Force de tension d`une corde

n Force de tension d’une corde
1.a. Deux façons de répondre à la question :
25 images
1 image
25 images par seconde représente la
fréquence de prise de vue.
Or T = 1/f donc
T = 1/25 = 0,04 s
1 seconde
T
T = 1/25 = 0,04 s .
1.b. Entre les images 7 et 11 il y a 4 intervalles de temps de durée T = 0,04 s donc τ = 4T = 0,16 s.
1.c.
6 cm
Image 7
1,8 cm
Image 11
La distance réelle parcourue par le front d’onde vaut : D=
6
× 1 = 3,33 m.
1,8
2. Pendant une durée τ = 0,16 s, l’onde parcourt une distance D = 3,33 m.
La célérité vaut alors : v =
D
τ
=
3,33
= 20,8 m.s-1
0,16
3. a. Calculons la masse linéique de la corde (masse par unité de longueur) : μ =
A partir de : v =
F
μ
m 1,83
=
= 0,249 kg.m-1.
L 7,35
, on tire : F = v2× µ . D’où : F = (20,8)2 × 0,249 = 107,7 N, soit environ 108 N .
b. Pour doubler la célérité il faut multiplier la force par 4.
En effet, considérons une nouvelle force F’ = 4F : Alors v ' =
4F
μ
=2
F
μ
= 2v .
o
Onde le long d’une corde
1- Il s’agit d’une onde mécanique (il y a mise en mouvement de points matériels), progressive
(l’onde avance dans un seul sens), périodique (la perturbation se répète identique à elle-même),
sinusoïdale (non seulement elle est périodique mais la forme de l’onde est une sinusoïde),
transversale (la direction de la perturbation est verticale, perpendiculaire à la direction de
propagation horizontale).
2- Le point M est situé à l’abscisse x = 6,0 m et la source est à x = 0. Donc la distance SM vaut 6 m.
L’onde met 2 secondes pour parcourir 6 m. Sa célérité vaut : v =
3- A la célérité v = 3 m.s-1, il faudra t =
D 6
= = 3,0 m.s-1.
t
2
D 12
=
= 4,0 s pour atteindre l’extrémité de la corde à 12 m.
v
3
4- Période T de l’onde : T = 1,0 s.
1,0 s
Longueur d’onde :
9,6 cm
4,9 cm
On connaît : SM = 6 m, donc λ = 4,9 ×
6
= 3,06 m.
9,6
5- On retrouve la célérité de l’onde avec la relation : λ = v × T ; on en tire : v =
Le résultat est peu différent de la valeur 3,0 m.s-1 trouvée à la question 2Ecart relatif :
3,1 − 3,0
× 100 = 3 % d’écart.
3,0
λ
T
=
3,06
≈ 3,1 m.s-1.
1
p
Cuve à ondes
1- l'onde étudiée est-elle
mécanique : oui puisqu’il y a déplacement de points matériel (l’eau vibre)
longitudinale : non puisque la perturbation est perpendiculaire à la propagation
progressive : oui puisque l’onde progresse dans un seul sens (de la source vers l’extérieur)
périodique : oui puisque le front d’onde se répète régulièrement
diffractée : non, l’onde ne rencontre pas d’obstacle.
2- Sur la figure 2 on voit que 4λ = 10 cm. Donc λ = 2,5 cm.
3- Sur la figure 1 on mesure 5λ = 10 cm. Donc λ = 2,0 cm .
Calculons les célérités avec la relation λ = v×T, soit
Fig.1 : v1 = 2,0.10-2 × 20 = 0,4 m.s-1
v=
λ
T
ou encore v = λ × f.
Fig.2 : v2 = 2,5.10-2 × 10 = 0,25 m.s-1
Conclusion : la célérité des ondes à la surface de l’eau dépend de la fréquence, l’eau est un
milieu dispersif pour les ondes mécaniques de surface.
q
Relation entre profondeur et célérité dans une cuve à ondes
1. On utilise la relation : v = λ × f.
Région 1 (eau profonde) : v1 = 3.10-2 × 6 = 0,18 m.s-1.
2. La fréquence de l’onde étant imposée par la source, elle ne varie pas tout le long de son
trajet. On a toujours f = 6,0 Hz.
3. On utilise la partie gauche du document où λ est connue :
on mesure : 6 mm correspondent à 3 cm en réalité.
On en déduit : λ’ = 1,75 cm (3,5 mm sur le graphique)
D’où v’ = λ’ × f = 1,75.10-2 × 6 = 0,105 m.s-1 (ou 0,11 m/s avec 2CS)
4.
Zone 2 Eau peu profonde
On se souvient que l’onde est de type
transversal. Par conséquent la perturbation
est toujours perpendiculaire à la propagation.
A l’interface entre les 2 zones il y a
Zone 1 Eau profonde modification de la direction de propagation de
l’onde. Le phénomène s’appelle la réfraction.
5. Zone d’eau profonde : v = 0,18 m/s ; Zone d’eau moins profonde : v’ = 0,11 m/s.
Conclusion : plus la profondeur augmente, plus la célérité est grande.
6. a. Pour les eaux profondes on a v =
g⋅λ
.
2π
Zone 1 : v =
9,81× 3.10-2
= 0,216 m.s-1 au lieu de 0,18 mesurés : écart de 20 %
2π
Zone 2 : v '=
9,81×1,75.10-2
= 0,165 m.s-1 au lieu de 0,11 mesurés : écart de 50 %
2π
Les écarts relatifs entre valeurs mesurées et valeurs théoriques ne sont pas acceptables.
La relation ne traduit pas le phénomène observé.
b. Si v = g ⋅ h alors h =
h2 =
v²
0,18²
. On obtient : h1 =
= 3,3.10-3 m, soit 3,3 mm.
g
9,81
0,105²
= 1,12 mm.
9,81
c. A partir de la relation : v =
v² ⋅ ρ ⋅ λ
2π ⋅ σ
, on tire : σ =
2π
ρ⋅λ
En considérant les unités, on a v en m.s-1 ; ρ en kg.m-3 et λ en m.
Donc σ est en m2.s-2.kg.m-3.m, soit kg.s-2.
d. En prenant ρ = 1000 kg.m-3 (masse volumique de l’eau), on obtient :
σ1 = 0,15 kg.s-2 et σ2 = 0,03 kg.s-2 . Comme le paramètre σ est caractéristique du milieu
considéré (ici l’eau) sa valeur ne devrait pas changer.
Cette relation n’est pas applicable ici.
e. Les relations v =
g⋅λ
2π ⋅ σ
et v =
font apparaître une dépendance de la célérité en
2π
ρ⋅λ
fonction de la longueur d’onde, donc de la fréquence. Elles traduisent le caractère dispersif
de l’eau.
La relation v = g ⋅ h , en revanche ne traduit pas ce caractère.
r
vibrations sur une corde
1
1
=
= 1,0.10-2 s
f 100
λ = vT = 0,4×10-2 = 4,0.10-3 m, soit 4 mm
1- T =
⎛ 2π t ⎞
-2
uO (t ) = a ⋅ sin ⎜
⎟ avec a = 1,0 mm et T = 1,0.10 s.
T
⎝
⎠
2- Le point M est situé à 3,3 cm du point O.
Le retard de l’onde en M sera : τ =
OM 3,3.10−2
=
= 0,0825 s.
40.10−2
v
L’élongation du point M à l’instant t est celle qui atteignait le point O à l’instant (t − τ).
Donc l’élongation du point M a la même expression que celle du point O en remplaçant t
par (t − τ).
⎛ 2π (t − τ ) ⎞
uM (t ) = a ⋅ sin ⎜
⎝
T
⎟
⎠
3- Pour t1 = 1,0.10-2 s, soit t1 = T. Une seule longueur d’onde a eu le temps d’avancer dans la
corde :
O
λ=4 mm
λ=4 mm
Pour t2 = 1,25.10-2 s, soit T + T/4, on a une longueur d’onde entière + ¼.
s
Diffraction dans une porte
1-a- On mesure 4,9 divisions pour T, soit
T = 4,9×50.10-6 ≈ 2,5.10-4 s.
T
1
3
f = = 4,0.10 Hz.
T
λ = vT = 340 × 2,5.10-4 = 0,085 m, soit 8,5 cm.
-b- Sur les oscillogrammes, on mesure un retard τ de 1 division, soit 50 µs.
La distance MM’ vaut donc : MM'=τ × v = 50.10-6 × 340 = 1,7 cm (< λ)
2- Pour de petits angles, en radians, on a :
θ≈
λ
a
≈
d
D
D’où : a =
a
λD
d
=
0,085 × 2
= 0,11 m.
1,5
Dans ce cas, l’angle θ vaut θ ≈
λ
a
=
θ
D = 2,0 m
0,085
= 0,77 rad.
0,11
-2
θ > 10 donc l’approximation tan ≈ sin θ ≈ θ n’est pas satisfaisante.
On peut affiner le calcul en reprenant tan θ =
Comme sin θ =
λ
a
alors a =
λ
sin θ
=
d 1,5
1,5
donc θ = tan −1 ⎛⎜ ⎞⎟ = 0,644 rad.
=
D
2
⎝ 2 ⎠
0,085
= 0,14 m.
sin 0,644
d = 1,5 m
d = 1,5 m