Chapitre 12 : Propagation d`ondes

Chapitre 12 : Propagation d’ondes
1. Définition
• Onde : vibration/perturbation qui se propage dans un milieu matériel
Mexican wave
• Exemple : ondes de surface
longueur d’onde λ
2 informations :
période T
• Caractéristiques :
pulse = élément d’une onde
train = succession de pulses
front = premier pulse
2. Types d’ondes
• Ondes longitudinales (L)
- ondes acoustiques
- ondes sismiques
- files d’attente
[ondes de compression]
v
vibration
• Ondes transversales (T)
- ondes électromagnétiques (lumière)
- ondes sismiques
- cordes d’un guitare
[ondes de cisaillement]
v
v
vibration
• Composion (L+T)
- vagues
trajectoires circulaires
v
3. Déplacement d’ondes
• Déplacement d’un pulse : le sommet se déplace à vitesse constante
vt
y
2vt
x
• Formulation mathématique d’une onde : y(x, t)
v
y = f (x − vt)
y = f (x + vt)
v
4. Superposition des ondes
• Slinky :
v
y1
v
y2
y1 + y2
• Principe de superposition :
Les amplitudes s’additionnent :
y = y1 + y2
5. Réflexion d’ondes
• 2 cas distincts :
brin fixe : onde renversée
action-réaction
brin libre : onde réfléchie
• Exemples :
- câbles haute tension
oscillations
galop
- piscine olympique
vagues dans les couloirs
flotteurs
6. Ondes sinusoïdales
y
v
x
y = A sin
!
"
2π
(x − vt)
λ
périodicité spatiale
position
y = A sin (kx − ωt)
2π
k=
λ
2π
ω=
T
nombre d’onde
fréquence angulaire
λ
v=
T
• Déphasage : - spatial
y
∆x
x
y = A sin(kx − ωt)
y = A sin(kx − ωt + ϕ)
∆x
ϕ = 2π
λ
- temporel
idem mais décalage dans le temps :
∆t
ϕ = 2π
T
7. Onde et transfert d’énergie
• Rôle d’une onde :
v
m
δy
m
Une onde transporte de l’énergie !
• Onde sinusoïdale :
y = A sin(kx − ωt)
dy
= −Aω cos(kx − ωt)
vy =
dt
dvy
= −Aω 2 sin(kx − ωt)
ay =
dt
chaque portion de l’onde suit un mouvement harmonique vertical
dm = µdx
- bilan d’énergie pour une portion de matière
1
1
2
dK = dm vy = (µdx) vy2
2
2
1
2
dK = µ [Aω cos(kx − ωt)] dx
2
si t = 0 on photographie l’onde et on calcule
! λ
! λ
1 2 2
1 2 2
2
Kλ =
dK =
µω A cos kx dx = µω A λ
4
0
0 2
qui est l’énergie cinétique contenue dans un élément de l’onde
de même,
1 2 2
Uλ = µω A λ
4
1 2 2
Eλ = Uλ + Kλ = µω A λ
2
Energie transportée proportionnelle au carré de la fréquence
et au carré de l’amplitude.
- puissance :
1 2 2
Eλ
= µω A v
P =
T
2
représente le taux d’énergie transportée dans une onde sinusoïdale.
8. Equation d’onde
• Décrire le mouvement d’une portion de corde AB.
T
θB
tension
θA
T
!
Fy = T sin θB − T sin θB ≈ T (tan θB − tan θA )
"# $
# $ %
!
∂y
∂y
Fy = T
−
∂x B
∂x A
" 2 #
!
∂ y
Fy = may = µ dx
Newton :
∂t2
µ
T
!
2
∂ y
∂t2
"
(∂y/∂x)B − (∂y/∂x)A
=
dx
• On obtient une équation aux dérivées partielles :
µ
T
!
2
∂ y
∂t2
"
∂2y
=
∂x2
l’onde sinusoïdale est bien une solution de cette équation
y = A cos(kx − ωt)
avec
µ 2
k = ω
T
2
• Ainsi, la vitesse d’une onde est donnée par :
v=
!
T
µ
∂2y
1 ∂2y
= 2 2
2
∂x
v ∂t