt) + ǫ1 sinh(λt)/λ
si λ > 0
ǫ0 + ǫ1 t
si λ = 0.
(6.8)
Remarques
1. La démarche pour étudier si une solution d’équilibre peut être instable consiste donc à chercher un
nombre λ et une fonction Φ non nulle solution du problème spectral (6.7) connaissant la géométrie,
les propriétés élastiques, la répartition des différentes frontières, le coefficient de frottement µ et la
distribution du signe χ : Γ0C → [−1, 1] du glissement. Alors, si λ ≥ 0 la position d’équilibre définie
par ueq est instable, la perturbation croissant indéfiniment dans le temps suivant les formules (6.8)
et selon le mode Φ.
2. En pratique plutôt que de chercher λ connaissant le coefficient de frottement µ, on cherchera à
calculer des coefficients de frottement µλ étant données des valeurs positives de λ. De cette façon,
on peut traiter aussi bien le cas dynamique que le cas quasi-statique (λ2 = 0) et le problème spectral
que l’on a à résoudre s’écrit, comme au §6.1.1, sous forme d’un problème spectral sur le bord ce
qui nous permet aussi d’utiliser la même méthode d’éléments finis mixte pour la discrétisation du
problème (6.7).
3. Par contre, à la différence du problème spectral traité au §6.1.1, le problème (6.7) est cette fois-ci
non-linéaire à cause des inégalités sur Γ0C . Pour résoudre ce problème spectral non-linéaire, un algorithme itératif de type Uzawa, repris de Ionescu & Wolf (2005) et de Sakki (2005) est utilisé pour
calculer les éléments propres (µ, Φ). Tous les détails des calculs sont donnés dans l’article
Hassani, R., I. Ionescu, N.-D. Sakki, Unstable perturbation of the equilibrium under Coulomb
friction. Nonlinear eigenvalue analysis, Computer Methods in Appl. Mech. and Engrg. (2007).
Exemples
De l’article cité précédemment, on tire les deux exemples suivants.
Cas linéaire
Ce premier exemple est plus une validation de la méthode par comparaison
avec l’analyse de perte d’unicité vue au §6.1.1 et exposée en détail au §6.2.
On considère pour cela (figure 6.3) que le domaine Ω est le carré [0, 1]2 et
que le coefficient de Poisson est ν = 0, 3. La partie de la frontière où le
déplacement est imposé, ΓD , est formée par la face supérieure du carré ;
celle formant la zone de contact, ΓC , est la face inférieure ; les deux faces
restantes formant ΓN , la partie où des forces surfaciques sont imposées.
On étudie une solution d’équilibre ueq pour laquelle tous les points de ΓC
ont glissé vers la gauche. On a donc χ = 1 et Γ0C = ΓC .
G
G
D
G
N
G
N
C
Figure 6.3 –
On s’intéresse au cas quasi-statique, c’est-à-dire que l’on cherche le coefficient de frottement µ∗ correspondant à λ = 0 et à partir duquel la solution est dynamiquement instable. Comme le glissement est
partout non nul (χ = 1) sur ΓC , les contraintes unilatérales sont automatiquement vérifiées et la solution
86
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
du problème non-linéaire coïncide avec celle du problème linéaire, l’algorithme correspondant alors à une
méthode itérative de recherche de la plus grande valeur propre d’une matrice. La figure 6.4a montre que
l’algorithme converge bien vers la valeur propre trouvée par la résolution du problème linéaire tandis que
la figure 6.4b montre la fonction propre correspondante à la valeur propre µ∗ .
(a)
(b)
µ
2.0
1.5
1.0
Nombre d’iterations
0.5
0
10
20
30
40
50
60
Figure 6.4 – (a) Courbe montrant la convergence de la valeur propre vers celle du problème linéaire (µ∗ ≈ 1,945)
au cours des itérations de l’algorithme utilisé par le problème spectral non-linéaire. (b) Allure de la fonction propre Φ
associée à cette valeur propre (les couleurs représentent l’intensité du déviateur des contraintes).
Stabilité d’une solution “coincée”
On étudie ici la stabilité d’une position d’équilibre ueq dite “coincée”,
c’est-à-dire une solution non nulle du problème (6.1)-(6.2) existant malgré
l’absence de chargement et calculée selon la méthode exposée aux §6.1.2 et
§6.3. La configuration de l’exemple traité ici est celle d’un corps élastique
de section carrée que l’on coince contre un muret rigide frottant (figure
6.5). Après relâchement total du chargement extérieur, on a montré (voir
§6.3) que le solide élastique pouvait ne pas retrouver sa configuration
initiale (correspondant à une décharge complète des contraintes) et rester
coincé contre le muret si le coefficient de frottement entre le solide et
le muret était supérieur ou égal à µw ≈ 1,596. Une telle configuration
d’équilibre est représentée à la figure 6.6.
G
G
N
N
G
G
N
C
Figure 6.5 –
Cette solution existe donc bien mais est-elle pour autant physiquement réalisable ? Pour répondre à
cette question on va calculer le spectre non-linéaire du problème de stabilité pour déterminer la variation
de λ en fonction de µ à partir de la plus petite valeur propre µ∗ pour laquelle λ est positive ou nulle. Pour
cela on examine les statuts de contact de la solution coincée obtenue pour µ = µw : tous les points de ΓC
sont à la limite du glissement sauf trois d’entre eux (le coin et les deux extrémités de la zone de contact)
formant ainsi ΓD . De plus et hormis donc pour ces trois points, le sens de la contrainte tangentielle est
vers la droite pour les points de la base (χ = 1) et vers le haut pour les points de la face gauche (χ = −1).
Le reste des points de la frontière forment la partie libre ΓN . La figure 6.7a montre la dépendance de λ
en fonction de µ que l’on obtient par résolution du problème spectral non linéaire (6.7). λ est croissant et
devient positif à partir de µ = µ∗ ≈ 1,424. Comme le coefficient de frottement à partir duquel la solution
coincée (µw ) existe est plus grand que µ∗ , on conclut à l’instabilité de cette solution. On obtient pour
µ = µw une valeur de λ égale à 0,065 associée à la fonction propre Φ représentée à la figure 6.7b et 6.7c.
6.2
Une méthode d’éléments finis mixte
On présente ici une technique permettant de calculer les coefficients de friction critiques pour lesquels
la non-unicité du problème de Coulomb se produit. Cette technique utilise une méthode d’éléments finis
87
6.2. Une méthode d’éléments finis mixte
(a)
(b)
Figure 6.6 – Configuration coincée obtenue (voir pour plus de détails le §6.3). (a) représente la distribution de l’intensité du déviateur des contraintes (contrainte équivalente de von Mises). En (b) est représenté le type de déformation
que subirait une grille initialement rectangulaire (en noir) collée au solide élastique.
mixte dans laquelle le multiplicateur correspond au vecteur contrainte sur l’interface de contact. Nous
donnons à la fin de la présentation des exemples concrets de bifurcation dans le cas statique.
A mixed finite element method and solution multiplicity
for Coulomb frictional contact
Riad HASSANI 1 , Patrick HILD 2 , Ioan IONESCU 3 , Nour-Dine SAKKI
1 Laboratoire
de Géophysique Interne et Tectonophysique, Université de Savoie / CNRS UMR 5559,
73376 Le Bourget du Lac, France.
2 Laboratoire
3 Laboratoire
3
de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté/CNRS UMR 6623,
16 route de Gray, 25030 Besançon, France.
de Mathématiques, Université de Savoie/CNRS UMR 5127, 73376 Le Bourget du Lac, France.
Abstract
This paper is concerned with the discrete contact problem governed by Coulomb’s friction law.
We propose and study a new technique using mixed finite elements with two multipliers in order
to determine numerically critical friction coefficients for which multiple solutions to the friction
problem exist. The framework is based on eigenvalue problems and it allows to exhibit nonuniqueness cases involving an infinity of solutions located on a continuous branch. The theory is
illustrated with several computations which clearly show the accuracy of the proposed method.
Introduction
Friction is one of the most basic phenomena arising in mechanics. The work in this paper is concerned
with an investigation of the well-known Coulomb friction model in static or quasi-static elasticity (see
Duvaut & Lions (1972); Kikuchi & Oden (1988); Haslinger et al. (1996)). Although quite simple in its
formulation, the Coulomb friction law shows great mathematical difficulties which have not allowed a
complete understanding of the model. In continuum elastostatics, only existence results for small friction
88
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
(a)
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
0.20
λ
0.15
0.10
0.05
0.00
(b)
µ* = 1.424
µw = 1.596
(c)
Figure 6.7 –
(a) Évolution du facteur λ en fonction du coefficient de frottement µ. λ est une fonction croissante
de µ et est positive à partir de µ∗ ≈ 1,424. (b) et (c) Représentation de la fonction propre Φ obtenue pour µ = µw :
intensité du déviateur des contraintes (b) et déformation d’une grille initialement rectangulaire (c). La solution coincée
représentée à la figure 6.6 est instable : toute perturbation de cet état d’équilibre sera amplifiée selon le mode donné par
Φ. On remarque au passage que celle-ci correspond au déchargement du solide élastique.
are established (see Nečas et al. (1980); Jarušek (1988); Eck & Jarušek (1998)). The corresponding finite
element problem admits always a solution which is unique provided that the friction coefficient is lower
than a critical value vanishing when the discretization parameter tends to zero (see Haslinger (1983);
Haslinger et al. (1996)). In Hild (2002) an elementary example involving one finite element shows that
the problem can admit one, multiple or an infinity of solutions located on a continuous branch and that
the number of solutions can eventually decrease when the friction coefficient increases. Such an example
in the finite element context completes the results using truss elements in the static or quasi-static cases
(see Janovský (1981); Alard (1993); Klarbring (1990); Ballard (1999)).
Our aim in this paper is to propose and to study a framework for the finite element problem based on
the ideas introduced for the continuous model in Hassani et al. (2004, 2002) in order to obtain explicit
examples of non-uniqueness. Our method involves finite element eigenvalue problems written in a mixed
form. We show that the real eigenvalues of the latter problem are precisely critical friction coefficients
for which multiple solutions to the Coulomb frictional contact problem exist. The loss of uniqueness for
a specific friction coefficient has to be analyzed in the context of a varying friction coefficient during the
quasi-static slip.
In section A, we recall the continuous model which is discretized using mixed finite elements. An
89
6.2. Une méthode d’éléments finis mixte
eigenvalue problem is introduced in section B and we prove that if a real eigenvalue exists then the problem is open to non-uniqueness. More precisely, if the friction coefficient has a critical value then there
exist an infinity of solutions located on a continuous branch. Section C is concerned with some analytical
calculus of eigenvalues on elementary finite element meshes. In the case of a single finite element mesh,
the eigenvalue (i.e., the critical friction coefficient) is a bifurcation point. In section D, the computations
with arbitrary meshes and different finite elements clearly show that the convergence of the discrete
eigenvalue problem is quite satisfactory independently of the degree and the type of the elements. Moreover, we observe numerically that there always exist at least a real limit for some discrete eigenvalues as
the discretization parameter vanishes. Such a limit depends only on the geometry of the material, the
partition of the boundary of the body into Dirichlet, Neumann and frictional contact conditions and on
the Poisson ratio. Further computations show that such limits can be very small on specific geometries.
Practically we explain how a simple non-uniqueness example can be always constructed using a critical
friction coefficient.
A
A.1
The continuous and the discrete problems
The continuous problem
We consider the deformation of an elastic body occupying, in the initial unconstrained configuration a
domain Ω in R2 where plane strain assumptions are assumed. The Lipschitz boundary ∂Ω of Ω consists of
ΓD , ΓN and ΓC where the measure of ΓD does not vanish. The body Ω is submitted to given displacements
U on ΓD and subjected to surface traction forces F on ΓN ; the body forces are denoted f . In the initial
configuration, the part ΓC is a straight line segment considered as the candidate contact surface on a
rigid foundation for the sake of simplicity which means that the contact zone cannot enlarge during the
deformation process. The contact is assumed to be frictional and the stick, slip and separation zones on
ΓC are not known in advance. We denote by µ > 0 the given friction coefficient on ΓC . The unit outward
normal and tangent vectors of ∂Ω are n = (n1 , n2 ) and τ = (−n2 , n1 ) respectively.
The contact problem with Coulomb’s friction law consists of finding the displacement field u : Ω → R2
satisfying (6.9)–(6.14):
div σ(u) + f = 0 in Ω,
σ(u) = C ε(u) in Ω,
u=U
σ(u)n = F
(6.9)
(6.10)
on ΓD ,
on ΓN .
(6.11)
(6.12)
The notation σ(u) : Ω → S2 represents the stress tensor field lying in S2 , the space of second order
symmetric tensors on R2 . The linearized strain tensor field is ε(u) = (∇u + ∇T u)/2 and C is the fourth
order symmetric and elliptic tensor of linear elasticity.
Afterwards we adopt the following notation for any displacement field u and for any density of surface
forces σ(u)n defined on ΓC :
u = un n + ut τ
and
σ(u)n = σ n (u)n + σ t (u)τ .
On ΓC , the three conditions representing unilateral contact are given by
un ≤ 0,
σn (u) ≤ 0,
σn (u) un = 0,
and the Coulomb friction law is summarized by the following conditions:

r

 ut = ut =⇒ |σt (u)| ≤ µ|σn (u)|,
ut − urt

,
 ut 6= urt =⇒ σt (u) = −µ|σn (u)|
|ut − urt |
(6.13)
(6.14)
where ur is the reference displacement and ut −urt is the slip. Two choices of ur are more used in literature.
The first one is ur ≡ 0 for the static case. The second one is used in the incremental formulation of a
90
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
quasi-static process (see Cocu et al. (1996)). Indeed, if ∆t is the time step then u stands for u((i + 1)∆t)
, ur = u(i∆t) and f , F , U have to be replaced by f ((i + 1)∆t), F ((i + 1)∆t), U ((i + 1)∆t).
The variational formulation of problem (6.9)–(6.14) in its mixed form consists of finding (u, λn , λt ) ∈
Uad × Mn × Mt (−µλn ) = Uad × M(−µλn ) which satisfy:

Z
Z


λt vt dΓ = L(v),
∀v ∈ V,
λn vn dΓ −
a(u, v) −

ΓC
ΓC Z
Z
(6.15)


(νt − λt )(ut − urt ) dΓ ≥ 0,
∀(νn , νt ) ∈ M(−µλn ),
(νn − λn )un dΓ +

ΓC
ΓC
where M(−µλn ) = Mn × Mt (−µλn ) is defined next. We set
n
o
1
Mn = ν; ν ∈ H − 2 (ΓC ), ν ≤ 0 on ΓC ,
and, for any g ∈ −Mn
1
o
n
1
Mt (g) = ν; ν ∈ H − 2 (ΓC ), −g ≤ ν ≤ g on ΓC ,
1
where H − 2 (ΓC ) is the dual space of H 2 (ΓC ) (see Adams (1975)) and the inequality conditions incorporated in the definitions of Mn and Mt (g) have to be understood in the dual sense.
In (6.15), the standard notations are adopted
Z
Z
Z
F .v dΓ,
f .v dΩ +
(Cε(u)) : ε(v) dΩ,
L(v) =
a(u, v) =
Ω
Ω
ΓN
for any u and v in the Sobolev space (H 1 (Ω))2 . In these definitions the notations · and : represent the
canonical inner products in R2 and S2 respectively.
In (6.15), V and Uad denote following sets of displacement fields :
o
o
n
n
V = v ∈ (H 1 (Ω))2 ; v = 0 on ΓD , Uad = v ∈ (H 1 (Ω))2 ; v = U on ΓD .
It is easy to see that if (u, λn , λt ) is a solution of (6.15), then λn = σn (u) and λt = σt (u).
A.2
Finite element approximation
The body Ω is discretized by using a family of triangulations (Th )h made of finite elements of degree
k ≥ 1 where h > 0 is the discretization parameter representing the greatest diameter of a triangle in Th .
The set approximating V becomes:
n
o
Vh = v h ; v h ∈ (C(Ω))2 , v h |T ∈ (Pk (T ))2 ∀T ∈ Th , v h = 0 on ΓD ,
where C(Ω) stands for the space of continuous functions on Ω and Pk (T ) represents the space of polynomial functions of degree k on T . Let us mention that we focus on the discrete problem and that any
discussion concerning the convergence of the finite element problem towards the continuous model is out
of the scope of this paper.
Let the notation U h stand for a convenient approximation of U on ΓD . On the boundary of Ω,
we still keep the notation v h = vhn n + vht τ for every v h ∈ Vh and we denote by (Th )h the family of
monodimensional meshes on ΓC inherited by (Th )h . Set
o
n
Wh = ν; ν = v h |ΓC .n, v h ∈ Vh ,
which is included in the space of continuous functions on ΓC which are piecewise of degree k on (Th )h
and coincides with the latter space when ΓC ∩ ΓN = ∅.
We denote by p the dimension of Wh and by ψi , 1 ≤ i ≤ p the corresponding canonical finite element
basis functions of degree k. For all ν ∈ Wh we shall denote by F (ν) = (Fi (ν))1≤i≤p the generalized loads
at the nodes of ΓC :
Z
νψi ,
Fi (ν) =
ΓC
∀ 1 ≤ i ≤ p.
91
6.2. Une méthode d’éléments finis mixte
We next introduce the sets of Lagrange multipliers:
n
o
Mhn = ν; ν ∈ Wh , Fi (ν) ≤ 0, ∀1 ≤ i ≤ p
and, for any g ∈ −Mhn
n
Mht (g) = ν; ν ∈ Wh , |Fi (ν)| ≤ Fi (g),
o
∀1≤i≤p .
Hence, the discrete problem issued from (6.15) becomes: find (uh , λhn , λht ) ∈ Uad,h × Mhn ×
Mht (−µλhn ) = Uad,h × Mh (−µλhn ) such that

Z
Z


λht vht dΓ = L(v h ),
∀v h ∈ Vh ,
λ
v
dΓ
−
a(u
,
v
)
−

hn
hn
h
h

 Z
ΓC
ΓCZ
(6.16)
(νht − λht )(uht − urt ) dΓ ≥ 0,
(νhn − λhn )uhn dΓ +



Γ
Γ
C
C


∀(νhn , νht ) ∈ Mh (−µλhn ).
where
o
n
Uad,h = v h ; v h ∈ (C(Ω))2 , v h |T ∈ (Pk (T ))2 ∀T ∈ Th , v h = U h on ΓD
and U h denotes a convenient approximation of U on ΓD .
Let Un = (Un )i , Ut = (Ut )i and Utr = (Utr )i , 1 ≤ i ≤ p denote the vectors of components the nodal
values on ΓC of uhn , uht and urt respectively. It can be easily checked (see Coorevits et al. (2001)) that
the vector formulation of the frictional contact conditions incorporated in the inequality of (6.16) are:
Fi (λhn ) ≤ 0,
(Un )i ≤ 0,
|Fi (λht )| ≤ −µFi (λhn ),
|Fi (λht )| < −µFi (λhn )
Fi (λhn ) (Un )i = 0,
Utr )i
1 ≤ i ≤ p,
Fi (λht )(Ut −
≤ 0, 1 ≤ i ≤ p,
r
=⇒ (Ut − Ut )i = 0, 1 ≤ i ≤ p.
(6.17)
(6.18)
(6.19)
Proposition A.1 For any positive µ, there exists a solution to Coulomb’s discrete frictional contact
problem (6.16).
Proof. See Coorevits et al. (2001), Proposition 3.2.
B
A finite element eigenvalue approach for solution multiplicity
Let us consider a solution (uh , λhn , λht ) ∈ Vh × Mh (−µλhn ) of the discrete Coulomb frictional contact
problem (6.16). Then we denote by If , Is and Ic the set of nodes of ΓC which are currently free (separated
from the rigid foundation), the set of nodes of ΓC which are stuck to the rigid foundation, and the set
of nodes of ΓC which are currently in contact but are candidate to slip, respectively. In other words, if
p = dim(Wh ) denotes the number of nodes belonging to ΓC , we can write
n
o
If = i ∈ [1, p]; (Un )i < 0 ,
n
o
Is = i ∈ [1, p]; (Un )i = 0, |Fi (λht )| < −µFi (λhn ) ,
n
o
Ic = i ∈ [1, p]; (Un )i = 0, |Fi (λht )| = −µFi (λhn ) .
Henceforth, we assume that all the nodes of Ic are slipping (not necessarily in the same direction), i.e.,
(Ut − Utr )i 6= 0,
(6.20)
∀i ∈ Ic ,
and we denote by
γi =
(Ut − Utr )i
,
|(Ut − Utr )i |
∀i ∈ Ic ,
92
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
the sign of the slip at node number i of Ic . Next we consider the following eigenvalue problem:
Eigenvalue problem. Find the eigenvalue αh ∈ C and the corresponding eigenfunction(s) (0, 0, 0) 6=
(ϕh , θhn , θht ) ∈ Vh × Wh × Wh such that
Z
Z


θht vht dΓ = 0,
∀v h ∈ Vh ,
θhn vhn dΓ −
a(ϕh , v h ) −



ΓC
ΓC




(Φn )i = (Φt )i = 0,
∀i ∈ Is ,
(6.21)



∀i ∈ If ,

 Fi (θhn ) = Fi (θht ) = 0,



(Φn )i = 0,
Fi (θht ) = αh Fi (θhn )γi ,
∀i ∈ Ic ,
where Φn and Φt denote the vectors of the normal and tangential components, respectively, of ϕh on ΓC .
Proposition B.1 Let p0 be the number of nodes belonging to Ic . Then problem (6.21) admits exactly p0
eigenvalues αh and eigenfunctions (ϕh , θhn , θht ).
Proof. We number as follows the basis functions of Vh : the normal displacement basis functions on ΓC
from 1 to p (those corresponding to Ic from 1 to p0 ), the tangential displacement basis functions on ΓC
from p + 1 to 2p (those corresponding to Ic from p + 1 to p + p0 ) and the basis functions of interior nodes
from 2p + 1 to m =dim(Vh ). Let us mention that the first equation in (6.21) can be written as follows


F (θhn )
KΦ −  F (θht )  = 0
0
where K denotes the stiffness matrix of order m and Φ denotes the vector associated with ϕh .
0
Now we consider the following problem which for a given r = (ri )i ∈ Rp consists of finding the
m
p
p
solution T (r) = (V, X, Y ) ∈ R × R × R of the following algebraic system:



X




KV −  Y  = 0,




0



(6.22)
(Vn )i = (Vt )i = 0,
∀i ∈ Is ,






Xi = Yi = 0,
∀i ∈ If ,





(Vn )i = 0,
Yi = ri ,
∀i ∈ Ic .
0
Let us show that for any r ∈ Rp there always exists a unique solution to problem (6.22). The equations
in (6.22) can be rewritten as follows (with obvious notations):
 


0
X(Ic )
  X(Is ) 

0
 


 Vn (If )  

0
 




,
V
(I
)
r
K
=
(6.23)
 t c  

  Y (Is ) 

0
 


 Vt (If )  

0
0
V̂
where K = Kij , 1 ≤ i, j ≤ 7. The vectors Vn (If ), Vt (Ic ), Vt (If ) and V̂
symmetric positive definite system:


 
Vn (If )
K33 K34 K36 K37
0
 K43 K44 K46 K47   Vt (Ic )   r


 
 K63 K64 K66 K67   Vt (If )  =  0
K73 K74 K76 K77
0
V̂
are the unique solutions of the


.

6.2. Une méthode d’éléments finis mixte
93
The vectors X(Ic ), X(Is ) and Y (Is ) are given by (6.23).
0
0
0
0
Let us consider the linear operator T : Rp → Rp which associates to any r ∈ Rp the vector q ∈ Rp
given by qi = Xi γi for all 1 ≤ i ≤ p0 and let us denote by βi and bi the p0 eigenvalues and eigenvectors of
the operator T , i.e., T bi = βi bi . Now it becomes straightforward that αh and (ϕh , θhn , θht ) are solutions
of (6.21) if and only if (Φ, F (θhn ), F (θht )) = T (r) for some eigenvector r of T having 1/αh as eigenvalue
(note that αh = 0 cannot be an eigenvalue in (6.21) and that the components of r are precisely those of
F (θht ) on Ic ).
Remark B.2 Let us use the same numbering of the basis functions of Vh × Wh × Wh as in the previous
proof and let us suppose, for the sake of simplicity, that p0 = p and γi = 1 (i.e., Is = If = ∅ and
(Ut − Utr )i > 0, ∀i ∈ [1, p]). In this case, the eigenvalue problem (6.21) becomes:


F (θhn )
Φ = K −1  F (θht ) 
and (Φn )i = 0, Fi (θht ) = αh Fi (θhn ), ∀i ∈ [1, p],
(6.24)
0
which is equivalent to solve the following problem: find the eigenvalue −1/αh and the eigenvector F (θhn )
satisfying
(K̃nn )−1 K̃nt F (θhn ) = −
1
F (θhn ).
αh
where the following notation is adopted


K̃nn K̃nt K̃ni
K −1 =  K̃nt K̃tt K̃ti  .
K̃ni K̃ti K̃ii
(6.25)
(6.26)
Having at our disposal F (θhn ) and αh , we see that F (θht ) and Φ can be easily determined.
Using the eigenvalue problem (6.21) allows us to obtain sufficient conditions for the non-uniqueness
of the solution (uh , λhn , λht ) of (6.16). This is achieved in the following theorem.
Theorem B.3 Let (uh , λhn , λht ) be a solution of Coulomb’s discrete frictional contact problem (6.16)
with µ > 0 as friction coefficient. We assume that Ic 6= ∅ and that (6.20) holds. Moreover we suppose
that
Fi (λhn ) < 0,
(6.27)
∀i ∈ Ic .
If µ is an eigenvalue of (6.21) then the Coulomb’s frictional contact problem (6.16) admits an infinity of
solutions located on a continuous branch. More precisely, if we denote by (ϕh , θhn , θht ) the corresponding
eigenvector then there exists δ0 > 0 such that (uh + δϕh , λhn + δθhn , λht + δθht ) is solution of (6.16) for
any δ with |δ| ≤ δ0 .
Proof. Let us firstly remark that
(uh + δϕh , λhn + δθhn , λht + δθht )
satisfies the equation in (6.16) for any δ ∈ R.
Next, we have to check that (uh + δϕh , λhn + δθhn , λht + δθht ) verifies the frictional contact conditions
in the inequality of (6.16) (or equivalently (6.17)–(6.19)) for a sufficiently small |δ|. Let us recall that Φn
and Φt denote the vectors of components the normal and tangential values respectively of ϕh on ΓC . To
simplify, we set X = F (θhn ) and Y = F (θht ) (i.e., the generalized loads corresponding to θhn and θht
respectively).
Since Fi (λhn ) < 0 for all i ∈ Ic ∪ Is there exists δa > 0 such that Fi (λhn ) + δXi ≤ 0, for all i ∈ Ic ∪ Is
and |δ| ≤ δa . Having in mind that Fi (λhn ) = Xi = 0 for i ∈ If we deduce that Fi (λhn ) + δXi ≤ 0 for all
i ∈ Ic ∪ Is ∪ If . The same technique can be used to prove that (Un + δΦn )i ≤ 0 for a sufficiently small
|δ| and that (Fi (λhn ) + δXi )(Un + δΦn )i = 0. Hence the conditions (6.17) hold.
According to the definition of Is there exists δb > 0 such that |δ| ≤ δb implies |Fi (λht )| < −µFi (λhn ) −
δ(|Yi | + µ|Xi |) for all i ∈ Is . Therefore |Fi (λht ) + δYi | < −µ(Fi (λhn ) + δXi ) and (Ut + δΦt )i = (Utr )i for
all i ∈ Is . So the conditions (6.18)–(6.19) are satisfied for i ∈ Is .
94
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
>From the definition of If , we deduce Fi (λhn ) = Fi (λht ) = Xi = Yi = 0 for all i ∈ If . As a
consequence (6.18) and (6.19) are fulfilled for i ∈ If .
It remains to show that (6.18) and (6.19) hold for i ∈ Ic . Since |Fi (λht )| = −µFi (λhn ), we deduce
from the definition of Ic that Fi (λht ) = µFi (λhn )γi , ∀i ∈ Ic . Since Yi = µXi γi we have Fi (λht ) + δYi =
µ(Fi (λhn ) + δXi )γi for all i ∈ Ic . From (6.27), we get |Fi (λht ) + δYi | = −µ(Fi (λhn ) + δXi ) for |δ| ≤ δc
and i ∈ Ic . The definition of γi on Ic implies that there exists δd > 0 such that γi (Ut + δΦt − Utr )i =
γi (Ut − Utr )i + δγi (Φt )i > 0 for |δ| ≤ δd and i ∈ Ic .
Consequently for any |δ| ≤ δ0 = min(δa , δb , δc , δd ) all the conditions (6.17)–(6.19) hold for (uh +
δϕh , λhn + δθhn , λht + δθht ). This completes the proof.
Remark B.4 1. The statement in the theorem is a sufficient condition for non-uniqueness detecting an
infinity of solutions located on a continuous branch. The technique developed in this paper does not allow
us to find multiple solutions which are isolated as in Hild (2002).
2. The assumptions considered in the theorem require that the friction coefficient µ is an eigenvalue
in (6.21). The latter eigenvalue problem depends on the geometry (the domain Ω and the distribution
of the different types of boundaries ΓD , ΓN , ΓC ), on the elastic properties incorporated in the operator C
(more precisely on the Poisson coefficient ν for an isotropic elastic material) and on the finite element
mesh (we will see in the section devoted to the numerical experiments that the mesh and the type of finite
elements used have a little influence on the eigenvalues).
3. The positive eigenvalues represent critical friction coefficients for which the problem (6.16) is open
to non-uniqueness. We will show in the section concerned with the numerical experiments that if (6.21)
admits a positive eigenvalue then an example of non-uniqueness with an infinity of solutions can be explicitly constructed. This can be performed by choosing simple loads F , f and a zero reference displacement
field ur . In fact the solution (uh , λhn , λht ) of Coulomb’s discrete frictional contact problem (6.16) for
this particular friction coefficient µ must satisfy (6.20) and (6.27).
C
Some elementary examples
In what follows, we consider the commonly used Hooke’s constitutive law corresponding to homogeneous
isotropic materials in (6.10):
σ ij = λδij εkk (u) + 2Gεij (u)
in Ω,
(6.28)
where λ and G are the positive Lamé coefficients and δij denotes the Kronecker symbol. Note that
λ = (Eν)/((1 − 2ν)(1 + ν)) and G = E/(2(1 + ν)) where E and ν represent Young’s modulus and
Poisson’s ratio, respectively.
It is easy to see that the only constitutive constant involved in the eigenvalue problem (6.21) is the
Poisson ratio ν and that the eigenvalues and eigenfunctions are independent of the Young modulus E.
Our aim in this section is to illustrate with simple examples the eigenvalue problem in (6.25). This
means that we determine critical friction coefficients involving an infinity of solutions located on a continuous branch (with slip only in one direction).
C.1
First example
Here we propose to determine explicitly the eigenvalues for the finite element mesh comprising one
triangular element, depicted in Figure 6.8, and to exhibit a bifurcation point between the "stick solution"
and a vertical branch where an infinity of solutions are located.
In this case Ic is reduced to the node A. The stiffness matrix becomes:
1
λ + 3G λ + G
.
K=
λ + G λ + 3G
2
Using the notations in (6.26) we get
(K̃nn )−1 (K̃nt ) = −
λ+G
.
λ + 3G
95
6.2. Une méthode d’éléments finis mixte
ΓN
A
Figure 6.8:
ΓD
Ω
ΓC
First example of an elementary finite element mesh
In this case there exists a unique eigenvalue (−1/αh ) in (6.25). Obviously the unique critical friction
coefficient denoted µcr = αh is
λ + 3G
= 3 − 4ν.
µcr =
λ+G
Note that the friction coefficient µcr depends in a linear way on ν.
Let us determine the set of solutions. We have to consider a solution of (6.16) satisfying the equation:
F (λhn )
F1
Un
(6.29)
−
=
K
F2
µF (λhn )
Ut
with Un = 0, Ut > 0 and F (λhn ) < 0. The notations F1 and F2 represent the forces corresponding to the
surface loads on ΓN in the horizontal and vertical directions, respectively. We suppose in the following
that F1 /F2 = (λ + G)/(λ + 3G), with F2 > 0. Equation (6.29) becomes:

1


 2 (λ + G)Ut − F (λhn ) = F1
(6.30)

1


(λ + 3G)Ut − µF (λhn ) = F2
2
For µ = µcr = (λ + 3G)/(λ + G) we deduce that the system of equations (6.30) admits an infinity of
solutions verifying:

2F1 

U
∈
0,
,
t

λ+G


 F (λhn ) = 1 (λ + G)Ut − F1 ∈ (−F1 , 0).
2
This result corresponds precisely to an infinity of solutions located on a continuous branch which is
represented in Figure 6.9. In other words, if µ = µcr then there exists an infinity of solutions to the
problem (6.16). As it follows from Hild (2002) it can be easily checked that for all µ ≥ µcr the "stick
position" Ut = Un = 0 is a solution of (6.16). Moreover when µ > 0 the slip solution Ut = 2F1 /(λ + G)
solves (6.16). That means that the problem has one solution for µ < µcr , an infinity of solutions for
µ = µcr and two (isolated) solutions for µ > µcr . The critical frictional coefficient µcr corresponds to a
bifurcation point (see Figure 2).
C.2
Second example
The next example is concerned with the square of Figure 6.10 meshed with 4 linear triangles. Here
Ic = {A, B} and the number of degrees of freedom for the displacements is 6.
The corresponding stiffness matrix is:


λ + 3G 12 (λ + G) −(λ + G)
λ + G 21 (−λ + G) −(λ + 3G)
1
 1 (λ + G)
λ + 3G
λ+G
−(λ + G) −(λ + 3G) 
2 (λ − G)

 2
1
−(λ + G)
(λ + G) 4λ + 12G −(λ + 3G) −(λ + 3G)
0 
.
K= 
λ + G 21 (λ − G) −(λ + 3G)
λ + 3G − 12 (λ + G) −(λ + G) 
2

 1
 (−λ + G) −(λ + G) −(λ + 3G) − 1 (λ + G)
λ + 3G
λ+G 
2
2
−(λ + 3G) −(λ + 3G)
0 −(λ + G)
λ + G 4λ + 12G
96
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
UT
2F1
λ+G
µ
λ +3 G
λ+G
Figure 6.9: The bifurcation point µ = µcr between the "slip solution" and a vertical branch. (the problem admits an
infinity of solutions)
ΓD
ΓN
ΓN
A
Figure 6.10:
ΓC
B
Second example of elementary finite element mesh
The matrix of the eigenvalue problem in (6.25) is
−1
(K̃nn )
1
(K̃nt ) =
(λ + 2G)(λ + 5G)
−(5G2 + 5λG + λ2 )
−G(5G + 2λ)
G(5G + 2λ)
5G2 + 5λG + λ2
!
.
The two critical friction coefficients obtained from (6.25) are
µcr = ±
s
(1 − ν)(5 − 8ν)
=±
ν(3 − 4ν)
s
(λ + 2G)(λ + 5G)
.
λ(λ + 3G)
Note that these values are opposite since the mesh and the boundary conditions are symmetric. The
behavior of the positive µcr as function of ν is shown in Figure 6.11. We observe that the positive
eigenvalue tends to infinity when ν → 0 and that it becomes 1 when ν → 21 .
D
Computational examples of non-uniqueness
This section shows two numerical experiments. In the first test we choose again the square geometry depicted in Figure 6.10 and we examine the convergence of the finite element procedure (6.25) with several
meshes and types of finite elements. In the second test we show that the computed eigenvalues can be
small (in fact as small as desired) on specific geometries. We conclude this section by explaining how
an infinity of solutions located on a continuous branch can be always obtained when a positive critical
friction coefficient is known.
97
6.2. Une méthode d’éléments finis mixte
10
Critical friction coefficient
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0.1
0
0.2
0.3
0.4
0.5
Poisson ratio, ν
Figure 6.11:
The behavior of the critical friction coefficient as a function of Poisson ratio ν for the second elementary
example.
D.1
First example
We consider the unit square introduced in Figure 6.10 and we solve the eigenvalue problem (6.25) with
different meshes and various types of finite elements. We observe numerically that there always exist
a positive eigenvalue that converges to a limiting value as the discretization parameter tends to zero,
and this limit depends only on Poisson’s ratio. Figure 6.12 represents the convergence of these critical
friction coefficients obtained with various finite elements. The given Poisson ratio is 0.3 and the limit is
approximately 1.945.
1.954
3-noded triangle (unstructured mesh)
3-noded triangle (cross mesh)
lowest positive eigenvalue
1.952
6-noded triangle (cross mesh)
7-noded triangle (cross mesh)
1.950
4-noded rectangle
8-noded rectangle
1.948
9-noded rectangle
1.946
1.944
1.942
1.940
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
number of contact nodes on Γc
Figure 6.12:
The convergence of the critical friction coefficient (lowest positive eigenvalue) with the mesh size for various
finite elements (ν = 0.3) for the first computational example.
D.2
Second example
Next, we consider the inclined body represented in Figure 6.13. The geometrical properties of Ω are
H/L = H/L′ = 3. The computations are performed on a fixed mesh comprising 28084 linear triangles,
14251 nodes and 51 nodes on ΓC .
Figure 6.14 shows the behavior of the lowest positive eigenvalue as a function of Poisson ratio. Let us
notice that the computed eigenvalues range between 0.55 and 0.61. Such values are commonly observed
friction coefficients. Of course these values depend also on H, L, L′ and we notice numerically that the
eigenvalues tend to zero when the ratios H/L = H/L′ tend to infinity.
Finally the eigenfunction Φ corresponding to ν = 0.3 is computed from (6.24) and depicted in Figure
98
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
ΓD
ΓN
ΓN
Ω
H
ΓC
L
Figure 6.13:
L’
Setting of the problem for the second computational example.
0.62
lowest positive eigenvalue
0.61
0.60
0.59
0.58
0.57
0.56
0.55
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Poisson ratio, ν
Figure 6.14:
The behavior of the critical friction coefficient (lowest positive eigenvalue) as a function of Poisson ratio ν
for the second computational example.
6.15a. Using the constitutive relation (6.28) allows the computation of the Von-Mises stress field shown
in Figure 6.15b.
When problem (6.25) admits a real eigenvalue µ then the pair geometry-material is open to the nonuniqueness for the Coulomb friction problem. As a matter of fact, one can think of a distribution of loads
F , f and a displacement field U h such that a solution (uh , λhn , λht ) of (6.16) for this particular friction
coefficient µ satisfies (6.27). We consider as in the previous examples a geometry Ω in which ΓC is a
straight line segment located on the 0x1 −axis with n = (0, −1) and τ = (1, 0). We choose as example
1−ν
x2 , −x2 ,
U h (x) = α + 2µ
1 − 2ν
F (x) = σn(x),
f =0
with α > 0 and σ11 = −(Eν)/((1 − 2ν)(1 + ν)), σ22 = −(E(1 − ν))/((1 − 2ν)(1 + ν)), σ12 = σ21 = −µσ22 .
Taking uh (x) = U h (x), for all x ∈ Ω, λhn (x) = σ22 , λht = −σ12 , for all x ∈ ΓC , one can easily check
that (uh , λhn , λht ) is a solution of (6.16). Since If = Is = ∅, λhn (x) = σ22 < 0 and Ut (x) = α > 0 we
deduce that the sufficient conditions of Theorem 3.3 hold.
99
6.3. Calcul des solutions coincées
(a)
(b)
15
12
9
6
3
0
Figure 6.15: The eigenfunction Φ (a) and the Von-Mises stress field (b) corresponding to ν = 0.3 for the second
computational example.
Conclusion
The problem of uniqueness of the static (or quasi-static) Coulomb friction problem in linear elasticity is
studied using a specific eigenvalue problem involving mixed finite elements with two multipliers. If this
problem admits a positive eigenvalue called critical friction coefficient, then the Coulomb friction problem
is open to non-uniqueness. More precisely if the friction coefficient is equal with this critical value then
the problem exhibits an infinity of solutions located on a continuous branch. This critical coefficient
depends exclusively on the geometry (the shape of the domain and the distribution of different types of
boundaries) and on the Poisson ratio.
When the mesh size tends to zero the sequence of the “discrete” first eigenvalues is convergent to a
critical friction coefficient. The mixed finite element procedure with two multipliers used in this paper is
very efficient in detecting the eigenvalues. The numerical experiments obtained with this method clearly
show that the computed critical friction coefficient is independent on the mesh type and on the degree
of the elements.
The loss of uniqueness which exhibits an infinity of non-isolated solutions (continuous branch) can be
associated with a loss of validity of the static or quasi-static approximations and the presence of dynamic
instabilities. This loss of stability for a specific friction coefficient has to be analyzed in the context of
state-dependent friction coefficients. Indeed for the slip weakening or slip-rate weakening friction models
the friction coefficient is continuously decreasing (from the static value down to a dynamic value) during
the quasi-static slip and the loss of stability (or uniqueness) occurs for a specific (critical) friction coefficient. These questions are actually under investigation in Hassani et al. (2003).
References
(toutes les références bibliographiques ont été rassemblées à la fin du document)
6.3
Calcul des solutions coincées
On reproduit ci-dessous un article publié dans l’International Journal of Solids and Structure et dans
lequel est présentée la méthode brievement décrite au Âğ 3.1.2 qui permet d’analyser la relation entre
la géométrie du corps élastique et le coefficient de frottement pour lequel des configurations d’équilibre
100
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
coincées peuvent exister.
Critical friction for wedged configurations
Riad Hassani 1 , Ioan R. Ionescu 2 , Edouard Oudet2
1 LGIT,
2 LAMA,
CNRS & Université de Savoie Campus Scientifique, 73376 Le Bourget du Lac, France.
CNRS & Université de Savoie, Campus Scientifique, 73376 Le Bourget du Lac, France.
Abstract
A wedged configuration with Coulomb friction is a nontrivial equilibrium state of a linear elastic
body in a frictional unilateral contact with a rigid body under vanishing external loads. We
analyze here the relation between the geometry of the elastic body and the friction coefficient
for which wedged configurations exist in a 3-D context.
The critical friction coefficient, µw , is defined as the infimum of a supremal functional defined
on the set of admissible normal displacement and tangential stresses. For friction coefficients µ
with µ > µw the wedged problem has at least a solution and for µ < µw there exits no wedged
configurations. For the in-plane problem we discuss the link between the critical friction and the
smallest real eigenvalue µs which is related to the loss of uniqueness.
The wedged problem is stated in a discrete framework using a mixed finite element approach and
the (discrete) critical friction coefficient µw
h is introduced as the solution of a global minimization
problem involving a non differentiable and non-convex functional. The existence of Φ∗h , the
displacement field of a critical wedged state, is proved and a specific numerical method, based
on a genetic algorithm, was developed to compute the critical wedged configurations. Some
techniques to handle the discontinuities of the normal vector on the contact surface are presented
and the analysis is illustrated with three numerical simulations.
Introduction
By a "wedged configuration" with Coulomb friction we mean a nontrivial equilibrium state of a linear
elastic body which is in frictional contact with a rigid body, under vanishing external loads. Since
wedged configurations concern contacting bodies in a self sustaining stresses states, they appear to be
of industrial interest in problems associated with automated assembly and manufacturing processes (see
Moseman & Wahl (2001); Sturgers & Laowatta (1996)) In these processes, which require close tolerance
for the mating components, slight misalignment could lead to wedged states, seen as incorrectly assembled
configurations.
The theoretical interest of wedged configurations is related to the non uniqueness of the equilibrium problem with Coulomb friction in linear elasticity (see for instance Ballard (1999); Janovský
(1981); Klarbring (1990); Hassani et al. (2004, 2006)). The wedged states concern a special type of
non-uniqueness in which one of the solution is the trivial one. As far as we know, the first study on the
subject was done by Barber & Hild (2004) who have related it to the eigenvalue analysis of Hassani et al.
(2006, 2003).
The aim of this paper is to find the relation between the geometry of the elastic body (including the
boundaries distribution) and the friction coefficient for which wedged configurations exist. It is beyond
the scope of the present work to discuss the quasi-static or dynamic trajectory of the body from the
reference configuration to the wedged equilibrium. The (dynamic) stability conditions of the wedged
configurations, are the same as for the stability of any equilibrium state under Coulomb friction (see for
instance Martins et al. (1999); Cho & Barber (1999); Pinto da Costa et al. (2004); Hassani et al. (2006)).
101
6.3. Calcul des solutions coincées
Let us outline the content of the paper. The wedged configuration with Coulomb friction is considered
firstly in a 3-D continuous framework in section A. The infimum of a supremal functional, defined on the
set of admissible normal displacement and tangential stresses, turns out to be µw , the critical friction
coefficient. We prove, in section B, that for friction coefficients µ with µ > µw the wedged problem has
at least a solution and for µ < µw there exits no wedged configurations.
For the in-plane problem we discuss, in section C, the link between the critical friction and the
smallest real eigenvalue µs which appears in the article of Hassani et al. (2006) to be a critical coefficient
for the loss of uniqueness. For the wedged problem, the eigenfunction corresponding to the smallest real
eigenvalue has to satisfy additional inequalities on contact boundary. If these inequalities are not satisfied
there is no connection between the spectral problem and the wedged configuration.
In section D the wedged problem is stated in a discrete framework using a mixed finite element
approach and the (discrete) critical friction coefficient µw
h is introduced as the solution of a global minimization problem involving a non differentiable and non-convex function. We prove that there exist Φ∗h
a critical displacement field which is a wedged configuration, for all friction coefficients µ ≥ µw
h.
There exists a large number of papers and books related to the numerical methods in contact mechanics
(see for instance Haslinger et al. (1996); Kikuchi & Oden (1988); Laursen (2002); Wriggers (2002); Zong
(1993) and the references given there). Using one of these methods, and with a clever choice of the
loading/unloading history of external data, some wedged configurations can be computed. This kind of
approach would give an upper bound of the critical wedged friction coefficient µw
h which is not useful
in detecting the critical wedged configurations Φ∗h . That is why we have developed a special technique,
based on a genetic algorithm, which is presented in section E.
In section F, we give some techniques to handle the discontinuities of the normal vector on the contact
surface. Finally, the analysis is illustrated with three numerical simulations.
A
Problem statement
We consider the deformation of an elastic body occupying, in the initial unconstrained configuration a
domain Ω in Rd , with d = 3 in general and d = 2 in the in-plane configuration. The Lipschitz boundary
∂Ω of Ω consists of ΓD , ΓN and ΓC . We assume that the displacement field u is vanishing on ΓD and
that the boundary part ΓN is traction free (i.e. the density of surface forces is vanishing). In the initial
configuration, the part ΓC is considered as the candidate contact surface on a rigid foundation (see Figure
6.16) which means that the contact zone cannot enlarge during the deformation process. The contact is
assumed to be frictional and the stick, slip and separation zones on ΓC are not known in advance. In
order to simplify the problem, and without any loss of generality we will suppose that the body Ω is not
acted upon by volume forces (i.e. the given density of volume forces are vanishing).
ΓD
ΓN
Ω
ΓC
Figure 6.16:
Schematic representation of the wedged geometry : the domain Ω and its boundary divided in three parts
ΓD , ΓN and ΓC .
Denoting by n the unit outward normal vector of ∂Ω and by µ > 0 the friction coefficient on ΓC the
wedged problem (WP) can be formulated as
102
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
Wedged problem (WP). Find Φ : Ω → Rd and µ with Φ 6= 0 and µ > 0 such that:
σ(Φ) = C ε(Φ),
Φ = 0 on ΓD ,
Φn ≤ 0,
div σ(Φ) = 0 in Ω,
(6.31)
σ(Φ)n = 0 on ΓN ,
σ n (Φ) ≤ 0,
Φn σ n (Φ) = 0,
(6.32)
|σ t (Φ)| ≤ −µσ n (Φ) on ΓC ,
(6.33)
where ε(Φ) = (∇Φ + ∇T Φ)/2 denotes the linearized strain tensor field, C is a fourth order symmetric
and elliptic tensor of linear elasticity and we adopted the following notation for the normal and tangential
components: Φ = Φn n + Φt and σ(Φ)n = σ n (Φ)n + σ t (Φ).
Let remark first that Φ is an equilibrium configuration of the dynamic (or quasi-static) formulation
of the elastic problem with Coulomb friction but Φ is not a solution of the static formulation.
The function Φ is determined up to a positive multiplicative constant, i.e. if Φ is a solution then tΦ
is also a solution for all t > 0. Let us also remark that if Φ is a solution of (WP) for a friction coefficient
µ then it is also a solution for all friction coefficients µ̄ ≥ µ.
An other important remark is the fact that (WP) problem depends only on the geometry of Ω and on
the elastic coefficients. For the isotropic elastic media only the Poisson ratio is involved in the formulation
of (WP) and not the Young modulus.
B
Critical friction as an infimum of a supremal functional
Let Σt =: {τ : Γc → Rd ; τ · n = 0} and Σn =: {σ : Γc → R} be the spaces of the tangential and
normal stresses and let denote by Sn =: {v : Γc → R} be the space of normal displacements on ΓC . For
all admissible tangential stress τ ∈ Σt and all admissible normal displacement v ∈ Sn we consider the
displacement field Φ = U(τ , v) : Ω → Rd solution of the following elasto-static problem :
σ(Φ) = C ε(Φ), div σ(Φ) = 0, in Ω,
Φ = 0 on ΓD , σ(Φ)n = 0, on ΓN ,
(6.34)
(6.35)
Φn = v on ΓC ,
(6.36)
σ t (Φ) = τ on ΓC .
We can define now the operator L : Σt × Sn → Σn by L(τ , v) := σ n (Φ). This operator associates to
each tangential stress τ and normal displacement v the normal stress σ n (u) which corresponds in an
equilibrium state of the elastic body.
From the unilateral conditions on the contact boundary (6.33) we deduce that the tangential stress
and the normal displacement, implied in a wedged configuration are not independent and have to belong
to S a cone of Σt × Sn defined by
S =: {(τ , v) ∈ Σt × Sn ; (τ , v) 6= 0, v ≤ 0, v|τ | = 0, on ΓC }.
Indeed, if in a point x of ΓC there is no contact (i.e. v(x) = Φn (x) < 0) then the normal stress
σ n (Φ)(x) = 0 and from the friction law we get τ (x) = σ t (Φ)(x) = 0. Moreover, to satisfy all the
inequalities involved in the unilateral contact conditions (6.33) we have to impose some conditions on the
normal stress σ n (Φ)(x) = L(τ , v) by considering the cone of admissible states S adm given by:
S adm := {(τ , v) ∈ S ; L(τ , v) ≤ 0, vL(τ , v) = 0 on ΓC }.
The single condition which is not involved in the admissible setting of the tangential stresses and
normal displacements S adm is the Coulomb friction law |σ t (Φ)| ≤ −µσ n (Φ) which can be rewritten as
|τ (x)|
µ≥−
, for all x ∈ ΓC with σ n (Φ)(x) < 0. This means that the frictional quotient (i.e. the
L(τ , v)(x)
tangential stress divided by the normal stress) has to be less than the frictional coefficient µ in each point
x of the contact boundary ΓC . In order to capture that in our formulation we consider the supremal
functional J : S → R ∪ {+∞} defined by
J(τ , v) = sup Q(|τ (x)|, L(τ , v)(x)),
x∈ΓC
103
6.3. Calcul des solutions coincées
where Q : R+ × R− → R+ ∪ {+∞} is the (frictional) quotient given by

t

 − , if r < 0,
r
Q(t, r) :=
0,
if t = 0,


+∞, if r = 0 and t > 0.
(6.37)
In order to see the connection between the supremal functional J and the wedged problem let us firstly
remark that for all (τ , v) ∈ S adm with finite J(τ , v) the field Φ = U(τ , v) (i.e. solution of the linear
elastic problem (6.34)-(6.36)) is a solution of (WP) for all frictional coefficients µ ≥ J(τ , v). Indeed, since
Φ = U(τ , v), from (6.34-6.35) we deduce that Φ satisfies (6.31-6.32). Bearing in mind that (τ , v) ∈ S adm
and σ n (Φ) = L(τ , v) we get Φn ≤ 0, σ n (Φ) ≤ 0, and Φn σ n (Φ) = 0. If σ n (Φ)(x) = 0 from J(τ , v) < +∞
we get |σ t (Φ)(x)| = 0. If σ n (Φ)(x) < 0 then −|σt (Φ)(x)|/σ n (Φ)(x) = Q(|τ (x)|, L(τ , v)(x)) ≤ J(τ , v) ≤
µ and we obtain |σ t (Φ)(x)| ≤ −µσ n (Φ)(x) for all x ∈ ΓC which means that Φ is a solution of (WP).
Let µw be the infimum of J on S adm , given by
µw := inf (τ ,v)∈S adm J(τ , v),
which will be called in the following the critical friction coefficient for the wedged problem. In order to
see that, let suppose that S adm is not empty and µw is finite. Then from the above remark we deduce
that
For all µ > µw the problem (WP) has at least a solution.
(6.38)
Let Φ be a solution of (WP) and denote by v = Φn , τ = σt (Φ). Let us prove that µ ≥ µw . From(6.33) we
get that if v(x) < 0 then σn (Φ)(x) = 0 and then |τ (x)| = 0, hence (τ , v) ∈ S adm . We compute now J(τ , v)
to deduce that µ ≥ J(τ , v) and since J(τ , v) ≥ µw we get µ ≥ µw . Indeed if L(τ , v)(x) = σn (Φ)(x) < 0
then µ ≥ Q(|τ (x)|, σn (Φ)(x)) and if σn (Φ)(x) = 0 then |τ (x)| = 0 and Q(|τ (x)|, σn (Φ)(x)) = 0 < µ.
Taking the upper bound for x ∈ ΓC we get µ ≥ J(τ , v) ≥ µw . That means that:
If µ < µw then (WP) has no solution.
(6.39)
As it follows from the above two statements for a given geometry and for some given elastic coefficients
(Poisson ratio in the case of isotropic elastic materials), wedged configurations exist only if the friction
coefficient is larger than the critical value µw .
C
Links with spectral analysis
We consider in this section the in-plane configuration, i.e. we have to take d = 2. This assumption is
essential in defining the spectral problem.
Let P be a partition of the boundary ΓC into two zones : ΓfCree the free (no contact) zone and Γ0C
the non vanishing tangential stress zone. With this partition of ΓC we define a new partition of Γ =
ΓD ∪ Γ0N ∪ Γ0C , where Γ0N = ΓN ∪ ΓfCree , and we associate a given "directional function" χ : Γ0C → {−1, 1}.
For a given couple of partition P and directional function χ we consider the spectral problem
(SP)(P, χ) introduced by Hassani et al. (2003, 2006) as follows :
Spectral problem (SP). Find µs ≥ 0 and the nontrivial displacement field Φs : Ω → R2 such that
σ(Φs ) = C ε(Φs ),
s
Φ = 0 on ΓD ,
Φsn
= 0,
div σ(Φs ) = 0 in Ω,
s
σ(Φ )n = 0 on
s
s
s
Γ0N ,
σ t (Φ ) = −µ χσn (Φ ) on
(6.40)
(6.41)
Γ0C ,
(6.42)
where we have chosen the tangent vector t = (−n2 , n1 ) with respect to the unit outward normal n =
(n1 , n2 ) of ∂Ω.
As it follows from the articles of Hassani et al. (2003, 2004) the smallest real eigenvalue µs appears
as a critical coefficient for the loss of uniqueness. More precisely, the loss of uniqueness is related to the
104
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
velocity problem obtained after an implicit time discretization of a quasi-static process. It is not possible
to transpose directly the spectral problem in the wedged configuration context. Indeed, the bifurcation
(non uniqueness) results are valid for non vanishing slip rates of the reference solution (see condition (3.1)
of Hassani et al. (2003) , which is not true for a static configuration.
In order to formulate the link between the wedged and the spectral problems let µs = µs (P, χ) ≥ 0
and Φs = Φs (P, χ) be a solution of the spectral problem (SP) for a given choice of the partition P and
directional function χ. If Φsn ≤ 0, σ n (Φs ) ≤ 0 on ΓC (or Φsn ≥ 0, σn (Φs ) ≥ 0 on ΓC ) then Φs (or −Φs ) is
a solution of the problem (WP). Indeed, for x ∈ Γ0C we have Φsn (x) = 0 and |σ t (Φs )(x)| = −µs σ n (Φs )(x).
If x ∈ Γ0N then σ t (Φs )(x) = σ n (Φs )(x) = 0 hence Φs satisfies (6.33) for all x ∈ ΓC . That means that
Φs is a solution of (WP) and from (6.38) we get
(6.43)
µw ≤ µs (P, χ).
The above spectral problem has a low cost of computational time. In order to obtain a upper bound
of µw , one can choose to compute the smallest positive eigenvalue µs (P, χ) for different choices of P
and χ. If the above inequalities on the normal displacement and normal stress are verified then µs (P, χ)
gives an upper estimation of µw . However, the computational time for changing the boundary conditions
(included in the partition of ΓC ) and the great number of choices for P and χ, make this method not so
attractive to compute the critical friction for the wedged problem.
No other conditions, to be imposed on the eigenfunction, are necessary for µs to be the critical
coefficient for the quasi-static problem with Coulomb friction. In contrast, for the wedged problem, the
eigenfunction corresponding to the smallest real eigenvalue has to satisfy additional inequalities on ΓC .
If these inequalities are not satisfied then there is no connection between the spectral problem and the
wedged configuration (i.e. we can have µs < µw too). The spectral critical coefficient µs is related to the
fact that a given geometry is open to a “general" non-uniqueness and the wedged critical coefficient µw
is related to a special type of non-uniqueness in which one of the solution is the trivial one.
D
Mixed finite element approach of the critical friction
The body Ω is discretized by using a family of triangulations (Th )h made of finite elements of degree
k ≥ 1 where h > 0 is the discretization parameter representing the greatest diameter of a triangle in Th .
The space of finite elements approximation is:
o
n
Vh = v h ; v h ∈ (C(Ω))d , v h |T ∈ (Pk (T ))d ∀T ∈ Th , v h = 0 on ΓD ,
where C(Ω) stands for the space of continuous functions on Ω and Pk (T ) represents the space of polynomial functions of degree k on T . On the boundary of Ω, we still keep the notation v h = vhn n + v ht for
every v h ∈ Vh and we denote by (Th )h the family of (d − 1)-dimensional mesh on ΓC inherited by (Th )h .
Set
o
n
Shn = ν; ν = v h |ΓC · n, v h ∈ Vh ,
the space of normal displacements which is included in the space of continuous functions on ΓC which
are piecewise of degree k on (Th )h . For the tangential and normal stresses we put
n
o
Σht = τ h ; τ h ∈ (C(ΓC ))d−1 , τ h |T ∈ (Pk (T ))d−1 ∀T ∈ Th ,
n
o
Σhn = σh ; σh ∈ C(ΓC ), σh |T ∈ Pk (T ) ∀T ∈ Th ,
The discrete problem issued from the continuous wedged problem (WP) becomes:
Discrete wedged problem (WP)h . Find (Φh , λhn , λht ) ∈ Vh × Σhn × Σht such that
Z
Z
Z
λht · v ht dΓ,
λhn vhn dΓ +
Cε(Φh ) : ε(v h ) dΩ =
Ω
ΓC
ΓC
(6.44)
105
6.3. Calcul des solutions coincées
(Φn )i ≤ 0, (λhn )i ≤ 0, (Φn )i (λhn )i = 0,
(6.45)
|(λht )i | ≤ −µ(λhn )i ,
for all v h ∈ Vh and 1 ≤ i ≤ p, where (Φn )i , (λhn )i and (λht )i with 1 ≤ i ≤ p, denote the nodal values
on ΓC of Φhn , λhn and λht respectively.
One can formulate the finite element approach of the wedged problem using the generalized loads.
To do this we denote by p the dimension of Shn and by ψi , 1 ≤ i ≤ p the corresponding canonical finite
element basis functions of degree k. For all ν ∈ Shn (or in Σht ) we shall denote by F (ν) = (Fi (ν))1≤i≤p
the generalized loads at the nodes of ΓC :
Z
νψi , ∀ 1 ≤ i ≤ p.
Fi (ν) =
ΓC
The corresponding boundary conditions for the wedged problem with generalized loads read
(Φn )i ≤ 0, Fi (λn ) ≤ 0, (Φn )i Fi (λn ) = 0, |Fi (λt )| ≤ −µFi (λn ),
1 ≤ i ≤ p.
(6.46)
If a generalized load formulation of the wedged problem is adopted (i.e. (6.45) is replaced by (6.46)) then
the method developed in the next two sections are essentially the same. Only some minor modifications
have to be done.
Let us define now the discrete version of the operator L by Lh : Σht × Shn → Σhn as follows. For
all τ h ∈ Σht and wh ∈ Shn we consider the displacement field Φh = Uh (τ h , wh ) ∈ Vh , solution of the
following elasto-static problem
Z
Z
τ h · v ht dΓ, ∀v h ∈ Wh ,
(6.47)
Φhn = wh on ΓC ,
Cε(Φh ) : ε(v h ) dΩ =
Ω
where
ΓC
n
Wh := v h ∈ Vh ; v h · n = 0,
o
on ΓC .
Let Lh (τ h , wh ) ∈ Σhn be the normal stress associated to Φh = Uh (τ h , wh ), i.e.
Z
Z
Z
τ h · v ht dΓ, ∀v h ∈ Vh .
Lh (τ h , wh )vhn dΓ +
Cε(Φh ) : ε(v h ) dΩ =
Ω
(6.48)
ΓC
ΓC
If p is the dimension of Shn then the (discrete) linear operator Lh is a p × 3p matrix for the 3-D
problem and a p × 2p matrix for the in-plane problem. Let Sh be the cone (in the space of tangential
stresses and normal displacements Σht × Shn ) given by
Sh := {(τ h , vh ) ∈ Σt × Sn ; (σ, vh ) 6= 0, (vh )i ≤ 0, (vh )i |(τ h )i | = 0, 1 ≤ i ≤ p},
and Shadm the cone of admissible states
Shadm := {(τ h , vh ) ∈ Sh ; (Lh (τ h , vh ))i ≤ 0, (vh )i (Lh (τ h , vh ))i = 0 1 ≤ i ≤ p}.
(6.49)
We define the (discrete) supremal functional Jh : Shadm → R ∪ {+∞} as follows
Jh (τ h , vh ) = max Q(|(τ h )i |, (Lh (τ h , vh ))i ),
1≤i≤p
with Q given by (6.37) and we put µw
h as
µw
h :=
inf
adm
(τ h ,vh )∈Sh
Jh (τ h , vh ).
which turns out to be the (discrete) critical frictional coefficient for the wedged problem (W P )h . In order
to see that let us suppose that Shadm is not empty and µw
h is finite. In contrast with the continuous
106
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
case, for the discrete formulation of the wedged problem we can prove that the infinimum in the above
definition of the critical friction µw
h is attaint. More precisely we have:
There exists (τ ∗h , vh∗ ) ∈ Shadm such that Jh (τ ∗h , vh∗ ) = µw
h.
(6.50)
Let us prove the above statement. Since the functional Jh is positively homogenous of degree 0, i.e.
Jh (t(τ h , vh )) = Jh (τ h , vh ) for all t > 0, we can normalize Shadm through a given norm. To do this let
B1 be a unit ball in the space Σht × Shn and Sh1 = Shadm ∩ B1 . We can reduce now the minimization
of Jh on the closed cone Shadm to the minimization of Jh on the compact set Sh1 . Let us prove now that
Jh is lower semi-continuous (l.s.c.). To see that we remark that Q is l.s.c. on R+ × R− which means
that Wi (τ h , vh ) := Q(|(τ h )i |, (Lh (τ h , vh ))i ) is l.s.c. on Sh1 for all 1 ≤ i ≤ p. Since Jh is a maximum of a
finite set of l.s.c. functionals we get that Jh is l.s.c. also. We can deduce now the existence of a global
minimum (τ ∗h , vh∗ ) of the l.s.c. functional Jh on a compact set Sh1 from the Weistrass theorem.
Let Φ∗h , λ∗hn , λ∗ht be the critical displacement field and normal/tangential stresses associated to the (discrete) wedged problem, corresponding to (τ ∗h , vh∗ ) and given by Φ∗h = Uh (τ ∗h , vh∗ ), λ∗hn = Lh (τ ∗h , vh∗ ), λ∗ht =
τ ∗h . One can use the same techniques as in the proof of the continuous case to deduce that
E
(Φ∗h , λ∗hn , λ∗ht ) is a solution of (WP)h for all µ ≥ µw
h,
(6.51)
If µ < µw
h then the problem (WP)h has no solution.
(6.52)
Genetic algorithm approach
For the sake of simplicity, only the plane problem will be considered here but the extension to the 3-D
problem can be done without any difficulty.
We give in the next some details of application
of genetic algorithms
to the plane problem for k = 1.
Pp
Pp
For all (τh , vh ) ∈ Σht ×Shn with τh (x) = i=1 Ti ψi (x), vh (x) = i=1 Vi ψi (x), we have (τh )i = Ti , (vh )i =
Vi . First we have to compute the matrix Lij of Lh , i.e.


p
p
p
X
X
X

Li,p+k Vk  ψi (x).
(6.53)
Lij Tj +
Lh (τh , vh )(x) =
j=1
i=1
k=1
We recall here that Lh associates the normal stress σh corresponding to the equilibrium state of the
elastic body under the tangential stress τh and the normal displacement vh . Let us give here some details
on how to compute the matrix Lij associated to Lh . For all 1 ≤ j ≤ p fixed we denote by ujh ∈ Vh the
solution of the elastic problem associated to a normal displacement localized on the node j, i.e.
Z
(ujn )l = δlj on ΓC ,
Cε(ujh ) : ε(v h ) dΩ = 0, ∀v h ∈ Wh ,
Ω
and then we solve the system
p
X
i=1
Lij
Z
ψi vhn dΓ =
Z
Ω
ΓC
Cε(ujh ) : ε(v h ) dΩ,
∀v h ∈ Vh ,
to get Lij for all 1 ≤ i ≤ p. If p + 1 ≤ j ≤ 2p then we solve the elastic problem associated to a tangential
stress localized on the node j − p, i.e.
Z
Z
j
j
ψj−p vht dΓ, ∀v h ∈ Wh ,
uhn = 0 on ΓC ,
Cε(uh ) : ε(v h ) dΩ =
Ω
ΓC
to find ujh ∈ Vh and then we solve the system
p
X
i=1
Lij
Z
ΓC
ψi vhn dΓ =
Z
Ω
Cε(ujh ) : ε(v h ) dΩ −
Z
ψj−p vht dΓ,
ΓC
∀v h ∈ Vh ,
107
6.3. Calcul des solutions coincées
to get Lij for all 1 ≤ i ≤ p.
Since the functional Jh is positively homogenous of degree 0 (i.e. Jh (t(τ , v)) = Jh (τ , v) for all t > 0)
we can normalize Sh through the "maximum" norm to get
Sh1 := {(τh , vh ) ∈ Σt × Sn ; Vi ∈ [−1, 0], Ti ∈ [−1, 1], Vi |Ti | = 0, 1 ≤ i ≤ p}.
Genetic algorithms are a kind of global optimization methods which will only be useful if the computation time for Jh is small and if the dimension of Sh1 is not too large. As a matter of fact, global
optimization of nonconvex functional requires many evaluations of the cost function. Thus, in order to
increase the efficiency of the algorithm, we reduce the dimension of Sh1 from 2p to p as follows. Firstly
we remark that if (τh , vh ) ∈ Sh1 then (Ti , Vi ) ∈ D := {0} × [−1, 0] ∪ [−1, 1] × {0}. After that we construct
θ = (T, V ) : [−1, 1] → D as a continuous and surjective function. One choice of θ(s) = (T (s), V (s)) can
be the following (see Figure 6.17)

 T (s) = (4s + 1)/3, V (s) = 0, if s ∈ [−1, −1/4],
T (s) = 0, V (s) = 4|s| − 1,
if s ∈ [−1/4, 1/4],

T (s) = (4s − 1)/3, V (s) = 0, if s ∈ [1/4, 1].
Vi
-1
1
θ
θ
Ti
θ
θ
-1
Figure 6.17:
Example of function θ = (T, V ) : [−1, 1] → {0} × [−1, 0] ∪ [−1, 1] × {0} used to reduce the dimension of of
Sh1
Pp
Pp
We notice that the application Ψ : (s1 , .., sp ) → ( i=1 T (si )ψi , i=1 V (si )ψi ) is surjective from
[−1, 1]p to Sh1 . We can define now the set
o
n
(6.54)
K := (s1 , .., sp ) ∈ [−1, 1]p ; Ψ(s1 , .., sp ) ∈ Shadm
and J : [−1, 1]p → R+ ∪ {+∞} such that J (s1 , .., sp ) = Jh (Ψ(s1 , .., sp ))

p
p
X
X

 max Q(T (s ),
Li,p+k V (sk )),
L
T
(s
)
+
ij
j
i
i=1,..,p
J (s1 , .., sp ) :=
j=1
k=1


+∞, otherwise,
if (s1 , .., sp ) ∈ K
(6.55)
to get the following minimization problem for J on [−1, 1]p
µw
h =
min
(s1 ,..,sp )∈[−1,1]p
J (s1 , .., sp ).
(6.56)
From the definition of our optimization problem it is intuitively clear that the supremal functional
has a great number of local minima. On the other hand, the functional J is smooth (continuous and
piecewise two times differentiable) with respect to the parameters si inside of the admissible set. With
such a local regularity it is straightforward to implement an efficient procedure of local optimization (with
Newton’s like methods for instance).
108
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
Considering those two aspects of our problem we used a stochastic algorithm based on the so called
“genetic hybrid technique” (see for instance Eiben & Schoenauer (2002); Davis (1991) for the theoretical
details of such aglorithms). The main idea of those methods is to manage in the same time a global
random exploration of the search space and some local optimization steps. More precisely, we used
an implementation of this stochastic method very close from the one proposed in the EO library (see
Cahon et al. (2003) ).
F How to manage the discontinuities of the normal on the contact surface
Let us suppose that the contact surfaces ΓC contains a (wedged) point P where the outward unit normal
n has a discontinuity. Since we shall choose P to be a node (denoted by k), the same discontinuity will
be inherited by all the meshes which approach Ω. Let us firstly remark that the normal and tangential
stresses (λhn )k and (λht )k of the mixed finite element formulation, given through (6.44), are well defined.
This is a consequence of the fact that we deal in (6.44) with an integral formulation and the normal is
well defined on each segment of the contact boundary. In contrast, the normal displacement (Φn )k in
the node k is not well defined and the frictional contact condition (6.45) has to be reconsidered in the
context of a discontinuity of the normal.
The aim of this section is to show how the method described before have to be handled in the case
of normal discontinuities of a wedged node for a 2-D configuration. The 3-D case, which is much more
complex, will not be addressed in this paper. To fix the ideas, let us suppose that we deal with an
in-plane geometry and we have a parametric description t → (x1 (t), x2 (t)) of ΓC . Let tP be the abscise
P
corresponding to P = (xP
1 , x2 ) and let n− and n+ be the normal vectors defined for t < tP and for
t > tP respectively, i.e. at the left and at the right side of P . We distinguish two situations: when the
angle α between n− and n+ is positive or negative (see Figure 6.18). In each case we may define the
inward normal cone Cn by
{v ; v · n− ≤ 0} ∩ {v ; v · n+ ≤ 0}, if α > 0
Cn :=
(6.57)
{v ; v · n− ≤ 0} ∪ {v ; v · n+ ≤ 0}, if α < 0
The frictional contact condition (6.45) in the wedged point P (i.e. for i = k) reads
(λhn )k = 0, if (Φh )k ∈ Int(Cn )
(Φh )k ∈ Cn , |(λht )k | ≤ −µ(λhn )k ,
(λhn )k ≤ 0, if (Φh )k ∈ ∂Cn ,
(6.58)
n-
α>0
n+
P
ΓC
n-
n+
ΓC
α<0
Ω
P
Cn
Ω
Cn
Figure 6.18: Examples of discontinuities of the normal and of the inward normal cone Cn . Left: the angle α between
n− and n+ is positive. Right: the angle α between n− and n+ is negative.
109
6.3. Calcul des solutions coincées
where Int(Cn ) and ∂Cn denote the interior and the boundary of the inward normal cone Cn .
−
+
+
For all τ h ∈ Σht and wh ∈ Shn we denote by u−
h = Uh (τ h , wh ) and by uh = Uh (τ h , wh ) the solution
of (6.47) for the choice of the normal n = n− and n = n+ in the wedged point P , respectively. We
introduce now the linear operators Mk− , Mk+ : Σht × Shn → R given by
Mk− (τ h , wh ) := (Uh− (τ h , wh ))k · n+ ,
Mk+ (τ h , wh ) := (Uh+ (τ h , wh ))k · n− ,
+
−
and let L−
h (τ h , wh ) and Lh (τ h , wh ) be defined by (6.48) in which we have replaced uh by uh and by
+
−
+
−
uh , respectively. The linear operators Lh (·, ·) and Lh (·, ·) are represented by two matrixes Lij and L+
ij
+
through (6.53) in which we have replaced Lh by L−
h and by Lh .
Discontinuities of the first kind : α > 0. In this case the frictional contact condition (6.58)
reads
(Φh )k · n− ≤ 0, (Φh )k · n+ ≤ 0, (λhn )k [(Φh )k · n− ][(Φh )k · n+ ] = 0,
(6.59)
(λhn )k ≤ 0,
|(λht )k | ≤ −µ(λhn )k ,
To manage the above unilateral constraint we have to modify the definition (6.49) of the cone of the
admissible states as follows
−
Shadm := {(τ h , vh ) ∈ Sh ; (L−
h (τ h , vh ))i ≤ 0, (vh )i (Lh (τ h , vh ))i = 0, for all i 6= k
−
−
−
Mk (τ h , wh ) ≤ 0, (Lh (τ h , vh ))k ≤ 0, (vh )k (Lh (τ h , vh ))k Mk− (τ h , wh ) = 0},
and to replace the matrix L from the definition (6.55) of J by L− . Then the critical wedged friction
coefficient µw
h is obtained as the minimum of J through the optimization technique based on the genetic algorithms presented in the previous section. Let us remark that if one chooses L+ and Mk+ in
the definition of Shadm and L+ in the definition (6.55) of J , then µw
h the minimum of J is exactly the same.
Discontinuities of the second kind : α < 0. In this case the frictional contact condition (6.58)
reads
 

 (Φh )k · n− ≤ 0, (λhn )k (Φh )k · n− = 0, (λhn )k [(Φh )k · n+ ]− = 0,



or


(Φh )k · n+ ≤ 0, (λhn )k (Φh )k · n+ = 0, (λhn )k [(Φh )k · n− ]− = 0,
(6.60)





(λhn )k ≤ 0,
|(λht )k | ≤ −µ(λhn )k ,
where we have denoted by [x]− := (x−|x|)/2 the negative part of x. To handle these unilateral conditions
it’s more convenient to solve two optimization problems for two functionals J − and J + . In order to do
it let
adm
Sh−
:= {(τ h , vh ) ∈ Sh ;
−
(L−
h (τ h , vh ))i ≤ 0, (vh )i (Lh (τ h , vh ))i = 0, for all i,
adm
Sh+
:= {(τ h , vh ) ∈ Sh ;
+
(L+
h (τ h , vh ))i ≤ 0, (vh )i (Lh (τ h , vh ))i = 0, for all i,
−
(L−
h (τ h , vh ))k [Mk (τ h , wh )]− = 0},
+
(L+
h (τ h , vh ))k [Mk (τ h , wh )]− = 0},
be the two cones of admissible states. We denote by K − and K + the sets defined through (6.54) in which
adm
adm
we have replaced Shadm by Sh−
and by Sh+
, respectively. We can define now the functionals J − and
+
J through (6.55), in which L, K are replaced by L− , K − and by L+ , K + , respectively. For each of these
functionals we can use the genetic optimization technique presented in the previous section to find
µw
h− =
min
(s1 ,..,sp )∈[−1,1]p
J − (s1 , .., sp ),
µw
h+ =
min
(s1 ,..,sp )∈[−1,1]p
J + (s1 , .., sp ),
and the corresponding wedged configurations Φ∗h− and Φ∗h+ . The critical wedged frictional coefficient µw
h
is the minimum of these two numbers, i.e.
w
w
µw
h = min{µh− , µh+ },
w
w
w
and the (global) wedged configuration Φ∗h is Φ∗h− or Φ∗h+ , depending if µw
h− < µh+ or µh− > µh+ .
110
G
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
Numerical results
First example. For the first test we wanted to give an example when the wedged problem and the
(linear) spectral problem has the same solution. For that we have chosen the wedged geometry of Figure
6.19, where we do not expect a non contact zone. Here the contact surface ΓC is represented by the
solid line and the other part of the boundary is stress free. For this particular problem it is simple and
natural to choose the partition P of the boundary ΓC ( ΓfCree = ∅ and Γ0C = ΓC ) and to associate a given
"directional function" χ : Γ0C → {−1, 1}. We have found a very good agreement (µw
h = 0.300001 and
s
s
µsh = 0.300005) between the two solutions (i.e. between (Φ∗h , µw
h ) and (Φh , µh )).
1.00
1.48
1.96
2.44
2.92
3.40
Figure 6.19:
Left: the distribution of the wedged configuration Φ∗h (arrows) and of the stress |σ(Φ∗h )| (color scale). Right:
the deformed mesh corresponding to the displacement Φ∗h .
Second example. The second example has been chosen such that an unexpected wedged configuration exists. The geometry is plotted in Figure 6.20, with the surface ΓC represented by the solid line and
the other part of the boundary is stress free. The contact surface has a normal discontinuity of the first
kind (i.e. α > 0) in the left corner of the bottom, we have used the techniques presented in the previous
section to handle this difficulty. The wedged frictional coefficient was founded to be µw
h = 1.59627 and
the corresponding wedged configuration Φ∗h is plotted in Figure 6.20.
Figure 6.20:
The computed wedged configuration. Left: the distribution of the Von-Mises stress |σ′ (Φ∗h )| (color scale).
Right: the deformed mesh corresponding to the displacement Φ∗h .
In Figure 6.21 we have plotted the distribution of the displacements (normal and tangential) on the
contact surface. As it can be seen, the found wedged configuration Φ∗h has no free zone where the elastic
body is not in contact with the rigid support. In this case, the comparison with the (linear) spectral
problem is possible, if we choose the partition P of the boundary ΓC and the associated sliding directions
6.3. Calcul des solutions coincées
111
χ following the wedged configuration already computed. We have found µsh = 1.77, which is, as stated in
(6.43), larger than the critical wedged frictional coefficient µw
h = 1.59.
Figure 6.21:
The distribution of the normal displacement and of the tangential displacement on the contact zone ΓC (red
: bottom side, green : left side).
In order to see the influence of the mesh size (i.e. of h) we have performed the same computations on
three meshes. The first one has 61 nodes (h = h1 ), the second one has 31 nodes (h = h2 ) and the third
one has 16 nodes (h = h3 ) on ΓC . We have found the variation of the wedged frictional coefficient µw
h is
w
w
not large (µw
h1 = 1.59627, µh2 = 1.55045, µh3 = 1.68817) and the normal and the distribution of tangential
stresses are very close (see Figure 6.22). We do not found in this example a monotonic dependence of
critical wedged frictional coefficient µw
h upon the the mesh refinement. As far as we have computed the
wedged configurations we have not found any significant dependence on the mesh of the numerical results.
Figure 6.22: The distribution of the normal stress (left) and of the tangential stress (right) on the bottom side of the
contact boundary for different meshes: 61 nodes (blue), 31 nodes (green) and 16 nodes (red) on ΓC .
Third example. In the third test we wanted to point out that there are wedged configurations with
free zones on the contact surface. For that we have considered the geometry drawn in Figure 6.21. As
before the contact surface ΓC is represented by the solid line and the other part of the boundary is stress
free. The normal discontinuity of the contact surface, which is of the second kind (i.e. α < 0), has been
handled using the techniques presented in the previous section. The wedged frictional coefficient was
∗
founded to be µw
h = 0.6330019 and the corresponding wedged configuration Φh is plotted in Figure 6.23.
∗
The founded wedged solution Φh exhibits two no contact zones. In this case it is not relevant to compute
the spectral problem. Indeed, there is no evident mechanical configuration and there are too many things
to be guessed: firstly the non contact zones and then the sliding direction of each node.
112
6. Sur quelques problèmes d’élasticité en présence de frottement
Figure 6.23:
The computed wedged configuration. Left: the distribution of the Von-Mises stress |σ′ (Φ∗h )| (color scale).
Right: the deformed mesh corresponding to the displacement Φ∗h . Note that the wedged configuration exhibits two no
contact zones.
Conclusions
Wedged configuration (i.e. nontrivial equilibrium state of a linear elastic body which is in frictional
contact with a rigid body, under vanishing external loads) appears to be of industrial interest in problems
associated with automated assembly and manufacturing processes. The wedged states concern a special
type of non-uniqueness in which one of the solution is the trivial one.
The relation between the geometry of the elastic body (including the boundaries distribution) and
the friction coefficient for which wedged configurations exist, was analyzed in this paper in a 3-D context.
We have defined µw , the critical friction coefficient, as the infimum of a supremal functional. For friction
coefficients µ with µ > µw the wedged problem has at least one solution and for µ < µw there exits no
wedged configurations.
If the wedged problem is stated in a discrete framework using a mixed finite element approach then the
(discrete) critical friction coefficient µw
h can be introduced as the solution of a global minimization problem
involving a non differentiable and non-convex function. Then, there exist Φ∗h a critical displacement field
which is a wedged configuration, for all friction coefficients µ ≥ µw
h.
Using one of classical numerical methods in contact mechanics, and with a clever choice of the loading/unloading history of external data, some wedged configurations can be computed. That will give an
upper bound of the critical wedged friction coefficient µw
h but it’s not so useful in detecting the critical
wedged configurations Φ∗h . A special technique, based on a genetic algorithm we have been developed
here.
Some techniques to handle the discontinuities of the normal vector on the contact surface are presented and the analysis is illustrated with three numerical simulations.
Acknowledgements
The authors want to thank J. Barber and P. Hild for long and interesting email discussions on the
wedged configurations. We want also to thank the two unknown reviewers for their careful reading of the
manuscript and their suggestions.
References
(toutes les références bibliographiques ont été rassemblées à la fin du document)
Chapitre 7
Perspectives
Les applications nécessitant la modélisation numérique sont nombreuses en Sciences de la Terre et particulièrement en géométrie tridimentionnelle et les projets ne manquent pas. Je n’en reporte ici que trois
qui ont fait l’objet de demande à l’ANR. Ces projets représentent une collaboration pluridisciplinaire
entre géologues et géophysiciens de terrain qui connaissent bien les chantiers concernés sur lesquels ils
acquièrent des données telles que des mesures de déplacements par GPS et des modélisateurs qui auront
à intégrer ces données dans les modèles envisagés.
En matière de développements, je compte d’abord poursuivre dans les prochains mois l’étude sur
les méthodes de résolution de l’approche statique pour les calculs à la rupture. À plus long terme,
probablement dans le cadre d’une thèse, le couplage lithosphère / asthénosphère en géométrie 3D sera
mis en œuvre.
Modélisation des déplacements postismiques - Application au Nord
Pakistan (projet dans le cadre de l’ANR-PAKSIS)
Ce projet est une collaboration avec François Jouanne du LGCA et représente une partie du programme
“Déformation du Nord Pakistan”, financé par l’ANR Catastrophes Naturelles et Telluriques et dont François est l’animateur. Il fait suite au séisme de Mw=7,6 du 8 Octobre 2005 dont a été affecté le Cachemire
pakistanais. Ce séisme est le dernier des grands séismes himalayens qui ont affecté la chaîne depuis 100
ans (1905 Kangra, 1934 Bihar Népal, 1950 Assam) et qui correspondent tous à des chevauchements vers
le sud en réponse à la convergence Inde-Eurasie.
Les interactions entre les nombreuses répliques qui ont suivit ce séisme, les glissements postsismiques,
les fluides et la déformation de surface sont complexes et peuvent être uniquement étudiés par une
approche combinée alliant mesures de terrain, interférométrie, GPS, si possible acquisition de données
sismiques par un réseau mobile dense et modélisation numérique. Cette dernière devrait permettre d’établir si la déformation postsismique est gouvernée ou non par la rhéologie de la croûte terrestre et sera
abordée de la façon suivante.
Dans un premier temps, nous prévoyons d’estimer la distribution des déplacements cosimiques en
utilisant un modèle de dislocation (Okada, 1985). Dans un second temps, la déformation post-sismique
sera modélisée en utilisant une simulation permettant la prise en compte du comportement viscoélastique
de la croûte (ADELI 3D).
Pour une géométrie donnée de la faille, les principaux paramètres que nous considérerons sont la rhéologie
crustale et en particulier la viscosité de la croûte inférieure et le comportement de la faille (coefficient
114
7. Perspectives
de friction). Ces paramètres seront estimés en cherchant à simuler au mieux la déformation de surface
mesurée. Deux étapes seront utilisées :
• Chargement intersismique : un champ de contrainte σ inter est estimé en chargeant le domaine
modélisé Ω avec les forces de volumes (gravité) et en appliquant les vitesses de convergence aux
limites du système (Fig. 7.1). On supposera, dans un premier temps, une convergence de 15 mm/an
puis, la mesure du réseau GPS depuis la frontière chinoise jusqu’à la plaque indienne stable devra,
dans un second temps, permettre d’affiner cette vitesse. Le champ de contrainte dépend alors du
taux de déformation, de la rhéologie crustale et du coefficient de friction pouvant varier le long du
chevauchement.
• Chargement cosismique : on résout ensuite un problème d’évolution où l’on impose comme conditions initiales, d’une part le champ de contrainte obtenu préalablement :
σ(t = 0, x) = σ inter (x),
x∈Ω
et d’autre part, le champ des déplacements cosismiques sur la faille Γ estimé à partir de modèles
de dislocations ou d’inversion de source :
ut (t = 0, x) = uinv
t (x),
x∈Γ
Les évolutions spatiales et temporelles simulées du champ de déplacement seront comparées avec
les observations INSAR et GPS, et les zones d’accumulation de contraintes déviatoriques seront
également comparées aux localisations des répliques.
c o s e is m ic lo a d in g
(re la tiv e d is p la c e m e n t im p o s e d a s a n
in itia l c o n d itio n fo r th e p o s ts im ic m o d e l)
I
n t
(b o e rs e
u n is m
d a
ry ic lo
co
n d a d in
itio
g
n )
v
v
g
u p p e r c ru st
lo w e r c ru s t
Figure 7.1 –
W
Simulation de la déformation inter- et post-sismique avec ADELI3D.
Les zones de subduction obliques (projet dans le cadre de l’ANRTaiwan)
Une question importante que l’on n’a pas encore abordé par l’approche 3D est la problématique du partionnement de la déformation dans les zones de subduction dites obliques (pour plus de détails, on pourra
consulter le chapitre de l’ouvrage de S. Lallemand (Lallemand, 1999) consacré à ce problème). Rares sont
en effet, les zones de subduction pour lesquelles la convergence est normale à la fosse. Le déplacement
relatif des deux plaques se décompose en une composante normale à la fosse dont le plongement est une
des traductions (mais comme on l’a vu cette convergence peut s’accompagner aussi par de la déformation
7. Perspectives
115
interne aux plaques) et en une composante parallèle plus ou moins grande. La question est donc de savoir
comment s’accommode cette dernière. Une partie de l’obliquité est absorbée par du glissement oblique
sur le plan de subudction comme le montre l’étude des mécanismes aux foyers des séismes. Le reste est
donc accommodé par la déformation des plaques.
Le plus souvent cette déformation affecte la plaque supérieure sur une étendue pouvant être assez
importante (puisqu’elle peut aller du prisme d’accrétion à la zone d’arrière-arc) et se traduit par des failles
décrochantes plus ou moins grandes. Comme le montre les modélisations analogiques (Chemenda et al.,
2000) la friction interplaque doit jouer un rôle majeur dans ce partionnement de la déformation et dans
la localisation des zones décrochantes dans la plaque supérieure.
Parfois, cependant, l’obliquité restante (non absorbée par le glissement sur le plan de subduction) ne
peut être complètement expliquée par la déformation de la plaque supérieure. Cela serait le cas pour la
terminaison sud des Ryukyus où, comme le pense S. Lallemand, le slab devrait encaisser une partie du
mouvement oblique. L’étude en version 2,5D réalisée par Nguyen-Bui (2005) dans le cadre de son stage
de DEA, encadré par J. Chéry et S. Lallemand, fournit des pistes intéressantes d’où il ressort qu’une forte
viscosité du manteau et une faible friction sur l’interface de subduction favoriserait la déformation de la
plaque plongeante dans un contexte de convergence oblique. L’inverse (faible viscosité du manteau et forte
friction à l’interface) devrait favoriser au contraire la déformation dans la plaque supérieure. Enfin, une
faible friction couplée à une faible viscosité localisera la déformation sur l’interface de subduction. Cela
confirmerait donc que la friction interplaque est effectivement un paramètre important dans ce problème
mais que la viscosité du manteau l’est tout autant par la résistance au déplacement latéral du slab qu’elle
implique.
Pour aborder ce type de problème par la modélisation numérique il faut donc étendre le couplage
lithosphère - asthénosphère au cas tridimensionnel. Comme il n’est pas réaliste d’utiliser la technique
par remaillage, compte tenu du coût en temps de calcul que nécessite un maillage 3D mais surtout de la
difficulté qu’il y aurait à redéfinir la nouvelle frontière du domaine fluide, deux pistes seront à l’étude :
• Étendre au 3D la méthode des domaines fictifs déjà testée en 2D. La plus grande difficulté sera
de calculer (et le plus rapidement possible !) les intersections entre le maillage du domaine solide,
constitué d’élements finis tétraédriques, avec la grille sur laquelle le problème fluide est résolu.
• Utiliser, à l’instar de ce qui est fait dans Morra & Regenauer-Lieb (2006), une méthode d’éléments
frontières pour résoudre le problème fluide. L’avantage est que l’équation de Stokes est reformulée
en une équation intégrale sur le bord du domaine fluide, donc discrétisée à l’aide d’un maillage 2D.
Estimation de l’épaisseur élastique par inversion des données géodésiques
Le principe repose sur l’idée proposée par Chéry (2007) que le champ de vitesse intersismique observé
à la surface de la Terre et mesurable par GPS par exemple, contient une information sur la rigidité de
la lithosphère. Si l’on prend comme modèle de lithosphère une plaque de rigidité variable reposant sur
une asthénosphère peu visqueuse et si l’on suppose que durant la phase intersismique la déformation est
principalement élastique, alors l’épaisseur élastique de la plaque est le paramètre majeur du modèle et
il est évident que les vitesses en surface en dépendent directement. La démarche serait alors la suivante
(Fig. 7.2) : on se donne un problème de plaque élastique qui consiste à calculer le déplacement connaissant
la géométrie et les forces aux limites. Ce problème élastostatique simple, en petites déformations, pourra
être traité en 2D (sous l’hypothèse des contraintes planes) voire même directement en 3D. On détermine
alors par inversion une distribution de l’épaisseur élastique ainsi que les forces à appliquer aux limites pour
rendre compte au mieux des données observées et selon un certain a priori. On envisage d’étudier différentes méthodes allant des techniques classiques utiliser notamment en géophysique (Tarantola & Valette,
116
7. Perspectives
1982) aux méthodes d’optimisation de forme très utilisées dans l’industrie (Sokolowski & Zolesio, 1992).
Ce travail sera une collaboration avec J. Chéry (DL-Montpellier), initiateur de ce travail et animateur
du projet AGAPE qui a fait l’objet d’une demande à l’ANR, B. Valette (LGIT-Chambéry) spécialiste
du problème inverse et B. Mohammadi (Laboratoire de Mathématiques-Montpellier) spécialiste des problèmes d’optimisation.
F
b o u n d a ry fo rc e s
Figure 7.2 – Représentation schématique du modèle directe. La plaque élastique à une épaisseur
variable et est chargée à ses limites. Cet épaisseur et ces forces sont déterminer de façon à ce que
les vitesses en surface calculées soient le plus proche possible des vitesses observées.
Annexe A
Activités pédagogiques
Enseignements actuelement dispensés
Licence des sciences de la Terre et de l’environnement
• J’enseigne, depuis 1999, un cours de Mécanique des Milieux Continus aux étudiants de deuxième
année de DEUG STE puis de troisième semestre de la LSTE. On y aborde les notions de déformation, de contrainte et d’équilibre. On étudie ensuite le comportement élastique en déformation
infinitésimale et l’on donne un aperçu sur les critères de limite d’élasticité les plus simples. Ce cours
de 20h est accompagné de 24h de travaux dirigés et complété par 10h de travaux pratiques dans
lesquels des compléments sur la rhéologie (essais de fluage, de relaxation, phénomène de frottement)
sont abordés au travers d’expériences utilisant des matériaux tels que le sable, la pâte de silicone,
la glycérine, etc.
• Depuis la réforme LMD, je dispense en sixième semestre de LSTE un cours d’Introduction aux
Méthodes Numériques appliquées aux géosciences. Cet enseignement de 6h de cours, 10h de TD
et 12h de TP a pour but de familiariser l’étudiant en Sciences de la Terre aux méthodes les plus
classiques pour résoudre des équations non-linéaires (méthode de Newton, itération de Picard, etc)
ou des équations différentielles (méthodes par différences finies). Les travaux dirigés et les travaux
pratiques sont l’occasion de “se faire la main” sur des problèmes concrets issus de la Physique et des
Géosciences (diffusion de la chaleur en régime stationnaire ou transitoire, érosion-sédimentation,
transition fragile-ductile dans la croûte continentale, etc).
• Aux étudiants du semestre 4 de la LSTE est proposé un enseignement qui a pour objet la Programmation Informatique. On y apprend, durant les 6h de CM, 10h de TD et 12h de TP, les
notions de base de la programmation (variables, tableaux, tests, boucles, etc) outils indispensables
pour aborder le cours précédent.
Master d’Ingénierie Mathématique
Je donne les deux cours suivants en deuxième année du master d’Ingénierie Mathématique :
• Mise en œuvre de la méthode des éléments finis. J’enseigne ce cours de 6h et de 20h de TP,
depuis 1999. Il a pour ambition de permettre aux étudiants d’aborder tous les aspects pratiques
de la méthode des éléments finis, de l’écriture de la formulation variationnelle à sa mise en œuvre
sous forme de programme informatique. Durant les séances de TP les étudiants écrivent un code
118
A. Activités pédagogiques
de calcul suffisamment modulaire pour être ensuite adapté à divers problèmes lináires ou non qu’ils
auront à traiter dans les autres matières (TP de Mécanique du solide et Optimisation, par exemple
ou durant leurs projets de fin d’étude).
• Mécanique du solide. Cours de mécanique (15h de CM, 15h de TD) destiné aux étudiants en
mathématiques et abordant les problèmes classiques d’élasticité, les critères de plasticité, l’élastoplasticité, la viscoplasticité et les formulations variationnelles associées.
Autres enseignements dispensés
Les principaux enseignements que j’ai aussi dispensé par le passé sont :
• pendant trois années, un cours de 24h intitulé Mécanique des roches en première année de Magistère de l’École Normale de Lyon,
• un cours de Mathématiques (18h de CM, 24h de TD) en deuxième année de DEUG de Sciences
de la Terre,
• divers TP et TD de Physique générale en première années des DEUG de Sciences de la Vie et
de Sciences de la Terre,
• une petite intervention sur la Modélisation en géodynamique dans le DEA Dynamique de la
Lithosphère.
Annexe B
Responsabilités diverses
Resposabilités pédagogiques
Responsable des semestres 5 et 6 (troisième année) de la licence des Sciences de la Terre et de l’environnement de l’Université de Savoie.
Responsable pendant quelques années des travaux pratiques de Physique du DEUG des Sciences de
la Vie.
Expertises scientifiques
Commissions de spécialistes
Membre titulaire de trois commissions de spécialistes : la CSE 35-36 de l’Université de Savoie, la CSE
35-36 de l’Université de Lyon et la CSE 25-26 (Mathématiques) de l’Université de Savoie.
Relecture d’articles
Relecteur pour des articles dans des revues internationales (Geophysical Research Letter, Geophysical
Journal International, Tectonophysics) ou nationale (CRAS).
Participation à des jurys de thèses
• Alain Cartalade : “Modélisation des écoulements dans les aquifères fraturés, développement d’un
modèle multi-continua (problèmes direct et inverse) et application au site du CEA/Cadarache”.
Thèse de l’Université Montpellier 2. Discipline : Hydrogéologie. Soutenue en avril 2002.
• Antoine Berger : “Propagation de la rupture crustale de l’axe d’un point chaud à la ride océanique :
exemple du nord de l’Islande”. Thèse de l’Université de Savoie. Discipline : Géologie. Soutenue en
juin 2004.
• Nour-Dine Sakki : “Analyse mathématique et numérique des phénomènes d’instabilité et de nonunicité pour des problèmes de frottement”. Thèse de l’Université de Savoie. Discipline : Mathématiques. Soutenue en novembre 2004.
• Marie-Aude Bonnardot : “Étude géodynamique de la zone de subduction Tonga-Kermadec par une
approche de modélisation numérique 3D et de sismotectonique”. Thèse de l’Université de NiceSophia-Antipolis. Discipline : Géologie. Soutenue le 20 novembre 2006.
120
B. Responsabilités diverses
Autre
Co-organisateur avec P. Hild et I. Ionescu du colloque “Instabilité du Frottement” à l’Université de Savoie
(27-29 septembre 1999 : 20 conférences d’une heure sur 3 jours + session posters).
Annexe C
Curriculum Vitæ
État civil
Nom et Prénom : Hassani Riad
Date et lieu de naissance : 11 janvier 1966 à Skikda (Algérie)
Nationalité : Française
Situation de famille : Marié, deux enfants
Adresse : 200, Chemin de l’Alliu, 73420 Viviers-du-Lac
Fonction et coordonnées professionnelle
Fonction : Maître de conférences
Unité de rattachement : UMR 5559
Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique
Université de Savoie
Directeur : Fabrice Cotton
Téléphone : 33 (0)4 79 75 87 96
Fax : 33 (0)4 79 75 94 06
Mél : [email protected]
Page Web : http ://www.univ-savoie.fr/labos/lgit/PageHtml/hassani.html
Parcours professionnel
• 2005-2006 : Délégation CNRS.
• Depuis 1998 : Maître de conférences à l’Université de Savoie, Laboratoire de Géophysique Interne
et Tectonophysique.
• 1997-1998 : Contrat d’Ingénieur de Recherche CNRS au LEPT-ENSAM (Bordeaux) dans le cadre
du GDR TRABAS : “Convection naturelle et diagénèse dans les bassins sédimentaires’.
• 1994-1998 : Recherche post-doctorale à l’Université de Liège (Belgique) : ”Modélisation mathématique de la formation des Apennins Méridionaux“. Travail financé par la S.A. PETROFINA.
122
C. Curriculum Vitæ
Formation
• 1990-1993 : Allocataire de Recherche. Thèse de Doctorat au Laboratoire de Géophysique de Montpellier 2. Titre : “Modélisation numérique de la déformation des systèmes géologiques”, soutenue le
30 Mars 1994.
• (1989-1990 : service militaire)
• 1988-1989 : DEA de Physique Théorique de l’Université Montpellier 2. Stage au Centre Géophysique et Géologique de Montpellier, Titre : “Modélisation de la flexion des plaques lithosphériques”.
• 1987-1988 : Maîtrise de Mathématiques Appliquées de l’Université de Montpellier 2.
• 1986-1987 : Licence de Mathématiques de l’Université de Montpellier 2.
• 1985-1986 : Deuxième année du DEUG A de l’Université de Marseille.
• 1984-1985 : Première année de l’École Polytechnique d’Alger.
• 1983-1984 : Tronc commun de Sciences Exactes de l’Université de Constantine (Algérie).
• 1983 : Baccalauréat en Sciences (Algérie).
123
Bibliographie
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de modélisation numérique 3D et de sismotectonique, Ph.D. thesis, Université de Nice-Sophia-Antipolis.
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